高中等差數(shù)列的教案

等比數(shù)列的前n項和教案。

教學設(shè)計
2．3.2等比數(shù)列的前n項和
整體設(shè)計
教學分析
本節(jié)是數(shù)列一章的最后內(nèi)容，分兩課時完成，第一課時側(cè)重于公式的推導及記憶，第二課時側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用．等比數(shù)列的前n項和是教材中很重要的一部分內(nèi)容，是等比數(shù)列知識的再認識和再運用，它對學生進一步掌握、理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識有著很重要的作用．等比數(shù)列前n項和公式的推導，也是培養(yǎng)學生分析、發(fā)現(xiàn)、類比等能力的很好的一個工具．在講求和公式推導時，應(yīng)指出其運算的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運算的通性(交換律、結(jié)合律、分配律)．培養(yǎng)學生邏輯思維的習慣和代數(shù)運算技能．
新大綱中對本知識有較高層次的要求，教學地位很重要，是教學全部學習任務(wù)中必須優(yōu)先完成的任務(wù)．這項知識內(nèi)容有廣泛的實際應(yīng)用，很多問題都要轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列的求和上來才能得到解決．如增長率、濃度配比、細胞分裂、儲蓄信貸、養(yǎng)老保險、分期付款的有關(guān)計算等許多方面均用到等比數(shù)列的知識，因而考題中涉及數(shù)列的應(yīng)用問題屢見不鮮．掌握等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)建模和解模能力是解決數(shù)列應(yīng)用問題的基本途徑．
等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式中共涉及五個量，將兩個公式結(jié)合起來，已知其中三個量可求另兩個量，即已知a1，an，q，n，Sn五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個量，這其中滲透了方程的思想．其中解指數(shù)方程的難度比較大，訓練時要控制難度和復雜程度，要大膽地摒棄“煩瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容”．
數(shù)列模型運用中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法(如方程的思想、分類討論思想、算法思想等)，這些思想方法對培養(yǎng)學生的閱讀理解能力、運算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用．教學中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學生充分的探索空間．
三維目標
1．通過本節(jié)學習，使學生會用方程的思想認識等比數(shù)列前n項和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式及有關(guān)知識解決現(xiàn)實生活中存在著的大量的數(shù)列求和的問題，將等比數(shù)列前n項和公式與等比數(shù)列通項公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題．
2．通過啟發(fā)、引導、分析、類比、歸納，并通過嚴謹科學的解題思想和解題方法的訓練，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)．
3．通過解決生產(chǎn)實際和社會生活中的實際問題了解社會、認識社會，形成科學的世界觀和價值觀．
重點難點
教學重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導及靈活運用，及生產(chǎn)實際和社會生活中有關(guān)的實際問題．
教學難點：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識解決有關(guān)的生產(chǎn)實際及社會生活中的熱點問題．
課時安排
2課時
教學過程
第1課時
導入新課
思路1.(故事導入)國際象棋起源于古代印度，相傳有位數(shù)學家?guī)е嬘?4個方格的木盤，和32個雕刻成六種立體形狀，分別涂黑白兩色的木制小玩具，去見波斯國王并向國王介紹這種游戲的玩法．國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，一天到晚興致勃勃地要那位數(shù)學家或者大臣陪他玩．高興之余，他便問那位數(shù)學家，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜呢？數(shù)學家開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8?！疵恳粋€次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的2倍，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了．“好吧！”國王揮揮手，慷慨地答應(yīng)了數(shù)學家的這個謙卑的請求．國王覺得，這個要求太低了，問他：“你怎么只要這么一點東西呢？”數(shù)學家笑著懇求道：“陛下還是叫管理國家糧倉的大臣算一算吧！”第二天，管理糧倉的大臣滿面愁容地向國王報告了一個數(shù)字，國王大吃一驚：“我的天！我哪來這么多的麥子？”這個玩具也隨著這個故事傳遍全世界，這就是今日的國際象棋．假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，那么，數(shù)學家要求的麥粒的總質(zhì)量究竟是多少呢？由此傳說向?qū)W生發(fā)問：怎樣算出小麥的總質(zhì)量呢？
思路2.(問題導入)買24枚釘子，第一枚14分錢，第二枚12分錢，第三枚1分錢，以此類推，每一枚釘子的錢是前一枚的2倍，共要多少錢？請學生想一想，多數(shù)學生認為大概沒有多少錢，結(jié)果一算嚇一跳，大約要4萬2千元．事實上，這是等比數(shù)列的求和問題，即S＝14＋12＋1＋2＋…＋221＝？那么怎樣求等比數(shù)列的前n項和呢？在學生急于揭開謎底的強烈欲望下展開新課的探究．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)回憶等差數(shù)列前n項和公式的推導過程，是用什么方法推導的？
(2)對任意數(shù)列{an}，前n項和與通項an的關(guān)系是什么？
(3)對首項為1的等比數(shù)列{an}，你能探究它的前n項和嗎？
(4)對任意等比數(shù)列{an}，怎樣推導它的前n項和公式呢？你能聯(lián)想到哪些推導思路？
(5)對于思路1中麥粒問題，國王應(yīng)發(fā)給數(shù)學家多少麥粒？對于Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1的兩邊為什么要乘以2而不是乘以3或4呢？
活動：教師引導學生回憶前面學過的等差數(shù)列前n項和問題，我們用倒序相加法推得了它的前n項和公式，并且得到了求等差數(shù)列通項公式的一個方法：an＝a1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2，還知道這個由數(shù)列Sn來確定an的方法適用于任何數(shù)列，且a1不一定滿足由Sn－Sn－1＝an求出的通項表達式．
類比聯(lián)想以上方法，怎樣探究等比數(shù)列的前n項和呢？我們先來探究象棋格里填麥粒的問題，也就是求S＝1＋2＋…＋263＝？讓學生充分觀察這個式子的特點，發(fā)現(xiàn)每一項乘以2后都得它的后一項，點撥學生找到解決問題的關(guān)鍵是等式左右同乘以2，再相減得和．通過這個問題的解決，先讓學生有一個感覺，就是等比數(shù)列的前n項和可化為一個比較簡單的形式，關(guān)鍵的問題是如何簡化．再讓學生探究首項為1的等比數(shù)列的前n項和，即1，q，q2，…，qn－1的前n項和．觀察這個數(shù)列，由于各項指數(shù)不同，顯然不能倒序相加減．但可發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，就是次數(shù)是依次增加的，教師引導學生模仿等差數(shù)列寫出兩個求和式子，給學生以足夠的時間讓其觀察、思考、合作交流、自主探究．
