高中拋物線教案

§2.3.2拋物線的幾何性質（１）。

§2.3.2拋物線的幾何性質（１）
【學情分析】：
由于學生具備了曲線與方程的部分知識，掌握了研究解析幾何的基本方法，因而利用已有橢圓與雙曲線的知識，引導學生獨立發(fā)現(xiàn)、歸納知識，指導學生在實踐和創(chuàng)新意識上下工夫，訓練基本技能。
【教學目標】：
（1）知識與技能：
熟練掌握拋物線的范圍，對稱性，頂點，準線，離心率等幾何性質。
（2）過程與方法：
重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養(yǎng)；啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考。
（3）情感、態(tài)度與價值觀：
培養(yǎng)嚴謹務實，實事求是的個性品質和數(shù)學交流合作能力，以及勇于探索，勇于創(chuàng)新的求知意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣與熱情。
【教學重點】：
熟練掌握拋物線的范圍，對稱性，頂點，準線，離心率等幾何性質。
【教學難點】：
熟練掌握拋物線的范圍，對稱性，頂點，準線，離心率等幾何性質及其應用。
【課前準備】：
Powerpoint或投影片
【教學過程設計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖

一、復習引入

1．已知拋物線的焦點坐標是F(0，－2)，求它的標準方程．
解：焦點在x軸負半軸上，=2，所以所求拋物線的標準方程是
2.填空：動點M與定點F的距離和它到定直線的距離的比等于e，則當0＜e＜1時，動點M的軌跡是橢圓；當e=1時，動點M的軌跡是拋物線；當e＞1時，動點M的軌跡是雙曲線．
3.復習橢圓、雙曲線幾何性質的主要內容：

通過離心率的填空引出拋物線。引起學生的興趣。
二、拋物線的幾何性質類比研究歸納拋物線的幾何性質：
引導學生填寫表格。通過對比，讓學生掌握拋物線的四種圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程。
三、例題講解例1已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點A（4,2），求這條拋物線的準線方程。
解：⑴若拋物線開口向右，
設拋物線的標準方程為
∵
∴
∴拋物線的標準方程為
⑵若拋物線開口向上，
設拋物線的標準方程為
∵
∴
∴拋物線的標準方程為

例2汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處。已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡的頂點距離是多少？
讓學生運用拋物線的幾何性質，寫出符合條件的拋物線的準線方程。

三、例題講解分析：依標準方程特點和幾何性質建系，由待定系數(shù)法求解，強調方程的完備性。
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，軸垂直于燈口直徑．
拋物線的標準方程為，由已知條件可得點的坐標是（40，30）且在拋物線上，代入方程得：，
所以所求拋物線的標準方程為，焦點坐標是.jAb88.Com

例3過拋物線的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，
求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．
分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．
證明：如圖．設AB的中點為E，過A、E、B分別向準線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，
因而圓E和準線相切．

運用拋物線的幾何性質解決現(xiàn)實生活中的問題，提高學生學習數(shù)學的興趣和綜合解題能力。

四、鞏固練習1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=（B）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，則的最小值為（B）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，若線段、的長分別是、，則=（C）
（A）（B）（C）（D）
4．過拋物線焦點的直線它交于、兩點，則弦的中點的軌跡方程是
5.定長為的線段的端點、在拋物線上移動，求中點到軸距離的最小值，并求出此時中點的坐標
（答案：,M到軸距離的最小值為）

6.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．
解法一：由焦半徑關系，設拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準線方
因為拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離|MF|與到準線的距離
得p=4．
因此，所求拋物線方程為y2=-8x．
又點M(-3，m)在此拋物線上，故m2=-8(-3)．
解法二：由題設列兩個方程，可求得p和m．由題意
在拋物線上且|MF|=5，故
分層訓練，讓學生牢牢掌握拋物線的幾何性質。

