高中函數(shù)單調(diào)性教案

函數(shù)單調(diào)性。

年級高一

學(xué)科數(shù)學(xué)

課題

函數(shù)的單調(diào)性（2）

授課時(shí)間

撰寫人

劉報(bào)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性證明

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用及證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).3.函數(shù)單調(diào)性證明

教學(xué)過程

一自主學(xué)習(xí)

1.指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，并進(jìn)行證明.2．函數(shù)的最小值為，的最大值為.

3：先完成下表，

函數(shù)

最高點(diǎn)

最低點(diǎn)

,（WwW.wj62.com 泡泡演講稿）

,

4設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的。

仿照最大值定義，給出最小值（MinimumValue）的定義．

二師生互動(dòng)

例1一枚炮彈發(fā)射，炮彈距地面高度h（米）與時(shí)間t（秒）的變化規(guī)律是，那么什么時(shí)刻距離地面的高度達(dá)到最大？最大是多少？

變式：經(jīng)過多少秒后炮彈落地？

試試：一段竹籬笆長20米，圍成一面靠墻的矩形菜地，如何設(shè)計(jì)使菜地面積最大？

例2求在區(qū)間[3，6]上的最大值和最小值.

變式：求的最大值和最小值.

練一練函數(shù)的最小值為，最大值為.如果是呢？

三鞏固練習(xí)

1.函數(shù)的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最小值

3，則在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最值為.5.函數(shù)的最大值為，最小值為.6.用多種方法求函數(shù)最小值.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)

1.作出函數(shù)的簡圖，研究當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時(shí)的最大值與最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

相關(guān)知識

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容指的是會(huì)判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性、會(huì)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、能證明函數(shù)的單調(diào)性,其關(guān)鍵是利用形式化的定義處理有關(guān)的單調(diào)性問題,理解它關(guān)鍵就是要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換式子.學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)單調(diào)性的定義、代數(shù)式的變換、函數(shù)的概念等知識,本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的應(yīng)用.教學(xué)的重點(diǎn)是應(yīng)用定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是嚴(yán)格按過程進(jìn)行證明。
二、教學(xué)目標(biāo)及解析
(一)教學(xué)目標(biāo):
掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.
(二)解析:
會(huì)證明就是指會(huì)利用三步曲證明函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是指會(huì)利用函數(shù)的圖象寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間；應(yīng)用知識解決問題就是指能利用函數(shù)單調(diào)性的意義去求參變量的取值情況或轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。

三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學(xué)中,學(xué)生可能遇到的問題是如何才能準(zhǔn)確確定的符號,產(chǎn)生這一問題的原因是學(xué)生對代數(shù)式的恒等變換不熟練.要解決這一問題,就是要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識補(bǔ)習(xí)，特別是因式分解、二次根式中的分母有理化的補(bǔ)習(xí).

四、教學(xué)支持條件分析
在本節(jié)課()的教學(xué)中,準(zhǔn)備使用(),因?yàn)槭褂?),有利于().

五、教學(xué)過程
問題1.用三種語言描述函數(shù)單調(diào)性的意義

問題2.基本例題
例1如圖是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

活動(dòng)：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評價(jià)學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).
解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù).
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.
圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.
變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)1、3.
例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.
活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，教師再提示,及時(shí)糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大的方法是用不等式表達(dá).已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常用單調(diào)性的定義來解決.
解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可.
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.
定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時(shí)比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為：“去比賽”.
變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)4.
1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.
解：①正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).
②反比例函數(shù)：y=(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.
③一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).
④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)
當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,］，單調(diào)遞增區(qū)間是［,+∞)；
當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,］.
點(diǎn)評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.
2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.
答案：a=2.

問題3。能力型例題
例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；
（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
圖1-3-1-4
解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.
(2)設(shè)x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，則有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，∴x1-x20,x1+x22.
∴2-x1-x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).
∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù).
（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-∞,m］位于對稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］.
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).
判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.
判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：
第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；
第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第三步，用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會(huì)根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問題，會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型.
例2.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；
活動(dòng)：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；解：（1）設(shè)x1、x2∈R，且x1x2.則
F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1x2，∴a-x2a-x1.
∴f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).
∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］0.
∴F(x1)F(x2).∴F(x)是R上的增函數(shù).
知能訓(xùn)練
課本P32練習(xí)2.
例3.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若f(a+1)f(-4a+1)成立，則a的取值范圍是______.
點(diǎn)評：本題實(shí)質(zhì)是解不等式，但是這是一個(gè)不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時(shí)，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.
拓展提升
例4．1.畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.
2.試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.

