高中必修一函數(shù)教案

高一數(shù)學教案：《函數(shù)模型及其應用》教學設計（一）。

高一數(shù)學教案：《函數(shù)模型及其應用》教學設計（一）

教學目標：

1．能根據(jù)實際問題的情境建立數(shù)學模型，利用計算工具，結合對函數(shù)性質的研究，給出問題的解答；

2．通過實例，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)在解決一些簡單的實際問題中的應用，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用；

3．在解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題、探索問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學習數(shù)學的興趣.

教學重點：

一次函數(shù)、二次函數(shù)以及指、對數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)的應用．

教學難點：

從生活實例中抽象出數(shù)學模型.

教學過程：

一、問題情境

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬，如果人口的年自然增長率為1.2﹪，問:

（1）寫出該城市人口數(shù)y(萬人)與經(jīng)歷的年數(shù)x之間的函數(shù)關系式;

（2）計算10年后該城市的人口數(shù)；

（3）計算大約多少年后，該城市人口將達到120萬?

（4）如果20年后該城市人口數(shù)不超過120萬，年人口自然增長率應該控制在多少？

二、學生活動

回答上述問題，并完成下列各題：

1．等腰三角形頂角y(單位：度)與底角x的函數(shù)關系為?。?/p>

2．某種茶杯，每個0.5元，把買茶杯的錢數(shù)y(元)表示為茶杯個數(shù)x(個)的函數(shù) 　 ，其定義域為 　 ．

三、數(shù)學應用

例1　某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元，分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P(萬元)、銷售收入R(元)以及利潤L(萬元)關于總產(chǎn)量x臺的函數(shù)關系式．

例2　大氣溫度y(℃)隨著離開地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km為止，大約每上升1 km，氣溫降低6℃，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒變(設地面溫度為22℃)．

求：（1） y與x的函數(shù)關系式；

（2）x＝3.5 km以及x＝12km處的氣溫．

變式：在例2的條件下，某人在爬一座山的過程中，分別測得山腳和山頂?shù)臏囟葹?6℃和14.6℃，試求山的高度．

四、建構數(shù)學

利用數(shù)學某型解決實際問題時，一般按照以下步驟進行：

1．審題：理解問題的實際背景，概括出數(shù)學實質，嘗試將抽象問題函數(shù)化；

2．引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，即根據(jù)所學知識建立函數(shù)關系式，并確定函數(shù)的定義域；

3．用數(shù)學的方法對得到的數(shù)學模型予以解答，求出結果；

4．將數(shù)學問題的解代入實際問題進行檢驗，舍去不合題意的解，并作答.

五、鞏固練習

1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時的全部支出稱為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x件時的成本函數(shù)是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件這種商品的收入是200元，那么生產(chǎn)并銷售這種商品的數(shù)量是200件時，該企業(yè)所得的利潤可達到元．

2．有m部同樣的機器一起工作，需要m小時完成一項任務．設由x部機

器（x為不大于m的正整數(shù)）完成同一任務，求所需時間y(小時)與機器的

部數(shù)x的函數(shù)關系式．

3．A，B兩地相距150千米，某人以60千米/時的速度開車從A到B，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A，則汽車離開A地的距離x與時間t的函數(shù)關系式為．

4．某車站有快、慢兩種車，始發(fā)站距終點站7.2km，慢車到達終點需16min，快車比慢車晚發(fā)車3min，且行駛10min到達終點站.試分別寫出兩車所行路程關于慢車行駛時間的函數(shù)關系式．兩車在何時相遇？相遇時距始發(fā)站多遠？

5．某產(chǎn)品總成本C(萬元)與產(chǎn)量x(臺)滿足關系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每臺產(chǎn)品售價25萬元，要使廠家不虧本，則最少應生產(chǎn)多少臺？

六、要點歸納與方法小結

1．利于函數(shù)模型解決實際問題的基本方法和步驟；

2．一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)的應用．

七、作業(yè)

課本P100－練習1，2，3．

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高一數(shù)學教案：《函數(shù)模型及其應用》教學設計（二）

教學目標：

1.能根據(jù)圖形、表格等實際問題的情境建立數(shù)學模型，并求解；進一步了解函數(shù)模型在解決簡單的實際問題中的應用，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用；

2.在解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題、探索問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學習數(shù)學的興趣.

教學重點：

在解決以圖、表等形式作為問題背景的實際問題中，讀懂圖表并求解.

