小學二年級數(shù)學教案

九年級數(shù)學下冊第5章二次函數(shù)教案學案（共21套蘇科版）。

二次函數(shù)
學生姓名：______班級：
學習目標
1.經(jīng)歷對實際問題情境分析確定二次函數(shù)表達式的過程，體會二次函數(shù)意義；
2.了解二次函數(shù)關系式，會確定二次函數(shù)關系式中各項的系數(shù)。
學習重點和難點：
體會二次函數(shù)意義，確定二次函數(shù)關系式中各項的系數(shù)
問題導學：
（一）情景
1．一粒石子投入水中，激起的波紋不斷向外擴展，擴大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關系式是____________。
2．用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?
設長方形的長為x米，則寬為____________米，如果將面積記為y平方米，那么變量y與x之間的函數(shù)關系式為________________________.
3．要給邊長為x米的正方形房間鋪設地板，已知某種地板的價格為每平方米240元，踢腳線的價格為每米30元，如果其他費用為1000元，門寬0.8米，那么總費用y為多少元？
在這個問題中,地板的費用與____________有關,為____________元,踢腳線的費用與有關,為____________元;其他費用固定不變?yōu)開___________元,所以總費用y（元）與x（m）之間的函數(shù)關系式是________________________。
（二）新知探索
上述函數(shù)函數(shù)關系有哪些共同之處？它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的關系式有什么不同？
________________________________________________________________________。
一般地，我們稱________________________表示的函數(shù)為二次函數(shù)。其中___________是自變量，____________函數(shù)。
一般地，二次函數(shù)中自變量x的取值范圍是____________，你能說出上述三個問題中自變量的取值范圍嗎？
（三）典例分析
例1、判斷：下列函數(shù)是否為二次函數(shù)，如果是，指出其中常數(shù)a.b.c的值.
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)

例2．當k為何值時，函數(shù)為二次函數(shù)？

例3．寫出下列各函數(shù)關系，并判斷它們是什么類型的函數(shù)．
⑴正方體的表面積S（cm2）與棱長a（cm）之間的函數(shù)關系；
⑵圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數(shù)關系；
⑶某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數(shù)x之間的函數(shù)關系；
⑷菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函數(shù)關系．

當堂檢測：
（1）如圖，學校準備將一塊長為20m、寬為14m的矩形陸地擴建。如果長、寬都增加xm，則擴建面積S(m2)與x（m）之間的函數(shù)關系式為_____________。

(2)如圖，把一張長為30cm、寬為20cm的矩形紙片的一角漸趨一個正方形，則剩余擴建面積S(cm2)與所剪正方形邊長x（cm）之間的函數(shù)關系式為_____________。
（3）圓柱的高14cm，則圓柱的體積V（cm3）與底面半徑r之間的函數(shù)關系式為.
（4）某化肥廠10月份生產(chǎn)某種化肥200t，如果11、12月的月平均增長率為x，則12月份化肥的產(chǎn)量y(t)與x之間的函數(shù)關系式為_____________。

課后作業(yè)（1）：
1.已知函數(shù)是二次函數(shù)，則m=_________.
2.已知二次函數(shù)，當x=3時，y=-5，當x=-5時，求y=_________.
3.一個長方形的長是寬的1.6倍，這個長方形的面積S與寬x之間函數(shù)關系式為_________。
4.如圖，用50m長的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，則花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數(shù)關系式為__________，x的取值范圍是___________。
5.如圖，在長200m，寬80m的矩形廣場內(nèi)修建等寬的十字形道路，則陸地面積y（m2）與路寬邊長x（m）之間的函數(shù)關系式為_____________。
6.一個圓柱的高與底面直徑相等，它的表面積S與底面半徑r之間的函數(shù)關系式為.
7.用一根長為40cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關系式．這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請寫出半徑r的取值范圍．

