高中幾何的教案

空間幾何體的表面積。

學生們有一個生動有趣的課堂，離不開老師辛苦準備的教案，是時候?qū)懡贪刚n件了。在寫好了教案課件計劃后，才能夠使以后的工作更有目標性！你們會寫多少教案課件范文呢？小編為此仔細地整理了以下內(nèi)容《空間幾何體的表面積》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

總課題空間幾何體的表面積和體積總課時第15課時
分課題空間幾何體的表面積分課時第1課時
教學目標了解柱、錐、臺、球的表面積的計算公式．
重點難點柱、錐、臺、球的表面積計算公式的運用．
引入新課
1．簡單幾何體的相關(guān)概念：
直棱柱：．
正棱柱：．
正棱錐：．
正棱臺：．
正棱錐、正棱臺的形狀特點：（1）底面是正多邊形；（2）頂點在底面的正投影是底面的中心，即頂點和底面中心連線垂直于底面（棱錐的高）；（3）當且僅當它是正棱錐、正棱臺時，才有斜高．
平行六面體：．
直平行六面體：．
長方體：．
正方體：．
2．直棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積公式：
，其中指的是．
，其中指的是．
．
3．圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積公式：
．
．
．
例題剖析
例1設(shè)計一個正四棱錐形冷水塔塔頂，高是，底面的邊長是，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．

例2一個直角梯形上底、下底和高之比為．將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓臺，求這個圓臺上底面積、下底面積和側(cè)面積之比．
鞏固練習
1．已知正四棱柱的底面邊長是，側(cè)面的對角線長是，
則這個正四棱柱的側(cè)面積為．
2．求底面邊長為，高為的正三棱錐的全面積．

3．如果用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是多少？

課堂小結(jié)
柱、錐、臺、球的表面積計算公式的運用．
課后訓(xùn)練
一基礎(chǔ)題
1．棱長都為的正三棱錐的全面積等于________________________．（工作匯報網(wǎng) GSI8.Com）

2．正方體的一條對角線長為，則其全面積為_________________．
3．在正三棱柱中，，且，
則正三棱柱的全面積為_____________________．

4．一張長、寬分別為、的矩形硬紙板，以這硬紙板為側(cè)面，將它折成正四棱柱，
則此四棱柱的對角線長為___________________．

5．已知四棱錐底面邊長為，側(cè)棱長為，則棱錐的側(cè)面積為____________________．

6．已知圓臺的上、下底面半徑為、，圓臺的高為，則圓臺的側(cè)面積為_______．

二提高題
7．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為和，高是，求三棱臺的側(cè)面積．

8．已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為和，側(cè)棱長為，
求它的側(cè)面積．

三能力題
9．已知六棱錐，其中底面是正六邊形，點在底面的投影是
正六邊形的中心點，底面邊長為，側(cè)棱長為，求六棱錐
的表面積．

相關(guān)閱讀

2017高考數(shù)學知識點：空間幾何體的表面積和體積

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學質(zhì)量。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編幫大家編輯的《2017高考數(shù)學知識點：空間幾何體的表面積和體積》，僅供您在工作和學習中參考。

2017高考數(shù)學知識點：空間幾何體的表面積和體積

1、圓柱體:
表面積:2πRr+2πRh體積:πRh(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)
2、圓錐體:
表面積:πR+πR[(h+R)的平方根]體積:πRh/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,
3、正方體
a-邊長,S=6a,V=a
4、長方體
a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc
5、棱柱
S-底面積h-高V=Sh
6、棱錐
S-底面積h-高V=Sh/3
7、棱臺
S1和S2-上、下底面積h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
8、擬柱體
S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中截面積
h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6
9、圓柱
r-底半徑,h-高,C—底面周長
S底—底面積,S側(cè)—側(cè)面積,S表—表面積C=2πr
S底=πr,S側(cè)=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh
10、空心圓柱
R-外圓半徑,r-內(nèi)圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2)
11、直圓錐
r-底半徑h-高V=πr^2h/3
12、圓臺
r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R+Rr+r)/3
13、球
r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺
h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/3
15、球臺
r1和r2-球臺上、下底半徑h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/6
16、圓環(huán)體
R-環(huán)體半徑D-環(huán)體直徑r-環(huán)體截面半徑d-環(huán)體截面直徑
V=2π2Rr=π2Dd/4
17、桶狀體
D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高
V=πh(2D+d)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)
V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母線是拋物線形)