教學難點：

對圖、表的理解.

教學方法：

講授法，嘗試法.

教學過程：

一、情境創(chuàng)設

已知矩形的長為4，寬為3，如果長增加x，寬減少0.5x，所得新矩形的面積為S．

（1）將S表示成x的函數(shù)；

（2）求面積S的最大值，并求此時x的值．

二、學生活動

思考并完成上述問題．

三、例題解析

例1　有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)關系式，并求出它的定義域．

例2　一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)每間客房每天的價格與住房率有如下關系：

每間客房定價

20

18

16

14

住房率

65%

75%

85%

95%

要使每天收入最高，每間客房定價為多少元？

例3　今年5月，荔枝上市．由歷年的市場行情得知，從5月10日起的60天內，荔枝的市場售價與上市時間的關系大致可用如圖所示的折線ABCD表示(市場售價的單位為元／500g)．

請寫出市場售價S(t)(元)與上市時間t(天)的函數(shù)關系式，并求出6月20日當天的荔枝市場售價．

練習：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直線l：x＝t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S，則函數(shù)S＝f(t)的大致圖象為( )

2．一個圓柱形容器的底部直徑是dcm，高是hcm，現(xiàn)在以vcm3/s的速度向容器內注入某種溶液，求容器內溶液的高度x(cm)與注入溶液的時間t(s)之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域．

3．向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀可能是( )

4．某公司將進貨單價為10元一個的商品按13元一個銷售，每天可賣200個．若這種商品每漲價1元，銷售量則減少26個．

（1）售價為15元時，銷售利潤為多少？

（2）若銷售價必須為整數(shù)，要使利潤最大，應如何定價？

5．根據(jù)市場調查，某商品在最近40天內的價格f(t)與時間t滿足：

四、小結

利用圖、表建模；分段建模．

五、作業(yè)

課本P110－10．

高一數(shù)學教案：《函數(shù)模型的應用舉例》教學設計

高一數(shù)學教案：《函數(shù)模型的應用舉例》教學設計

項目

內容

課題

函數(shù)模型的應用舉例

（共2課時）

修改與創(chuàng)新

教學

目標

1.培養(yǎng)學生由實際問題轉化為數(shù)學問題的建模能力，即根據(jù)實際問題進行信息綜合列出函數(shù)解析式.

2.會利用函數(shù)圖象性質對函數(shù)解析式進行處理得出數(shù)學結論，并根據(jù)數(shù)學結論解決實際問題.

3.通過學習函數(shù)基本模型的應用，體會實踐與理論的關系，初步向學生滲透理論與實踐的辯證關系.

教學重、

難點

根據(jù)實際問題分析建立數(shù)學模型和根據(jù)實際問題擬合判斷數(shù)學模型，并根據(jù)數(shù)學模型解決實際問題.

教學

準備

教學過程

第1課時

函數(shù)模型的應用實例

導入新課

上一節(jié)我們學習了不同的函數(shù)模型的增長差異，這一節(jié)我們進一步討論不同函數(shù)模型的應用.

提出問題

①我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設備和服務都很好，但收費方式不同.甲家每張球臺每小時5元；乙家按月計費，一個月中30小時以內(含30小時)每張球臺90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元.小張準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時.

設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x).

②A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全.核電站距城市距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.

把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求定義域.

③分析以上實例屬于那種函數(shù)模型.

討論結果：①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；

③分別屬于一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型.

例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系如圖所示.

(1)求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

(2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象.

圖3-2-2-1

活動：學生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實際，可以提示引導：

圖中橫軸表示時間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個時間段速度不斷變化，汽車里程表讀數(shù)skm與時間th的函數(shù)為分段函數(shù).

解：(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360km.

(2)根據(jù)圖，有

這個函數(shù)的圖象如圖3-2-2-2所示.

圖3-2-2-2

變式訓練

2007深圳高三模擬，理19電信局為了滿足客戶不同需要，設有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間關系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分別求出方案A、B應付話費(元)與通話時間x(分鐘)的函數(shù)表達式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由.

圖3-2-2-3

解：(1)先列出兩種優(yōu)惠方案所對應的函數(shù)解析式：

(2)當f(x)=g(x)時,x-10=50,

∴x=200.∴當客戶通話時間為200分鐘時，兩種方案均可;

當客戶通話時間為0≤x＜200分鐘，g(x)>f(x),故選擇方案A；

當客戶通話時間為x>200分鐘時，g(x)點評：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.