8.一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個半圓，下部是一個矩形，矩形的一邊長2.5m．
⑴求隧道截面的面積S（m2）關于上部半圓半徑r（m）的函數(shù)關系式；
⑵求當上部半圓半徑為2m時的截面面積．（π取3.14，結(jié)果精確到0.1m2）

課后作業(yè)（2）：
1.下列函數(shù)：（1）y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,屬于二次函數(shù)的是(填序號).
2.函數(shù)y=(a-b)x2+ax+b是二次函數(shù)的條件為.
3.下列函數(shù)關系中,滿足二次函數(shù)關系的是()
A.圓的周長與圓的半徑之間的關系B.在彈性限度內(nèi),彈簧的長度與所掛物體質(zhì)量的關系
C.圓柱的高一定時,圓柱的體積與底面半徑的關系
D.距離一定時,汽車行駛的速度與時間之間的關系
4.某超市1月份的營業(yè)額為200萬元,2、3月份營業(yè)額的月平均增長率為x，第一季度營業(yè)額y（萬元）與x的函數(shù)關系式為.
5、一塊直角三角尺的形狀與尺寸如圖，若圓孔的半徑為，三角尺的厚度為16，求這塊三角尺的體積V與n的函數(shù)關系式為.jAB88.CoM

6.某地區(qū)原有20個養(yǎng)殖場，平均每個養(yǎng)殖場養(yǎng)奶牛2000頭。后來由于市場原因，決定減少養(yǎng)殖場的數(shù)量，當養(yǎng)殖場每減少1個時，平均每個養(yǎng)殖場的奶牛數(shù)將增加300頭。如果養(yǎng)殖場減少x個，求該地區(qū)奶?？倲?shù)y（頭）與x（個）之間的函數(shù)關系式.

7.圓的半徑為2cm，假設半徑增加xcm時，圓的面積增加到y(tǒng)(cm2).
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當圓的半徑分別增加1cm、時，圓的面積分別增加多少？
（3）當圓的面積為5πcm2時,其半徑增加了多少?

8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)證明y是x的二次函數(shù);
(2)當k=-2時,寫出y與x的函數(shù)關系式.

延伸閱讀

九年級數(shù)學上冊第22章二次函數(shù)教案（共14套新人教版）

22．1.1二次函數(shù)
01教學目標
1．結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的有關概念．
2．能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系．

02預習反饋
閱讀教材P28～29，理解二次函數(shù)的意義及有關概念，完成下列內(nèi)容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為a，b，c．
(1)下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是(D)
A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1
C．y＝12(x＋1)(x－1)D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函數(shù)y＝x2＋4x中，二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是4，常數(shù)項是0．
【點撥】判斷二次函數(shù)要緊扣定義．
2．現(xiàn)在我們已學過的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)，它們的表達式分別是y＝ax＋b(a，b是常數(shù)，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)．
如：一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關系式．
解：S表＝4πr2.

03新課講授
例1(教材P28問題1)n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽．寫出比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)n之間的關系式．
【解答】每個球隊要與其他(n－1)個球隊各比賽一場，甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以比賽的場次數(shù)是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.

【跟蹤訓練1】(22.1.1習題)某校九(1)班共有x名學生，在畢業(yè)典禮上每兩名同學都握一次手，共握手y次，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函數(shù)．

例2(教材P28問題2)某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？
【解答】這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20t，一年后的產(chǎn)量是20(1＋x)t，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是20(1＋x)(1＋x)t，即兩年后的產(chǎn)量y＝20(1＋x)2．

【跟蹤訓練2】(22.1.1習題)國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設平均每次降價的百分率為x，該藥品原價為18元，降價后的價格為y元，則y與x的函數(shù)關系式為(C)
A．y＝36(1－x)B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)

例3(教材P29練習T2的變式)一個正方形的邊長是12cm，若從中挖去一個長為2xcm，寬為(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面積為ycm2.
(1)寫出y與x之間的關系式，并指出y是x的什么函數(shù)？
(2)當小矩形中x的值分別為2和4時，相應的剩余部分的面積是多少？
【解答】(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函數(shù)．
(2)當x＝2和4時，相應的y的值分別為132和104.
【點撥】幾何圖形的面積一般需畫圖分析，相關線段必須先用x的代數(shù)式表示出來．
【跟蹤訓練3】用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，寫出場地面積S(m2)與矩形一邊長a(m)之間的關系式．
解：S＝a（60－2a）2＝－a2＋30a.

