一元二次方程高中教案

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）導(dǎo)學(xué)案（新版新人教版）。

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第6課時(shí)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1）教版
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；
能運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知系數(shù)；
會(huì)求一元二次方程兩根的倒數(shù)和與平方數(shù)、兩根之差．
二、知識(shí)回顧1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為（）．
2．解一元二次方程的方法有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法．
3．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．
三、新知講解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，那么，．此定理又叫做韋達(dá)定理．
在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：
不是一般式的要先化成一般式；
在使用時(shí)，注意“-”不要漏寫；
能用韋達(dá)定理的前提條件是.
一元二次方程根的分布
對(duì)于一元二次方程根的分布的討論，通常有以下幾種情況：
有兩個(gè)正根的條件：
（當(dāng)a0時(shí)，簡(jiǎn)化為）；
有兩個(gè)負(fù)根的條件：
（當(dāng)a0時(shí)，簡(jiǎn)化為）；
兩根異號(hào)的條件：
（當(dāng)a0時(shí)，簡(jiǎn)化為c0）；
兩根異號(hào)，且正根絕對(duì)值大的條件：
（當(dāng)a0時(shí)，簡(jiǎn)化為）；
兩根異號(hào)，且負(fù)根絕對(duì)值大的條件：
（當(dāng)a0時(shí)，簡(jiǎn)化為）．
四、典例探究

1．不解方程求兩個(gè)根之和與積
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x兩根的和與積．

總結(jié)：在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：
不是一般式的要先化成一般式；
前提條件是；
在使用時(shí)，注意“-”不要漏掉．
練1．（2014碑林區(qū)校級(jí)模擬）方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，則x1+x2和x1x2的值分別是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
2．已知一元二次方程的兩根求系數(shù)
【例2】（2014春富陽(yáng)市校級(jí)期末）關(guān)于x的方程x2﹣px+q=0的兩個(gè)根是0和﹣3，求p和q的值．

總結(jié)：對(duì)于含有字母系數(shù)的一元二次方程，已知兩根的值求字母系數(shù)的值，通常根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，并用根的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．此方法要比直接將根代入求系數(shù)方便快捷得多．
練2．（2015棗莊）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2

3．已知一元二次方程的一個(gè)根求另一個(gè)根
【例3】（2015北塘區(qū)二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個(gè)根為2，則另一根為．
總結(jié)：已知含字母系數(shù)的一元二次方程的一根求另一根，一般有兩種方法：
把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；
（2）根據(jù)方程系數(shù)中的已知數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，選用兩根之和或兩根之積，直接求另一根．
練3．（2014秋秭歸縣校級(jí)期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及c的值．

4．根據(jù)一元二次方程的系數(shù)判斷兩根的正負(fù)
【例4】（2008南匯區(qū)二模）方程2x2+3x﹣5=0的兩根的符號(hào)（）
A．同號(hào)B．異號(hào)C．兩根都為正D．兩根都為負(fù)
總結(jié)：
不解方程判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定；
首先計(jì)算判別式，看是大于0還是等于0，如果是等于0，則兩根相等，同號(hào)；
如果判別式大于0，則計(jì)算的值，如果，可判斷方程的根為一正一負(fù)；如果，再計(jì)算的值，若為正，則兩根同為正，若為負(fù)，則兩根同為負(fù)．
練4．（2014秋夷陵區(qū)校級(jí)月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個(gè)根的符號(hào)為（）
A．同號(hào)B．異號(hào)C．兩根都為正D．不能確定
五、課后小測(cè)一、選擇題
1．（2015溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（2015金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
3．（2014浠水縣校級(jí)模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
4．（2015衡陽(yáng)）若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣1，則另一個(gè)根為（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
5．（2015廣西）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
6．（2015平南縣一模）一元二次方程x2+px=2的兩根為x1，x2，且x1=﹣2x2，則p的值為（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
7．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，則該方程的另一根為（）
A．2B．3C．4D．8
8．關(guān)于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列敘述正確的是（）
A．無(wú)解B．有兩正根
C．有兩負(fù)根D．有一正根及一負(fù)根
二、填空題
9．（2015濱湖區(qū)一模）已知方程x2﹣5x+2=0的兩個(gè)解分別為x1、x2，則x1+x2的值為．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是，m的值是．
11．（2015春遂寧校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個(gè)根是m和n，則mn=，m+n=．
三、解答題
12．（2015東莞模擬）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩個(gè)根x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1x2=q．【wWW.gX86.cOM 筆稿范文網(wǎng)】