由學生演板．
五、課后練習1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．
（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8．
（2）頂點在原點，焦點在y軸上，且過P（4，2）點．
（3）頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P（m，－3）到焦點距離為5．

2．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準線上的射影是A2，B2，則∠A2FB2等于

3．拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程．

4．以橢圓的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢圓在準線所得的弦長．

5．有一拋物線型拱橋，當水面距拱頂4米時，水面寬40米，當水面下降1米時，水面寬是多少米？

6．已知拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點,其上一點M(2,m)到焦點的距離等于3,求拋物線方程及m值。

習題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．
5．米6．y2=4x,m=或
課后練習注意分層訓練，讓學生牢牢掌握拋物線的幾何性質。

練習與測試：
1.求適合下列條件的拋物線的方程：
（1）頂點在原點，焦點為（0，5）；
（2）對稱軸為x軸，頂點在原點，且過點（-3，4）。
2.若P（x0，y0）是拋物線y2=-32x上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則PF=（）。
（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+16
3.一個拋物線型拱橋，當水面離拱頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m，求水面寬度。
4.已知拋物線關于x軸為對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．
解：由題意，可設拋物線方程為，因為它過點，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．

5.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標準方程和焦點位置．
分析：這是拋物線的實際應用題，設拋物線的標準方程后，根據(jù)題設條件，可確定拋物線上一點坐標，從而求出p值．
解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑．
設拋物線的標準方程是(p＞0)．
由已知條件可得點A的坐標是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的拋物線標準方程為．

相關知識

拋物線的簡單幾何性質

俗話說，凡事預則立，不預則廢。教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學生能夠在教學期間跟著互動起來，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么如何寫好我們的教案呢？以下是小編為大家收集的“拋物線的簡單幾何性質”大家不妨來參考。希望您能喜歡！

2.3.2拋物線的簡單幾何性質
（一）教學目標：
1．掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質；
2．能根據(jù)拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論，在此基礎上列表、描點、畫拋物線圖形；
3．在對拋物線幾何性質的討論中，注意數(shù)與形的結合與轉化.
（二）教學重點：拋物線的幾何性質及其運用
（三）教學難點：拋物線幾何性質的運用
（四）教學過程：
一、復習引入：（學生回顧并填表格）
1．拋物線定義：平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線.
圖形

方程

焦點

準線

2．拋物線的標準方程：
相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即.
不同點：(1)圖形關于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關于y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為，左端為.（2）開口方向在x軸（或y軸）正向時，焦點在x軸（或y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在x軸（或y軸）負向時，焦點在x軸（或y軸）負半軸時，方程右端取負號.
二、講解新課：
類似研究雙曲線的性質的過程，我們以為例來研究一下拋物線的簡單幾何性質：
1．范圍
因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
2．對稱性
以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
3．頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點．
4．離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．
對于其它幾種形式的方程，列表如下：（學生通過對照完成下表）
標準方程圖形頂點對稱軸焦點準線離心率