經(jīng)過教師的點撥，學生的充分活動，學生會發(fā)現(xiàn)把兩個Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1錯一個位，兩邊再同乘以公比q，那么相同的指數(shù)就對齊了．這一發(fā)現(xiàn)是突破性的智慧發(fā)現(xiàn)，是石破驚天的發(fā)現(xiàn)．這樣將Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1與qSn＝q＋q2＋q3＋…＋qn兩式相減就有(1－q)Sn＝1－qn，以下只需討論q的取值就可得到Sn了．
在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著一個特殊而且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法．我們將這種方法簡稱為“錯位相減法”．在解決等比數(shù)列的一般情形時，我們還可以使用“錯位相減法”．
如果記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
那么qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋anq，
要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1－q)Sn＝a1－anq.
這里要提醒學生注意q的取值．
如果q≠1，則有Sn＝a1－anq1－q.
上述過程我們略加變化一下，還可以得到如下的過程：
如果記Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
那么qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，
要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1－q)Sn＝a1－a1qn.
如果q≠1，則有Sn＝a11－qn1－q.
上述推導過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯位相減法”．
形式上，前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四個；后者出現(xiàn)的是a1，q，Sn，n四個，這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選擇的余地．
值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q≠1”的前提下得到的．言下之意，就是只有當?shù)缺葦?shù)列的公比q≠1時，我們才能用上述公式．
對于等比數(shù)列的一般情形，如果q＝1會是什么樣呢？學生很快會看出，若q＝1，則原數(shù)列是常數(shù)列，它的前n項和等于它的任一項的n倍，即Sn＝na1.由此我們得到等比數(shù)列{an}的前n項和的公式：
Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1或Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q，q≠1.
教師進一步啟發(fā)學生根據(jù)等比數(shù)列的特征和我們所學知識，還能探究其他的方法嗎？經(jīng)過學生合作探究，聯(lián)想初中比例的性質(zhì)等，我們會有以下推導方法：
思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q，
再由合比定理，則得a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q，
即Sn－a1Sn－an＝q，
從而就有(1－q)Sn＝a1－anq.
當q＝1時，Sn＝na1，當q≠1時，Sn＝a1－anq1－q.
思路二：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，得
Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)＝a1＋q(Sn－an)，
從而得(1－q)Sn＝a1－anq.
(以下從略)
在思路二中，我們巧妙地利用了Sn－Sn－1＝an這個關(guān)系式，教師再次向?qū)W生強調(diào)這是一個非常重要的關(guān)系式，應(yīng)引起足夠的重視，幾乎在歷年的高考中都有它的影子．但要注意這里n≥2，也就是n的取值應(yīng)使這個關(guān)系式有意義，若寫Sn－1－Sn－2＝an－1，則這里n≥3，以此類推．
教師引導學生對比等差數(shù)列的前n項和公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，從方程角度認識這個公式，以便正確靈活地運用它．(1)在等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共有a1，an，n，q，Sn五個量，只要知道其中任意三個量，都可以通過建立方程(組)等手段求出其余兩個量；(2)在應(yīng)用公式求和時，應(yīng)注意到公式的使用條件q≠1，當q＝1時，應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和問題時，常應(yīng)分類討論q＝1與q≠1兩種情況．
討論結(jié)果：(1)倒序相加法；
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
(3)利用錯位相減法；
(4)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)；
(5)乘以2的目的是為了錯位相減，共有麥粒264－1(顆)，每千粒麥子按40g計算，共約7000億噸．
應(yīng)用示例
例1求下列等比數(shù)列的前8項的和：
(1)12，14，18，…；
(2)a1＝27，a9＝1243，q＜0.
活動：本例目的是讓學生熟悉公式，第(1)小題是對等比數(shù)列的前n項和公式的直接應(yīng)用；第(2)小題已知a1＝27，n＝8，還缺少一個已知條件，由題意顯然可以通過解方程求得公比q.題目中要求q＜0，一方面是為了簡化計算，另一方面是想提醒學生q既可為正數(shù)，又可為負數(shù)．本題中由條件可得q8＝a9a1＝1243×27，再由q＜0可得q＝－13.將所得的值代入公式就可以了．本例可由學生自己探究解答．
解：(1)因為a1＝12，q＝12，所以當n＝8時，S8＝12[1－128]1－12＝255256.
(2)由a1＝27，a9＝1243，可得q8＝a9a1＝1243×27，
又由q＜0，可得q＝－13，
于是當n＝8時，S8＝271－1243×271－－13＝164081.
點評：通過本例要讓學生熟悉方程思想，再次讓學生明確，等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式中共五個量：a1，an，q，n，Sn，五個量中已知任意三個就可以求出其余的兩個，其中a1，q為最基本的兩個量．同時提醒學生注意，由于等比數(shù)列涉及到指數(shù)問題，有時解題計算會很煩瑣，要注意計算化簡中的技巧，靈活運用性質(zhì)．
例2(教材本節(jié)例2)
活動：本例是等比數(shù)列求和公式的直接運用，引導學生結(jié)合方程思想，按算法的思路來解答．本例可由學生自己完成．
點評：通過本例讓學生明確，等比數(shù)列的通項公式和求和公式共涉及5個量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3個量就可以求出另外的2個量．
變式訓練
設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項的和為()
A．63B．64C．127D．128
答案：C
解析：∵a5＝a1q4，∴16＝q4.
又∵q＞0，∴q＝2.∴S7＝a11－q71－q＝127.

