小學(xué)一年級的數(shù)學(xué)教案

高一數(shù)學(xué)下冊《直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》知識點人教版。

高一數(shù)學(xué)下冊《直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》知識點人教版

（1）創(chuàng)設(shè)情境

直線平面垂直的判定

直線平面垂直的判定

①請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側(cè)棱與地面的位置有什么關(guān)系？

②請把自己的數(shù)學(xué)書打開直立在桌面上，觀察書嵴與桌面的位置有什么關(guān)系？

③請將①中旗桿與地面的位置關(guān)系畫出相應(yīng)的幾何圖形。

（2）觀察歸納

①思考：一條直線與平面垂直時，這條直線與平面內(nèi)的直線有什么樣的位置關(guān)系？

②多媒體演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。

③歸納出直線與平面垂直的定義及相關(guān)概念。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.

直線平面垂直的判定

直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

用符號語言表示為：

直線平面垂直的判定

（3）辨析（完成下列練習(xí)）：

①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

②若a⊥α,b

直線平面垂直的判定

α，則a⊥b。

在創(chuàng)設(shè)情境中，學(xué)生練習(xí)本上畫圖，教師針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，如不直觀、不標(biāo)字母等加以強調(diào)，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題。

在多媒體演示時，先展示動畫1使學(xué)生感受到旗桿AB所在直線與過點B的直線都垂直。再展示動畫2使學(xué)生明確旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B1C1也垂直，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的定義。

直線平面垂直的判定

在辨析問題中，解釋“無數(shù)”與“任何”的不同，并說明線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，給出常用命題：

直線平面垂直的判定

2.直線與平面垂直的判定定理的探究

（1）設(shè)置問題情境

提出問題：學(xué)校廣場上樹了一根新旗桿，現(xiàn)要檢驗它是否與地面垂直，你有什么好辦法？

（2）折紙試驗

如圖，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

直線平面垂直的判定

①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

③多媒體演示翻折過程。

（3）歸納直線與平面垂直的判定定理

①思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

②歸納出直線與平面垂直的判定定理。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

直線平面垂直的判定

用符號語言表示為：

直線平面垂直的判定

在討論實際問題時，學(xué)生同桌合作進(jìn)行試驗（將鐵絲當(dāng)旗桿，桌面當(dāng)?shù)孛妫┖蠼涣鞣桨福缬弥苯侨前辶恳淮?，量兩次等。教師不作點評，說明完成下面的折紙試驗后就有結(jié)論。

在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)這兩類學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

在歸納直線與平面垂直的判定定理時，先讓學(xué)生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導(dǎo)、補充完整，并結(jié)合“兩條相交直線確定一個平面”的事實，簡要說明直線與平面垂直的判定定理。然后，學(xué)生試用圖形語言表述，練習(xí)本上畫圖，可能出現(xiàn)垂足與兩相交直線交點重合的情況（如圖），教師加以說明，同時給出符號語言表述。

直線平面垂直的判定

在理解直線與平面垂直的判定定理時，強調(diào)“兩條”、“相交”缺一不可，并結(jié)合前面“檢驗旗桿與地面垂直”問題再進(jìn)行確認(rèn)。指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，這充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

（1）嘗試練習(xí)：

求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

直線平面垂直的判定

學(xué)生根據(jù)題意畫圖，將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)

請三位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，同時指出：這為證明“線線垂直”提供了一種方法。

（2）嘗試練習(xí)：如圖，有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上）C、D。如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直.為什么？

直線平面垂直的判定

本題需要通過計算得到線線垂直。學(xué)生練習(xí)本上完成后，對照課本P69例1,完善自己的解題步驟。

（3）嘗試練習(xí)：如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

此題有一定難度，教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P69例2,完善自己的解題步驟。

直線平面垂直的判定

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高一數(shù)學(xué)教案：《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計

高一數(shù)學(xué)教案：《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。

2.通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

3.讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點、難點

1.教學(xué)重點：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

2.教學(xué)難點：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

三、課前準(zhǔn)備

1.教師準(zhǔn)備：教學(xué)課件

2.學(xué)生自備：

三角形紙片、鐵絲（代表直線）、紙板（代表平面）、三角板

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.直線與平面垂直定義的建構(gòu)

（1）創(chuàng)設(shè)情境

①請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側(cè)棱與地面的位置有什么關(guān)系？

②請把自己的數(shù)學(xué)書打開直立在桌面上，觀察書脊與桌面的位置有什么關(guān)系？

③請將①中旗桿與地面的位置關(guān)系畫出相應(yīng)的幾何圖形。

（2）觀察歸納

①思考：一條直線與平面垂直時，這條直線與平面內(nèi)的直線有什么樣的位置關(guān)系？

②多媒體演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。

③歸納出直線與平面垂直的定義及相關(guān)概念。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.