空間幾何體

空間幾何體習題課
一、學習目標
知識與技能：了解柱體，錐體，臺體，球體的幾何特征，會畫三視圖、直觀圖，能求表面積、體積。
過程與方法：通過旋轉(zhuǎn)體的形成，掌握利用軸截面化空間問題為平面問題處理的方法。會畫圖、識圖、用圖。
情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)動手能力，空間想象能力，由欣賞圖形的美到去發(fā)現(xiàn)美，創(chuàng)造美。
二、學習重、難點
學習重點：各空間幾何體的特征，計算公式，空間圖形的畫法。
學習難點：空間想象能力的建立，空間圖形的識別與應(yīng)用。
三、使用說明及學法指導(dǎo):結(jié)合空間幾何體的定義，觀察空間幾何體的圖形培養(yǎng)空間想象能力，熟記公式，靈活運用.
四、知識鏈接1.回憶柱體、錐體、臺體、球體的幾何特征。2.熟記表面積及體積的公式。
五、學習過程
題型一：基本概念問題
A例1：（1）下列說法不正確的是（）
A：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B：圓錐的軸截面是一個等腰三角形C：直角三角形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D：圓臺平行于底面的截面是圓面
（2）下列說法正確的是（）A：棱柱的底面一定是平行四邊形B：棱錐的底面一定是三角形C：棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D：棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱
題型二：三視圖與直觀圖的問題
B例2：有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個()
A棱臺B棱錐C棱柱D都不對
B例3：一個三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為1正三角形，原三角形的面積為（）
A．B．C．D．
題型三：有關(guān)表面積、體積的運算問題
B例4：已知各頂點都在一個球面上的正四柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）
ABC24D32
C例5：若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積（）
(A)(B)(C)(D)
題型四：有關(guān)組合體問題
例6：已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
六、達標訓(xùn)練
1、若一個幾何體的三視圖都是等腰三角形，則這個幾何體可能是（）
A．圓錐B．正四棱錐C．正三棱錐D．正三棱臺
2、一個梯形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原來梯形面積的（）
A.倍B.倍C.倍D.倍
3、將一圓形紙片沿半徑剪開為兩個扇形，其圓心角之比為3∶4.再將它們卷成兩個圓錐側(cè)
面，則兩圓錐體積之比為（）
A．3∶4B．9∶16C．27∶64D．都不對
4、利用斜二測畫法得到的
①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；
③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖一定是菱形.
以上結(jié)論正確的是（）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
5、有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個()

A棱臺B棱錐C棱柱D都不對
6、如果一個幾何體的三視圖如圖所示，主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，（單位長度：cm），則此幾何體的側(cè)面積是（）
A.cmB.cm2
C.12cmD.14cm2

7、若圓錐的表面積為平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為
8、將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積

9、如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積

10、（如圖）在底半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積

七、小結(jié)與反思

【至理名言】沒有學不會的知識，只有不會學的學生。

高一數(shù)學下冊《空間幾何體的表面積與體積》知識點人教版

每個老師不可缺少的課件是教案課件，規(guī)劃教案課件的時刻悄悄來臨了。需要我們認真規(guī)劃教案課件工作計劃，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫適合教案課件的范文嗎？請您閱讀小編輯為您編輯整理的《高一數(shù)學下冊《空間幾何體的表面積與體積》知識點人教版》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

高一數(shù)學下冊《空間幾何體的表面積與體積》知識點人教版

空間幾何體表面積體積公式：

1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)