六、課堂小結(jié)
本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.
活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評價(jià).
引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié).

《函數(shù)的單調(diào)性》說課稿

《函數(shù)的單調(diào)性》說課稿

北大附中深圳南山分校：馬立明

一、教材分析-----教學(xué)內(nèi)容、地位和作用

本課是蘇教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修一第二章第1節(jié)《函數(shù)的簡單性質(zhì)》的內(nèi)容，該節(jié)中內(nèi)容包括：函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性?？傉n時(shí)安排為3課時(shí)，《函數(shù)的單調(diào)性》是本節(jié)中的第一課時(shí)。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識是今后研究具體函數(shù)的單調(diào)性理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均有著廣泛的應(yīng)用；在歷年的高考中對函數(shù)的單調(diào)性考查每年都有涉及；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

按現(xiàn)行教材結(jié)構(gòu)體系，該內(nèi)容安排在學(xué)習(xí)了函數(shù)的現(xiàn)代定義及函數(shù)的三種表示方法之后，了解了在生活實(shí)踐中函數(shù)關(guān)系的普遍性，另外學(xué)生已在初中學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)。

在學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數(shù)值增大”等變化趨勢，所以在教學(xué)中要充分利用好函數(shù)圖象的直觀性、發(fā)揮好多媒體教學(xué)的優(yōu)勢；

在本節(jié)課是以函數(shù)的單調(diào)性的概念為主線，它始終貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)過程；這是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。

利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性一個(gè)難點(diǎn)，也是對函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且在“作差、變形、定號”過程學(xué)生不易掌握。

學(xué)生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學(xué)生理解概念，也可以對學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學(xué)習(xí)的不等式證明的比較法的基本思路，現(xiàn)在提出來對今后的教學(xué)也有了一定的鋪墊。

二、學(xué)情分析

教學(xué)目標(biāo)的制定與實(shí)現(xiàn)，主要取決于我們對學(xué)習(xí)者掌握的程度。只有了解學(xué)習(xí)者原來具有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者的準(zhǔn)備狀態(tài)，學(xué)習(xí)風(fēng)格，情感態(tài)度等，我們才能制定合適的教學(xué)目標(biāo)，安排合適的教學(xué)活動(dòng)與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

不同的教學(xué)環(huán)境，不同的學(xué)習(xí)主體有著不同的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

我所教授的班級的學(xué)生具體學(xué)情

具體到我們班級學(xué)生而言有以下特點(diǎn)：學(xué)生多才多藝，個(gè)性張揚(yáng)，但學(xué)科成績不很理想，參差不齊；經(jīng)受不住挫折，需要經(jīng)常受到鼓勵(lì)和安慰，否則就不能堅(jiān)持不懈的學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，小動(dòng)作較多，學(xué)習(xí)時(shí)注意力抗干擾能力不強(qiáng)，易被外界因素所影響，需要不斷的引導(dǎo)；獨(dú)立解決問題能力弱，畏難情緒嚴(yán)重，探索精神不足。只有少部分學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣良好，學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，思維縝密。

三、教學(xué)目標(biāo)：

根據(jù)新課標(biāo)的要求，以及對教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

(一)三維目標(biāo)

1知識與技能：

（1）使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能判斷并證明一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

（2）通過函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括與合作能力；

2過程與方法：

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，通過“數(shù)與形”之間的轉(zhuǎn)換，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

（2）通過探究活動(dòng)，明白考慮問題要細(xì)致、縝密，說理要嚴(yán)密、明確。

3情感，態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作與評價(jià)，拉近學(xué)生之間、師生之間的情感距離，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。。

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念:

為了突出重點(diǎn)，使學(xué)生理解該概念，整個(gè)過程分為：

作圖象并觀察圖象→討論：函數(shù)圖象的變化趨勢是什么？→

在這種變化趨勢下，x與函數(shù)值y是如何相互影響的？→你能從量的角度出一個(gè)縝密的，完善的定義來嗎？

每個(gè)步驟都是在教師的參與下與引導(dǎo)下，通過學(xué)生與學(xué)生之間，師生之間的合作交流，不斷反省，探索，直到完善結(jié)論，最終達(dá)到一個(gè)嚴(yán)密，簡潔的定義。