直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

用符號語言表示為：

（3）辨析（完成下列練習(xí)）：

①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

②若a⊥α,bα，則a⊥b。

在創(chuàng)設(shè)情境中，學(xué)生練習(xí)本上畫圖，教師針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，如不直觀、不標(biāo)字母等加以強調(diào)，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題。

在多媒體演示時，先展示動畫1使學(xué)生感受到旗桿AB所在直線與過點B的直線都垂直。再展示動畫2使學(xué)生明確旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B1C1也垂直，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的定義。

在辨析問題中，解釋“無數(shù)”與“任何”的不同，并說明線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，給出常用命題：

2.直線與平面垂直的判定定理的探究

（1）設(shè)置問題情境

提出問題：學(xué)校廣場上樹了一根新旗桿，現(xiàn)要檢驗它是否與地面垂直，你有什么好辦法？

（2）折紙試驗

如圖，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

③多媒體演示翻折過程。

（3）歸納直線與平面垂直的判定定理

①思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

②歸納出直線與平面垂直的判定定理。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為：

在討論實際問題時，學(xué)生同桌合作進(jìn)行試驗（將鐵絲當(dāng)旗桿，桌面當(dāng)?shù)孛妫┖蠼涣鞣桨?，如用直角三角板量一次，量兩次等。教師不作點評，說明完成下面的折紙試驗后就有結(jié)論。

在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)這兩類學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

在歸納直線與平面垂直的判定定理時，先讓學(xué)生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導(dǎo)、補充完整，并結(jié)合“兩條相交直線確定一個平面”的事實，簡要說明直線與平面垂直的判定定理。然后，學(xué)生試用圖形語言表述，練習(xí)本上畫圖，可能出現(xiàn)垂足與兩相交直線交點重合的情況（如圖），教師加以說明，同時給出符號語言表述。

在理解直線與平面垂直的判定定理時，強調(diào)“兩條”、“相交”缺一不可，并結(jié)合前面“檢驗旗桿與地面垂直”問題再進(jìn)行確認(rèn)。指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，這充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

（1）嘗試練習(xí)：

求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

學(xué)生根據(jù)題意畫圖，將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)

請三位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，同時指出：這為證明“線線垂直”提供了一種方法。

（2）嘗試練習(xí)：如圖，有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上）C、D。如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直.為什么？

本題需要通過計算得到線線垂直。學(xué)生練習(xí)本上完成后，對照課本P69例1,完善自己的解題步驟。

（3）嘗試練習(xí)：如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

此題有一定難度，教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P69例2,完善自己的解題步驟。

4.總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）在證明直線與平面垂直時應(yīng)注意哪些問題？

（3）本節(jié)課你還有哪些問題？

學(xué)生發(fā)言，互相補充，教師點評，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示），同時，說明本課蘊含著轉(zhuǎn)化、類比、歸納、猜想等數(shù)學(xué)思想方法，強調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路，并鼓勵學(xué)生反思，大膽質(zhì)疑，教師作好記錄，以便查缺補漏。

五.布置作業(yè)

（1）如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.

求證：PO⊥平面ABCD

（2）課本P70 練習(xí)2

（3）探究：如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認(rèn)為三棱錐中最多有幾個直角三角形？四棱錐呢？

【板書設(shè)計】

教學(xué)設(shè)計說明

在這次新課程數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，立體幾何不論從教材編排還是教學(xué)要求上都發(fā)生了很大變化，因而，我在本節(jié)課的處理上也作了相應(yīng)調(diào)整，借助多媒體輔助教學(xué)，采用“引導(dǎo)—探究式”教學(xué)方法。整個教學(xué)過程遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—歸納總結(jié)”的認(rèn)知規(guī)律，注重發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，降低幾何證明的難度，同時，加強空間觀念的培養(yǎng)，注重知識產(chǎn)生的過程性，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.線面垂直的定義沒有直接給出，而是讓學(xué)生在對圖形、實例的觀察感知基礎(chǔ)上，借助動畫演示幫助學(xué)生概括得出，并通過辨析問題深化對定義的理解。這樣就避免了學(xué)生死記硬背概念，有利于理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

