一元二次方程高中教案

二次函數(shù)與一元二次方程。

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《二次函數(shù)與一元二次方程》，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

總課題函數(shù)與方程分課時第1課時總課時總第37課時
分課題二次函數(shù)與一元二次方程課型新授課
教學(xué)目標(biāo)會用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的情況。弄清二次函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系。滲透數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。
重點函數(shù)與方程的關(guān)系。
難點數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。
一、復(fù)習(xí)引入
問題1、不解方程如何判斷一元二次方程解的情況。
問題2、畫出二次函數(shù)的圖象，觀察圖象，指出取哪些值時，。
二、建構(gòu)數(shù)學(xué)
1、探究函數(shù)與方程圖象之間的關(guān)系，填表：
Δ=
Δ
Δ
Δ

的根
的圖象

的零點
2、零點：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)x叫做的零點；
有實數(shù)根的圖象與軸有交點有零點。
三、例題分析
例1、（如圖）是一個二次函數(shù)圖象的一部分，（1）的零點為。
（2）。

例2、求證：一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根（用兩種方法證）。

例3、（1）在區(qū)間上是否存在零點？
（2）在區(qū)間、上是否存在零點？

觀察：值的符號特點；、值的符號特點。
結(jié)論：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。（即存在，使得．這個也就是方程的根。）
思考：
（1）若在上是單調(diào)函數(shù)，且，則在上的零點情況如何？
（2）若是二次函數(shù)的零點，且，那么一定成立嗎？
四、隨堂練習(xí)
1、分別指出下列各圖象對應(yīng)的二次函數(shù)中與0的大小關(guān)系：
(1)(2)（1）______0，_____0，______0，______0
（2）______0，_____0，______0，______0

2、判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在零點。
3、證明：（1）函數(shù)有兩個不同的零點；
（2）函數(shù)在區(qū)間（0，1）上有零點。

五、回顧小結(jié)
1、函數(shù)與方程的關(guān)系。
課后作業(yè)
班級：高一（）班姓名__________
一、基礎(chǔ)題
１、若二次函數(shù)的兩個零點分別是2和3，則，的值分別是（）
A、B、C、D、
２、函數(shù)的零點個數(shù)是（）
ABCD
3、若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是。
4、已知函數(shù)在區(qū)間[，]上的最小值大于0，則該函數(shù)的零點個數(shù)有個。
5、若二次函數(shù)的圖象與軸有公共點，則。
6、設(shè)二次函數(shù)的兩個零點分別為和，則。（填＞，＜）。
7、函數(shù)的圖象如圖所示。
（1）寫出方程的根；
（2）求，，的值。

8、二次函數(shù)的圖象交軸于兩點，交軸于點，求的面積。

9、已知二次函數(shù)滿足且最小值為，求的表達(dá)式。

二、提高題
10、求證：方程沒有實數(shù)根（用兩種方法證）。
11、若方程方程的一個根在區(qū)間（，）內(nèi)，另一個在區(qū)間（，）內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍。

三、提高題
12、當(dāng)為何值時，方程在區(qū)間（，）內(nèi)有實數(shù)解？

相關(guān)知識

一元二次不等式

課題:3.2一元二次不等式（4）
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
掌握一元二次不等式的解法；學(xué)會建立一元二次不等式及二次函數(shù)模型解決實際問題；體會由實際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程．
【課前預(yù)習(xí)】
1．已知某市場某一年的前個月商品累計需求量為，問：這一年哪幾個月份商品需求量超過萬件？

2．某校在一塊長，寬的矩形地面上進(jìn)行綠化，四周種植花卉（花卉帶的寬度相等），中間鋪設(shè)草坪（如圖），要使草坪面積不少于總面積的一半，求花卉帶寬度范圍．
【課堂研討】
例1.用一根長為的繩子能圍成一個面積大于的矩形嗎？當(dāng)長、寬分別為多少米時，所圍成矩形的面積最大？

例2某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件與貨價元/件之間的
關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元．
問：該廠日產(chǎn)量多大時，日獲利不少于元？

例3汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”，剎車距離是分析事故的一個重要因素．
在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間分別有如下關(guān)系：，．
問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？

【學(xué)后反思】
課題:3.2一元二次不等式（4）檢測案
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測】
1．某廠擴(kuò)建后計劃后年的產(chǎn)量不低于今年的倍，那么明、后兩年每年的平均增長率至少是多少？