例3(教材本節(jié)例3)
活動：本例仍屬等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用．雖然原數(shù)列不是等比數(shù)列，不能用公式求和，但可這樣轉(zhuǎn)化：9＝10－1,99＝100－1,999＝1000－1，…，這樣就容易解決了．
點評：讓學生體會本例中的轉(zhuǎn)化思想．
變式訓練
求和：2＋22＋222＋…＋.
解：原式＝29(10－1)＋29(102－1)＋…＋29(10n－1)
＝29(10＋102＋…＋10n－n)
＝29[101－10n1－10－n]
＝2081(10n－1)－29n.

例4求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n項的和．
活動：教師引導學生觀察數(shù)列特點，其形式是{anbn}型數(shù)列，且{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．根據(jù)本節(jié)等比數(shù)列求和公式的推導方法，可采用錯位相減法進行求和．教學時可讓學生自己獨立探究，教師適時地點撥，要注意學生規(guī)范書寫．
解：當a＝1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，…，(2n－1)，
則Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2.
當a≠1時，有
Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②
①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2a1－an－11－a
＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a.
又1－a≠0，
∴Sn＝1－2n－1an1－a－2a－an1－a2.
點評：通過本例，讓學生反思解題時要善于識別題目類型，善于分類討論．在應(yīng)用錯位相減時，寫出的“Sn”與“qSn”的表達式應(yīng)特別注意將兩式“同項對齊”，以便于下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．
變式訓練
等差數(shù)列{an}中，a2＝8，S6＝66.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{Cn}的通項為Cn＝2n，求數(shù)列{anCn}的前n項和An.
解：(1)由已知，得a1＋d＝8，a1＋a662＝66，解得a1＝6，d＝2.
∴an＝2n＋4.
(2)由題意，知anCn＝(2n＋4)2n，
∴An＝621＋822＋1023＋…＋(2n＋4)2n.①
在上式中兩邊同乘以2，得
2An＝622＋823＋1024＋…＋(2n＋4)2n＋1.②
①－②，得－An＝621＋222＋223＋…＋22n－(2n＋4)2n＋1＝4－(2n＋2)2n＋1，
∴An＝(n＋1)2n＋2－4.

例5已知數(shù)列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…構(gòu)成一個新數(shù)列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…，此數(shù)列是首項為1，公比為13的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
活動：教師引導學生觀察新數(shù)列的各項，不難發(fā)現(xiàn)這樣一個事實：新數(shù)列的前n項和恰為an，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項為1，公比為13的等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列{an}的通項公式求出后，計算其前n項和Sn就容易多了．
解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n－1＝32[1－(13)n]．
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋…＋32[1－(13)n]
＝32{n－[13＋(13)2＋…＋(13)n]}
＝32n－34[1－(13)n]
＝34(2n－1)＋14(13)n－1.
點評：本例思路新穎，方法獨特，解完本例后教師引導學生反思本例解法，注意平時學習中培養(yǎng)思路的靈活性．
知能訓練
1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于()
A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3
2．在等比數(shù)列{an}中，
(1)已知a2＝18，a4＝8，求a1與q；
(2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
答案：
1．C解析：∵S6∶S3＝1∶2，
由a11－q61－q＋a11－q31－q＝12，得q3＝－12.
∴S9S3＝1－q91－q3＝34.
2．解：(1)由已知得a1q＝18，a1q3＝8.
解這個方程組，得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.
(2)根據(jù)題意，有a1q4－a1＝15，a1q3－a1q＝6.
方程兩邊分別相除，得a1q4－a1a1q3－a1q＝156.
整理，得2q2－5q＋2＝0.
解這個方程，得q＝2或q＝12.
當q＝2時，a1＝1；當q＝12時，a1＝－16.
所以a3＝4或a3＝－4.
課堂小結(jié)
1．由學生總結(jié)本節(jié)學習的內(nèi)容：等比數(shù)列前n項和公式的推導，特別是在推導過程中，學到了錯位相減法；在運用等比數(shù)列求和時，注意q的取值范圍是很重要的一點，需要放在第一位來思考．
2．等比數(shù)列求和公式有兩種形式，在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)題目所給的條件靈活選用，注意從方程的角度來觀察公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項公式共5個量，知三可求二，并注意解題中的化簡技巧．
作業(yè)
課本習題2—3B組2、3.[
設(shè)計感想
“探索是教學的生命線”，本教案設(shè)計體現(xiàn)以學生為本的思想．為了讓學生較好掌握本課內(nèi)容，本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學方法，同時采用設(shè)計變式題的教學手段進行教學．通過具體問題的引入，使學生體會數(shù)學源于生活．
本教案設(shè)計加強數(shù)學思想方法的訓練．因為數(shù)列內(nèi)容幾乎滲透了中學數(shù)學所有的數(shù)學思想方法，而數(shù)列模型運用中更是蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，這些思想方法對培養(yǎng)學生的閱讀理解能力、運算能力和邏輯思維能力等有著不可替代的作用．教學中應(yīng)充分讓學生體會這些思想方法的運用．
“問題是數(shù)學的心臟”，本教案設(shè)計注重了情境教學．通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得的成功．
(設(shè)計者：張曉君)

