高中不等式教案

不等關(guān)系。

課時(shí)30不等關(guān)系
目標(biāo)展示：1.感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在的不等關(guān)系,會(huì)用不等式表示現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系
2.了解不等式的基本性質(zhì),并能用實(shí)數(shù)基本關(guān)系理論來比較(或證明)兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系
重點(diǎn)難點(diǎn):不等式常見基本性質(zhì)及應(yīng)用;永不等式(組)表示不等關(guān)系
知識(shí)鋪墊：不等式的概念和一些基本性質(zhì)
1.在數(shù)量上刻畫實(shí)現(xiàn)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為不等式
2.熟悉的一元一次不等式（組）的解集求法回顧：如何求解
3.實(shí)數(shù)基本理論及比較大小的依據(jù)
①____________②____________
②____________
4.不等式的一些簡(jiǎn)單基本性質(zhì)
(1)____________(傳遞性)
(2)____________；____________（同向不等式可加）
(3)____________；____________
特別地___________；，______
(4)___________
注：性質(zhì)利用時(shí)，關(guān)鍵要注意成立的條件.如且等
5.實(shí)數(shù)比較大小的方法:
基本方法是作差法：作差→變形→判斷符號(hào)→結(jié)論（有時(shí)可以作商比較）變形時(shí)?？紤]配方、因式分解、有理化等方法.

一、情境和問題（用不等式（組）表示不等關(guān)系
(1)滬寧高速公路全程限速；

(2)某鋼鐵廠把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)要求，600mm的鋼管數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍

(3)某博物館的門票每位10元，20人以上（含20人）的團(tuán)體票8折優(yōu)惠，那么不足20人時(shí)，應(yīng)該選擇怎樣的購票方案？

(4)某雜志以每本2元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為10萬冊(cè)，經(jīng)過調(diào)查，若價(jià)格每提高0.2元,則發(fā)行量就減少5000冊(cè).要使雜志社的銷售收入大于22.4萬元,每本雜志的價(jià)格應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)?

二、合作研究
用不等式（組）表示不關(guān)系是，可選取適當(dāng)?shù)姆?hào)表示變量如時(shí)間（t）,距離(d)等，還應(yīng)準(zhǔn)確運(yùn)用不等符號(hào)，如超過（）,小于，不小于，不大于等.同時(shí)還要標(biāo)明變量的單位和變化范圍.如個(gè)數(shù),月份等.
試用不等式(組)刻畫(1)(2)中的不等關(guān)系為:
(1)_____________(2)__________________
(3)(4)中的問題又如何考慮列式，你能求解嗎？

課堂練習(xí)：（課本練習(xí)1，2，3）

三、例題講解：
例1、試比較下列兩式的大小
(1)和(2)與(其中)
(3)與(其中)(4)與

例2、判斷下列各命題是否成立,并簡(jiǎn)述理由：
(1)若，則（2）若，則

(3)若則（4）若則

例3、設(shè)求：（1）的取值范圍；（2）的取值范圍

例4、若二次函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且，求的范圍.

四、課后反饋
1.某高速公路對(duì)行駛的各種車輛的速度的最大限速為,行使過程中,同一車道上的車間距不得小于10m，用不等式（組）表示為__________________
2.已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，則糖水變甜了，根據(jù)這個(gè)事實(shí)，滿足的不等關(guān)系是__________________
3.若，則與的大小關(guān)系為_______________
4.已知?jiǎng)t與的大小關(guān)系為_______________
5.給出三個(gè)不等式：（1）；（2）（3）.其中對(duì)一切都成立的不等式有_______________
6.已知,則的范圍為_____________,的范圍為________________

7.已知三個(gè)不等式:(1)(2)(3)以其中兩個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作結(jié)論,則可組成_______________個(gè)正確命題
8.咖啡館配置兩種飲料.每杯甲種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為9，4，3，每杯乙種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為4，5，5.已知每天用原料為奶粉3600，咖啡2000，糖3000,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.
9.(08廣州高考)用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板,隨著鐵釘?shù)纳钊?鐵釘受到的阻力越來越大,使得每次釘入木板的釘子的長(zhǎng)度后一次為前一次的.已知一個(gè)鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板,且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的,請(qǐng)從這個(gè)例子中提煉出一個(gè)不等式.

10.制定投資計(jì)劃時(shí)不僅要考慮到可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損,某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大虧損分別為30％和10％.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元,要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元,請(qǐng)用不等式(組)把此實(shí)例中的不等量關(guān)系表示出來.

11.設(shè),比較與的大小

12.當(dāng)時(shí).比較與的大小

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不等關(guān)系與不等式教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系．
2．會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大?。?br> 課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零．
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短．
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識(shí)來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來．實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對(duì)以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大．
(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動(dòng)：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大?。?br> 解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來確定．本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)取等號(hào))，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào)．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大?。?br> 活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時(shí)，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時(shí)，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說明理由．
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大?。?br> 答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因?yàn)?x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法；從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中．
2．教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方．鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計(jì)感想
1．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng)．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大?。?br> 2．試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?br> 5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大?。?br> 參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽課，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)反思

十月十一日早上，第三節(jié)課我上了公開課《不等關(guān)系與不等式》第一節(jié)。由于課間操的延遲，導(dǎo)致本節(jié)課準(zhǔn)備的三個(gè)內(nèi)容，只完成了其中的兩個(gè)。