2．國家為了加強(qiáng)對煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策，已知某種酒每瓶元，不加收附加稅時，每年大約銷售萬瓶；若政府征收附加稅，每銷售元要征稅元（叫做稅率），則每年的銷售量將減少萬瓶，要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅不少于萬，應(yīng)怎樣確定？

【課后鞏固】
1．某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為萬元，但每生產(chǎn)臺時又需可變成本萬元，市場對此商品的年需求量為臺，銷售收入函數(shù)為（萬元），其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）．
（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所得的利潤最大？
（3）年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)才不虧本？

2．已知汽車剎車到停車所滑行的距離與速度的平方及汽車的總重量的乘積成正比，設(shè)某輛卡車不裝貨物以行駛時，從剎車到停車滑行了，如果這輛車裝載著與車身相等重量的貨物行駛，并與前面的車輛距離為，為了保證在前面車輛緊急停車時不與前面車輛相撞，那么最大車速是多少？（假定卡車司機(jī)從發(fā)現(xiàn)前面車輛停車到自己剎車需耽擱，答案精確到）

二次函數(shù)

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助高中教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。我們要如何寫好一份值得稱贊的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“二次函數(shù)”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

開口方向
頂點坐標(biāo)
對稱軸
單調(diào)區(qū)間
最值
值域

二師生互動
例1已知函數(shù)，
(1)求這個函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸；
(2)求這個函數(shù)的最小值；
(3)不直接計算函數(shù)值，試比較f(－1)和f(1)的大小
練一練
1.已知二次函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值
例2已知函數(shù)的定義域為R，值域為，則a的值
練一練
已知函數(shù)且，則下列不等式成立的是（）
AB
CD

三鞏固練習(xí)
1.若x為實數(shù)，則函數(shù)y＝x2＋3x－5的最小值為…………………………………()
?A.?－294?B.?－5
?C.?0?D.?不存在
2.函數(shù)f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………()
?A.?45?B.?54
?C.?34?D.?43
3.二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c圖象的最高點是(－3,1)，則b、c的值是……………()
?A.?b＝6，c＝8?B.?b＝6，c＝－8
?C.?b＝－6，c＝8?D.?b＝－6，c＝－8
4.已知二次函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，5］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［5，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是…………………………………()
?A.?f(－2)＜f(6)＜f(11)?B.?f(11)＜f(6)＜f(－2)
?C.?f(6)＜f(11)＜f(－2)?D.?f(11)＜f(－2)＜f(6)
5.已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈［1，a］，并且f(x)的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是.
6.已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根為.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.方程的兩根均大于1，則實數(shù)a的取值范圍
2.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間［－2,3］上的最大值為6，求a的值.

一元二次不等式解法

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的一元二次不等式解法，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第十二教時

教材：一元二次不等式解法

目的：從一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系出發(fā)，掌握運用二次函數(shù)求解一元二次不等式的方法。

過程：

一、課題：一元二次不等式的解法

先回憶一下初中學(xué)過的一元一次不等式的解法：如2x-70x

y

從另一個角度考慮：令y=2x-7作一次函數(shù)圖象：

xc

O

當(dāng)x=3.5時,y=0即2x-7=0

當(dāng)x3.5時,y0即2x-70

當(dāng)x3.5時,y0即2x-70

結(jié)論：略見P17

注意強(qiáng)調(diào)：1°直線與x軸的交點x0是方程ax+b=0的解

2°當(dāng)a0時,ax+b0的解集為{x|xx0}

當(dāng)a0時,ax+b0可化為-ax-b0來解

y

同樣用圖象來解，實例：y=x2-x-6作圖、列表、觀察

-2O3x

當(dāng)x-2或x3時,y0即x2-x-60

當(dāng)-2x3時,y0即x2-x-60

∴方程x2-x-6=0的解集：{x|x=-2或x=3}

不等式x2-x-60的解集：{x|x-2或x3}

不等式x2-x-60的解集：{x|-2x3}

這是△0的情況：

若△=0,△0分別作圖觀察討論

得出結(jié)論：見P18--19

說明：上述結(jié)論是一元二次不等式ax+bx+c0(0)當(dāng)a0時的情況

若a0,一般可先把二次項系數(shù)化成正數(shù)再求解

三、例題P19例一至例四

練習(xí)：（板演）

有時間多余，則處理《課課練》P14“例題推薦”