難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與推證：

突破該難點(diǎn)的：通過對照、分析定義，引導(dǎo)學(xué)生，概括出證明方法及步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷得結(jié)論”，并注意解題過程的規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

四、教學(xué)方法：

合作學(xué)習(xí)認(rèn)為教學(xué)是師生之間、生生之間相互作用的過程，強(qiáng)調(diào)多邊互動(dòng)，共同掌握知識。視教學(xué)為師生平等參與和互動(dòng)的過程，強(qiáng)調(diào)教師只是小組中的普通一員，起到一個(gè)引導(dǎo)者，管理者角色。在課堂教學(xué)中要加強(qiáng)知識發(fā)生過程的教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與的積極性，有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生個(gè)性品質(zhì)，從而達(dá)到提高學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

結(jié)合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生情況我采用合作交流，探究學(xué)習(xí)相結(jié)合的教學(xué)方法。

五、內(nèi)容組織形式

課堂教學(xué)環(huán)節(jié)

六、教學(xué)過程及設(shè)想

教學(xué)環(huán)節(jié)

教學(xué)過程

設(shè)計(jì)意圖

(一)課前診測，完善認(rèn)知

畫出函數(shù)

的圖象,并研究出它們各自的變化趨勢。

認(rèn)知派學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)的積累及恰當(dāng)與否取決于學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

殘缺的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是完成不了整個(gè)學(xué)習(xí)過程的。針對學(xué)生的實(shí)際情況，在上一節(jié)的課后布置作業(yè)讓學(xué)生畫一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象，回顧以前知識，盡而形成一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為以后的學(xué)習(xí)排除障礙。

（二）創(chuàng)設(shè)情景，引發(fā)興趣

師：在生活中我們經(jīng)常會(huì)關(guān)注一些實(shí)際問題。如果你是市長分管防洪抗旱工作，你會(huì)對水位的漲落隨時(shí)間變化的規(guī)律特別關(guān)心，如果你為一個(gè)股民的話，你心里想得就是如果能預(yù)見每天股價(jià)的走勢那該是一件多么幸福的事情。實(shí)際上這些問題歸根結(jié)底就是：是研究量與量之間的變化趨勢，也就是研究其中兩個(gè)變量如何相互影響的，這也是我們今天所要研究的主要課題。

看以下實(shí)際問題：

請說出氣溫在哪些時(shí)段是升高的，怎么樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫“隨時(shí)間的增大氣溫逐步升高”這一特征？

這種在一定時(shí)間內(nèi)，隨著時(shí)間增大，氣溫逐步升高的現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)中，我們稱它為函數(shù)的單調(diào)性

行為學(xué)習(xí)理論者強(qiáng)調(diào)環(huán)境對學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。當(dāng)學(xué)習(xí)者對某種特殊的刺激做出反應(yīng)時(shí)，就產(chǎn)生了“學(xué)習(xí)”。

依據(jù)教材知識，滲透新課標(biāo)理念，通過與實(shí)際問題的聯(lián)系，揭示我們研究此節(jié)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)意義，目的引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的產(chǎn)生。

要點(diǎn)：短，平，快。

（三）合作交流，建構(gòu)數(shù)學(xué)

師生互動(dòng)

，

引

導(dǎo)

探

索

(四)建構(gòu)數(shù)學(xué)，收獲新知

讓一小組的代表上臺(tái)來展示在上節(jié)課后所做的幾個(gè)函數(shù)圖象，并據(jù)此討論下列問題，

問題1、并說一說所畫函數(shù)的圖象的變化趨勢。(下面打出部分函數(shù)的圖象)

觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)的函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈下降的趨勢，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢。

(注意一定要提醒：是從左到右的看)

問題2：你能明確的說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？此時(shí)X與函數(shù)值Y如何相互影響的？

討論得到：

在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x值增大時(shí)，函數(shù)值y也增大圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢。

在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x值增大時(shí)，函數(shù)值y也反而減小圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。

在眾多的函數(shù)中，很多函數(shù)都具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)的這種性質(zhì)做進(jìn)一步的討論與研究。這就是我們今天這一節(jié)課的主題。

函數(shù)的這種性質(zhì)，我們就稱為函數(shù)的單調(diào)性。

(對每一個(gè)問題，小組成員先獨(dú)立做，再分別說出自己的想法，然后討論，形成集體的意見。)

