高中集合教案

集合的運(yùn)算。

相關(guān)知識

集合的概念與運(yùn)算

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《集合的概念與運(yùn)算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

題目第一章集合與簡易邏輯集合的概念與運(yùn)算
高考要求
1.理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義.
2.掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.
3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充要條件的意義.
4.學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法分析和解決有關(guān)集合的問題，形成良好的思維品質(zhì)
知識點(diǎn)歸納
定義：一組對象的全體形成一個集合.
特征：確定性、互異性、無序性.
表示法：列舉法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韋恩圖
分類：有限集、無限集.
數(shù)集：自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N、空集φ.
關(guān)系：屬于∈、不屬于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.
運(yùn)算：交運(yùn)算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
并運(yùn)算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
補(bǔ)運(yùn)算＝{x|xA且x∈U}，U為全集
性質(zhì)：AA；φA；若AB，BC，則AC；
A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；
C(AB)＝(CA)∩(CB).
方法：韋恩示意圖,數(shù)軸分析.
注意：①區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；
②AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ.
③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是-1,所有非空真子集的個數(shù)是。
④區(qū)分集合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。
⑥符號“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系；符號“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。
題型講解
例1已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
設(shè)B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，
且－1≤x1≤0，①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
評述：本題應(yīng)熟悉集合的交與并的涵義，熟練掌握在數(shù)軸上表示區(qū)間（集合）的交與并的方法.
例2設(shè)集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立}，則下列關(guān)系中成立的是
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立}，
對m分類：①m=0時，－4＜0恒成立；
②m＜0時，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1m＜0.
綜合①②知-1m≤0，∴Q={m∈R|-1m≤0}.
答案：C
評述：本題容易忽略對m=0的討論，應(yīng)引起大家足夠的重視.
例3已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
剖析：如果目光總是停留在集合這一狹窄的知識范圍內(nèi)，此題的思維方法是很難找到的.事實(shí)上，集合符號在本題中只起了一種“化妝品”的作用，它的實(shí)際背景是“拋物線x2+mx－y+2=0與線段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍”.這種數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言的互譯，是考生必須具備的一種數(shù)學(xué)素質(zhì).
解：由得
x2+（m－1）x+1=0.①
∵A∩B≠，∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個實(shí)數(shù)解.
首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.
當(dāng)m≥3時，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有負(fù)根，不符合要求；
當(dāng)m≤－1時，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有兩個互為倒數(shù)的正根.故必有一根在區(qū)間（0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0，2］內(nèi).
綜上所述，所求m的取值范圍是（－∞，－1］.
評述：上述解法應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想.如果注意到拋物線x2+mx－y+2=0與線段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共點(diǎn)在線段上，本題也可以利用公共點(diǎn)內(nèi)分線段的比λ的取值范圍建立關(guān)于m的不等式來解.
例4設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
分析：若滿足，則集合B需分兩種情況求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B為空集。
解：由.
∵，∴
當(dāng)，即無實(shí)根，由，
即，解得；
當(dāng)時，由根與系數(shù)的關(guān)系：
當(dāng)時，由根與系數(shù)的關(guān)系：
當(dāng)時，由根與系數(shù)的關(guān)系：
綜上所得。
例5求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？
分析：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。
解：如圖先畫出文氏圖，不難看出不符合條件
的數(shù)共有
（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個）
