高中三角函數(shù)的教案

九年級數(shù)學(xué)下28.1.4一般角的三角函數(shù)值學(xué)案(人教版)。

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三角函數(shù)值

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識點，老師需要提前準(zhǔn)備教案，準(zhǔn)備教案課件的時刻到來了。在寫好了教案課件計劃后，新的工作才會如魚得水！你們知道哪些教案課件的范文呢？以下是小編為大家收集的“三角函數(shù)值”但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

本節(jié)在前兩節(jié)介紹了正切、正弦、余弦定義的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義，并能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

因此本節(jié)的重點是利用三角函數(shù)的定義求30°、45°、60°這些特殊角的特殊三角函數(shù)值，并能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.難點是利用已有的數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出30°、45°、60°這些特殊角的三角函數(shù)值.

三角尺是學(xué)生非常熟悉的學(xué)習(xí)用具，教學(xué)中，教師應(yīng)大膽地鼓勵學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識如“直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”的特性，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和計算能力.

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

(二)思維訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

(三)情感與價值觀要求

1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣.

2.在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

教具重點

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

2.能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.

教學(xué)難點

進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

教學(xué)方法

自主探索法

教學(xué)準(zhǔn)備

一副三角尺

多媒體演示

教學(xué)過程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[問題]為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角尺；②皮尺.請你設(shè)計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.

(用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生交流各自的想法)

[生]我們組設(shè)計的方案如下：

讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點，30°的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出AB的長度，BE的長度，因為DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的長度即可.

[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，設(shè)BE=a米，則AD＝a米，如何求CD呢?

[生]含30°角的直角三角形有一個非常重要的性質(zhì)：30°的角所對的邊等于斜邊的一

半，即AC＝2CD，根據(jù)勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.

CD＝a.

則樹的高度即可求出.

[師]我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，如果一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30°的正切值，在上圖中，tan30°=，則CD=

atan30°，豈不簡單.

你能求出30°角的三個三角函數(shù)值嗎?

Ⅱ.講授新課

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

[師]觀察一副三角尺，其中有幾個銳角?它們分別等于多少度?

[生]一副三角尺中有四個銳角，它們分別是30°、60°、45°、45°.

[師]sin30°等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.

[生]sin30°＝.

sin30°表示在直角三角

形中，30°角的對邊與

斜邊的比值，與直角三角形的大小無關(guān).我們不妨設(shè)30°角所對的邊為a(如圖所示)，根據(jù)“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30°角的鄰邊為a，所以sin30°＝.

[師]cos30°等于多少?tan30°呢?

[生]cos30°＝.

tan30°=

[師]我們求出了30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角——45°、60°，它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的?

[生]求60°的三角函數(shù)值可以利用求30°角三角函數(shù)值的三角形.因為30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊.利用上圖，很容易求得sin60°=,

cos60°=,

tan60°＝.

[生]也可以利用上節(jié)課我們得出的結(jié)論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-

60°)=sin30°=.

[師生共析]我們一同來

求45°角的三角函數(shù)值.含

45°角的直角三角形是等腰

直角三角形.(如圖)設(shè)其中一

條直角邊為a，則另一條直角

邊也為a，斜邊a.由此可求得

sin45°=,

cos45°＝,

tan45°=

[師]下面請同學(xué)們完成下表(用多媒體演示)

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)角

sinαcoαtanα

30°

45°1

60°

這個表格中的30°、45°、60°角的三角函數(shù)值需熟記，另一方面，要能夠根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)的銳角的大小.

為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數(shù)值的特點.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?

[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為，，，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大.

[師]再來看第二列函數(shù)值，有何特點呢?

[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為，，，余弦值隨角度的增大而減小.

[師]第三列呢?

[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一個銳角，所以tan45°=1比較特殊.

[師]很好，掌握了上述規(guī)律，記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30°、

45°、60°角的三角函數(shù)值的記憶情況.相信同學(xué)們一定做得很棒.

2.例題講解(多媒體演示)

[例1]計算

(1)sin30°+cos45°；

(2)sin260°+cos260°-tan45°.