四、小結(jié)：一元二次不等式解法（務(wù)必聯(lián)系圖象法）

五、作業(yè)：P21習(xí)題1.5

《課課練》第8課余下部分

一元二次不等式的解法

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組；
（3）了解簡單的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函數(shù)與一元二次方程來求解一元二次不等式，理解它們?nèi)咧g的內(nèi)在聯(lián)系；
（5）能夠進(jìn)行較簡單的分類討論，借助于數(shù)軸的直觀，求解簡單的含字母的一元二次不等式；
（6）通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；
（7）通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辨證的世界觀．

教學(xué)重點：一元二次不等式的解法；

教學(xué)難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系．

教與學(xué)過程設(shè)計

第一課時

Ⅰ．設(shè)置情境

問題：

①解方程
②作函數(shù)的圖像
③解不等式

【置疑】在解決上述三問題的基礎(chǔ)上分析，一元一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系。能通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？
【回答】函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖像落在x軸上方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)。能。
通過多媒體或其他載體給出下列表格。扼要講解怎樣通過觀察一次函數(shù)的圖像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉筆的運用

在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程，一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖像上！）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索與研究

我們現(xiàn)在就結(jié)合不等式的求解來試一試。（師生共同活動用“特殊點法”而非課本上的“列表描點”的方法作出的圖像，然后請一位程度中下的同學(xué)寫出相應(yīng)一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程的解集為
不等式的解集為

【置疑】哪位同學(xué)還能寫出的解法？（請一程度差的同學(xué)回答）
【答】不等式的解集為
我們通過二次函數(shù)的圖像，不僅求得了開始上課時我們還不知如何求解的那個第（5）小題的解集，還求出了的解集，可見利用二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式是個十分有效的方法。
下面我們再對一般的一元二次不等式與來進(jìn)行討論。為簡便起見，暫只考慮的情形。請同學(xué)們思考下列問題：
如果相應(yīng)的一元二次方程分別有兩實根、惟一實根，無實根的話，其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系如何？（提問程度較好的學(xué)生）
【答】二次函數(shù)的圖像開口向上且分別與x軸交于兩點，一點及無交點。
現(xiàn)在請同學(xué)們觀察表中的二次函數(shù)圖，并寫出相應(yīng)一元二次不等式的解集。（通過多媒體或其他載體給出以下表格）

【答】的解集依次是
的解集依次是
它是我們今后求解一元二次不等式的主要工具。應(yīng)盡快將表中的結(jié)果記住。其關(guān)鍵就是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。
課本第19頁上的例1．例2．例3．它們均是求解二次項系數(shù)的一元二次不等式，卻都沒有給出相應(yīng)二次函數(shù)的圖像。其解答過程雖很簡練，卻不太直觀?，F(xiàn)在我們在課本預(yù)留的位置上分別給它們補(bǔ)上相應(yīng)二次函數(shù)圖像。
（教師巡視，重點關(guān)注程度稍差的同學(xué)。）
Ⅲ．演練反饋
1．解下列不等式：
（1）（2）
（3）（4）
2．若代數(shù)式的值恒取非負(fù)實數(shù)，則實數(shù)x的取值范圍是。
3．解不等式
（1）（2）
參考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）R
2．
3．（1）
（2）當(dāng)或時，，當(dāng)時，
當(dāng)或時，。
Ⅳ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次項系數(shù)的一元二次不等式的解法，其關(guān)鍵是抓住相應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，再對照課本第39頁上表格中的結(jié)論給出所求一元二次不等式的解集。
（五）、課時作業(yè)
（P20．練習(xí)等3、4兩題）
（六）、板書設(shè)計