例2人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y=y0ert,

其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.

下表是1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：

年份

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

人數(shù)／萬人

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；

(2)如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達到13億？

解：(1)設1951～1959年的人口增長率分別為r1,r2,r3,…,r9.

由55196(1+r1)=56300，

可得1951年的人口增長率為r1≈0.0200.

同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1950～1959年期間，我國人口的年平均增長率為

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55196，則我國在1951～1959年期間的人口增長模型為

y=55196e0.0221t,t∈N.

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點圖，并作出函數(shù)y=55196e0.0221t(t∈N)的圖象(圖3-2-2-4).

圖3-2-2-4

由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.

(2)將y=130000代入y=55196e0.0221t,

由計算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國的人口就已達到13億.由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力.

變式訓練

一種放射性元素,最初的質量為500g,按每年10%衰減.

(1)求t年后,這種放射性元素質量ω的表達式;

(2)由求出的函數(shù)表達式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時間叫做半衰期).(精確到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)

解：(1)最初的質量為500g.

經(jīng)過1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;

經(jīng)過2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;

由此推知,t年后,ω=500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t=250,則0.9t=0.5,

所以

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

知能訓練

某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為5000元,并以純利潤20%確定出廠價.從1994年開始,公司通過更新設備和加強管理,使生產(chǎn)成本逐年降低.到1997年,盡管A型電腦出廠價僅是1993年出廠價的80%,但卻實現(xiàn)了50%純利潤的高效益.

(1)求1997年每臺A型電腦的生產(chǎn)成本;

(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù),求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分數(shù).(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:=2.236,=2.449)

活動：學生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實際，可以提示引導.

出廠價=單位商品的成本+單位商品的利潤.

解：(1)設1997年每臺電腦的生產(chǎn)成本為x元,依題意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)設1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為y,則依題意,得5000(1－y)4=3200,

即1997年每臺電腦的生產(chǎn)成本為3200元,1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低11%.

課堂小結

本節(jié)重點學習了函數(shù)模型的實例應用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應關注函數(shù)方程不等式之間的相互關系.

活動：學生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價.

引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結.

作業(yè)

課本P107習題3.2A組5、6.

板書設計

教學反思

高一數(shù)學函數(shù)模型的應用實例44

高一數(shù)學函數(shù)模型的應用實例45

§3.2.2函數(shù)模型的應用實例（Ⅲ）
一、三維目標
1、知識與技能能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實際問題。
2、過程與方法體驗收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會函數(shù)擬合的思想方法。
3、情感、態(tài)度、價值觀深入體會數(shù)學模型在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活及各個領域中的廣泛應用及其重要價值。
二、教學重點、難點：
重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。
難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立起函數(shù)模型，并進行模型修正。
三、學學與教學用具
1、學法：學生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。
2、教學用具：多媒體
四、教學設想
（一）創(chuàng)設情景，揭示課題
2003年5月8日，西安交通大學醫(yī)學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預測與控制策略數(shù)學模型”研究項目，馬知恩教授率領一批專家晝夜攻關，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應用軟件。
這一數(shù)學模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達60萬人。
這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢預測動力學模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預測。
本例建立教學模型的過程，實際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。
（二）嘗試實踐探求新知
例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表
（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。
2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？
探索以下問題：
1）借助計算器或計算機，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應的散點圖；
2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數(shù)的圖象較為接近？
3）你認為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關系比較合適？
4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進行適當?shù)臋z驗和評價.
5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？
本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導學生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷.
根據(jù)散點圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎上，引導學生對模型進行適當修正，并做出一定的預測.此外，注意引導學生體會本例所用的數(shù)學思想方法.
例2.將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：
時間（S）60120200240300
溫度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
時間（S）360420480540600
溫度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36

1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象；
2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫（℃）關于時間的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室內溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會降到10℃？對此結果，你如何評價？
本例意圖是引導學生進一步體會，利用擬合函數(shù)解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.
課堂練習：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件.由于產(chǎn)品質量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好.為了在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量，你能解決這一問題嗎？
探索過程如下：
1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖；
2）根據(jù)散點圖設想比較接近的可能的函數(shù)模型：
一次函數(shù)模型：
二次函數(shù)模型：
冪函數(shù)模型：
指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最后再一起討論確定.
（三）歸納小結，鞏固提高.
通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，是解決實際問題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下：

符合

實際

不符合實際