分析：本題旨在幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計算時，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示

(cos60°)2.

解：(1)sin30°+cos45°=,

(2)sin260°+cos260°-tan45°

=()2+()2-1

=+-1

＝0.

[例2]一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)果精確到0.01m)

分析：引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

解：根據(jù)題意(如圖)

可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5m，

∠AOD＝×60°＝30°，

∴OC=ODcos30°

=2.5×≈2.165(m).

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度約為

0.34m.

Ⅲ.隨堂練習(xí)

多媒體演示

1.計算：

(1)sin60°-tan45°；

(2)cos60°+tan60°；

(3)sin45°+sin60°-2cos45°.

解：(1)原式＝-1=；

(2)原式=+=

(3)原式=×+×；

=

2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°.高為7m，扶梯的長度是多少?

解：扶梯的長度為=14(m)，

所以扶梯的長度為14m.

Ⅳ.課時小結(jié)

本節(jié)課總結(jié)如下：

(1)探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；

cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；

tan30°=，tan45°

＝1，tan60°=.

(2)能進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

(3)能根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)銳角的大小.

Ⅴ.課后作業(yè)

習(xí)題1.3第1、2題

Ⅵ.活動與探究

(2003年甘肅)如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB＝CD=30m，兩樓問的距離AC=24m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高?

(精確到0.1m，≈1.41，≈1.73)

[過程]根據(jù)題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，當(dāng)光線從樓頂E，直射到乙樓D點，D點向下便接受不到光線，過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙樓一樣高，所以DF=BE.

[結(jié)果]在Kt△BDE中，BE=DBtan30°＝24×=8m.

∵DF＝BE，

∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).

甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m).

板書設(shè)計

§1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

一、探索30°、45°、60°的三角函數(shù)值1.預(yù)備知識：含30°的直角三角形中，30°角

的對邊等于斜邊的一半.

含45°的直角三角形是等腰直角三角形.

2.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值列表如下：

三角函數(shù)角

角α

sinαcoαtanα

30°

45°1

60°

二、含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

三、實際應(yīng)用

備課資料

參考練習(xí)

1.(2003年北京石景山)計算：.

答案：3-

2.(2003年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30°-

答案：-

3.(2003年廣東梅州)計算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.

答案：

4.(2003年廣西)計算：sin60°+

答案：-

5.(2003年內(nèi)蒙古赤峰)計算；2-3-(+π)0-cos60°-.

答案：-

九年級數(shù)學(xué)下特殊角的三角函數(shù)教學(xué)案

老師工作中的一部分是寫教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。寫好教案課件工作計劃，我們的工作會變得更加順利！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面是由小編為大家整理的“九年級數(shù)學(xué)下特殊角的三角函數(shù)教學(xué)案”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

南沙初中初三數(shù)學(xué)教學(xué)案

教學(xué)內(nèi)容：7.3特殊角的三角函數(shù)

課型：新授課學(xué)生姓名：________

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.能通過推理得30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義；

2.會計算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的值；

3.能根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)銳角的大小；

4.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，培養(yǎng)推理能力和計算能力.

教學(xué)過程：

一、情境

同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)，你能分別說出正切、正弦、余弦的定義嗎？

二、探索活動

1、活動一.觀察與思考

你能求出30°、45°、60°角的三角函數(shù)值嗎？

2.活動二.根據(jù)以上探索完成下列表格

30°

45°

60°

sinθ

cosθ

tanθ

三、典例分析

例1：求下列各式的值。

（1）2sin30°-cos45°（2）sin60°cos60°（3）sin230°+cos230°

板演練習(xí)：

計算.

（1）cos45°－sin30°（2）sin260°＋cos260°

(3)tan45°－sin30°cos60°(4)

例2.求滿足下列條件的銳角α:

(1)cosα=(2)2sinα=1(3)2sinα－=0(4)tanα－1=0

練習(xí)：

1、若sinα=,則銳角α=________.若2cosα=1,則銳角α=_________.