第2課時
導入新課
思路1.(情境導入)一個人為了積累養(yǎng)老金，他每個月按時到銀行存100元，銀行的年利率為4%，假設(shè)可以任意分段按復利計算，試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金？如果存款和復利按日計算，則他又有多少養(yǎng)老金？如果復利和存款連續(xù)計算呢？銀行復利計息的計算方法正是我們今天要探究的內(nèi)容，由此展開新課．
思路2.(習題導入)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，則數(shù)列前15項的和S15為()
A.112B.312C．5D．15
本題如果運用方程的思想，求數(shù)列{an}的首項a1和公比q之后再求S15，是一種常規(guī)思路，但運算量較大．可將原數(shù)列按一定規(guī)律重新組合成一個新的等比數(shù)列，S15又剛好是新數(shù)列前5項的和，新數(shù)列的首項和公比又容易求得，使得小題巧解．具體解法如下：
解析：設(shè)b1＝a1＋a2＋a3＝8；b2＝a4＋a5＋a6＝－4；…；b5＝a13＋a14＋a15，
則b1，b2，b3，b4，b5構(gòu)成一個等比數(shù)列，其首項為8，公比為－12.
故S15＝S5′＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝112.選A.
由此展開本課的進一步探究．
答案：A
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶等比數(shù)列前n項和公式的推導過程，是用什么方法推導的？需要注意什么問題？
2比較等差、等比數(shù)列的前n項和公式，從推導方法到應(yīng)用有什么不同？怎樣從方程的角度理解等比數(shù)列的求和公式？
3利用等比數(shù)列求和的關(guān)鍵是什么？
4你能對等差、等比數(shù)列求和問題作一歸納總結(jié)嗎？
5應(yīng)用等比數(shù)列可解決哪些類型的實際問題？
活動：教師引導學生回憶上節(jié)課所學的等比數(shù)列的求和公式，通過“錯位相減”的思路方法很巧妙地將等式Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1的兩邊同乘以該數(shù)列的公比q，使得等式右邊各項都向右錯了一位；然后通過求Sn－qSn把相同項消去，達到簡化的目的，最后解出Sn.這種求和方法具有普通性，教師再次引導學生回顧這種求和方法的精髓，注意的問題是必須注意q是否等于1，如果不確定，就應(yīng)分q＝1與q≠1兩種情況或更多的情況進行討論．
等比數(shù)列求和的關(guān)鍵與等差數(shù)列求和一樣，在于數(shù)列通項公式的表達形式，由通項公式的形式特點確定相應(yīng)的求和方法．為了達到求和時的簡化運算，應(yīng)充分利用等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)．(1)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝an－1(a≠0,1)，則{an}成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列；若項數(shù)為2n(n∈N*)，則S偶S奇＝q.
應(yīng)用等比數(shù)列可解決的實際問題有：產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖、貸款利率、增長率等方面的問題．解決方法是建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列知識解決問題，要讓學生明了數(shù)列的實際應(yīng)用一直是全國各地市高考的熱點、重點，考題的形式多種多樣，難度為中、高檔．
等比數(shù)列求和問題作為數(shù)列的重要內(nèi)容之一，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，教學時可與等差數(shù)列對比，歸納、總結(jié)．
(1)求和問題可以利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式解決，在具體問題中，既要善于從數(shù)列的通項入手觀察數(shù)列的特點與變化規(guī)律，又要注意項數(shù)．
(2)非等差(比)的特殊數(shù)列求和題通常的解題思路是：
①設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思考方法往往通過通項分解或錯位相減來完成．
②不能轉(zhuǎn)化為等差(比)的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法和倒序相加法求和．一般地，如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯位相減法；如果每項可寫成兩項之差一般可用拆項法；如果能求出通項，可用拆項分組法．
(3)數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項公式的表達形式，根據(jù)通項公式的形式特點，觀察采用哪種方法是這類題的解題訣竅．
(4)通項公式中含有(－1)n的一類數(shù)列，在求Sn時要注意需分項數(shù)n的奇偶性討論．
討論結(jié)果：(1)(2)(3)(5)略．
(4)數(shù)列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法，這也是高考?？嫉膸追N求和方法．
例1某商場今年銷售計算機5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30000臺？(結(jié)果保留到個位)
活動：教師引導學生探究，根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一個已知Sn＝30000求n的問題．本例的解答應(yīng)先根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式列方程，再用對數(shù)的知識解方程．
解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列{an}，
其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000.
于是得到50001－1.1n1－1.1＝30000，
整理，得1.1n＝1.6，
兩邊取對數(shù)，得nlg1.1＝lg1.6，
用計算器算得n＝lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年)．
答：大約5年可以使總銷售量達到30000臺．
點評：本例是一道關(guān)于等比數(shù)列模型的應(yīng)用題，需要從實際問題中抽象出等比數(shù)列模型．從實際背景的角度講，本例的設(shè)計一方面是想讓學生了解計算機日益普及，其銷量越來越大；另一方面，對于一個商場來講，為實現(xiàn)一定的商品銷售目標而制訂計劃也是一件自然的事情．
變式訓練
某市2003年共有1萬輛燃油型公交車．有關(guān)部門計劃于2004年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：
(1)該市在2010年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？
(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13？
解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an}，
其中a1＝128，q＝1.5，
則在2010年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7＝a1q6＝128×1.56＝1458(輛)．
(2)記Sn＝a1＋a2＋…＋an，依據(jù)題意，得Sn10000＋Sn＞13.
于是Sn＝1281－1.5n1－1.5＞5000(輛)，
即1.5n＞65732，則有n－lg65732lg1.5≈7.5，
因此n≥8.
所以，到2011年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13.

例2(教材本節(jié)例4)
活動：這是本單元教材安排的最后一道例題．教師引導學生寫出每個月的產(chǎn)值，建立等比數(shù)列的數(shù)學模型，通過數(shù)量分析理解任一月份的計算表達式和求總和的計算方法．
例3某教師購買安居工程集資房72m2，單價為1000元/m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔．房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款，每期為1年，等額付款．簽訂購房合同后，1年付款1次，再過1年又付款1次等等，共付10次，10年后還清．如果按年利率7.5%，每年復利1次計算，那么每年應(yīng)付多少元？(計算結(jié)果精確到百元．下列數(shù)據(jù)供參考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)
活動：教師引導學生理清問題中的基本數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列的模型，然后按等比數(shù)列的知識就很容易解決了．本例由教師與學生共同探究完成．
解：設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后1次付款時付款金額的本利和為x(1＋1.075＋1.0752＋1.0753＋…＋1.0759)元；
購房余款10年后的本利和為[1000×72－(28800＋14400)]1.07510＝28800×1.07510元，根據(jù)10年后還清，得
x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝28800×1.07510，
∴x＝28800×1.07510×1.075－11.07510－1≈4200(元)，
即每年應(yīng)付4200元．
點評：解決本例的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型．分期付款以及新生利息之和，應(yīng)等于購房個人分擔部分10年后的本息和．
變式訓練
假如一個人得到了一條消息，他偷偷地告訴了兩個朋友，半小時后這兩個朋友又各自偷偷地告訴了自己的兩個朋友．如果每個得到消息的人在半小時內(nèi)把這一消息告訴兩個朋友，計算一下，24小時后有多少人知道了這條消息？
解：按題意，半小時有1＋2人，一小時有1＋2＋22人，…，設(shè)24小時后有x人知道，則x＝1＋2＋22＋23＋…＋248，
2x＝2＋22＋23＋24＋…＋249，
兩式相減得x＝249－1.
利用對數(shù)計算可知x≈5.61×1014.
也就是說從第一個人知道消息開始，只過了一天時間，就有五百六十一萬億人知道了這條消息．