13．（2014秋番禺區(qū)校級(jí)月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．

14．（2013防城港）已知關(guān)于x的方程x2+x+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根﹣2，m．求m，n的值．

典例探究答案：
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x兩個(gè)根的和與積．
分析：先把方程化為一般式，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
解答：解：設(shè)x1，x2是方程的兩實(shí)數(shù)根，
方程化為一般式為3x2+4x+1=0，
根據(jù)題意得，x1+x2=﹣，x1x2=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．
練1．（2014碑林區(qū)校級(jí)模擬）方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，則x1+x2和x1x2的值分別是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
分析：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2．x1+x2=；x1x2=即可．
解答：解：已知方程為2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2==3；x1x2==．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根與系數(shù)關(guān)系，已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵熟練掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
【例2】（2014春富陽(yáng)市校級(jí)期末）關(guān)于x的方程x2﹣px+q=0的兩個(gè)根是0和﹣3，求p和q的值．
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解兩個(gè)方程即可．
解答：解：根據(jù)題意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，
所以p=﹣3，q=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系．
練2．（2015棗莊）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此題的關(guān)鍵．
【例3】（2015北塘區(qū)二模）已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個(gè)根為2，則另一根為．
分析：設(shè)方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
解答：解：設(shè)方程另一根為t，
根據(jù)題意得2+t=6，
解得t=4．
故答案為4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系．
練3．（2014秋秭歸縣校級(jí)期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及c的值．
分析：設(shè)方程另一個(gè)根為x1，先利用兩根之和計(jì)算出x1，然后利用兩根之積求出c的值．
解答：解：設(shè)方程另一個(gè)根為x1，
根據(jù)題意得x1+2﹣=4，x1（2﹣）=c，
∴x1=2+，
∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=．
【例4】（2008南匯區(qū)二模）方程2x2+3x﹣5=0的兩根的符號(hào)（）
A．同號(hào)B．異號(hào)C．兩根都為正D．兩根都為負(fù)
分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到方程的兩根之和與兩根之積，再進(jìn)一步結(jié)合有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行分析．
解答：解：設(shè)方程的兩根是a，b，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得
a+b=＞0，ab=﹣＜0，
根據(jù)兩數(shù)的積為負(fù)數(shù)，則兩數(shù)必異號(hào)，則a，b異號(hào)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)能夠結(jié)合有理數(shù)的運(yùn)算法則判斷方程的兩根的符號(hào)．
練4．（2014秋夷陵區(qū)校級(jí)月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個(gè)根的符號(hào)為（）
A．同號(hào)B．異號(hào)C．兩根都為正D．不能確定
分析：首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再由x1x2=﹣＜0可知兩根異號(hào)．
解答：解：∵ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0），
∴△=b2+4ac＞0，
∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個(gè)根為x1，x2，
∵x1x2=﹣＜0，
∴兩根異號(hào)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．同時(shí)考查了根的判別式．
課后小測(cè)答案：
一、選擇題
1．（2015溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）
A．B．﹣C．﹣D．
解：根據(jù)題意得x1+x2=﹣=．
故選D．
2．（2015金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
解：x1x2=﹣3．
故選D．
3．（2014浠水縣校級(jí)模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．
故選A．
4．（2015衡陽(yáng)）若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣1，則另一個(gè)根為（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
解：設(shè)一元二次方程的另一根為x1，
則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故選A．
5．（2015廣西）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
解：以x1，x2為根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故選：A．
6．（2015平南縣一模）一元二次方程x2+px=2的兩根為x1，x2，且x1=﹣2x2，則p的值為（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
當(dāng)x2=1時(shí)，x1=﹣2，p=1；
當(dāng)x2=﹣1時(shí)，x1=2，p=﹣1．
故選C．
7．（2015東西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，則該方程的另一根為（）
A．2B．3C．4D．8
解：設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣6x+m=0的另一個(gè)根是t，
由根與系數(shù)的關(guān)系得出：t+2=6，
則t=4．
故選：C．
8．關(guān)于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列敘述正確的是（）
A．無(wú)解B．有兩正根
C．有兩負(fù)根D．有一正根及一負(fù)根
解：由判別式△＞0，知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
又由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1x2==﹣＜0，
所以有一正根及一負(fù)根．
故選D．
二、填空題
9．（2015濱湖區(qū)一模）已知方程x2﹣5x+2=0的兩個(gè)解分別為x1、x2，則x1+x2的值為5．
解：∵方程x2﹣5x+2=0的兩個(gè)解分別為x1、x2，
∴x1+x2=5，
故答案為：5．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是3，m的值是﹣4．
解：設(shè)方程的另一個(gè)解是a，則1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
11．（2015春遂寧校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個(gè)根是m和n，則mn=2，m+n=4．
解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的兩個(gè)根，
∴m+n=4，mn=2．
故答案為：2，4．
三、解答題
12．（2015東莞模擬）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩個(gè)根x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1x2=q．
證明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1x2=.=q．
13．（2014秋番禺區(qū)校級(jí)月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．
解：設(shè)方程另一根為x2，
由題意得2x2=﹣6，解得x2=﹣3，
∵2+（﹣3）=k，
∴k=﹣1．
即它的另一個(gè)根為﹣3，k的值為﹣1．
14．（2013防城港）已知關(guān)于x的方程x2+x+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根﹣2，m．求m，n的值．
解：∵關(guān)于x的方程x2+x+n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根﹣2，m，
∴，
解得，，即m，n的值分別是1、﹣2．