2、若sinα=,則銳角α=_________.若sinα=,則銳角α=_________.

3、若∠A是銳角，且tanA=,則cosA=_________.

4、求滿足下列條件的銳角α:

(1)cosα-=0(2)-tanα+=0

(3)cosα-2=0(4)tan（α+10°）=

四、小結(jié)

五、課堂作業(yè)（見作業(yè)紙55）

南沙初中初三數(shù)學(xué)課堂作業(yè)（55）

（命題，校對：王猛）

班級__________姓名___________學(xué)號_________得分_________

1．根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值填空：當(dāng)銳角α變大時，sinα的值變_____，cosα的值變_______，tanα的值變_______.

2.在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=,則BC∶AC∶AB等于（）

A.1∶2∶5B.1∶∶C.1∶∶2D.1∶2∶

3.在△ABC中，若tanA=1，sinB=，則△ABC的形狀是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．一般銳角三角形

4．若∠A=41°，則cosA的大致范圍是（）

A．0＜cosA＜1B.＜cosA＜C.＜cosA＜D.＜cosA＜1

5.計算下列各式的值.

(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°(2)cos30°sin45°+sin30°cos45°

(3)(4)cos30°+sin45°

(5)tan30°(6)2cos45°+

6.在銳角△ABC中,若sinA=,∠B=75°,求cosC的值.

課后探究：

1.等腰三角形的一腰長為6㎝,底邊長為6㎝,請你判斷這個三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形?

2.已知△ABC中,AD是BC邊上的高,AD=2,AC=2,AB=4,求∠BAC的度數(shù).

3.已知:∠A為銳角,并且cosA=,求sinA,tanA的值.

4.已知：如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,BC=2,BD=.分別求出

△ABC、△ACD、△BCD中各銳角.

5.已知:如圖,AC是△ABD的高,BC=15㎝,∠BAC=30°,∠DAC=45°.求AD.

6.已知α為銳角,當(dāng)無意義時,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.

7.要求tan30°的值,可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜邊AB=2,直角邊AC=1,那么BC=,∠ABC=30°,tan30°==.在此圖的基礎(chǔ)上通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線,可求出tan15°的值,請你寫出添加輔助線的方法,并求出tan15°的值.

銳角的三角函數(shù)值

21.2銳角的三角函數(shù)值

一、教法設(shè)想：

通過同學(xué)們經(jīng)常使用的三角板，讓同學(xué)們計算一下，當(dāng)∠A=30°,∠A=45°,由于同學(xué)們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是和，這是為什么呢？

由相似三角形有關(guān)性質(zhì)得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個固定值，∠A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值，進(jìn)而再引入正弦，余弦的概念，并向同學(xué)說明0sinA1,0cosA1（∠A為銳角）.

再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數(shù)值并應(yīng)用其進(jìn)行計算，進(jìn)一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關(guān)系.

根據(jù)30°，45°，60°正、余弦值分析，引導(dǎo)同學(xué)歸納出：當(dāng)角度在0°—90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；當(dāng)角度在0°—90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?

適時介紹正弦和余弦表的構(gòu)造.結(jié)合實例進(jìn)行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正確處理好修正值.

對學(xué)有余力的學(xué)生，也可適當(dāng)介紹“sin2A+cos2A=1”這一重要關(guān)系式.

在學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念后，再進(jìn)一步學(xué)正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進(jìn)行，對學(xué)有余力的學(xué)生也可講授這些重要關(guān)系式.

在教學(xué)中對0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數(shù)值要求學(xué)生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學(xué)生記易，省時易記.

表I：

三角函數(shù)30°45°60°

Sinα

Cosα

tgα

口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七.

表II.

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

Sinα

Cosα

tgα0

1

──

ctgα──

1

口決：0，一，二，三，四帶根號，比上2要記牢.

第二行左右倒，三，四行靠推導(dǎo).