第二課時

Ⅰ．設(shè)置情境
（通過講評上一節(jié)課課后作業(yè)中出現(xiàn)的問題，復(fù)習(xí)利用“三個二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的主要操作過程。）
上節(jié)課我們只討論了二次項系數(shù)的一元二次不等式的求解問題?？隙ㄓ型瑢W(xué)會問，那么二次項系數(shù)的一元二次不等式如何來求解？咱們班上有誰能解答這個疑問呢？
Ⅱ．探索研究
（學(xué)生議論紛紛．有的說仍然利用二次函數(shù)的圖像，有的說將二次項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再求解，……．教師分別請持上述見解的學(xué)生代表進(jìn)一步說明各自的見解．）
生甲：只要將課本第39頁上表中的二次函數(shù)圖像次依關(guān)于x軸翻轉(zhuǎn)變成開口向下的拋物線，再根據(jù)可得的圖像便可求得二次項系數(shù)的一元二次不等式的解集．
生乙：我覺得先在不等式兩邊同乘以－1將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后直接運用上節(jié)課所學(xué)的方法求解就可以了．
師：首先，這兩種見解都是合乎邏輯和可行的．不過按前一見解來操作的話，同學(xué)們則需再記住一張類似于第39頁上的表格中的各結(jié)論．這不但加重了記憶負(fù)擔(dān)，而且兩表中的結(jié)論容易搞混導(dǎo)致錯誤．而按后一種見解來操作時則不存在這個問題，請同學(xué)們閱讀第19頁例4．
（待學(xué)生閱讀完畢，教師再簡要講解一遍．）
[知識運用與解題研究]
由此例可知，對于二次項系數(shù)的一元二次不等式是將其通過同解變形化為的一元二次不等式來求解的，因此只要掌握了上一節(jié)課所學(xué)過的方法。我們就能求
解任意一個一元二次不等式了，請同學(xué)們求解以下兩不等式．（調(diào)兩位程度中等的學(xué)生演板）
（1）（2）
（分別為課本P21習(xí)題1．5中1大題（2）、（4）兩小題．教師講評兩位同學(xué)的解答，注意糾正表述方面存在的問題．）
訓(xùn)練二可化為一元一次不等式組來求解的不等式．
目前我們熟悉了利用“三個二次”間的關(guān)系求解一元二次不等式的方法雖然對任意一元二次不等式都適用，但具體操作起來還是讓我們感到有點麻煩．故在求解形如（或）的一元二次不等式時則根據(jù)（有理數(shù)）乘（除）運算的“符號法則”化為同學(xué)們更加熟悉的一元一次不等式組來求解．現(xiàn)在清同學(xué)們閱讀課本P20上關(guān)于不等式求解的內(nèi)容并思考：原不等式的解集為什么是兩個一次不等式組解集的并集？（待學(xué)生閱讀完畢，請一程度較好，表達(dá)能力較強(qiáng)的學(xué)生回答該問題．）
【答】因為滿足不等式組或的x都能使原不等式成立，且反過來也是對的，故原不等式的解集是兩個一元二次不等式組解集的并集．
這個回答說明了原不等式的解集A與兩個一次不等式組解集的并集B是互為子集的關(guān)系，故它們必相等，現(xiàn)在請同學(xué)們求解以下各不等式．（調(diào)三位程度各異的學(xué)生演板．教師巡視，重點關(guān)注程度較差的學(xué)生）．
（1）［P20練習(xí)中第1大題］
（2）［P20練習(xí)中第1大題］
（3）［P20練習(xí)中第2大題］
（老師扼要講評三位同學(xué)的解答．尤其要注意糾正表述方面存在的問題．然后講解P21例5）．
例5解不等式
因為（有理數(shù)）積與商運算的“符號法則”是一致的，故求解此類不等式時，也可像求解（或）之類的不等式一樣，將其化為一元一次不等式組來求解。具體解答過程如下。
解：（略）
現(xiàn)在請同學(xué)們完成課本P21練習(xí)中第3、4兩大題。
（等學(xué)生完成后教師給出答案，如有學(xué)生對不上答案，由其本人追查原因，自行糾正。）
[訓(xùn)練三]用“符號法則”解不等式的復(fù)式訓(xùn)練。
（通過多媒體或其他載體給出下列各題）
1．不等式與的解集相同此說法對嗎？為什么[補(bǔ)充]
2．解下列不等式：
（1）［課本P22第8大題（2）小題］
（2）［補(bǔ)充］
（3）［課本P43第4大題（1）小題］
（4）［課本P43第5大題（1）小題］
（5）［補(bǔ)充］
（每題均先由學(xué)生說出解題思路，教師扼要板書求解過程）
參考答案：
1．不對。同時前者無意義而后者卻能成立，所以它們的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化為：，即
解集為。
（3）原不等式可化為
解集為
（4）原不等式可化為或
解集為
（5）原不等式可化為：或解集為
Ⅲ．總結(jié)提煉
這節(jié)課我們重點講解了利用（有理數(shù)）乘除法的符號法則求解左式為若干一次因式的積或商而右式為0的不等式。值得注意的是，這一方法對符合上述形狀的高次不等式也是有效的，同學(xué)們應(yīng)掌握好這一方法。
（五）布置作業(yè)
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板書設(shè)計