高中函數(shù)的應(yīng)用教案
發(fā)表時(shí)間：2021-08-17高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)。
高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1. 能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
(1) 能通過(guò)閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義．
(2) 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并調(diào)動(dòng)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題．
(3) 能處理有關(guān)幾何問(wèn)題，增長(zhǎng)率的問(wèn)題，和物理方面的實(shí)際問(wèn)題．
2. 通過(guò)聯(lián)系實(shí)際的引入問(wèn)題和解決帶有實(shí)際意義的某些問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也體現(xiàn)了函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，也滲透了訓(xùn)練的價(jià)值．
3. 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究解決，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想．提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想等有了進(jìn)一步的了解．
教學(xué)建議
教材分析
（1）本小節(jié)內(nèi)容是全章知識(shí)的綜合應(yīng)用．這一節(jié)的出現(xiàn)體現(xiàn)了強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)的要求，讓學(xué)生能把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生產(chǎn)，生活的實(shí)際中去，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．所以培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)是本小節(jié)的重點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型是本小節(jié)的難點(diǎn)．
（2）在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中常用到函數(shù)的知識(shí)有：函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的確定，指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，對(duì)數(shù)概念及其性質(zhì)，和二次函數(shù)的概念和性質(zhì)．在方法上涉及到換元法，配方法，方程的思想，數(shù)形結(jié)合等重要的思方法．．事業(yè)本節(jié)的學(xué)習(xí)，既是對(duì)知識(shí)的復(fù)習(xí)，也是對(duì)方法和思想的再認(rèn)識(shí)．
教法建議
（1）本節(jié)中處理的均為應(yīng)用問(wèn)題，在題目的敘述表達(dá)上均較長(zhǎng)，其中要分析把握的信息量較多．事業(yè)處理這種大信息量的閱讀題首先要在閱讀上下功夫，找出關(guān)鍵語(yǔ)言，關(guān)鍵數(shù)據(jù)，特別是對(duì)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)變量的隱含限制條件的提取尤為重要．
（2）對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題的處理，第二步應(yīng)根據(jù)各個(gè)量的關(guān)系，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析概括，抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后是用數(shù)學(xué)方法將其化為常規(guī)的函數(shù)問(wèn)題(或其它數(shù)學(xué)問(wèn)題)解決．此類(lèi)題目一般都是分為這樣三步進(jìn)行．
（3）在現(xiàn)階段能處理的應(yīng)用問(wèn)題一般多為幾何問(wèn)題，利潤(rùn)最大，費(fèi)用最省問(wèn)題，增長(zhǎng)率的問(wèn)題及物理方面的問(wèn)題．在選題時(shí)應(yīng)以以上幾方面問(wèn)題為主．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
函數(shù)初步應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)JAb88.cOm
1.能夠運(yùn)用常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)及平面幾何有關(guān)知識(shí)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
2.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的 研究，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力
3.通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)學(xué)建模的思想，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)是應(yīng)用問(wèn)題的閱讀分析和解決．
難點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型
教學(xué)方法
師生互動(dòng)式
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)過(guò)程
一. 提出問(wèn)題
讓學(xué)生明確是分段函數(shù)的前提條件下，求出定義域?yàn)? ．(板書(shū))
問(wèn)題解決后可由教師簡(jiǎn)單小結(jié)一下研究過(guò)程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標(biāo)函數(shù)；(3)按要求解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．
下面我們一起看第二個(gè)問(wèn)題
問(wèn)題二：某工廠(chǎng)制定了從1999年底開(kāi)始到2005年底期間的生產(chǎn)總值持續(xù)增長(zhǎng)的兩個(gè)三年計(jì)劃 ，預(yù)計(jì)生產(chǎn)總值年平均增長(zhǎng)率為 ，則第二個(gè)三年計(jì)劃生產(chǎn)總值 與第一個(gè)三年計(jì)劃生
相關(guān)知識(shí)
高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例031
經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。教案的內(nèi)容要寫(xiě)些什么更好呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例031》，大家不妨來(lái)參考。希望您能喜歡！
1.2解三角形應(yīng)用舉例第一課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)
2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解
教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖
三、教學(xué)設(shè)想
1、復(fù)習(xí)舊知
復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類(lèi)型的三角形？
2、設(shè)置情境
請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。
3、新課講授
（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解
(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)
提問(wèn)1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？
提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。
分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。
解：根據(jù)正弦定理，得=
AB====≈65.7(m)
答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米
變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀(guān)察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀(guān)察站C的北偏東30，燈塔B在觀(guān)察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？
老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：akm
例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。
分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。
解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得
AC==
BC==
計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離
AB=
分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。
變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60
略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。
4、學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線(xiàn)的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。
5、課堂練習(xí)：課本第14頁(yè)練習(xí)第1、2題
6、歸納總結(jié)
解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解
四、課后作業(yè)
1、課本第22頁(yè)第1、2、3題
2、思考題：某人在M汽車(chē)站的北偏西20的方向上的A處，觀(guān)察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，汽車(chē)前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車(chē)站？
解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車(chē)前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
則sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得
MC===35
從而有MB=MC-BC=15
答：汽車(chē)還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車(chē)站。
作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)三
高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例033
一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫(xiě)呢？經(jīng)過(guò)搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例033”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。