相關(guān)知識(shí)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
1.設(shè)是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程的兩根的平方.
3.已知一元二次方程的兩根分別是，求的值.

4．已知方程的兩根之比為，求的值。

5.已知關(guān)于x的方程，根據(jù)下列條件，分別求出m的值：①兩根互為相反數(shù)；②兩根互為倒數(shù)；③有一根為零；④有一根為1.

6.已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求m的值.

7.已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，k取什么值時(shí)，.

8.當(dāng)k為何值時(shí)，一元二次方程的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等，求出與k值相應(yīng)的實(shí)數(shù)根.

9.已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求k的取值范圍.

10．若矩形的長(zhǎng)和寬是方程的兩根，求矩形的周長(zhǎng)和面積。

11．若方程的兩根的絕對(duì)值相等，求的值及這個(gè)方程的根。

12．已知方程
（1）求證方程必有相異實(shí)根
（2）取何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根
（3）取何值時(shí)，兩根相異，并且負(fù)根的絕對(duì)值較大？
（4）取何值時(shí)，方程有一根為零？

參考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.時(shí)，時(shí)，時(shí)，；
9.（提示：需，兩根和大于0，兩根積也大于0）.
10．周長(zhǎng)，面積6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案新版湘教版

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
課題*2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系授課人
教
學(xué)
目
標(biāo)知識(shí)技能掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用．
數(shù)學(xué)思考通過(guò)根與系數(shù)的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．
問題解決根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定兩根之和與兩根之積，并能根據(jù)這一關(guān)系解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．
情感態(tài)度通過(guò)情景教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感．
教學(xué)重點(diǎn)
根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)過(guò)程.
教學(xué)難點(diǎn)
根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用．