1、通過一系列的問題，引發(fā)對概念的全面思考。從具體到抽象，再從抽象到具體，并通過合作交流，增強(qiáng)學(xué)生對概念的理解，不斷的修正、完善結(jié)論，達(dá)到建構(gòu)數(shù)學(xué)的目的。

2、教學(xué)實(shí)踐證明，小組內(nèi)成員合作，組間成員競爭的討論是一種有效的教學(xué)策略，使得整個(gè)評價(jià)的重心同個(gè)人之間競爭轉(zhuǎn)為團(tuán)體合作達(dá)標(biāo)。并能使教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間有更多的交往、互動(dòng)的機(jī)會(huì)。

它也是引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程的重要措施，是培養(yǎng)學(xué)生合作精神和激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要手段，也是促使每個(gè)學(xué)生得到充分發(fā)展的有效途徑

3、重點(diǎn)：學(xué)生能否抓住定義中的關(guān)鍵詞“給定區(qū)間”、“任意”和“都有”，是能否正確，深入透徹地理解和掌握概念的重要一環(huán)。

分析定義，使學(xué)生把定義與圖形結(jié)合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的分析問題的數(shù)學(xué)思想方法

問題3：我們剛才已經(jīng)對函數(shù)的單調(diào)性，做了定性的分析，我們?nèi)绾螐牧康慕嵌葋砜坍嬤@種性質(zhì)。你能給出一個(gè)確切的定義來嗎？請用你自己的話表達(dá)出來，并說給你的小組成員聽，并與他交流后，形成集體意見，再展示給大家。

(教師巡視，視小組討論情況，可提示：在區(qū)間A中，若x=2時(shí)，y=5；x=3時(shí)，y=7，能不能說隨著X的增大，y也增大；)

最后的結(jié)論：

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間A上的任意兩個(gè)值

⑴若當(dāng)時(shí)，都有f()f(),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)時(shí)，都有f()f(),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

增函數(shù)的本質(zhì)是在某個(gè)區(qū)間上，較大的自變量對應(yīng)較大的函數(shù)值，減函數(shù)反之。

（四）數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固新知

(一)例題

例1：(1)定義在R上的函數(shù)y=f(x)圖象如圖甲，所示，請說出它的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù)

(2)參看所畫看圖乙，指出函數(shù)y=(1/x)的單調(diào)區(qū)間，能不能說在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)？指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能不能說在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)？

(3))如圖丙，函數(shù)圖象如圖，寫出單調(diào)區(qū)間

讓學(xué)生進(jìn)一步理解一般函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義，

(1)區(qū)間的端點(diǎn)要不要？

(2)在這里一定要強(qiáng)調(diào)單調(diào)性只是函數(shù)的“局部性質(zhì)”它與區(qū)間密不可分。-----不能把函數(shù)的單調(diào)區(qū)間寫成

例2判斷并證明函數(shù)f(x)=在(0,+)上的單調(diào)性。

證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，

------------------------------(取量定大小)

則f()－f()=－=,

由,∈(0,+)，得0,

又由,得－0,于是f()－f()0,即f()f()------------------------------作差定符號

∴f(x)=在(0,+)上是減函數(shù).---------判斷定結(jié)論

(讓一個(gè)中等學(xué)生上去板演)，

2、由于例2難度較大，學(xué)生難以從中歸納出證明方法及步驟，因而有必要先詳細(xì)講解，通過分析、引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出方法及步驟，提示學(xué)生注意證明過程的規(guī)范性及嚴(yán)謹(jǐn)性。

歸納證明方法并加以比較說明；使學(xué)生突破本節(jié)的難點(diǎn)，掌握重點(diǎn)內(nèi)容。

基本步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷定結(jié)論”其中第二環(huán)節(jié)是難點(diǎn)“作差→變形→判斷正負(fù)”。

(二)課堂練習(xí)：

1、判斷下列說法是否正確

(1)定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上的增函數(shù)。

(2)定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上不是減函數(shù)。

(3)定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)。

(4)、定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)。

2、判斷函數(shù)f(x)=kx+b在R上的單調(diào)性，并說明理由.

