小學三角形教案

相似三角形的應用導學案(新湘教版九上)。

湘教版九年級上冊數(shù)學導學案
3.5相似三角形的應用
【學習目標】
1.會用相似三角形解決實際問題。
2.利用相似三角形解決實際問題中不能直接測量的物體的長度的問題
重點：運用相似三角形解決實際問題。
難點：在實際問題中建立數(shù)學模型。
【預習導學】
知識鏈接：

1.我們已經(jīng)學習的相似三角形性質(zhì)有哪些？

2.校園里有一棵大樹，要測量樹的高度，你能想出什么樣的測量方法？說一說！

【探究展示】
(一)合作探究
【活動1】測量河的寬度。
問題：如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小張想測量A，B間的距離，但由于受條件限制無法直接測量，你能幫助他想出一個可行的測量方法嗎?
方法：（如何構(gòu)造相似三角形？）

如果=2，且測得DE的長為50m，則A,B兩點間的距離為多少？

【活動2】測量物體的高度。
1.問題：在用步槍瞄準靶心時，要使眼睛（O）、準星（A）、靶心點（B）在同一條直線上.在射擊時，李明由于有輕微的抖動，致使準星A偏離到A’，如圖所示:已知OA=0.2m，OB=50m，AA’=0.0005m，求李明射擊到的點B’偏離靶心點B的長度BB’（近似地認為AA’∥BB’）.
(二)展示提升
1.如圖，直立在點D處的標桿CD長3m，站立在點F處的觀察者從點E處看到標桿頂C、旗桿頂A在一條直線上，已知BD=15m，F(xiàn)D=2m,EF=1.6m，求旗桿高AB。
2.如圖，某路口欄桿的短臂長為1m，長臂長為6m.當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高多少米？

3.如圖，小紅同學用自制的直角三角形紙板DEF量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直DE=80cmEF=40cm，測得AC=1.5m，CD=8m，求樹高AB.

【知識梳理】
1.平行得到相似，相似得到對應邊成比例，列比例式求值。
2.同一時刻物高與影長成比例。

【當堂檢測】
1.某一時刻樹的影長為8米，同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米，則樹高為多少米？www.lvshijia.net

如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直，設(shè)B點的最大高度為h1.若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設(shè)B′點的最大高度為h2，則下列結(jié)論正確的是（）
ABCD

【學后反思】
通過本節(jié)課的學習，
1.你學到了什么？
2.你還有什么樣的困惑？
3.你對自己本節(jié)課的表現(xiàn)滿意的地方在哪兒？哪些地方還需改進？

精選閱讀

《相似三角形的應用》教案

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課題

相似三角形的應用

總課時

2

本節(jié)課時

1

課型

新授課

學習目標

重、難點

課標要求

重難點

突破措施

問題預設(shè)

預設(shè)問題反饋

教

學

反

思

相似三角形導學案

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4.2相似三角形

[學習目標]

1．了解相似三角形的概念，會表示兩個三角形相似.

2．能運用相似三角形的概念判斷兩個三角形相似.

3．理解“相似三角形的對應角相等，對應邊成比例”的性質(zhì).

[學習重點和難點]

學習重點：相似三角形的概念

學習難點：在具體的圖形中找出相似三角形的對應邊，寫出比例式，需要具有一定分辨能力.

［課前自學，課中交流］

一、合作學習，探索新知

1、將圖1中△ABC的邊長縮小到原來的，并畫在圖1中,記為△（點，，分別對應點A，B，C）.

問題討論一：△與△ABC對應角之間有什么數(shù)量關(guān)系？

問題討論二：△與△ABC對應邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？

圖1

2、（1）相似三角形的定義：

(2)若△與△ABC相似,則記△△ABC,讀作:△△ABC

（3）幾何語言表述圖1中△與△ABC相似：

∵∠A=,∠B=,∠C=

∴△△ABC

3、（1）相似三角形的性質(zhì):

（2）相似三角形對應邊的，叫做相似三角形的相似比（或相似系數(shù)）。

圖1中△與△ABC的相似比為多少？△ABC與△的相似比為多少？

二、應用新知

例1如圖2，D，E分別是AB，AC邊的中點，求證：△ADE∽△ABC.

找一找：已知：如圖2，圖3，圖4,根據(jù)3個圖形，分別寫出他們的對應角和對應邊的比例式.

（1）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

（2）△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠C

（3）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC

例2如圖2，△ABC∽△ADE.已知AD:DB=1:2,BC=9㎝，求DE的長.

變式：如圖5，△ABC∽△ADE，AD=2㎝，AB=6㎝，AC=4㎝，求AE的長.

［當堂訓練］

A鞏固練習：

1．下列說法正確的是：

①兩個等腰三角形一定相似②兩個直角三角形一定相似③兩個等邊三角形一定相似.④兩個等腰直角三角形一定相似⑤兩個全等三角形一定相似

2.如圖,D是AB上一點,△ABC∽△ACD,且AD:AC=2:3,AD=4,∠ADC=65°,∠B=43°

(1)求∠ACB,∠ACD的度數(shù);

(2)寫出△ABC與△ACD的對應邊成比例的比例式,求出相似比..