授課類型新授課課時(shí)
教具多媒體

教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
回顧提出問題：
(多媒體展示問題)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？
3．當(dāng)Δ0，Δ＝0，Δ0時(shí)，一元二次方程的根的情況如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？通過(guò)對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，并為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊.
活動(dòng)
一：
創(chuàng)設(shè)
情境
導(dǎo)入
新課【課堂引入】
(多媒體展示)
問題：解下表中的方程，并完成填空：
方程x1x2x1＋x2x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
師生活動(dòng)：學(xué)生自主選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?，并完成填空，然后交流答?
問題：觀察、思考方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)方程中根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.
活動(dòng)
二：
實(shí)踐
探究
交流新知1.填寫上表后思考：
(1)兩根之和、兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系？
(2)你能運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題嗎？
已知方程2x2－3x－2＝0的兩根是x1和x2，則x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？
2.教師與學(xué)生共同整理證明過(guò)程.
證明：當(dāng)Δ0時(shí)，由求根公式得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，
所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；
x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.
當(dāng)Δ＝0時(shí)，x1＝x2＝－b2a，
所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.

歸納：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根為x1和x2，則x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
1.進(jìn)一步分析、驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關(guān)系，為從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)打好基礎(chǔ).
2.通過(guò)設(shè)置問題(2)使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算需要滿足Δ≥0.
3.探究根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.
活動(dòng)
三：
開放
訓(xùn)練
體現(xiàn)
應(yīng)用【應(yīng)用舉例】
例1(多媒體展示)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩個(gè)根x1和x2的和與積．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
師生活動(dòng)：學(xué)生自主進(jìn)行解答，教師做好評(píng)價(jià)和總結(jié)．
注意：把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值．
變式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
變式二若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩根，求x1＋x2－x1x2的值.設(shè)置問題，針對(duì)本課時(shí)的重點(diǎn)所學(xué)進(jìn)行及時(shí)鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和記憶公式的能力．

【拓展提升】
例2解答下列問題：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根和c的值．
(2)關(guān)于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的兩根互為倒數(shù)，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的兩根分別為x1，x2，求1x1＋1x2的值．
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流、討論，確定解決問題的方法，并適時(shí)點(diǎn)撥，提示能否用多種方法進(jìn)行解答．
拓展提升是根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用，利于提高學(xué)生思考的廣度和深度，能夠給予學(xué)生必要的知識(shí)補(bǔ)充.
活動(dòng)
四：
課堂
總結(jié)
反思【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】
1．兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)根分別為2和3，則a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一個(gè)根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的兩個(gè)根分別為x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.
學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解．

通過(guò)設(shè)置達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知識(shí)，同時(shí)檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.
【當(dāng)堂訓(xùn)練】
1．(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？
(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說(shuō)一說(shuō)！
2．布置作業(yè)：
教材P48習(xí)題2.4中的T1，T2，T3.指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的好習(xí)慣，加強(qiáng)教學(xué)反思，進(jìn)一步提高教學(xué)效果.
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.
【教學(xué)反思】
①[授課流程反思]
在新知探究環(huán)節(jié)中，關(guān)于兩根之和與兩根之積的計(jì)算看似復(fù)雜，教師進(jìn)行板演后，能夠使學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)到結(jié)論的來(lái)由，能夠順利地進(jìn)行應(yīng)用．課堂訓(xùn)練中，學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解答問題不甚靈活，教師的必要引導(dǎo)起了關(guān)鍵作用．
②[講授效果反思]
重點(diǎn)應(yīng)用過(guò)程中，注意到：(1)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系前首先要保證方程有實(shí)數(shù)根；(2)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解答問題能方便運(yùn)算．
③[師生互動(dòng)反思]
從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行探索和交流，并能夠運(yùn)用知識(shí)解答問題，應(yīng)增加其興趣和思維敏捷性的訓(xùn)練．
④[習(xí)題反思]
好題題號(hào)_______________________________________
錯(cuò)題題號(hào)_______________________________________反思，更進(jìn)一步提升.