2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,

3、a－邊長,S＝6a2,V＝a3

4、長方體a－長,b－寬,c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc

5、棱柱S－h(huán)－高V＝Sh

6、棱錐S－h(huán)－高V＝Sh/3

7、S1和S2－上、下h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3

8、S1－上底面積,S2－下底面積,S0－中h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/6

9、圓柱r－底半徑,h－高,C—底面周長S底—底面積,S側(cè)—,S表—表面積C＝2πrS底＝πr2,S側(cè)＝Ch,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2h

10、空心圓柱R－外圓半徑,r－內(nèi)圓半徑h－高V＝πh(R^2-r^2)

11、r－底半徑h－高V＝πr^2h/3

12、r－上底半徑,R－下底半徑,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/313、球r－半徑d－直徑V＝4/3πr^3＝πd^3/6

14、球缺h－球缺高,r－球半徑,a－球缺底半徑V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3

15、球臺r1和r2－球臺上、下底半徑h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

16、圓環(huán)體R－環(huán)體半徑D－環(huán)體直徑r－環(huán)體截面半徑d－環(huán)體截面直徑V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4

17、桶狀體D－桶腹直徑d－桶底直徑h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母線是拋物線形)

練習題：

1．正四棱錐P—ABCD的側(cè)棱長和底面邊長都等于，有兩個正四面體的棱長也都等于.當這兩個正四面體各有一個面與正四棱錐的側(cè)面PAD，側(cè)面PBC完全重合時，得到一個新的多面體，該多面體是（）

（A）五面體

（B）七面體

（C）九面體

（D）十一面體

2．正四面體的四個頂點都在一個球面上，且正四面體的高為4，則球的表面積為()

（A）9

（B）18

（C）36

（D）64

3．下列說法正確的是()

A．棱柱的側(cè)面可以是三角形

B．正方體和長方體都是特殊的四棱柱

C．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形

D．棱柱的各條棱都相等

高考數(shù)學（理科）一輪復(fù)習空間幾何體的表面積與體積學案含答案

學案41空間幾何體的表面積與體積

導(dǎo)學目標：1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算公式.2.了解球、柱、錐、臺的體積的計算公式.3.培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學公式進行必要的計算.4.提高認識圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力．
自主梳理
1．多面體的表面積
(1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)＝______.
(2)設(shè)正n棱錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝____________＝____________.
(3)設(shè)正n棱臺下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a′，周長為c′，斜高為h′，則
S正棱臺側(cè)＝__________＝____________.
(4)設(shè)球的半徑為R，則S球＝____________.
2．幾何體的體積公式
(1)柱體的體積V柱體＝______(其中S為柱體的底面面積，h為高)．
特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱＝πr2h.
(2)錐體的體積V錐體＝________(其中S為錐體的底面面積，h為高)．
特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐＝13πr2h.
(3)臺體的體積V臺體＝______________(其中S′，S分別是臺體上、下底面的面積，h為高)．
特別地，上、下底面的半徑分別是r′、r，高是h的圓臺的體積V圓臺＝13πh(r2＋rr′＋r′2)．
(4)球的體積V球＝__________(其中R為球的半徑)．
自我檢測
1．已知兩平行平面α，β間的距離為3，P∈α，邊長為1的正三角形ABC在平面β內(nèi)，則三棱錐P—ABC的體積為()
A.14B.12
C.36D.34
2．(2011唐山月考)
從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A—BCD，則它的表面積與正方體表面積的比為()
A.3∶3B.2∶2
C.3∶6D.6∶6
3．設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且PA＝QC1，則四棱錐B—APQC的體積為()
A.16VB.14V
C.13VD.12V
4．(2011平頂山月考)下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()
A．9πB．10π
C．11πD．12π
5．(2011陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是()
A．8－2π3B．8－π3
C．8－2πD.2π3
探究點一多面體的表面積及體積
例1三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60°角，求此棱柱的側(cè)面積與體積．

變式遷移1(2011煙臺月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則三棱柱的側(cè)面面積為________．
探究點二旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積
例2
如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30°)及其體積．

變式遷移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各頂點都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于________．
探究點三側(cè)面展開圖中的最值問題
例3如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且abc0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長．