04鞏固訓練
1．下列方程是一元二次方程的是(A)
A．(5－a)2＝2B．3x2＋x－y2＝0
C．y2＝5－(2y－y3)D．x－1x2＋1＝0
2．若y＝(b－1)x2＋3是二次函數(shù)，則b≠1．
3．有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有y人患了流感，每輪傳染中，平均一個人傳染了x人，則y與x之間的函數(shù)關系式為y＝x2＋2x＋1．
4．如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB邊長為xm，則菜園的面積y(m2)與x(m)的函數(shù)解析式為y＝－12x2＋15x(不要求寫出自變量x的取值范圍)．
5．已知函數(shù)y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常數(shù))．m為何值時，它是二次函數(shù)？
解：m＝4.
【點撥】不要忽視m＋1≠0.

05課堂小結(jié)
1．二次函數(shù)的定義．
2．熟記二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c為常數(shù)．
3．如何表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系？

22.1.2二次函數(shù)y＝ax2的圖象和性質(zhì)
01教學目標
1．能夠用描點法畫函數(shù)y＝ax2的圖象，并能根據(jù)圖象認識和理解其性質(zhì)．
2．初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化．

02預習反饋
閱讀教材P30～32，自學“例1”“思考”“探究”“歸納”，掌握用描點法畫函數(shù)y＝ax2圖象的方法，理解其性質(zhì)，完成下列內(nèi)容．
1．一般地，當a0時，拋物線y＝ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越?。?br> 2．一般地，當a0時，拋物線y＝ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越?。?br> 3．從二次函數(shù)y＝ax2的圖象可以看出：如果a0，當x0時，y隨x的增大而減小，當x0時，y隨x的增大而增大；如果a0，當x0時，y隨x的增大而增大，當x0時，y隨x的增大而減小．
4．(1)拋物線y＝2x2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點；
(2)拋物線y＝－3x2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點；
(3)在拋物線y＝2x2對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；
(4)在拋物線y＝－3x2對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減?。?/p>

03新課導入
回顧：一次函數(shù)的圖象是一條直線．
思考：二次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？還記得如何用描點法畫一個函數(shù)的圖象嗎？
畫函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點、連線．
導入：你能畫出二次函數(shù)y＝x2的圖象嗎？
第一步：列表：

x…－3－2－10123…
y＝x2…9410149…
第二步：描點，在平面直角坐標系中描出表中各點，如圖1.
圖1
圖2

第三步：連線，用平滑的曲線順次連接各點，就得到二次函數(shù)y＝x2的圖象，如圖2.
思考：觀察函數(shù)y＝x2的圖象，它有什么特點？
總結(jié)：(1)二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，這條曲線叫做拋物線；
(2)拋物線y＝x2的對稱軸是y軸，拋物線與它的對稱軸的交點是(0，0)，它是圖象的最低點，叫做拋物線的頂點；
(3)在對稱軸的左側(cè)，拋物線y＝x2從左到右下降；在對稱軸的右側(cè)，拋物線y＝x2從左到右上升．也就是說，當x0時，y隨x的增大而減?。划攛0時，y隨x的增大而增大．

04新課講授
例1(教材P30例1)在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝12x2，y＝2x2的圖象．
【解答】分別列表，畫出它們的圖象，如圖．

x…－4－3－2－101234…
y＝12x2
…84.520.500.524.58…

x…－2－1.5－1－0.500.511.52…
y＝2x2…84.520.500.524.58…
思考：函數(shù)y＝12x2，y＝2x2的圖象與函數(shù)y＝x2的圖象相比，有什么共同點和不同點？
總結(jié)：共同點是開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點；不同點是開口大小不同，x2的系數(shù)越大，拋物線的開口越小．