例4某地現(xiàn)有居民住房的總面積為am2，其中需要拆除的舊住房面積占了一半，當?shù)赜嘘P(guān)部門決定在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情況下，仍以10%的住房增長率建新住房．
(1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房總面積x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)過10年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是多少？(保留到小數(shù)點后第1位)
解：(1)根據(jù)題意，可知
1年后住房總面積為1.1a－x；
2年后住房總面積為1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
3年后住房總面積為1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……；
10年后住房總面積為1.110a－1.19x－1.18x－…－1.1x－x
＝1.110a－1.110－11.1－1x＝2.6a－16x.
由題意，得2.6a－16x＝2a.解得x＝380a(m2)．
(2)所求百分比為a2－380a×102a＝116≈6.3%.
答：每年應(yīng)拆除的舊住房總面積為380am2，過10年還未拆除的舊房總面積占當時住房總面積的百分比是6.3%.
知能訓練
1．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，求證：S7，S14－S7，S21－S14成等比數(shù)列．設(shè)k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？
2．家用電器一件，現(xiàn)價2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每月為一期，購買一個月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應(yīng)付款多少？(1.00812＝1.1)
答案：
1．證明：∵S14－S7＝(a1＋a2＋…＋a14)－(a1＋a2＋…＋a7)
＝a8＋a9＋…＋a14
＝a1q7＋a2q7＋…＋a7q7
＝S7q7.
同理，S21－S14＝q14S7，
∴S7(S21－S14)＝(S14－S7)2.
可用同樣的方法證明Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列．
2．解：設(shè)每期付款x元，則
第1期付款后還欠款2000(1＋0.008)－x＝20001.008－x，
第2期付款后還欠款[2000(1＋0.008)－x]1.008－x＝20001.0082－1.008x－x，
…，
第12期付款后欠款應(yīng)為0，
所以有20001.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0，
∴x＝20001.008121.00812－11.008－1≈175.46(元)，
即每期付款175.46元．
課堂小結(jié)
1．由學生自己總結(jié)本節(jié)所探究的內(nèi)容與方法：教育儲蓄中的計算問題，用計算機程序計算數(shù)列的求和問題等．其中等比數(shù)列應(yīng)用問題的解決是個重點，其特點是綜合性強、立意新、角度寬、難度大，因而在解題中務(wù)必注重基礎(chǔ)、凸現(xiàn)能力，靈活掌握．
2．學完本節(jié)后，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，多方查找資料，進一步拓展數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用問題，培養(yǎng)主動探究問題、解決問題的能力，提高我們的創(chuàng)新意識和團結(jié)協(xié)作的精神．
作業(yè)
1．課本習題2—3A組8、9、10；習題2—3B組，4選做．
2．利用網(wǎng)絡(luò)資源，探究分期付款問題．
設(shè)計感想
本教案注重知識過程的教學，要求學生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學習，學會發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在活動中進一步提升自己的能力．
本教案設(shè)計體現(xiàn)了本章教材設(shè)置理念．本章各節(jié)內(nèi)容均由“實例分析”或“問題提出”創(chuàng)設(shè)問題情境，這些具有代表性和趣味性的問題將內(nèi)容自然引入，再通過對問題的分析和解決，由特殊過渡至一般．
等比數(shù)列及其求和問題作為數(shù)列一章的最后一個內(nèi)容，蘊含著極大的寶藏，是一個進行研究性學習的好題材．有人說“學情決定教法”，但反過來“教法也能造就學情”．在教學中注意激發(fā)學生的創(chuàng)造熱情，培養(yǎng)學生的主動精神，以充分發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容的教育功能．
備課資料
一、關(guān)于銀行利率問題的探究
問題：
(1)依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少元？
(2)依教育儲蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少元？
(3)依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元？
(4)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，每月應(yīng)存入多少元？
(5)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元，每月應(yīng)存入多少元？
(6)依教育儲蓄方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到了4年時，學生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(7)依教育儲蓄方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到了b年時，學生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
(8)不用教育儲蓄方式，而用其他的儲蓄方式，以每月可存100元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標準可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教育儲蓄比較．
探究活動：
這是一個關(guān)系到我國每一個家庭的社會生活中的實際問題，其中大部分的計算都是用數(shù)列的知識．在解決這個問題前，我們先熟悉一下這方面的有關(guān)政策及銀行的業(yè)務(wù)知識．
銀行關(guān)于教育儲蓄的管理辦法(節(jié)選)
管理辦法
第七條教育儲蓄為零存整取定期儲蓄存款．存期分為一年、三年和六年．最低起存金額為50元，本金合計最高限額為2萬元．開戶時儲戶應(yīng)與金融機構(gòu)約定每月固定存入的金額，分月存入，中途如有漏存，應(yīng)在次月補齊，未補存者按零存整取定期儲蓄存款的有關(guān)規(guī)定辦理．
第八條教育儲蓄實行利率優(yōu)惠．一年期、三年期教育儲蓄按開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計息；六年期按開戶日五年期整存整取定期儲蓄存款利率計息．
第十一條教育儲蓄逾期支取，其超過原定存期的部分，按支取日活期儲蓄存款利率計付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲蓄存款利息所得稅．
第十二條教育儲蓄提前支取時必須全額支取，提前支取時，儲戶能提供“證明”的，按實際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計付利息，并免征儲蓄存款利息所得稅；儲戶未能提供“證明”的，按實際存期和支取日活期儲蓄存款利率計付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲蓄存款利息所得稅．
銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算公式是：
若每月固定存a元，連續(xù)存n個月，則計算利息的公式為a1＋nn2×月利率．若設(shè)月利率為q，則這個公式實際上是數(shù)列aq,2aq,3aq，…，naq，…的前n項和．
用數(shù)學語言來說，這是個首項為aq，公差為aq的等差數(shù)列．從這個公式中我們知道，銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算不是按復利(利生息——利滾利)計算的．
我們把這樣的計算利息的方法叫做按單利(利不生息——利不滾利)計算．
這是我們在計算時必須弄明白的，否則，我們計算的結(jié)果就會與銀行計算的實際結(jié)果不一致．
我們還需要了解銀行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息稅率：
三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%；
五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.2325%；
三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.1575%；
利息稅率為20%.
有了以上預備知識，我們來探究前面提出的八個問題：
(1)因為三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%，故依教育儲蓄的方式，每月存入50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
50＋50×36×362×0.21%＋1800＝1869.93(元)．
因為五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.2325%，故依教育儲蓄的方式，若每月存入50元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共
50＋50×72×722×0.2325%＋3600＝3905.50(元)．
(2)每月存入a元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
a＋a×36×362×0.21%＋36a(元)．
若每月存入a元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共
a＋a×72×722×0.2325%＋72a(元)．
(3)因為三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.1575%，故每月存50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共
50＋50×36×362×0.1575%×80%＋1800＝1841.96(元)．
比教育儲蓄的方式少收益27.97(元)．
(4)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得
x＋x×36×362×0.21%＋36x＝10000.
解得x≈267.39(元)，即每月應(yīng)存入267.39(元)．