變式遷移3
(2011杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2.P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是________．
1．有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素．
2．當給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利．(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之．(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()
A．48B．32＋817
C．48＋817D．80
2．已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是32π3，則這個三棱柱的體積是()
A．963B．163C．243D．483
3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動(EFa)，若P是A1D1上的定點，Q是C1D1上的動點，則四面體P—QEF的體積是()
A．有最小值的一個變量
B．有最大值的一個變量
C．沒有最值的一個變量
D．一個不變量
4．(2010全國)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()
A．πa2B.73πa2
C.113πa2D．5πa2
5．(2011北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是()
A．8B．62C．10D．82

二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．
7．(2011淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長為4cm，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的容積等于________cm3.
8．(2011四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，
C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點．當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比．
10．(12分)
(2011撫順模擬)如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
(1)求證：BC⊥AD；
(2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大??；若不存在，說明理由．
11．(14分)(2011錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點．
(1)求證：MN∥平面CDEF；
(2)求多面體A—CDEF的體積．
學案41空間幾何體的表面積與體積
自主梳理
1．(1)ch(2)12nah′12ch′(3)12n(a＋a′)h′12(c＋c′)h′(4)4πR22.(1)Sh(2)13Sh(3)13h(S＋SS′＋S′)(4)43πR3
自我檢測
1．D[由題意，S△ABC＝34，三棱錐的高h＝3，
∴V三棱錐P—ABC＝13Sh＝34.]
2．A[設(shè)正方體棱長為a，則正四面體棱長AB＝2a，
∴S正四面體表＝4×34×(2a)2＝23a2.
∵S正方體表＝6a2，∴四面體的表面積與正方體表面積的比為3∶3.]
3．C
4.
D[據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示，
故該幾何體的表面積為S＝S圓柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]
5．A[由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3，故選A.]
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引對于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個側(cè)面的面積和棱柱的高．
解決此類斜棱柱側(cè)面積問題的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直線線垂直的方法作出各個側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高．
解
如圖，過點A1作A1O⊥面ABC于點O，連接AO.
過點A1作A1E⊥AB于點E，過點A1作A1F⊥AC于點F，連接EO，F(xiàn)O，易得OE⊥AB，OF⊥AC，
∵AA1和AB與AC都成60°角，
∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.
∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.
∴點O在∠BAC的角平分線上，延長AO交BC于點D，
∵△ABC是正三角形，
∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.
∵AA1∥BB1，∴側(cè)面BB1C1C是矩形，
∴三棱柱的側(cè)面積為S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋123.
∵AA1＝3，AA1與AB和AC都成60°角，
∴AE＝32.∵∠BAO＝30°，
∴AO＝3，A1O＝6.
∴三棱柱的體積為V＝34×16×6＝122.
變式遷移127＋4
解析
如圖所示，設(shè)D為BC的中點，連接A1D，AD.
∵△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，
∴BC⊥A1A，
又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，
又∵側(cè)面與底面邊長都等于2，
∴四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4.
作DE⊥AB于E，連接A1E，則AB⊥A1E，
又∵AD＝22－12＝3，DE＝ADBDAB＝32，
∴AE＝AD2－DE2＝32，
∴A1E＝AA21－AE2＝72，
∴S四邊形ABB1A1＝7，∴S三棱柱側(cè)＝27＋4.
例2解題導(dǎo)引解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進行計算．求全面積時不要忘記“內(nèi)表面”．
解如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1，
在半圓中可得∠BCA＝90°，
∠BAC＝30°，
AB＝2R，
∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，
∴S球＝4πR2，
S圓錐AO1側(cè)＝π×32R×3R
＝32πR2，
S圓錐BO1側(cè)＝π×32R×R＝32πR2，
∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè)
＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2，