例2(教材P30例1的變式)在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的圖象，并考慮這些拋物線有什么共同點和不同點？
【解答】畫出圖象如圖．
思考：當a＜0時，二次函數(shù)y＝ax2的圖象有什么特點？
【點撥】可從開口方向、對稱軸、頂點、開口大小去比較和尋找規(guī)律．

【跟蹤訓練1】(1)函數(shù)y＝－2x2的圖象是拋物線，頂點坐標是(0，0)，對稱軸是y軸，開口方向是向下；
(2)函數(shù)y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的圖象如圖所示，請指出三條拋物線的解析式．
解：根據(jù)拋物線y＝ax2中a的值來判斷，上面最外面的拋物線為y＝12x2，中間為y＝x2，在x軸下方的為y＝－2x2.
【點撥】拋物線y＝ax2，當a0時，開口向上；當a0時，開口向下，|a|越大，開口越小．

例3(補充例題)已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2＋m－4是關于x的二次函數(shù)．
(1)求滿足條件的m的值；
(2)當m為何值時，拋物線有最低點？求這個最低點；
(3)當x為何值時，y隨x的增大而增大？當x為何值時，y隨x的增大而減??？
【解答】(1)由題意，得
m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.
∴當m＝2或m＝－3時，函數(shù)為二次函數(shù)．
(2)若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，
∴m＋20，即m－2.∴m＝2.
這個最低點為拋物線的頂點，其坐標為(0，0)，
(3)當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減小．
【點撥】也可結(jié)合圖象來分析完成此題．

【跟蹤訓練2】已知函數(shù)y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函數(shù)，且開口向上．求m的值及二次函數(shù)的解析式，并回答y隨x的變化規(guī)律．
解：由題意有m－10，m2－2m＋2＝2.
解得m＝0(舍去)，m＝2.
所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2.
所以當x0時，y隨x的增大而減小，
當x0時，y隨x的增大而增大．

05鞏固訓練
1．拋物線y＝－13x2的開口向下，頂點坐標是(0，0)，頂點是拋物線的最高(填“低”或“高”)點．

2．在同一直角坐標系中，拋物線y＝13x2與拋物線y＝－13x2的形狀相同，開口方向相反，兩條拋物線關于x軸對稱．
3．當m＝－2時，拋物線y＝(m－1)xm2＋m開口向下，對稱軸為y軸，當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減?。?br> 4．二次函數(shù)y＝－6x2，當x1x20時，y1與y2的大小關系是y1y2．
5．一個二次函數(shù)，它的圖象的頂點是原點，對稱軸是y軸，且經(jīng)過點(－1，14)．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)圖象指出，當x＞0時，若x增大，y怎樣變化？當x＜0時，若x增大，y怎樣變化？
解：(1)由題意，設二次函數(shù)解析式為y＝ax2，
將(－1，14)代入，得y＝14x2。
(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象如圖．
(3)當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減?。?/p>

06課堂小結(jié)
1．畫二次函數(shù)y＝ax2的圖象時，應注意些什么？
2．你是如何理解并熟記拋物線y＝ax2的性質(zhì)的？

拋物線y＝ax2(a0)y＝ax2(a0)
頂點坐標(0，0)(0，0)
對稱軸y軸y軸
位置在x軸的上方(除頂點外)在x軸的下方(除頂點外)
開口方向向上向下
增減性在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小
在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大
在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小
開口大小a越大，開口越小
a越大，開口越小