例6已知全集，A={1,}如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。
分析：此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：
解：∵∴，即＝0，
解得
當(dāng)時，，為A中元素
當(dāng)時，
當(dāng)時，
∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。
另法：∵∴，
∴＝0且
∴或。
變式思考題：
同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。
答案：這樣的集合M有8個：
.
例7某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生67人，學(xué)唱歌的學(xué)生45人，而學(xué)樂器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱歌,人數(shù)是21人,那么同時學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？
解：設(shè)學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，學(xué)唱歌的人有y人，
既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的人又z人，
由題意可列方程：
解得
所以，同時學(xué)舞蹈和唱歌的有33人。
例8對于集合,是否存在實(shí)數(shù)？若存在，求出的取值，若不存在，試說明理由。
解：∴,即二次方程:
，
,解之得
故存在實(shí)數(shù).
例9已知集合，,
,求的值。
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得
又因?yàn)楫?dāng)時，與題意不符
所以，.
例10已知為全集，,.
解:由
所以
由
例11已知集合，求的值.
解：
（1）當(dāng)含有兩個元素時：；
（2）當(dāng)含有一個元素時：
若
若
綜上可知：。
小結(jié)：
1.正確理解集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性；
2.用列舉法或描述法給出集合，考察元素與集合之間的元素；或不給出集合中的元素，但只給出若干個抽象的集合及某些關(guān)系，運(yùn)用文氏圖解決有關(guān)問題。
3.熟練運(yùn)用集合的并、交、補(bǔ)的運(yùn)算并進(jìn)行有關(guān)集合的運(yùn)算。
4.注意符號的理解，相互之間的轉(zhuǎn)化：例如等等.
學(xué)生練習(xí)
題組一：
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，則集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}B.{x|x＞3}C.{x|－1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，
N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，結(jié)合數(shù)軸，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，則（A）∩B等于
A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}
解析：A={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），
∴（A）∩B={4}.
答案：D
3.設(shè)集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列結(jié)論正確的是
A.P∩Q=PB.P∩QQC.P∪Q=QD.P∩QP
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.
答案：D
4.設(shè)U是全集，非空集合P、Q滿足PQU，若求含P、Q的一個集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個運(yùn)算表達(dá)式可以是______.
解析：構(gòu)造滿足條件的集合，實(shí)例論證.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，
則（Q）=｛3｝，（P）={2，3}，易見（Q）∩P=.
答案：（Q）∩P
5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，則A、B、C之間的關(guān)系是________.
解析：用列舉法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易見其關(guān)系.這里A、B、C是不同層次的集合，C以A的子集為元素，同一層次的集合可有包含關(guān)系，不同層次的集合之間只能是從屬關(guān)系.
答案：BA，A∈C，B∈C
題組二：
1.設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R，集合M={x|x21999x20000},P={x||x1999|a}(a為常數(shù)）,且1P,則M與P滿足（）
(A)(B)
(C)(D)
2．若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},則能使AB
成立的所有a的集合是（）
(A){a|1a9}(B){a|6a9}(C){a|a9}(D)
3．設(shè)集合A={x|x2a},B={x|x2},若A∩B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
（A)a4(B)a4(C)0a4(D)0a4
4．若{1,2}A{1,2,3,4,5},則滿足這一關(guān)系的集合A的個數(shù)為。
5．設(shè)集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若BA,則實(shí)數(shù)a的不同取值個數(shù)為。
6.設(shè)全集I=R，集合A={x|x2x2=y2,yR,y≠0},B={y|y=x+1,xA},則
=.
7．若集合A={32x,1,3},B={1,x2},且AB=A,求實(shí)數(shù)x.
8．設(shè)全集I=R，A={x|0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩.
9．已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
10．已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m0,xR},若AB=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
11．已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x|=1},且A∩B,A∩C=,求實(shí)數(shù)a的值。
參考答案：
1.D2．B.3．B.
4．75．36.(,0][2,+).7．x=3或x=.
8．{1}.9．a(chǎn)或a210．m3/211．a(chǎn)=5
課前后備注

