高中拋物線教案

高中數(shù)學(xué)選修1-12.3.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案(蘇教版)。

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題2.4拋物線總課時(shí)第課時(shí)
分課題2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)分課時(shí)第1課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
預(yù)習(xí)導(dǎo)讀(文)閱讀選修1-1第49--50頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
(理)閱讀選修2-1第52--53頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)；
2.初步理解四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)；
3.能簡(jiǎn)單應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決有關(guān)拋物線的實(shí)際問題。
一、預(yù)習(xí)檢查
1．完成下表:
標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形
焦點(diǎn)
坐標(biāo)
準(zhǔn)線
方程
范圍
對(duì)稱軸
頂點(diǎn)
坐標(biāo)
離心率
開口
方向

2．過拋物線的且垂直于其的直線與拋物線的交于兩點(diǎn)，連結(jié)這兩點(diǎn)間的叫做拋物線的通徑。拋物線的通徑為．
3．若拋物線上縱坐標(biāo)為-4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
4．求頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為的拋物線的方程.

二、問題探究
探究1:根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到拋物線的哪些幾何性質(zhì)？
探究2:根據(jù)你現(xiàn)有的知識(shí),你能找出一種拋物線的畫法嗎?
例1．經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求證:以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

例2．汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線,燈口直徑為197,反光曲面的頂點(diǎn)到燈口的距離是69.由拋物線的性質(zhì)可知,當(dāng)燈泡安裝在拋物線的焦點(diǎn)處時(shí),經(jīng)反光曲面反射后的光線是平行光線.為了獲得平行光線,應(yīng)怎樣安裝燈泡?(精確到1)

三、思維訓(xùn)練
1．如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的方程為．
2．若拋物線，過其焦點(diǎn)傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，則這條拋物線的方程是．
4．已知拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)及一個(gè)定點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若成等差數(shù)列，則．

四、課后鞏固
1．過拋物線的焦點(diǎn)作兩弦和，其所在直線傾斜角分別為和，則的大小關(guān)系是．

2．過拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切的直線方程是．

3．已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若以為直徑作圓，則此圓與軸的位置關(guān)系是．

４．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若△為直角三角形，則雙曲線的離心率是．

5．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),以為直徑的圓中,面積的最小值為．

６．已知是拋物線上三點(diǎn),且它們到焦點(diǎn)
的距離成等差數(shù)列,求證:.

7．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸，設(shè)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不垂直于軸）且，線段的中垂線恒過定點(diǎn)．求此拋物線
的方程．

相關(guān)閱讀

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-12.3.3拋物線習(xí)題課

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題2.4拋物線總課時(shí)第課時(shí)
分課題拋物線習(xí)題課分課時(shí)第1課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
預(yù)習(xí)導(dǎo)讀(文)閱讀選修1-1第頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
(理)閱讀選修2-1第頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；
2.會(huì)用待定系數(shù)法較熟練的求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
3.能解決一些與拋物線有關(guān)的簡(jiǎn)單綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸和方程等思想，提高學(xué)生的綜合能力。
一、預(yù)習(xí)檢查
1．過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條．
2．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則．
3．當(dāng)為何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，則過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方
程為．
４．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是．
二、問題探究
例1．設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：.

例2．已知是拋物線上不相同的兩個(gè)點(diǎn)，是弦的垂直平分線．
（１）當(dāng)取何值時(shí)，可使拋物線的焦點(diǎn)與原點(diǎn)到直線的距離相等？證明你的結(jié)論．
（２）當(dāng)直線的斜率為１時(shí)，求在軸上截距的取值范圍．

三、思維訓(xùn)練

1．若為經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的弦，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△的面積為．

2．過拋物線的焦點(diǎn)作弦，若，則弦所在直線方程是．

3．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率為．

4．（理）已知是過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的一條弦，繞準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)面面積為，以為直徑的球面面積為，則與的大小關(guān)系是．

四、課后鞏固
1．拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，直線與拋物線相交于點(diǎn)，，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

2．過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，
且△的面積為，則．

3．圓心在拋物線上，與拋物線的準(zhǔn)線相切且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為．

4．若點(diǎn)及拋物線的焦點(diǎn)與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)的距離之和為，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