九年級數(shù)學上冊第21章一元二次方程教案（共19套新人教版）

第二十一章一元二次方程
21．1一元二次方程
※教學目標※
【知識與技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式，能將一個一元二次方程化為一般形式.
2.理解二次根式的根的概念，會判斷一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根.
【過程與方法】
1.通過根據(jù)實際問題列方程，向?qū)W生滲透知識來源于生活.
2.通過觀察，思考，交流，獲得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三種特殊形式.
3.經(jīng)歷觀察，歸納一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感態(tài)度】
通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情．
【教學重點】
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教學難點】
通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．
※教學過程※
一、情境導入
（課件展示問題）雷鋒紀念館前的雷鋒雕像高為2m，設計者當初設計它的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部與全部的積，如果設此雕像的下部高為xm，則其上部高為(2-x)m，由此可得到的等量關系如何？它是關于x的方程嗎？如果是，你能看出它和我們以往學過的方程有什么不同嗎?
二、探索新知
由上述問題，我們可以得到，即.顯然這個方程只含有一個未知數(shù)，且x的最高次數(shù)為2，這類方程在現(xiàn)實生活中有廣泛的應用.
探究問題1如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四角突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

教師設置如下問題學生討論：
如果設四角折起的正方形的邊長為xcm，則制成的無蓋方盒的底面長為多少？寬為多少？由底面積為3600m2可得到的方程又是怎樣的？
討論結(jié)果：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(100-2x)cm，
寬為(50-2x)cm.根據(jù)方盒的底面積為3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得.化簡得.由次方程可以得出所切正方形的具體尺寸.
探究問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據(jù)場地和時間條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
教師提出以下問題，引導學生思考方程的建模過程：
（1）這次比賽共安排多少場？
（2）若設應邀請x個隊參賽，則每個隊與其他幾個隊各賽一場？這樣共應有多少場比賽？
（3）由此可列出的方程是什么？化簡后的方程是什么？
討論結(jié)果：全部比賽的場數(shù)為.設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x-1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共場.列方程.整理，得.化簡，得，即.
觀察思考，口答下面的問題：
（1）上面的方程整理后含有幾個未知數(shù)？
（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？
（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？
老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程．
歸納總結(jié)
像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．
想一想
二次項系數(shù)a為什么不能為0？在指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項時，a、b、c一定是正數(shù)嗎？
探究問題3探究問題2中可以看出，由于參賽球隊的支數(shù)x只能是正整數(shù)，由此可列下表：
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得，當x=8時，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
學生思考
方程有一個根為x=8，它還有其他的根嗎？
當x=-7時，，故x=-7也是方程的一個根.
歸納總結(jié)
使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的根.一個一元二次方程如果有實數(shù)根，則必然有兩個實數(shù)根，通常記為，．
三、掌握新知
例1求證：關于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明即可．
證明：
∵，
∴，即．
∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
例2將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等．
解：去括號，得．
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式．
其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10．
四、鞏固練習
1.在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（）
①,②,③,④.
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.已知方程的一個根是，則m的值為________．
3.關于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍是_________.
4.根據(jù)下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
（1）4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x;
（2）一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x.
答案：1.A2.-133.a≠14.（1），其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為-25；（2），其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為12，常數(shù)項為-100.
五、歸納小結(jié)
1.本節(jié)課要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用．
2.通過這節(jié)課的學習，你還有那些收獲？
※布置作業(yè)※
從教材習題21．1中選取.
※教學反思※
1.注重知識的前后練習，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學生理解的難度.
2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與設疑相結(jié)合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.
3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，鞏固知識.
4.對于一元二次方程的根的概念形成過程，要讓學生大膽猜測，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，讓學生在交流中體會成功.

21．1一元二次方程
01教學目標
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式，確定出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
2．理解一元二次方程的根的意義，能夠運用代入法檢驗根的正確性．

02預習反饋
1．等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．
3．使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的過程，叫做解方程．
如：下面哪些數(shù)是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

03新課講授
類型1一元二次方程的一般形式
例1(教材P3例)將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化為一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．
【解答】去括號，得3x2－3x＝5x＋10.
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為－8，常數(shù)項為－10.
【方法歸納】1.把一元二次方程化為一般形式，就是把一元二次方程化為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項均包括數(shù)字前的符號．
2．將一元二次方程化為一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整．