2.線面垂直的判定定理不易發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引起學(xué)生思考，安排折紙試驗，討論交流，給學(xué)生充分活動的時間與空間，幫助學(xué)生從自己的實踐中獲取知識。教師盡量少講，學(xué)生能做的事就讓他們自己去做，使學(xué)生更好的參與教學(xué)活動，展開思維，體驗探索的樂趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3.本節(jié)中教師不作例題示范，而是讓學(xué)生先嘗試完成，后講評明晰。為更好地鞏固判定定理，設(shè)置了有梯度的練習(xí)，其中練習(xí)（1）是補充題，是判定定理的最簡單的運用。作業(yè)中增加了基礎(chǔ)題（第1題）和開放性題目（第3題），這樣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生在不同的幾何體中體會線面垂直關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。同時，在教學(xué)中，始終注重訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確地進(jìn)行三種語言（文字語言、圖形語言和符號語言）的轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)運用圖形語言進(jìn)行交流的能力。

4.以問題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題多質(zhì)疑、多概括。

高一數(shù)學(xué)教案：《直線與平面垂直的判定》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計

高一數(shù)學(xué)教案：《直線與平面垂直的判定》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：將“直線與平面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為“直線與直線垂直”的問題。

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位置關(guān)系的拓展，又是面面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認(rèn)知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初步運用”的認(rèn)知過程展開，通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時體會“平面化”思想和“降維”思想。

教學(xué)重點：直觀感知、操作確認(rèn)，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的判定定理。

目標(biāo)解析：

1、借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義。

2、通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理。

3、能運用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和平面垂直有關(guān)的簡單命題：在平面內(nèi)選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直。

4、能運用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。

在直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學(xué)生的理解有一定的困難，因為定義中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進(jìn)一步加強，在直線與平面垂直判定定理的運用中，不知如何選擇平面內(nèi)的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯誤。

教學(xué)難點：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可準(zhǔn)備投影儀，多媒體課件，三角板。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、鐵絲、三角板。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。

師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

我們已經(jīng)學(xué)過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系, 直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察一條直線和一個平面內(nèi)直線的關(guān)系，然后加以解決。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性。

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直。

3、抽象概括

問題3、通過上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。

4、辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。

設(shè)計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

師生活動：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進(jìn)行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一 條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎(chǔ)上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。

由命題（2）給出下列常用命題：

這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的常用方法。

（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題4、觀察跨欄、簡易木架等實物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設(shè)計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關(guān)系。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認(rèn)

問題5：如圖4，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力。

師生活動：在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

3、合情推理

問題6：根據(jù)上面的試驗，結(jié)合兩條相交直線確定一個平面的事實，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗，進(jìn)行合情推理，獲得判定定理。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的.定理充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為：

4、質(zhì)疑深化

辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？

設(shè)計意圖：通過辨析，強化定理中“兩條相交直線”的條件。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師再次強調(diào)“相交”條件。

（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

嘗試練習(xí)1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設(shè)計意圖：初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。

師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖6），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

嘗試練習(xí)2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導(dǎo)學(xué)生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問題。學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.

嘗試練習(xí)3：如圖8，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？

設(shè)計意圖：能合理尋找平面證線面垂直從而得出線線垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用。

師生活動：學(xué)生思考討論，請一位同學(xué)用投影儀展示并分析其思路，教師參與討論。

（四）、總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題多質(zhì)疑、多概括。

師生活動：學(xué)生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO⊥平面ABCD

2、課本P74 練習(xí)1、2

3、課本P86 A組10

4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認(rèn)為三棱錐中最多有幾個直角三角形？

（板書設(shè)計）

高一數(shù)學(xué)下冊《空間點直線平面之間的位置關(guān)系》知識點人教版

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以保證學(xué)生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)下冊《空間點直線平面之間的位置關(guān)系》知識點人教版”，希望能對您有所幫助，請收藏。

高一數(shù)學(xué)下冊《空間點直線平面之間的位置關(guān)系》知識點人教版

1.平面

(1)平面概念的理解

直觀的理解：桌面、黑板面、平靜的水面等等都給人以平面的直觀的印象，但它們都不是平面，而僅僅是平面的一部分。

抽象的理解：平面是平的，平面是無限延展的，平面沒有厚薄。

(2)平面的表示法

①圖形表示法：通常用平行四邊形來表示平面，有時根據(jù)實際需要，也用其他的平面圖形來表示平面。

②字母表示：常用等希臘字母表示平面。

(3)涉及本部分內(nèi)容的符號表示有：

①點A在直線l內(nèi)，記作；

②點A不在直線l內(nèi)，記作；

③點A在平面內(nèi)，記作；

④點A不在平面內(nèi)，記作；

⑤直線l在平面內(nèi)，記作；

⑥直線l不在平面內(nèi)，記作；

注意：符號的使用與集合中這四個符號的使用的區(qū)別與聯(lián)系。

(4)平面的基本性質(zhì)