本節(jié)課內(nèi)容雖說簡(jiǎn)單，就是不等關(guān)系的表示，兩個(gè)數(shù)大小的比較，以及不等式的性質(zhì)。其中后兩個(gè)是重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)。但我教的對(duì)象，是高二年級(jí)基礎(chǔ)最差的學(xué)生，所以對(duì)他們來時(shí)。剛脫離《數(shù)列》學(xué)習(xí)的苦海，又再次進(jìn)入《不等式》的火海之中，對(duì)于他們來說一樣是煎熬。

不等關(guān)系的表示掌握還算湊合，課本上的內(nèi)容感覺也是一知半解，由于時(shí)間（課間操耽誤了十分鐘）緊的緣故，原本計(jì)劃中的第六題我刪除了，兩位數(shù)的表示怕學(xué)生一時(shí)半會(huì)還難以理解。原本的兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，只是簡(jiǎn)單說了下依據(jù)，具體兩個(gè)代數(shù)式比較大小例題也沒來得及講，學(xué)生的練習(xí)更談不上。另一個(gè)重點(diǎn)不等式的性質(zhì)，學(xué)生的理解也是一知半解，懵懵懂懂。遇到具體的應(yīng)用，學(xué)生把剛才的性質(zhì)又拋到九霄云外，憑空想象人云亦云，似乎根本與性質(zhì)又聯(lián)系不起來。不等式剛才強(qiáng)調(diào)了同向不等式可以相加不能相減，但如ab,cb-d，遇到負(fù)號(hào)不知道轉(zhuǎn)化為減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，幾乎全班學(xué)生都在糾結(jié)之中，不知如何去做;諸如ab0,cbd同樣也在糾結(jié)之中，同正同向不等式剛才強(qiáng)調(diào)只能相乘不能相除，但遇到不同向，不同正就又不會(huì)轉(zhuǎn)化。學(xué)生的現(xiàn)狀真是讓人崩潰，

課后同仁熱評(píng)，感覺存在以下幾個(gè)問題

1、《不等關(guān)系與不等式》教學(xué)后的總結(jié)反思的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)不夠，只是輕描淡寫一語而過，沒有具體說明二者的區(qū)別。

2、不等關(guān)系的表示何時(shí)用“大括號(hào)”何時(shí)用“或”沒有說清楚，有的同學(xué)在做第四小題時(shí)，用逗號(hào)模棱兩可。

3、同一習(xí)題演板人過多，顯得凌亂。

4、學(xué)生的做題格式板書強(qiáng)調(diào)不夠，學(xué)生做的不整齊，也沒指出。

通過同仁的熱議和自己的反思，感覺自己在備課上還下的不夠，沒有吃透學(xué)生，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)薄弱視而不見，淡化了本該強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容；同時(shí)對(duì)學(xué)生存在的問題熟視無睹，沒有指出存在的問題使他們及時(shí)糾正養(yǎng)成書寫的規(guī)范。教學(xué)不僅僅是傳授知識(shí)，對(duì)于他們好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成也不可忽視。

《不等式與不等關(guān)系》第二課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

《不等式與不等關(guān)系》第二課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【教學(xué)重點(diǎn)】
掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式；
【教學(xué)難點(diǎn)】
利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些基本性質(zhì)。
請(qǐng)同學(xué)們回憶初中不等式的的基本性質(zhì)。
（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；
即若
（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；
即若
（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。
即若
2.講授新課
1、不等式的基本性質(zhì)：
師：同學(xué)們能證明以上的不等式的基本性質(zhì)嗎？
證明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2），
∴．
實(shí)際上，我們還有，
證明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我們就得到了不等式的基本性質(zhì)：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)：
（1）；
（2）；
（3）。
證明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b+c．①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d．②
由①、②得a＋c＞b＋d．
2）
3）反證法）假設(shè)，
則：若這都與矛盾，
∴．
[范例講解]：
例1、已知求證
。
證明：以為，所以ab0,。
于是，即
由c0，得
3.隨堂練習(xí)1
1、課本P74的練習(xí)3
2、在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：
(1)（＋）2６＋2；
（2）（－）2（－1）2；
（3）；
(4)當(dāng)a＞b＞0時(shí)，logalogb
答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜

[補(bǔ)充例題]
例2、比較(a＋3)（a－５）與（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小。比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問題。
解：由題意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
隨堂練習(xí)2
1、比較大?。?br> （1）（x＋５）（x＋７）與（x＋６）2
（2）
4.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡(jiǎn)單的不等式，還研究了如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小——作差法，其具體解題步驟可歸納為：
第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；
第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；
第三步：得出結(jié)論
5.作業(yè)
課本P75習(xí)題3.1[A組]第2、3題；[B組]第1題

《不等式與不等關(guān)系》第一課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

《不等式與不等關(guān)系》第一課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識(shí)與技能：通過具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）的實(shí)際背景，掌握不等式的基本性質(zhì)；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價(jià)值：通過解決具體問題，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。
【教學(xué)重點(diǎn)】
用不等式（組）表示實(shí)際問題的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題。理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值。
【教學(xué)難點(diǎn)】
用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系。如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，等等。人們還經(jīng)常用長(zhǎng)與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不等關(guān)系。
下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關(guān)系。
2.講授新課
1）用不等式表示不等關(guān)系

引例1：限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，寫成不等式組就是——用不等式組來表示
問題1：設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點(diǎn)，則。
問題2：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？
解：設(shè)雜志社的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為萬元，那么不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式
問題3：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？

解：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：
（1）截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不超過4000mm;
（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；
（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。
要同時(shí)滿足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：
3.隨堂練習(xí)
1、試舉幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中與不等式有關(guān)的例子。
2、課本P74的練習(xí)1、2
4.課時(shí)小結(jié)
用不等式（組）表示實(shí)際問題的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題。
5.作業(yè)
課本P75習(xí)題3.1[A組]第4、5題