【指點迷津】

本單元銳角三角函數(shù)的引進(jìn)，使形與數(shù)緊密結(jié)合為一體，開辟了數(shù)形結(jié)合的新航向.因此，在本單元教學(xué)中，務(wù)必注意數(shù)形結(jié)合思維方法的引導(dǎo)，應(yīng)用.用其法解決生活中的實際問題.達(dá)到得心應(yīng)手.

二、學(xué)海導(dǎo)航：

【思維基礎(chǔ)】

1.銳角三角函數(shù)定義

Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則∠A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù).（1）一銳角的三角函數(shù)值是四個_______；銳角三角函數(shù)都不可能取_________，且A為銳角時，SinA，CosA均在______~______內(nèi)取值.

2.特殊角的三角函數(shù)值（完成下表）

0°30°45°60°90°增減值

Sinα

Cosα

tgα

ctgα

3.互余角間的三角函數(shù)關(guān)系，△ABC中，∠C=90°，A+B=90°，∠B=90°－A，則有：

Sin(90°－A)=___________

Cos(90°－A)=___________

tg(90°－A)=___________

Ctg(90°－A)=___________.

4.同角三角函數(shù)關(guān)系公式：（∠A為銳角）.

（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.

【學(xué)法指要】

例1.如果∠A為銳角，CosA=，那么（）

A.0°A≤30°B.30°A≤45°

C.45°A≤60°D.60°A90°

思路分析：

當(dāng)角度在0°~90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減?。ɑ蛟龃螅?

∴60°A90°應(yīng)選D

例2.當(dāng)45°X90°時，有（）

A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx

C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx

思路分析：∵45°x90°∴取A=60°

，∴tgxSinxCosx

∴應(yīng)選D

解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x=60°在45°x90°的范圍內(nèi)，很快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀.因之，在解決有關(guān)選擇題時，根據(jù)題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工.

例3.計算：

思咯分析：若a≠0時,a0=1

對此項中的Sin36°是一項干擾支.迷惑同學(xué)們，因為Sin36°，不是表內(nèi)特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解題時，必須善于排除干擾支，解除困惑，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)概念，正確求出答案，對于特殊角三角函數(shù)值的計算，一.要準(zhǔn)確無誤代入三角函數(shù)值；二.要按照實數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；三.運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡關(guān)系式.于是對上式便一目了然了.

例4.已知方程的兩根為tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ為銳角）

思路分析：∵tgθ,ctgθ為二次方程的二根，根據(jù)與系數(shù)關(guān)系式，得

∵tgθctgθ=1∴k=1

∴原方程為

即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=

故θ1=30°θ2=60°

銳角三角函數(shù)與二次方程等有著千絲萬縷的聯(lián)系，各種知識交織在一起，因而必須把綜合知識進(jìn)行剖析，分解，然后各個擊破，便可打通思路.如本例，首先運(yùn)用二次方程的有關(guān)知識──根與系數(shù)關(guān)系；再運(yùn)用銳角三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tgθ,ctgθ之值，再求出對應(yīng)的θ之值，總之，善于剖析，化整為零，一個一個解決，對復(fù)雜的綜合題便可攻破了.

例5.在△ABC中，三邊之比a：b：c=1：：2，則SinA+tgA等于（）

A.B.

C.D.

思路分析：∵a：b：c=1：：2

∴可設(shè)a=k,b=k,c=2k(k0)

∴a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴SinA+tgA

∴應(yīng)選（A）

對于題設(shè)是以連比形式出現(xiàn)的，通常都是增設(shè)參數(shù)K，將未知轉(zhuǎn)化已知，使問題明朗化，進(jìn)而再研究三角形三邊的關(guān)系，從而判定為直角三角形，又轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請同學(xué)們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”.

【思維體操】

例1.已知AD是直角△ABC的斜邊BC上的高，在△ADB及△ADC中分別作內(nèi)接正方形，使每個正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個正方形的第四個頂點E，F(xiàn)各在AB，AC上，求證：AE=AF.

揭示思路1：設(shè)∠ABC=α.正方形EMDG與正方形DNFH的邊長分別為a,b

∵AD=AG+DG=atgα+a

AD=AH+DH=bCtgα+b

∴atgα+a=bctgα+b

∴

=bctgα=AH.