5．過拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦，求證：直線過定點(diǎn)．

6．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)．
（１）求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（２）若△的面積等于2，求的值．

§2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)（１）

§2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)（１）
【學(xué)情分析】：
由于學(xué)生具備了曲線與方程的部分知識(shí)，掌握了研究解析幾何的基本方法，因而利用已有橢圓與雙曲線的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、歸納知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐和創(chuàng)新意識(shí)上下工夫，訓(xùn)練基本技能。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)。
（2）過程與方法：
重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考。
（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)，實(shí)事求是的個(gè)性品質(zhì)和數(shù)學(xué)交流合作能力，以及勇于探索，勇于創(chuàng)新的求知意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
熟練掌握拋物線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率等幾何性質(zhì)及其應(yīng)用。
【課前準(zhǔn)備】：
Powerpoint或投影片
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)引入

1．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，－2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，=2，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
2.填空：動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到定直線的距離的比等于e，則當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
3.復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的主要內(nèi)容：

通過離心率的填空引出拋物線。引起學(xué)生的興趣。
二、拋物線的幾何性質(zhì)類比研究歸納拋物線的幾何性質(zhì)：
引導(dǎo)學(xué)生填寫表格。通過對(duì)比，讓學(xué)生掌握拋物線的四種圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程。
三、例題講解例1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)A（4,2），求這條拋物線的準(zhǔn)線方程。
解：⑴若拋物線開口向右，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵
∴
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
⑵若拋物線開口向上，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∵
∴
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

例2汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處。已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)距離是多少？
讓學(xué)生運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)，寫出符合條件的拋物線的準(zhǔn)線方程。

三、例題講解分析：依標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)和幾何性質(zhì)建系，由待定系數(shù)法求解，強(qiáng)調(diào)方程的完備性。
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，軸垂直于燈口直徑．
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)是（40，30）且在拋物線上，代入方程得：，
所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

例3過拋物線的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，
求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．
分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡(jiǎn)捷．
證明：如圖．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，
因而圓E和準(zhǔn)線相切．

運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和綜合解題能力。

四、鞏固練習(xí)1．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（B）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（B）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長(zhǎng)分別是、，則=（C）
（A）（B）（C）（D）
4．過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是
5.定長(zhǎng)為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)
（答案：,M到軸距離的最小值為）

6.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．
解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離
得p=4．
因此，所求拋物線方程為y2=-8x．
又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物線上，故m2=-8(-3)．
解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m．由題意
在拋物線上且|MF|=5，故
分層訓(xùn)練，讓學(xué)生牢牢掌握拋物線的幾何性質(zhì)。

由學(xué)生演板．
五、課后練習(xí)1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8．
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過P（4，2）點(diǎn)．
（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5．

2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于

3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，求拋物線方程．

4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)．

5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬是多少米？

6．已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),其上一點(diǎn)M(2,m)到焦點(diǎn)的距離等于3,求拋物線方程及m值。

習(xí)題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．
5．米6．y2=4x,m=或
課后練習(xí)注意分層訓(xùn)練，讓學(xué)生牢牢掌握拋物線的幾何性質(zhì)。

練習(xí)與測(cè)試：
1.求適合下列條件的拋物線的方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（0，5）；
（2）對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是拋物線y2=-32x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則PF=（）。
（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+16
3.一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m，求水面寬度。
4.已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^點(diǎn)，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．

5.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置．
分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值．
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑．
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(p＞0)．
由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．

高中數(shù)學(xué)選修1-12.1.2橢圓的幾何性質(zhì)（1）學(xué)案（蘇教版）

年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)選修1-1/2-1
總課題2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)總課時(shí)第課時(shí)
分課題2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(1)分課時(shí)第1課時(shí)
主備人梁靚審核人朱兵上課時(shí)間
預(yù)習(xí)導(dǎo)讀(文)閱讀選修1-1第31--34頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
(理)閱讀選修2-1第33--36頁，然后做教學(xué)案，完成前三項(xiàng)。
學(xué)習(xí)目標(biāo)1．熟練掌握橢圓的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
2．掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，以及的相互關(guān)系
3．感受如何運(yùn)用方程研究曲線的幾何性質(zhì)．
一、預(yù)習(xí)檢查
1、橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)坐標(biāo)為．
2、橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2：1，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3、已知橢圓，若直線過橢圓的
左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
二、問題探究
探究1:“范圍”是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍。
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？