1.2解三角形應(yīng)用舉例第三課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)
1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題
2、通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。
3、培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系
難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題
三、教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
[創(chuàng)設(shè)情境]
提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問(wèn)題。
Ⅱ.講授新課
[范例講解]
例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01nmile)
學(xué)生看圖思考并講述解題思路
分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。
解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根據(jù)余弦定理，
AC==≈113.15
根據(jù)正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,
所以CAB=19.0,75-CAB=56.0
答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15nmile
例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，
=。因?yàn)閟in4=2sin2cos2
cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE=x，AE=h
在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)
兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得
BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②
②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線(xiàn)方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？
師：你能根據(jù)題意畫(huà)出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型
分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。
解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x)=9+(10x)-2910xcos
化簡(jiǎn)得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC=10x=15,AB=14x=21,
又因?yàn)閟inBAC===
BAC=38,或BAC=141（鈍角不合題意，舍去），
38+=83
答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.
評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本第16頁(yè)練習(xí)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：
（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。
Ⅴ.課后作業(yè)
《習(xí)案》作業(yè)六
高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例034
一名愛(ài)崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠聽(tīng)懂教師所講的內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。那么，你知道高中教案要怎么寫(xiě)呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例034》，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。
1.2解三角形應(yīng)用舉例第四課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)
1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題,掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用
2、本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。
3、讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目
難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題
三、教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
[創(chuàng)設(shè)情境]
師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在
ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?br> 生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA
師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？
生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
Ⅱ.講授新課
[范例講解]
例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）
（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150;
（2）已知B=60,C=45,b=4cm;
（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=3cm,b=4cm,c=6cm
分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀(guān)察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。
解：略
例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？
思考：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？
本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。
解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，
cosB==≈0.7532
sinB=0.6578應(yīng)用S=acsinB
S≈681270.6578≈2840.38(m)
答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m。
變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S
提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
例3、在ABC中，求證：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀(guān)察式子左右兩邊的特點(diǎn)，用正弦定理來(lái)證明
證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)
===k顯然k0，所以
左邊===右邊
（2）根據(jù)余弦定理的推論，
右邊=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊
變式練習(xí)2：判斷滿(mǎn)足sinC=條件的三角形形狀
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（解略）直角三角形
Ⅲ.課堂練習(xí)課本第18頁(yè)練習(xí)第1、2、3題
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以?xún)烧呋煊谩?br> Ⅴ.課后作業(yè)
《習(xí)案》作業(yè)七
高一數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例032
1.2解三角形應(yīng)用舉例第二課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題
2、鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。
3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀(guān)察、歸納、類(lèi)比、概括的能力
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題
難點(diǎn)：能觀(guān)察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件
三、教學(xué)過(guò)程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
提問(wèn)：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就?lái)共同探討這方面的問(wèn)題
Ⅱ.講授新課
[范例講解]
例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀(guān)察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。
解：選擇一條水平基線(xiàn)HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、，CD=a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得
AC=AB=AE+h=AC+h=+h
例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)
師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？
若在ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？
生：需求出BD邊。
師：那如何求BD邊呢？
生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。
解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,
BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,=
所以AB==在RtABD中,得BD=ABsinBAD=
將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得BD==≈177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度約為150米.
思考：有沒(méi)有別的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思考如何求出AC？
例3、如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.
思考1：欲求出CD，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？（在BCD中）
思考2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？（BC邊）
解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,
=,BC=≈7.4524(km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度約為1047米
Ⅲ.課堂練習(xí)：課本第17頁(yè)練習(xí)第1、2、3題
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。
Ⅴ.課后作業(yè)
作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)五