∴AE=AF

揭示思路2：

設(shè)BC=a,且∠ABC=α，則有

AB=acosα

同理：

∴AE=AF

由上兩種思路證得AE=AF，可發(fā)現(xiàn)用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當(dāng)，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形.便可應(yīng)用銳角三角函數(shù)列出它們的邊角關(guān)系式，再應(yīng)用代數(shù)法計算一下，便可達(dá)到目的.題設(shè)所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構(gòu)造出直角三角形，同樣也可轉(zhuǎn)化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道.為數(shù)與形結(jié)合提供了新的條件，我們應(yīng)在這條新渠道不斷探索，取得新的成果.現(xiàn)沿這思路繼續(xù)擴(kuò)散.

擴(kuò)散一：

如圖，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F(xiàn)在斜邊BC上，求證：EF2=BEFC

揭示思路：從題設(shè)及圖形中都可發(fā)現(xiàn)有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢.

在Rt△BDE中，

在Rt△GFC中，

∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg(90°－C)=ctgC

∴

∵DE=GF=EF

∴EF2=BECF

擴(kuò)散二：

在△ABC外側(cè)作正方形ABDM和ACEN，過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC=DF+EG

提示思路：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法證明，可是此時DF，EG比較分散.設(shè)法作AH⊥BC再構(gòu)兩個直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯(lián)系.此時，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義建立邊角關(guān)系，便可馬到成功！

在Rt△EGC中，

∴EG=bcosβ

在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（設(shè)b,c,α,β如圖）

∴EG+DF=bCosβ+ccosα

在Rt△ABH中，BH=ccosα

在Rt△ACH中，CH=bcosβ

∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα

∴BC=EG+DF

擴(kuò)散三：

設(shè)頂角A=108°的等腰三角形的高為h，∠A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：

揭示思路：從圖形中可發(fā)現(xiàn)有幾個直角三角形存在，這個信息向我們提供用三角法證明是得天獨(dú)厚的條件，不要猶豫，不然，將會失去良機(jī).

如圖，設(shè)△ABC的底邊上的高AH=h,∠A的三等分線AD=P1，∠A的外角四等線AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，

∴∠DAH=18°

在Rt△ADH中，cos18°=

∵∠CAE=(180°－108°)=18°

∠ACB=(180°－108°)=36°

∴∠AEC=18°

在Rt△AHE中，Sin18°=

擴(kuò)散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D、E、F.

求證：

揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數(shù)定義，列出邊角關(guān)系，可十分巧妙就證得結(jié)論.

設(shè)∠ABC=α，則∠DAF=∠CDF=α

擴(kuò)散五：

在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC=20F

揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向?qū)А?，可直達(dá)目的地.

∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE

∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,

∴BE=BF

進(jìn)而可知AD=DF

設(shè)正方表ABCD邊長為1，又設(shè)∠BAE=∠CAE=α

則OA=OB=

在Rt△ABE中，BE=ABtgα=BF

BF=OB－OF=OB－OAtgα

∴ABtgα=OB－OAtgα

∴OF=OAtgα=(－1)

EC=BC－BE=1－1tgα=1－+1=2－=(－1)

∴EC=20F

應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設(shè)輔助線，充分發(fā)揮數(shù)的長處.把幾何問題通過銳角三角形邊角關(guān)系，應(yīng)用計算法，便可曲徑通幽，柳暗花明.同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)，以拓寬幾何證題思路.

三、智能顯示

【動腦動手】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，則SinB+CosB的值（）

（A）大于1（B）小于1

（C）等于1（D）不確定

2.在△ABC中，它的邊角同時滿足下列兩個條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的兩個根，求a，b，c及S△ABC

3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下圖）

求證：AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，現(xiàn)將直線MN向上移動，使得A點在直線的一側(cè)，B、C、D三點在直線的另一側(cè)（如中圖），這時，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為A＇B＇C＇D＇，那么垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間存在什么關(guān)系？如將直線MN再問上移動，使兩側(cè)各有兩個頂點（如下圖）.從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間又有什么關(guān)系？根據(jù)左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明.