【跟蹤訓練1】方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)
A．x2－5x＋5＝0B．x2＋5x＋5＝0
C．x2＋5x－5＝0D．x2＋5＝0

【跟蹤訓練2】(21.1習題)一個關于x的一元二次方程，它的二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為3，常數(shù)項為－5，則這個一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．

類型2一元二次方程的解的意義
例2(教材補充例題)關于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a－1＝0的一個根為0，則a＝1．
【思路點撥】將x＝0代入一元二次方程，得到關于a的方程，解方程即可．注意二次項系數(shù)a＋1≠0.
【跟蹤訓練3】已知關于x的方程x2＋bx＋a＝0的一個根是x＝－a(a≠0)，則a－b的值為(A)
A．－1B．0C．1D．2

04鞏固訓練

1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是關于x的一元二次方程，則(D)
A．p＝2B．p≠0C．p＞2D．p≠2
2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是(D)
A．5、－4、6B．1、－5、0C．5、－2、1D．5、－4、－3
3．若x＝3是關于x的方程2x2＋ax－6＝0的一個根，則a的值是－4．
4．根據(jù)題意，列出方程(不必解答)：
(1)兩個連續(xù)整數(shù)的積是210，求這兩個數(shù)；
(2)在一塊長250m、寬150m的草地四周修一條路，路修好后草地的面積減少1191m2，求這條路的寬度．
解：(1)設其中一個整數(shù)為x，則另一個整數(shù)為(x＋1)，依題意，得x(x＋1)＝210.
(2)設這條路的寬為xm，則(250－2x)(150－2x)＝250×150－1191.

05課堂小結(jié)

九年級數(shù)學上期終復習要點三(蘇科版第五章二次函數(shù))

為了促進學生掌握上課知識點，老師需要提前準備教案，大家應該在準備教案課件了。用心制定好教案課件的工作計劃，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有沒有出色的范文是關于教案課件的？為滿足您的需求，小編特地編輯了“九年級數(shù)學上期終復習要點三(蘇科版第五章二次函數(shù))”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

2015—2016學年第一學期初三數(shù)學期終復習要點三
第5章二次函數(shù)
知識點：二次函數(shù)，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定解析式，二次函數(shù)與一元二次方程，用二次函數(shù)解決問題。
典型例題：
例1．在下列各點中，一定在二次函數(shù)y=(x1)2+2圖象上的是（）
A．(0，2)B．(1，2)C．(1，2)D．(1，0)
例2．已知二次函數(shù)y=x24x+3，當x0時，函數(shù)值y的取值范圍是（）
A．y＞3B．y＜3C．y≥1D．1≤y＜3
例3．已知拋物線y=ax2+2x+c的頂點坐標為(1，4)，則c的值為.
例4．如圖，在拋物線y=x2的內(nèi)部依次畫正方形，使對角線在y軸上，另兩個頂點落在拋物線上.按此規(guī)律堆壘，第2015個正方形的邊長是．
例5．已知點M(2，1)在二次函數(shù)y=ax22bx+1的圖象上．
(1)b=；（用含的代數(shù)式表示）；
(2)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為A、B，若AB=1，求該二次函數(shù)的表達式；
(3)在(2)的條件下，若A(m，y1)，B(m+2，y2)兩點都在該函數(shù)圖象上，試探究y1與y2的大小.

例6．如圖，拋物線y=x2+bx4與x軸交于點B(2，0)和C，點M在y軸上．
(1)求拋物線的解析式；(2)連結(jié)BM并延長，交拋物線于點D，過點D作DE⊥BC于點E.當以B、D、E為頂點的三角形與△AOC相似時，求點M的坐標；
(3)連結(jié)BM，當∠OMB+∠OAB=∠ACO時，求AM的長.