3.下面兩組圖形中,每組的兩個三角形相似,試分別確定a,x的值.

(1)(2)

B中考鏈接：

4.(2010廣東梅州市)已知，相似比為3，且的周長為18，則的周長為（）

A．2B．3C．6D．54

C拓展提高:

5.已知△ABC與△DEF相似,△ABC的三邊為2,3,4,△DEF的最大邊為8,（1）求其余兩邊.（2）若改為△DEF的一邊為8呢？求其余兩邊.

相似三角形的應用舉例

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19.7相似三角形的應用

目的：利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題．
中考基礎(chǔ)知識
通過證明三角形相似
線段成比例

備考例題指導
例1．如圖，P是△ABC的BC邊上的一個動點，且四邊形ADPE是平行四邊形．
（1）求證：△DBP∽△EPC；
（2）當P點在什么位置時，SADPE=S△ABC，說明理由．
分析：
（1）證明兩個三角形相似，常用方法是證明兩個角對應相等，題目中有ADPE平行線角相等，命題得證．
（2）設(shè)=x，則=1-x，
ADPEDP∥AC，EP∥AB，
△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA
∴=（）2=（1-x）2，=（）2=x2
∴=x2+（1-x）2．
∵SADPE=S△ABC，即=．
∴x2+（1-x）2=（轉(zhuǎn)化為含x的方程）
x=，
∴=．
即P應為BC之中點．
例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，過點C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又關(guān)于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的兩個實數(shù)根的差的平方小于192，求m，n為整數(shù)時，一次函數(shù)y=mx+n的解析式．
分析：這是一個幾何、代數(shù)綜合題，由條件發(fā)現(xiàn)，建立關(guān)于m，n的方程或不等式，求出m，n再寫出一次函數(shù)．
抓條件：AC2：BC2=2：1做文章（轉(zhuǎn)化到m，n上）．
雙直角圖形有相似形比例式（方程）
∠ACB=90°，CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BAC
BC2=BDBA，同理有AC2=ADAB，
∴==m=2n①
抓條件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．
由（x1-x2）2192配方（x1+x2）2-4x1x2192．
64（n-1）2-16（m2-12）192，
4n2-m2-8n+40．②
①代入②n．
又由△≥0得4（n-1）2-4×（m2-12）≥0，
①代入上式得n≤2．③
由n，n≤2得n≤2．
∵n為整數(shù)，∴n=1，2．
∴m=2，4
∴y=2x+1，或y=4x+2．
遇根與系數(shù)關(guān)系題目則用韋達定理，但必須考慮△≥0．

備考鞏固練習
1．如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．關(guān)于x的一元二次方程x2-2b（a+）x+（a+b）2=0的兩根之和與兩根之積相等，D為AB上一點，DE∥AC交BC于E，EF⊥AB，垂足是F．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若BF=6，F(xiàn)D=4，CE=CD，求CE的長．
2．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上,種植花木如圖1
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當△AMD地帶種滿花后，共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用．
（2）若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應選擇種哪種花木，剛好用完后籌集的資金？（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設(shè)計一個花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并說出你的理由．

3．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交于點F，某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：
①當=1時，有EF=；②當=2時，有EF=；③當=3時，有EF=．當=k時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用k表示DE的一般結(jié)論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，DC=120cm，AD=70m，若要將這塊分割成兩塊，由兩位農(nóng)戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等，請你給出具體分割方案．
答案:
1．（1）由x1+x2=x1x2
得2b（a+）=（a+b）2
2ab+c2=a2+b2+2ab
∴△ABC是直角三角形．
∴c2=a2+b2
（2）易證△EFD∽△EDB，
∴EF2=DFDB=40．設(shè)CE=x，則CD=x，
∴DE=（x）2-x2=40x=4．
2．（1）∵四邊形ABCD是梯形（見圖）．
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，∴=（）2=．
∵種植△AMD地帶花帶160元．
∴=2（m2）∴S△OMB=80（m2）
∴△BMC地帶的花費為80×8=640（元）
（2）設(shè)△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h
∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4
∵=∴h2=8
∴S梯形ABCD=（AD+BC）h=×30×12=180
∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80（m2）
∴160+160+80×12=1760（元）
又：160+640+80×10=1600（元）
∴應種值茉莉花剛好用完所籌集的資金．
（3）點P在AD、BC的中垂線上（如圖），
此時，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC
∴△APB≌△DPC．
設(shè)△APD的高為x，則△BPC高為（12-x），
∴S△APD=×10x=5x，
S△BPC=×20（12-x）=10（12-x）．
當S△APD=S△BPC即5x=10（12-x）=8．
∴當點P在AD、BC的中垂線上且與AD的距離為8cm時，S△APD=S△BPC．
3．解：（1）猜想得：EF=
證明：過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴．
又EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴=k，可得EF=．
（2）在AD上取一點EF∥AB交BC于點F，
設(shè)=k，則EF=，DE=，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，則S梯形ABCD=2S梯形DCFE
∵梯形ABCD、DCEF為直角梯形
∴×70=2×（170+）×，
化簡得12k2-7k-12=0，解得k1=，k2=-（舍去）
∴DP==40，所以只需在AD上取點E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可將梯形分成兩個直角梯形，且它們的面積相等．