揭示思路：1.在Rt△ABC中，∠C=90°

由銳角三角函數(shù)定義，得

∵a+bc

∴SinB+CosB1,應(yīng)選A.

2.∵SinC=1,∴∠C=90°

∵SinA+CosB=,SinACosB=

又A+B=90°,∴B=90°－A

∴CosB=Cos(90°－A)=SinA

∴c=4,A=30°,a=2,b=

3.猜想如下：

對于中圖有：CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

對于右圖有：CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法1.如圖,設(shè)∠AEA＇=α,則AA＇=AESinα=(OA－OE)Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=(OC+OE)Sinα=(OA+OE)Sinα=OASinα+OESinα

∴CC＇－AA＇=2OESinα

∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇

由題設(shè)知，OO’為梯形BB’D’D的中位線.

∴BB＇+DD＇=2OO＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）如圖，仿（1）證法可得

CC＇－AA＇=2OESinα

DD＇－BB=2OFSinβ

∵OESinα=OFSinβ,

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法二：（1）延長CB交MN于E，設(shè)AD與MN交于F，又設(shè)∠AFA＇=α，則∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，

∵BE=CE－CB

∴BB＇=BESinα－CBSinα

在Rt△ECC＇中，Sinα=,

∴CC’=CESinα

∵CC＇－BB＇=BCSinα

在Rt△AA＇F與Rt△FDD＇中.

AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα

∵DF=AD－AF

∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇

∴DD＇=ADSinα－AA＇

∴DD＇+AA＇=ADSinα

∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）仿證法（1）同樣可證得

CC＇+BB＇=BCSinα

AA＇+DD＇=ADSinα

∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法三：（1）如圖，作DE⊥CC＇，則DD＇C＇E為矩形，∴CE=CC＇－DD＇

設(shè)∠AFA＇=α，則易知∠CDE=α在Rt△CDE中，

∴CC＇－DD＇=CDSinα

在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSinα

在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSinα

∴BB＇=(AB－AF)Sinα=ABSinα－AFSinα

∴AA＇+BB＇=ABSinα

∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇

∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇

（2）如圖，仿（1）同法可證：

CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

【創(chuàng)新園地】

已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，

∠A，∠B，∠C的對邊分別為a,b,c那么a：b：c=_________（本結(jié)論中不含任何三角函數(shù)，但保留根號，請考慮多種解法）.

解法一：過點B作BD⊥AC交CA的延長線于點D.

∴∠BAC=120°，

∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°

在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c

Cos30°=，∴BD=

∴b－BD－AD=

a=

∴a：b：c=

=

解法二：如圖，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，連CE，作AF⊥CE，交CE于F，則∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°

∴△BEC為等腰三角形，∴BE=CE

設(shè)AD=CD=1，則AC=，即b=

∴CE=2ACCos30°=

∴AB=AE+EB=+，即c=+

∴BD=

∴BC=BD+DC=3+，即a=3+

∴a：b：c=（3+）：：（+）

=

解法三：如圖，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取點E，使∠BAE=∠B=15°,那么，連接AE，得：∠AEC=30°，AE=BE.設(shè)AD=DC=1，則AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30°=

∴

即c=+

∴a：b：c=(3+)：：(+)

=

解法四：如圖，BD=x，則2x2=a2，

∴x=

=（參照解法一圖）

解法五：

以BC為直徑作⊙o，延長CA交⊙o于在，連BD，設(shè)a=2r，則BD=r,AD=

=

解法六：建立如圖坐標(biāo)系，則可求：

解法七：建立如圖坐標(biāo)系，由B點引X軸的垂線，垂足為D，則

解法八：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)C(－1，0)，B(1，0)，延長CA交Y軸于點D，連結(jié)BD，則D點坐標(biāo)是(0，1)，那么|BD|=|CD|=

本例還可用面積法證明，如S△CBD=aBD，Sin45°=BD2∴BD=……