注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離.
思考：拋物線有沒有漸近線？（體會拋物線與雙曲線的區(qū)別）
三、例題講解：
例1已知拋物線關于x軸為對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點，求它的標準方程，并用描點法畫出圖形．
分析：首先由已知點坐標代入方程，求參數(shù)p．
解：由題意，可設拋物線方程為，因為它過點，
所以，即
因此，所求的拋物線方程為．
將已知方程變形為，根據(jù)計算拋物線在的范圍內幾個點的坐標，得
x01234…
y022.83.54…
描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分
點評：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線．
例2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B，求線段AB的長.
解法1：如圖所示，由拋物線的標準方程可知，焦點F（1，0），準線方程x=—1.
由題可知，直線AB的方程為y=x—1
代入拋物線方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分別代入直線方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐標分別為（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：設A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=6,x1x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：設A（x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義可知，
|AF|等于點A到準線x=—1的距離|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
點評：解法2是利用韋達定理根與系數(shù)的關系，設而不求，是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡潔，值得引起重視。
變式訓練：過拋物線的焦點作直線，交拋物線于,兩點，若，求。
解：，，。
點評：由以上例2以及變式訓練可總結出焦點弦弦長：或。
四、達標練習：
1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=（）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，則的最小值為（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．過拋物線焦點的直線它交于、兩點，則弦的中點的軌跡方程是______
4.定長為的線段的端點、在拋物線上移動，求中點到軸距離的最小值，并求出此時中點的坐標.
參考答案：1.B2.B3.4.,M到軸距離的最小值為.
五、小結：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準線、中心等.
六、課后作業(yè)：
1．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖．
（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8．
（2）頂點在原點，焦點在y軸上，且過P（4，2）點．
（3）頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P（m，－3）到焦點距離為5．
2．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準線上的射影是A2、B2，則∠A2FB2等于.
3．拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程．
4．以橢圓的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢圓在準線所得的弦長．
5．有一拋物線型拱橋，當水面距拱頂4米時，水面寬40米，當水面下降1米時，水面寬是多少米？
習題答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．5．米
七、板書設計（略）

拋物線的簡單幾何性質（2）導學案

拋物線的簡單幾何性質（2）導學案
教學目標
1、掌握拋物線的幾何性質；2、拋物線與直線的關系。
學習過程
一、課前準備復習1：以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，且過點的拋物線的方程為（）
A、B、或
C、D、或
復習2：已知拋物線的焦點恰好是橢圓的左焦點，則
二、新課導學
★學習探究
探究：拋物線上一點的橫坐標為6，這點到焦點距離為10，則：
（1）這點到準線的距離為；
（2）焦點到準線的距離為；
（3）拋物線方程；
（4）這點的坐標是；
（5）此拋物線過焦點的最短的弦長為；
★典型例題
例1過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。

例2（理）已知拋物線的方程，直線過定點，斜率為，為何值時，直線與拋物線：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？
小結：（1）直線與拋物線的位置關系：相離、相交、相切；（2）直線與拋物線只有一個公共點時，它們可能相切，也可能相交。
★動手試一試
練習1直線與拋物線相較于A、B兩點，求證：
練習2垂直于軸的直線交拋物線于A、B兩點，且，求直線AB的方程。

三、總結提升
★學習小結
1、拋物線的幾何性質；
2、拋物線與直線的關系。
★知識拓展
過拋物線的焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，則為
定值，其值為。
四、鞏固練習
A組
1、過拋物線焦點的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|的最小值為（）
A．B．C．D．無法確定
2、拋物線的焦點到準線的距離是（）
A．B．5C．D．10
3、過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）
A．1條B．2條C．3條D．0條
4、若直線與拋物線交于A、B兩點，則線段AB的中點坐標是
B組
1、求過，且與拋物線有一個公共點的直線方程。

2、在拋物線上求一點P，使得點P到直線的距離最短。

3、已知拋物線，過上一點，且與處的切線垂直的直線稱為在點的法線。若在點的法線的斜率為，求點的坐標。

五、課后作業(yè)
1、已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線與直線交于兩點，，求拋物線的方程。
2、從拋物線上各點向軸作垂線段，求垂線段中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

高中數(shù)學選修1-12.3.2拋物線的幾何性質學案(蘇教版)

年級高二學科數(shù)學選修1-1/2-1
總課題2.4拋物線總課時第課時
分課題2.4.2拋物線的幾何性質分課時第1課時
主備人梁靚審核人朱兵上課時間
預習導讀(文)閱讀選修1-1第49--50頁，然后做教學案，完成前三項。
(理)閱讀選修2-1第52--53頁，然后做教學案，完成前三項。
學習目標1.會根據(jù)拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質；
2.初步理解四種形式的拋物線的幾何性質；
3.能簡單應用拋物線的性質解決有關拋物線的實際問題。
一、預習檢查
1．完成下表:
標準方程

圖形
焦點
坐標
準線
方程
范圍
對稱軸
頂點
坐標
離心率
開口
方向

2．過拋物線的且垂直于其的直線與拋物線的交于兩點，連結這兩點間的叫做拋物線的通徑。拋物線的通徑為．
3．若拋物線上縱坐標為-4的點到焦點的距離為5，則焦點到準線的距離是．
4．求頂點在原點,焦點為的拋物線的方程.