∴旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為11＋32πR2.
又V球＝43πR3，V圓錐AO1＝13AO1πCO21
＝14πR2AO1，
V圓錐BO1＝13BO1πCO21＝14πR2BO1，
∴V幾何體＝V球－(V圓錐AO1＋V圓錐BO1)
＝43πR3－12πR3＝56πR3.
變式遷移220π
解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝23，由正弦定理，可得△ABC外接圓的半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OBO′中，易得球半徑R＝5，故此球的表面積為4πR2＝20π.
例3解題導(dǎo)引本題可將長方體表面展開，利用平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點間的最短距離來解答．
解將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，
如圖所示．
三個圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：
a＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab，
a2＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2bc，
a＋c2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac，
∵abc0，∴abacbc0.
故最短線路的長為a2＋b2＋c2＋2bc.
變式遷移352
解析將△BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示．
連接A1C即為CP＋PA1的最小值，過點C作CD垂直A1C1延長線交于D，△BCC1為等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.
∴A1C＝A1D2＋CD2＝49＋1＝52.
課后練習區(qū)
1．C[
由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側(cè)面是矩形，寬為4，長為42＋12＝17.所以S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.]
2．D[由43πR3＝32π3，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.設(shè)其底面邊長為a，則1332a＝2，∴a＝43.
∴V＝34×(43)2×4＝483.]
3．D4.B
5．C[將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示．
它的四個面的面積分別為8,6,10,62，故最大的面積應(yīng)為10.
6．67
解析取底面中心為O，AF中點為M，連接PO、OM、PM、AO，則PO⊥OM，
OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA＝OP＝2，∴OM＝3，
PM＝4＋3＝7.
∴S側(cè)＝6×12×2×7＝67.
7.153π
解析圍成圓錐筒的母線長為4cm，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝142π×4，
∴r＝1，∴圓錐的高h＝42－12＝15.
∴V圓錐＝13πr2h＝153π(cm3)．
8．2πR2
解析方法一設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱高為2Rcosα，圓柱底面半徑為Rsinα，∴S圓柱側(cè)＝2πRsinα2Rcosα＝2πR2sin2α.當sin2α＝1時，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法二設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2R2－r2.
∴S圓柱側(cè)＝2πr2R2－r2，
S′圓柱側(cè)＝4πR2－r2－4πr2R2－r2.
令S′圓柱側(cè)＝0，得r＝22R.
當0r22R時，S′0；
當22RrR時，S′0.
∴當r＝22R時，S圓柱側(cè)取得最大值2πR2.
此時S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.
方法三設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2R2－r2，
∴S圓柱側(cè)＝2πr2R2－r2＝4πr2R2－r2
≤4πr2＋R2－r22＝2πR2(當且僅當r2＝R2－r2，即r＝22R時取“＝”)．
∴當r＝22R時，S圓柱側(cè)最大為2πR2.
此時S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.
9．解設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為h，
當點C是弧的中點時，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABC—A1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1—ABC的體積為13r2h，四棱錐A1—BCC1B1的體積為r2h－13r2h＝23r2h，圓柱的體積為πr2h，(10分)
故四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比為2∶3π.
(12分)
10．(1)證明取BC的中點E，連接AE，DE，EF，
∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED.又AD面AED，
∴BC⊥AD.(6分)
(2)解由已知得，△AED為等腰三角形，且AE＝ED＝23，設(shè)AD＝x，F(xiàn)為棱AD的中點，
則EF＝12－12x2，
S△AED＝12x12－x24＝1448x2－x4，(8分)
V＝13S△AED(BE＋CE)＝1348x2－x4(0x43)，
當x2＝24，即x＝26時，Vmax＝8，
∴該四面體存在最大值，最大值為8，(11分)
此時棱長AD＝26.(12分)
11．(1)證明由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．(3分)
連接EB，則M是EB的中點，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC平面CDEF，
MN平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF.(6分)
(2)解∵DA⊥平面ABFE，
EF平面ABFE，
∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE.
又DE平面ADE，∴EF⊥DE，(8分)
∴四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE.
取DE的中點H，連接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，
∴AH＝2，且AH⊥平面CDEF.(12分)
∴多面體A—CDEF的體積V＝13SCDEFAH
＝13DEEFAH＝83.(14分)