公理1：如果一條直線的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。

符號表示為：．

注意：如果直線上所有的點都在一個平面內(nèi)，我們也說這條直線在這個平面內(nèi)，或者稱平面經(jīng)過這條直線。

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：直線AB存在唯一的平面，使得。

注意：“有且只有”的含義是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”來代替．此公理又可表示為：不共線的三點確定一個平面。

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

注意：兩個平面有一條公共直線，我們說這兩個平面相交，這條公共直線就叫作兩個平面的交線．若平面、平面相交于直線l，記作。

公理的推論：

推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面。

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。

2．空間直線

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系

①相交直線：有且僅有一個公共點，可表示為;

②平行直線：在同一個平面內(nèi)，沒有公共點，可表示為a//b;

③異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

(2)平行直線

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線。

定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

(3)兩條異面直線所成的角

注意：①兩條異面直線a，b所成的角的范圍是（0°，90°]。

②兩條異面直線所成的角與點O的選擇位置無關(guān)，這可由前面所講過的“等角定理”直接得出。

③由兩條異面直線所成的角的定義可得出異面直線所成角的一般方法：

(i)在空間任取一點，這個點通常是線段的中點或端點。

(ii)分別作兩條異面直線的平行線，這個過程通常采用平移的方法來實現(xiàn)。

(iii)指出哪一個角為兩條異面直線所成的角，這時我們要注意兩條異面直線所成的角的范圍。

3．空間直線與平面

直線與平面位置關(guān)系有且只有三種：

(1)直線在平面內(nèi)：有無數(shù)個公共點；

(2)直線與平面相交：有且只有一個公共點；

(3)直線與平面平行：沒有公共點。

4．平面與平面

兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：

(1)兩個平面平行：沒有公共點；

(2)兩個平面相交：有一條公共直線。

練習(xí)題：

1．在下列命題中，不是公理的是()

A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行

B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面

C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)

D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

解析：B、C、D都是公理，只有A不是．

答案：A

2．設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是()

①P∈a，P∈αaα

②a∩b＝P，bβαβ

③a∥b，aα，P∈b，P∈αbα

④α∩β＝b，P∈α，P∈βP∈b

A．①②

B．②③

C．①④D．③④

解析：當(dāng)a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但aα，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；

∵a∥b，P∈b，∴Pa，

∴由直線a與點P確定唯一平面α，

又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點P，∴β與α重合，∴bα，故③正確；

兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．

答案：D

直線與平面垂直的判定

第一課時直線與平面垂直的判定

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論.
2．過程與方法
（1）通過教學(xué)活動，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”過程中獲取新知.
（二）教學(xué)重點、難點
重點：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？師投影問題，學(xué)生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷.復(fù)習(xí)鞏固
探索新知一、直線和平面垂直的定義、畫法
如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？
師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？
生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）
生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.
師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說明.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
探索新知二、直線和平面垂直的判定
1．試驗如圖，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？師：下面請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實驗，（投影問題）.
學(xué)生動手實驗，然后回答問題.
生：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
典例剖析例1如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
因為直線a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因為b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因為，m、n是兩條相交直線，
b⊥.
師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個結(jié)論顯然成立.
學(xué)生依圖及分析寫出證明過程.
……
師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直.鞏固所知識培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書寫表達(dá)能力.
探索新知二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角.教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的.借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析例2如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結(jié)BC1交B1C于點O，連結(jié)A1O.
設(shè)正方體的棱長為a，因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因為BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O=30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過B點作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結(jié)BC1即可.
師：能證明嗎？
學(xué)生分析，教師板書，共同完成求解過程.點拔關(guān)鍵點，突破難點，示范書寫及解題步驟.
隨堂練習(xí)1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.
2．過△ABC所在平面外一點P，作PO⊥，垂足為O，連接PA，PB，PC.
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的心.
（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，則點O是△ABC的.心.
3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？
學(xué)生獨立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點；（2）點O是△ABC的外心；（3）點O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.鞏固所學(xué)知識
歸納總結(jié)1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直學(xué)生歸納總結(jié)教師補充鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)，會總結(jié)的習(xí)慣和能力.
課后作業(yè)2.7第一課時習(xí)案學(xué)生獨立完成強化知識
提升能力
備選例題
例1如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M為BD中點，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結(jié)AM
∵AB=AD，CB=CD，M為BD中點．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問題得到解決．
例2已知棱長為1的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt△EOA中，
，
，
sin∠EAO=．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．