二、問題探究
探究1:根據(jù)拋物線的標準方程可以得到拋物線的哪些幾何性質？
探究2:根據(jù)你現(xiàn)有的知識,你能找出一種拋物線的畫法嗎?
例1．經(jīng)過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于兩點，求證:以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切.

例2．汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線,燈口直徑為197,反光曲面的頂點到燈口的距離是69.由拋物線的性質可知,當燈泡安裝在拋物線的焦點處時,經(jīng)反光曲面反射后的光線是平行光線.為了獲得平行光線,應怎樣安裝燈泡?(精確到1)

三、思維訓練
1．如果拋物線的頂點在原點,對稱軸為坐標軸，焦點在直線上，則拋物線的方程為．
2．若拋物線，過其焦點傾斜角為的直線交拋物線于兩點，且，則此拋物線的標準方程為．
3．拋物線的焦點坐標與雙曲線的左焦點重合，則這條拋物線的方程是．
4．已知拋物線上兩個動點及一個定點，是拋物線的焦點，若成等差數(shù)列，則．

四、課后鞏固
1．過拋物線的焦點作兩弦和，其所在直線傾斜角分別為和，則的大小關系是．

2．過拋物線的焦點，且與圓相切的直線方程是．

3．已知點是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，若以為直徑作圓，則此圓與軸的位置關系是．

４．已知拋物線的準線與雙曲線交于兩點，點為拋物線的焦點，若△為直角三角形，則雙曲線的離心率是．

5．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點,以為直徑的圓中,面積的最小值為．

６．已知是拋物線上三點,且它們到焦點
的距離成等差數(shù)列,求證:.

7．已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸的正半軸，設是拋物線上的兩個動點（不垂直于軸）且，線段的中垂線恒過定點．求此拋物線
的方程．

《拋物線的簡單性質》導學案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為教師就要根據(jù)教學內容制定合適的教案。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。寫好一份優(yōu)質的教案要怎么做呢？小編特地為大家精心收集和整理了“《拋物線的簡單性質》導學案”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

2.2拋物線的簡單性質
授課
時間第周星期第節(jié)課型講授新課主備課人張梅
學習
目標依據(jù)拋物線圖形及標準方程，概括出拋物線的簡單性質.掌握性質與圖形的對應關系，能依據(jù)性質畫拋物線簡圖
重點難點重點是由圖形和方程觀察概括出性質，離心率的意義及轉化是難點
學習
過程
與方
法自主學習
【回顧】拋物線的標準方程有：
閱讀課本P74至75例5前，回答：標準方程中
①拋物線關于對稱，其對稱軸叫作拋物線的軸，拋物線只有對稱軸
②拋物線的范圍為
③拋物線的頂點
④拋物線的離心率是指，即e=
⑤拋物線的通徑

2．閱讀例5，完成表格：
拋物線方程焦點頂點

精講互動：
⑴閱讀P75《思考交流》自主完成

⑵自主完成課本P75練習

達標訓練：
⑴拋物線上到直線的距離最小的點的坐標是（）

⑵拋物線的頂點是橢圓的中心，而焦點是橢圓的左焦點，求拋物線的方程

布置1求頂點在原點，對稱軸是坐標軸，焦點在直線上的拋物線方程
2過拋物線的焦點F作垂直于軸的直線，交拋物線于A、B兩點，求以F為圓心，AB為直徑的圓的方程

學習小結/教學
反思