集合的基本運(yùn)算教案

1.1.3集合的基本運(yùn)算（第一課時）
一，教學(xué)目標(biāo)
1，知識與技能：
（1）理解并集和交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集
（2）能夠使用Venn圖表達(dá)兩個集合的運(yùn)算，體會直觀圖像對抽象概念理解的作用
2，過程與方法
（1）進(jìn)一步體會類比的作用
（2）進(jìn)一步樹立數(shù)形結(jié)合的思想
3，情感態(tài)度與價(jià)值觀
集合作為一種數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號化表示問題的簡潔美.

二，教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：并集與交集的含義
教學(xué)難點(diǎn)：理解并集與交集的概念，符號之間的區(qū)別與聯(lián)系

三，教學(xué)過程
1，創(chuàng)設(shè)情境
（1）通過師生互動的形式來創(chuàng)設(shè)問題情境，把學(xué)生全體作為一個集合，按學(xué)科興趣劃分子集，讓他們親身感受，激起他們的學(xué)習(xí)興趣。
（2）用Venn圖表示（陰影部分）

2，探究新知
（1）通過Venn圖，類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，引出并集的含義：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A和集合B的并集。
記作：A∪B，讀作：A并B，其含義用符號表示為：
.
（2）解剖分析：
1“所有”：不能認(rèn)為A∪B是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合，即簡單平湊，要滿足集合的互異性，相同的元素即A和B的公共元素只能算作并集中的一個元素
2“或”：“”這一條件，包括下列三種情況：；；
3用Venn圖表示A∪B：

（3）完成教材P8的例4和例5（例4是較為簡單的不用動筆，同學(xué)直接口答即可；例5必須動筆計(jì)算的，并且還要通過數(shù)軸輔助解決，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。）
（4）思考：求集合的并集是集合間的一種運(yùn)算，那么，集合間還有其他運(yùn)算嗎？（具體畫出A與B相交的Venn圖）
（5）交集的含義：一般地，由屬于集合A和集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：A∩B，讀作：A交B，其含義用符號表示為
（6）解剖分析：
1“且”
2用Venn圖表示A∩B：

（7）完成教材P9的例6（口述）
（8）（運(yùn)用數(shù)軸，答案為）

3，鞏固練習(xí)
（1）教材P9的例7
（2）教材P11#1#2

4，小結(jié)作業(yè)：
（1）小結(jié)：1并集和交集的含義及其符號表示
2并集與交集的區(qū)別（符號等）
（2）作業(yè)：
1必做題：教材P12#6#7
2選做題：已知，（答案：）)

集合的概念與運(yùn)算技巧

高三數(shù)學(xué)集合的運(yùn)算

課題：集合的運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)：理解交集、并集、全集、補(bǔ)集的概念，掌握集合的運(yùn)算性質(zhì)，能利用數(shù)軸文氏圖進(jìn)行集合的運(yùn)算，進(jìn)一步掌握集合問題的常規(guī)處理方法．

教學(xué)重點(diǎn)：交集、并集、補(bǔ)集的求法，集合語言、集合思想的運(yùn)用．

教學(xué)過程：
（一）主要知識：
1．交集：；并集：；
補(bǔ)集：若；
2．,；
3．．；
4..，。

（二）主要方法：
1．求交集、并集、補(bǔ)集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或文氏圖的作用；
2．含參數(shù)的問題，要有討論的意識，分類討論時要防止在空集上出問題；
3．集合的化簡是實(shí)施運(yùn)算的前提，等價(jià)轉(zhuǎn)化常是順利解題的關(guān)鍵．

（三）高考回顧：
考題1：(2006安徽理)設(shè)集合，，則等于()
A．B．C．D．

考題2：（2006安徽文）設(shè)全集，集合，，則等于（）
A．B．C．D．

考題3：（2006福建文）已知全集且則等于()
（A）（B）（C）（D）

考題4：（2006遼寧文）設(shè)集合，則滿足的集合的個數(shù)是（）

Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8

考題5：（2006全國卷I理）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝
（）
（A）（B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝（D）｛x|2＜x＜3｝

考題6：（2006陜西理）已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0},則P∩Q等于()

A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

（四）典型例題：
例1．設(shè)全集，若，，，則，．

例2．已知集合，，則，
；

例3．已知集合，，若，，求實(shí)數(shù)、的值．

說明：區(qū)間的交、并、補(bǔ)問題，要重視數(shù)軸的運(yùn)用．

例4．已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

例5．已知集合，
，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：本題的幾何背景是：拋物線與線段有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（五）鞏固練習(xí)：
1．設(shè)全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（）

①，②，③，④，
個個個個

2．集合，，若為單元素集，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（六）課后作業(yè)：
1．設(shè)全集I={1，2，3，4，5}，若AB={2}，={4}，={1，5}，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．

2．已知M=，N=，則MN=（）
A．B．MC．ND．R

3．設(shè)A=，B=，C=，且AB=C，則a=
b=。

4．設(shè)含有4個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集個數(shù)為T，則=。

5．集合A=，B=，若AB中有且僅有一個元素，則r=。

6.設(shè)集合A=，B=，求集合C，使其同時滿足下列三個條件：（1）；（2）C有兩個元素；（3）.

7.設(shè)集合P=，Q=
I．若PQ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；II．若；求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
III．若，求實(shí)數(shù)a的值。