探究2:標(biāo)準(zhǔn)形式的方程所表示的橢圓，其對(duì)稱性是怎樣的？能否借助標(biāo)準(zhǔn)方程用代數(shù)方法推導(dǎo)？

探究3:橢圓的頂點(diǎn)是怎樣的點(diǎn)？橢圓的長(zhǎng)軸與短軸是怎樣定義的？長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)各是多少？的幾何意義各是什么？?
例1．求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出這個(gè)橢圓．

例2.求符合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在x軸上）：
（1）焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較接近的端點(diǎn)的距離為，焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直．
（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（3，0），求橢圓的方程．

例3．1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國(guó)）發(fā)射了“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星，衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是橢圓，是其焦點(diǎn)，地球中心為焦點(diǎn)，設(shè)地球半徑為，已知橢圓軌道的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面，并且、、在同一直線上，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程．

三、思維訓(xùn)練
1、根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形
①．②．

2、在下列方程所表示的曲線中，關(guān)于軸、軸都對(duì)稱的是()
A．B．
C．D．
3、當(dāng)取區(qū)間中的不同的值時(shí)，方程所表示的曲線是一組具有
相同的橢圓．

四、知識(shí)鞏固
1、求出下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、定點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)：
（1）；（2）；（3）；（4）.

2、橢圓的內(nèi)接正方形的面積為．

3、橢圓的焦點(diǎn)到直線的距離為．

4、已知(3，0)，(3，0)是橢圓=1的兩焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，面積最大，則=，=．

拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家收集的“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”大家不妨來參考。希望您能喜歡！

2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
（一）教學(xué)目標(biāo)：
1．掌握拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；
2．能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對(duì)拋物線方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上列表、描點(diǎn)、畫拋物線圖形；
3．在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化.
（二）教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用
（三）教學(xué)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用
（四）教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：（學(xué)生回顧并填表格）
1．拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
圖形

方程

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的，即.
不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，x為一次項(xiàng)，y為二次項(xiàng)，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，x為二次項(xiàng)，y為一次項(xiàng)，方程右端為，左端為.（2）開口方向在x軸（或y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號(hào)；開口在x軸（或y軸）負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào).
二、講解新課：
類似研究雙曲線的性質(zhì)的過程，我們以為例來研究一下拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
1．范圍
因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
2．對(duì)稱性
以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．
3．頂點(diǎn)
拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．
4．離心率
拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
對(duì)于其它幾種形式的方程，列表如下：（學(xué)生通過對(duì)照完成下表）
標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率

注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
思考：拋物線有沒有漸近線？（體會(huì)拋物線與雙曲線的區(qū)別）
三、例題講解：
例1已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形．
分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．
解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^點(diǎn)，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．
將已知方程變形為，根據(jù)計(jì)算拋物線在的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得
x01234…
y022.83.54…
描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分
點(diǎn)評(píng)：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線．
例2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng).
解法1：如圖所示，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=—1.
由題可知，直線AB的方程為y=x—1
代入拋物線方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分別代入直線方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐標(biāo)分別為（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，
|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=—1的距離|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
點(diǎn)評(píng)：解法2是利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，是解析幾何中求弦長(zhǎng)的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡(jiǎn)潔，值得引起重視。
變式訓(xùn)練：過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于,兩點(diǎn)，若，求。
解：，，。
點(diǎn)評(píng)：由以上例2以及變式訓(xùn)練可總結(jié)出焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)：或。
四、達(dá)標(biāo)練習(xí)：
1．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是______
4.定長(zhǎng)為的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求中點(diǎn)到軸距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案：1.B2.B3.4.,M到軸距離的最小值為.
五、小結(jié)：拋物線的離心率、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線、中心等.
六、課后作業(yè)：
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于8．
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過P（4，2）點(diǎn)．
（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)距離為5．
2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2、B2，則∠A2FB2等于.
3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，求拋物線方程．
4．以橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線，求拋物線截橢圓在準(zhǔn)線所得的弦長(zhǎng)．
5．有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時(shí)，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，水面寬是多少米？
習(xí)題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．5．米
七、板書設(shè)計(jì)（略）