(5)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得
x＋x×36×362×0.21%＋36x＝10000a.
解得x＝10000a37.3986＝267.39a，即每月應(yīng)存入267.39a(元)．
(6)根據(jù)銀行出臺的教育儲蓄《管理辦法》，需要提前支取的，在提供證明的情況下，按實際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計付利息，并免征儲蓄存款利息所得稅．故該學生支取時，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算．由計算公式得
100＋100×48×482×0.21%＋4800＝5046.96(元)．
(7)與第(6)小題類似，應(yīng)根據(jù)實際存期進行同檔次計算．
一到兩年的按一年期整存整取計息．一年期整存整取存款年利率為1.98%，月利率為0.165%，故當b＝1或2時，由計算公式得
a＋a×12b×12b2×0.165%＋12ab(元)．
當b＝3或4或5時，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算．根據(jù)計算公式得
a＋a×12b×12b2×0.21%＋12ab(元)．
(8)此題可以選擇多種儲蓄方式，學生可能提供多個結(jié)果，只要他們計算方式符合規(guī)定的儲蓄方式即可．教師可以組織學生討論，然后選擇一個最佳答案．
在上述探究問題的過程中，學到了許多課本上沒有的東西，增長了一些銀行存款的知識．可以鼓勵學生用這些知識去規(guī)劃一下自己將來接受教育的存款計劃，并與家長商量，看能不能付諸現(xiàn)實；也可以為身邊的親朋好友當個小參謀，把學到的知識講解給他們聽一聽．
從生產(chǎn)實際和社會生活中，我們還能尋找到更多的探究題材，只要我們做個有心人，我們學到的知識就能與生產(chǎn)實際與社會生活緊密地結(jié)合起來．
以下實例供參考
銀行按規(guī)定在一定時間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計算方法叫做復利，現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案——一次性貸款10萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案——每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年卻比前一年增加利潤5千元，兩種方案使用期都是10年，到期一次性還本付息，若銀行貸款利息均按年息10%的復利計算，試比較兩方案的優(yōu)劣．(計算時，精確到千元，并取1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解：甲方案10年共獲利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63，
到期時，銀行貸款本息為10(1＋10%)10≈25.94.
∴按甲方案扣除貸款本息后，凈收益為42.63－25.94＝16.7(萬元)．
乙方案10年共獲利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝101＋5.52＝32.5，
到期時，銀行貸款本息為1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9＝1.110－11.1－1≈15.94.
∴按乙方案扣除貸款本息后，凈收益為32.5－15.94＝16.6(萬元)．
∴甲方案略優(yōu)于乙方案．
當貸款期限大于10年時，甲方案的優(yōu)越性更大；當貸款期限小于10年時，則乙方案較優(yōu)．
二、備用習題
1．已知集合An＝{x|2n＜x＜2n＋1，且x＝7m＋1，m、n∈N*}，則A6中各元素的和為…
()
A．792B．890C．891D．990
2．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)，經(jīng)過3小時，這種細菌由一個可以繁殖成()
A．511個B．512個C．1023個D．1024個
3．在等比數(shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a21＋a22＋…＋a2n等于()
A．(2n－1)2B.13(2n－1)2C．4n－1D.13(4n－1)
4．設(shè)f(x)＝3x3x＋3，則f(1101)＋f(2101)＋…＋f(100101)＝__________.
5．數(shù)列{an}的通項an＝2n－12n，其前n項的和Sn＝__________.
6．用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，…，以此類推，每一層都用去了上次剩下磚塊的一半多一塊，到第十層恰好把磚塊用完，問共有多少塊磚？
7．某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1999年底全縣的綠化率已達到30%.從1999年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?br> (1)設(shè)全縣面積為1,1999年底綠洲面積為a1＝310，經(jīng)過一年(指2000年底)綠洲面積為a2，經(jīng)過n年綠洲面積為an＋1，求證：an＋1＝45an＋425.
(2)問至少經(jīng)過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%？(年取整數(shù))(lg2≈0.3010)
8．下圖是一個計算機裝置示意圖，J1、J2是數(shù)據(jù)入口，C是計算結(jié)果的出口．計算過程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n，經(jīng)過計算后得自然數(shù)k由C輸出，若此種計算機裝置完成的計算滿足以下三個性質(zhì)：
①若J1、J2分別輸入1，則輸出結(jié)果是1；
②若J1輸入任何固定自然數(shù)不變，J2輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大2；
③若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來的2倍．
試問：(1)若J1輸入1，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？
(2)若J2輸入1，J1輸入自然數(shù)m，輸出結(jié)果為多少？
(3)若J1輸入自然數(shù)m，J2輸入自然數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？
參考答案：
1．C解析：令n＝6，得26＜x＜27，即64＜x＜128.
用64＜7m＋1＜128，
解得9＜m＜1817，且m∈N*.
∴m＝10,11,12，…，18.
∴x＝7×10＋1,7×11＋1，…，7×18＋1共9個數(shù)．
2．B解析：細菌繁殖問題為一個等比數(shù)列，首項為1，公比為2，經(jīng)過3小時分裂9次．因此末項為a10，
∴a10＝a1q9＝29＝512.
3．D解析：∵Sn＝2n－1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.
又a1＝S1＝21－1＝20，
∴an＝2n－1.
∴a21＝1.
∴a2n＝(2n－1)2＝4n－1，a2n＋1a2n＝4.
∴a21＋a22＋…＋a2n＝1－4n1－4＝13(4n－1)．
4．答案：50
解析：直接求和幾乎不可能，而隱蔽的信息是1101＋100101＝1，2101＋99101＝1，…，于是猜想：如果x1＋x2＝1，則f(x1)＋f(x2)是一個常數(shù)，經(jīng)檢驗，果然為1，則所求之和為50.
5．答案：3－2n2n
解析：Sn＝12＋34＋58＋716＋…＋2n－12n，
12Sn＝14＋38＋516＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1，兩式相減，得
12Sn＝12＋24＋28＋216＋…＋22n－2n－12n＋1
＝12＋2(14＋18＋116＋…＋12n)－2n－12n＋1，
∴Sn＝1＋4(14＋18＋116＋…＋12n)－2n－12n
＝1＋414[1－12n－1]1－12－2n－12n
＝3－2n2n.
6．解：設(shè)從上層到底層磚塊數(shù)分別為a1，a2，…，an，則an＝12Sn＋1，從而a1＝2，當n≥2時，an－an－1＝12(Sn－Sn－1)＝12an，即an＝2an－1(n≥2，n∈N*)．因此，每層磚塊數(shù)構(gòu)成首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故S10＝21－2101－2＝2046(塊)．
7．(1)證明：設(shè)1999年底沙漠面積為b1，經(jīng)過n年，沙漠面積為bn＋1，則a1＋b1＝1，且an＋bn＝1.
因為綠洲面積an＋1由兩部分組成，一部分是原有綠洲面積an減去被侵蝕的面積an－4100an＝96100an；另一部分是新綠洲面積16100bn，
所以an＋1＝96100an＋16100bn＝96100an＋16100(1－an)，
得an＋1＝45an＋425(n≥1)．
(2)解：∵an＋1－45＝45an－1625，
∴an＋1－45＝45(an－45)．
令cn＝an－45，則cn＋1＝45cn.
∴數(shù)列{cn}是公比為45的等比數(shù)列．
故cn＝c1(45)n－1＝(a1－45)(45)n－1＝(－12)(45)n－1.
an＝cn＋45＝45－12(45)n－1(n≥1)，
令an≤60100＜an＋1，即45－12(45)n－1≤35＜45－12(45)n，
得(45)n＜25≤(45)n－1，
兩邊取對數(shù)，得nlg45＜lg25≤(n－1)lg45，
則lg0.4lg0.8＜n≤lg0.4lg0.8＋1.
∵lg0.4lg0.8＝2lg2－13lg2－1≈2×0.3010－13×0.3010－1≈4.1，
∴4.1＜n≤5.1，
即約經(jīng)過5年的努力，綠洲面積可超過60%.
8．解：依題意，設(shè)f(m，n)＝k，則f(1,1)＝1，f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
(1)∵f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，
即f(1，n＋1)－f(1，n)＝2，
∴f(1,1)，f(1,2)，f(1,3)，…，f(1，n)，…組成以f(1,1)＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴f(1，n)＝f(1,1)＋2(n－1)＝2n－1.
(2)∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，即fm＋1，1fm，1＝2，
∴f(1,1)，f(2,1)，…，f(m,1)，…組成以f(1,1)＝1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴f(m,1)＝f(1,1)2m－1＝2m－1.
(3)∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
∴f(m,1)，f(m,2)，f(m,3)，…，f(m，n)，…組成以f(m,1)為首項，2為公差的等差數(shù)列．
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2.
點評：本題立意新穎，與生活、科技很貼近，富有時代氣息．解決本題的關(guān)鍵是理解透題意，建立數(shù)列模型．