3、判斷并證明函數(shù)在(-，0)上的單調(diào)性。

練習(xí)的設(shè)定也是由淺入深層層推進(jìn)的。

(五)回顧總結(jié)，加深理解理解理解

請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是詞語特別注意的？(請一個(gè)思路清晰，善于表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中給予提示)

1、函數(shù)單調(diào)性的定義，注意定義中的關(guān)鍵詞。

2、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟；

3、在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，不要輕易用并集的符號連接；

課后知識性內(nèi)容總結(jié)，把課堂內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)

(六)兼顧差異，分層練習(xí)

必做：習(xí)題2.1(3)：第1、4、7題

選做：研究的單調(diào)性，并給出嚴(yán)格證明，你能求出該函數(shù)的值域嗎？

1、針對學(xué)生個(gè)體的差異設(shè)置分層練習(xí)。既注重課內(nèi)基礎(chǔ)知識掌握，又兼顧了有余力的學(xué)生的能力的提高。

2、提出新的課題是想把問題研究引向課外，激發(fā)學(xué)生興趣，為下一節(jié)課“最值”作好充分的準(zhǔn)備。

希望得到各位評委的批評指正

課后記：

在本節(jié)課中我力求做一名引導(dǎo)者，管理者營造一種平等，民主，和諧的學(xué)習(xí)氣氛，充分發(fā)揮評價(jià)在教學(xué)中的導(dǎo)向和激勵(lì)作用，與學(xué)生平等，民主的討論問題，增強(qiáng)學(xué)生之間的合作交流意識。

集體講授時(shí)力求簡要清晰，高效低耗。

課題：函數(shù)的單調(diào)性

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“課題：函數(shù)的單調(diào)性”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

教材：人教版全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊（上）

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．

【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點(diǎn)】根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

【教學(xué)方法】教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)．

【教學(xué)手段】計(jì)算機(jī)、投影儀．

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

為了預(yù)測北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.

引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考．

問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達(dá)到的時(shí)刻；

(2)在某時(shí)刻的溫度；

(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.

教師指出：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？

預(yù)案：水位高低、降雨量、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等．

歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小．

〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，是函數(shù)的重要性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

1．借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律？

預(yù)案：(1)函數(shù)，在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)，在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而減小．

(2)函數(shù)，在上y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?p>(3)函數(shù)，在上y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?p>引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)嗎?

預(yù)案：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識．

〖設(shè)計(jì)意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識．

2．抽象思維，形成概念

問題1：如圖是函數(shù)的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？

學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性．

問題2：如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？

預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如2和3，因?yàn)?232，所以在上為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取多組數(shù)值驗(yàn)證均滿足，所以在為增函數(shù)．

(3)任取,因?yàn)?即，所以在上為增函數(shù)．

對于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量．

〖設(shè)計(jì)意圖〗把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問題3：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．

(1)板書定義

(2)鞏固概念

判斷題：

①．

②若函數(shù)．

③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)．

④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù).通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性．

②有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?

〖設(shè)計(jì)意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.

三、掌握證法，適當(dāng)延展

例1證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取,設(shè)元

求差

變形,斷號

∴

∴即

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論

2．歸納解題步驟

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

問題：除了用定義外，如果證得對任意的，且有，能斷定函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)嗎?

引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性．讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．了解等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

(3)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合．

2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3第4，5，6題．

課后探究：研究函數(shù)的單調(diào)性．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．

對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：（1）用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)．重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識．

四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：

（1）在探索概念階段,讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

3.1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。
二．新課講授
1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像．
運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？
通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1）運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．
（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．
2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．

如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．

（圖3.3-3）

在處，，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；
在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．
3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．
三．典例分析
例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，
試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．
解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)，或時(shí)，，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”．
綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．
例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．
（1）；（2）
（3）；（4）
解：（1）因?yàn)?，所以?br> 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示．

（2）因?yàn)?，所以?br> 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．
（3）因?yàn)椋裕?br> 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示．
（4）因?yàn)?，所以?br> 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生練

例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．
解：
思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？
一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，
在或內(nèi)的圖像“平緩”．
例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
證明：因?yàn)?br> 當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：
（1）求導(dǎo)函數(shù)；
（2）判斷在內(nèi)的符號；
（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．
例5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時(shí)公式中的等號不能省略，否則漏解．
例6．已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解：y′=(x+)′
=1－1x－2=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)
四．課堂練習(xí)
1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx
2．課本練習(xí)
五．回顧總結(jié)
（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性