當堂練習：
1．教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)2間的關系為y＝－(x－4)2＋3，由此可知鉛球推出的距離是（）
A．2mB．8mC．10mD．12m
2．已知拋物線y＝a(x＋1)(x－)與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使△ABC為等腰三角形的a的值有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
3．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的x與y的部分對應值如表，則當x＝－1時，y的值為．
4．已知二次函數(shù)y＝(a－1)x2－2x＋l的圖像與x軸有兩個交點，則a的取值范圍是．
5．已知拋物線y＝ax2經(jīng)過點A(－2，4)．
(1)求該拋物線的函數(shù)關系式；(2)判斷點B（－，－3）是否在此拋物線上；
(3)若圖像上有兩點M(x1，y1)、N（x2，y2），其中l(wèi)，則y1y2(在橫線上填“”“＝”或“”）．

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x－3與拋物線y＝x2＋mx＋n相交于兩個不同的點A、B，其中點A在x軸上．
(1)則A點坐標為▲；
(2)若點B為該拋物線的頂點，求m、n的值；
(3)在(2)條件下，設該拋物線與x軸的另一個交點為C，請你探索在平面內(nèi)是否存在點D，使得△DAC與△DCO相似？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

課后作業(yè)：
1．已知函數(shù)y＝，則自變量x的取值范圍是（）
A．x－1B．x－1C．x≤－1D．x≥－1
2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a(a≠0)的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（）
A．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4；
B．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根；
C．當x1時，y隨x的增大而增大；
D．當x≤－1或x≥3時，不等式ax2＋bx＋c≥0成立.
（第2題）（第3題）
3．如圖，已知拋物線y＝－x2＋px＋q的對稱軸為直線x＝－3，過其頂點M的一條直線y＝kx＋b與該拋物線的另一個交點為N（－1，1）．若要在y軸上找一點P，使得PM＋PN最小，則點P的坐標為（）
A．(0，2)B．（0，）C．（0，）D．（0，）
4．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象的頂點為A，且與y軸交于點C．
(1)求點A與點C的坐標；
(2)若將此函數(shù)的圖象沿z軸向右平移1個單位，再沿y軸向下平移3個單位，請直接寫出平移后圖象所對應的函數(shù)關系式及點C的對應點的坐標；
(3)若A(m，y1)，B(m＋1，y2)兩點都在此函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大?。?br>

5.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x－1交z軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．
(1)填空：點A坐標為▲，拋物線的解析式為▲；
(2)在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位／秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向E以2個單位／秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．連接PQ，是否存在實數(shù)t，使得PQ所在的直線經(jīng)過點D，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
(3)在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位／秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？
參考答案：
典型例題：
1、B；2、C；3、3；4、；5、(1)b=a．2
(2)拋物線的對稱軸為：直線x=1．3
∵AB=1，∴點(，0)在拋物線上.4
代入表達式：y=ax22ax+1得：a=．即表達式為：y=x2x+1．5
(3)①當m=0時，y1=y2；6
②當m0時，y1y2；7
③當m0時，y1y2．8
6.解：(1)由題意得：0=22b4，解之得：b=1．1
∴該函數(shù)解析式為：y=x2x4．2
(2)易證：△BOM∽△BED．
∴為使△BDE與△AOC相似，只需△BOM與△AOC相似．
易得：OC=4，OB=2，OA=4，∴△AOC為等腰直角三角形．4
∴△BOM也為等腰直角三角形．∴M(0，2)或M(0，2)．6
(3)如圖，點M1滿足條件∠OM1B+∠OAB=∠ACO.
∵∠ACO=45°，∴∠DBM1=45°.
過點M1作M1D⊥AB于點D.
∴DB=DM1.
在Rt△AOB中，易得：AB=，
tan∠BAO=.
設DM1=x，則在Rt△AOB中，
易得：.
解之得：x=.
∴AM1=DM1=10.8
根據(jù)對稱性，在y軸負半軸上，OM2=OM1.
∴AM2=OM2OA=1044=2.10
當堂練習：
1、C；2、C；3、-3；4、且；5、
6.
課后作業(yè)：
1、D；2、C；3、A；4、