精選閱讀

《等比數(shù)列前n項和》教案分析

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為教師就要好好準備好一份教案課件。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。您知道教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編為大家整理的“《等比數(shù)列前n項和》教案分析”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

《等比數(shù)列前n項和》教案分析

一、教材分析
1、地位和作用
《等比數(shù)列的前n項和公式》這一節(jié)內(nèi)容是在學生學習了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式的基礎(chǔ)上進行的。是進一步學習數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。
2、重點和難點
本節(jié)課的重點就是等比數(shù)列的前n項和公式及其初步應(yīng)用；難點是公式的推導方法。
3、教學目標
基于以上分析，按照《教學大綱》的要求及學生的素質(zhì)確定以下教學目標：
認識目標：理解并掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其推導方法；熟練掌握運用公式求和。
素質(zhì)目標：向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類與討論等數(shù)學思想。培養(yǎng)學生良好的學習習慣和數(shù)學思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)。
4、教學方法
本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵—發(fā)現(xiàn)”式教學模式進行教學。該模式能夠?qū)⒔虒W過程中的各要素，如教師、學生、教材、教法等進行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學氛圍。
5、教學手段
教學中，利用投影儀、微機這些現(xiàn)代化教學媒體來激發(fā)學生的學習興趣，啟迪學生思維，增大課堂容量，提高課堂效率。
二、教學過程
1、課題的引入
首先給出以下實例
引例：某建筑隊，由于資金短缺，向某磚廠賒借紅磚蓋房，雙方約定，在一個月（30天）內(nèi)，磚廠每天向建筑隊提供10000塊磚，為了還本付息，建筑隊第一天要向廠方返還1塊磚，第二天返還2塊磚，第三天返還4塊磚，……。即每天返還的磚數(shù)是前一天的2倍，請問，假如你是廠長或是建筑隊長，你會在這個合約上簽字嗎？
這是一個懸念式的實例，后面的“假如”又把學生帶入了實例創(chuàng)設(shè)的情境，讓學生直接參與了“市場經(jīng)濟”。根據(jù)心理學，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學生自覺不自覺地參與了情境中的角色，這樣他們的學習積極性和思維活動就會極大的調(diào)動起來。
在教師的誘導下，學生根據(jù)自己掌握的知識和經(jīng)驗，很快建立起兩個等比數(shù)列的數(shù)學模型。
（演示）如屏幕顯示，數(shù)列{an}是以10000為首項，1為公比的等比數(shù)列，即常數(shù)列。數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列。
當學生躍躍欲試要求這兩個數(shù)列的和的時候，課題的引入已經(jīng)水到渠成。教師再由特殊到一般、具體到抽象的啟示，正式引入課題。
2、公式的推導
這里我講述的主要是怎樣利用多媒體激勵、啟發(fā)學生思維，突破教材難點。
等比數(shù)列有兩大類：公比q=1和q1兩種情形
當q=1時，Sn=na1
當q1時，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=
q1時，Sn的結(jié)果是怎么推導出來的呢？本節(jié)課的難點就在于此。
預習過課本的學生會知道這個結(jié)果以及推導過程，但是他們知其然而不知其所以然，可以說大部分學生根據(jù)他們掌握的知識和經(jīng)驗是難以推出這個公式的。
因此，要通過復習等差數(shù)列的求和公式，借助推導等差數(shù)列求和公式的方法，找出推導等比數(shù)列的前n項和公式的方法來！
（演示）下面演示一下等差數(shù)列的前n項和公式的推導過程。
現(xiàn)在將a1與an，a2與an-1，所有與首末等距兩項交換位置，得到Sn的倒序和的形式。然后兩式相加。這樣2Sn就是一個有n項的每一項都是a1+an的常數(shù)列。從而導出了Sn的公式。
等差數(shù)列的求和方法是根據(jù)等差數(shù)列的特點和根據(jù)學生的知識結(jié)構(gòu)和認知水平產(chǎn)生的，形式上是倒序相加，本質(zhì)上就是消去數(shù)列中項與項之間的差異，構(gòu)造一個新的各項相同的常數(shù)列，然后根據(jù)常數(shù)列的和導出Sn的公式來。
那么等比數(shù)列是不是也可以用倒序相加的方法，構(gòu)造出一個常數(shù)列或者部分常數(shù)列呢？讓學生親自去試一試，結(jié)果呢？
顯然倒序是行不通的。
這時教師的主要任務(wù)是要讓學生的思維迅速發(fā)散——從倒序相加的定勢中解脫出來。抓住學生迫切想解決這個問題的心態(tài)，及時地通過媒體進行啟發(fā)。老師要告訴學生，構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的思路是正確的。既然倒序行不通，那么還有沒有其它的方式構(gòu)造常數(shù)列呢？
接著要引導學生從等比數(shù)列的定義出發(fā)，進一步認識等比數(shù)列從第二項起，每一項都是前一項的q倍，也就是說將每一項乘以q以后就變成了它的后一項，那么將Sn這個和式的兩邊同時乘以q，在qSn這個和式中的第一項就是Sn的第二項也就是Sn和qSn之間產(chǎn)生了一個錯位。由兩個和式能否構(gòu)造常數(shù)列或者部分常數(shù)列的和式呢？相加行不行？顯然不行！相減行不行？顯然行。
將Sn和qSn相減后，中間就得到了n－1項各項都是0的常數(shù)列,找到了這個常數(shù)列，難點就突破了，Sn的導出就容易了，導出了Sn就基本上達到了本節(jié)課的認知目標。
為了加深理解，這時還應(yīng)該對等差、等比兩種數(shù)列的求和公式的推導過程進行類比和分析：
兩種數(shù)列求和的基本思路都是構(gòu)造常數(shù)列，構(gòu)造常數(shù)列的思想也是其他一些數(shù)列求和的基本思想。等比數(shù)列在構(gòu)造常數(shù)列的過程中，采用“錯位相減”，等差數(shù)列采用的是“倒序相加”，倒序相加本質(zhì)上也是“錯位相加”，是一種大幅度的“錯位相加”，等比數(shù)列只不過是步幅為1的小幅度的“錯位相加”。說明一下，在Sn的和式中，兩邊同時乘以q是解決問題——構(gòu)造常數(shù)列的關(guān)鍵所在，是推導等比數(shù)列求和公式的一把鑰匙。
所以，這兩種數(shù)列的求和公式的推導方法，從數(shù)學思想和數(shù)學方法上來講是一致的，但是它們也有差異，即錯位的方法不同。正是由于這種差異，教師才有了更大的教學空間。當教師把學生從“倒序相加”的思維定式中引導出來的時候，學生的數(shù)學思維的深刻性、廣闊性等思維品質(zhì)就得到了提高，思維品質(zhì)提高了，思維能力也就提高了。這樣，這節(jié)課的認知目標和素質(zhì)目標就基本上都達到了。
3、公式的說明：
推導出公式之后，對公式的特征要加以說明，以便學生記憶。同時還要對公式的另一種表示形式和應(yīng)用中的注意事項加以說明。幫助學生弄清其形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延，為靈活運用公式打下基礎(chǔ)。
4、例題的處理
有了求和公式后，回頭讓學生親自計算一下引例中的磚數(shù)，從計算結(jié)果中讓學生明確實際問題的解決離不開數(shù)學，在市場經(jīng)濟中必須有敏銳的數(shù)學頭腦才行。
選取課本的例4作為例題。例題本身屬公式的直接應(yīng)用、簡單應(yīng)用，目的是加強對公式的認識和記憶；幫助學生明確解題步驟，規(guī)范解題格式，提高運算能力。
5、形成性練習：
例題處理后，設(shè)置一組形成性練習，作為對本節(jié)課的實時檢測。練習基本上是直接運用公式求和，三個練習是按由易到難、由簡單到復雜的認識規(guī)律和心理特征設(shè)計的，有利于提高學生的積極性。學生練習時，教師巡查，觀察學情，及時從中獲取反饋信息。對學生練習中出現(xiàn)的獨到解法提出表揚和鼓勵，對其中偶發(fā)性錯誤進行辨析、指正。通過形成性練習，培養(yǎng)學生的應(yīng)變和舉一反三的能力，逐步形成技能。
6、課堂小結(jié)
本節(jié)課的小結(jié)從以下幾個方面進行：
(1)等比數(shù)列的前n項和公式
(2)公式的推導方法——錯位相減法
（3）求和思路——構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。
通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養(yǎng)學生的歸納和概括能力。進一步完成認知目標和素質(zhì)目標。
7、課外作業(yè)
要求學生閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，提出公式還有無其它推導方法？作為本節(jié)課的的升華。

等比數(shù)列前n項和學案（2）

§2.5等比數(shù)列的前n項和(2)

學習目標
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式；
2.能用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際問題.

學習過程
一、課前準備
（預習教材P55~P56，找出疑惑之處）
復習1：什么是數(shù)列前n項和？等差數(shù)列的數(shù)列前n項和公式是什么？

復習2：已知等比數(shù)列中，，，求.

二、新課導學
※學習探究
練2.一個球從100m高出處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的一半再落下，當它第10次著地時，共經(jīng)過的路程是多少？（精確到1m）
三、總結(jié)提升
※學習小結(jié)
1.等比數(shù)列的前n項和公式；
2.等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法；
3.“知三求二”問題，即：已知等比數(shù)列之五個量中任意的三個，列方程組可以求出其余的兩個.
※知識拓展
1.若，，則構(gòu)成新的等比數(shù)列，公比為.
2.若三個數(shù)成等比數(shù)列，且已知積時，可設(shè)這三個數(shù)為.若四個同符號的數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)這四個數(shù)為.
3.證明等比數(shù)列的方法有：
（1）定義法：；（2）中項法：.
4.數(shù)列的前n項和構(gòu)成一個新的數(shù)列，可用遞推公式表示.
學習評價
※自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差

※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：
1.數(shù)列1，，，，…，，…的前n項和為（）.
A.B.
C.D.以上都不對
2.等比數(shù)列中，已知，，則（）.
A.30B.60C.80D.160
3.設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為2，且，那么（）.
A.B.C.1D.
4.等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，若，則它的前5項和為.
5.等比數(shù)列的前n項和，則a＝.

課后作業(yè)
1.等比數(shù)列中，已知

2.在等比數(shù)列中，，求.

等比數(shù)列前n項和學案（1）

§2.5等比數(shù)列的前n項和(1)

學習目標
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式；
2.能用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際問題.

學習過程
一、課前準備
（預習教材P55~P56，找出疑惑之處）
復習1：什么是數(shù)列前n項和？等差數(shù)列的數(shù)列前n項和公式是什么？

復習2：已知等比數(shù)列中，，，求.

二、新課導學
※學習探究
探究任務(wù)：等比數(shù)列的前n項和
故事：“國王對國際象棋的發(fā)明者的獎勵”

新知：等比數(shù)列的前n項和公式
設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是，公比為q≠0，

公式的推導方法一：
則
當時，①
或②
當q=1時，

公式的推導方法二：
由等比數(shù)列的定義，，
有，
即.
∴（結(jié)論同上）

公式的推導方法三：
＝
＝＝.
∴（結(jié)論同上）

試試：求等比數(shù)列，，，…的前8項的和.

※典型例題
例1已知a1=27，a9=，q0，求這個等比數(shù)列前5項的和.

變式：，.求此等比數(shù)列的前5項和.

例2某商場今年銷售計算機5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30000臺(結(jié)果保留到個位)?

※動手試試
練1.等比數(shù)列中，