高中函數(shù)單調(diào)性教案

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性。

3.1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。
二．新課講授
1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運(yùn)動員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像．
運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？
通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：
（1）運(yùn)動員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．
（2）從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．
2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．

如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．

（圖3.3-3）

在處，，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；
在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．
3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．
三．典例分析
例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，；
當(dāng)，或時(shí)，
試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．
解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)，或時(shí)，，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”．
綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．
例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．
（1）；（2）
（3）；（4）
解：（1）因?yàn)?，所以?br> 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示．
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（2）因?yàn)椋裕?br> 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．
（3）因?yàn)?，所以?br> 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示．
（4）因?yàn)椋裕?br> 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生練

例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．

分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．
解：
思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？
一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．
如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，
在或內(nèi)的圖像“平緩”．
例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
證明：因?yàn)?br> 當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：
（1）求導(dǎo)函數(shù)；
（2）判斷在內(nèi)的符號；
（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．
例5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時(shí)公式中的等號不能省略，否則漏解．
例6．已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解：y′=(x+)′
=1－1x－2=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)
四．課堂練習(xí)
1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx
2．課本練習(xí)
五．回顧總結(jié)
（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性

擴(kuò)展閱讀

§1．3．1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1課時(shí)）

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會提前最好準(zhǔn)備，準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？以下是小編為大家收集的“§1．3．1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1課時(shí)）”相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

§1．3．1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1課時(shí)）
【學(xué)情分析】：
高一學(xué)過了函數(shù)的單調(diào)性，在引入導(dǎo)數(shù)概念與幾何意義后，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。在此基礎(chǔ)上，我們發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的增減性以及增減的快慢都有很緊密的聯(lián)系。本節(jié)內(nèi)容就是通過對函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算，來判定可導(dǎo)函數(shù)增減性。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；
（2）掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法
（3）能夠利用導(dǎo)數(shù)解釋實(shí)際問題中的函數(shù)單調(diào)性
【教學(xué)重點(diǎn)】：
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖
情景引入過程
從高臺跳水運(yùn)動員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)：
分析運(yùn)動動員的運(yùn)動過程：
上升→最高點(diǎn)→下降
運(yùn)動員瞬時(shí)速度變換過程：
減速→0→加速從實(shí)際問題中物理量入手
學(xué)生容易接受
實(shí)際意義向函數(shù)意義過渡從函數(shù)的角度分析上述過程：
先增后減
由正數(shù)減小到0，再由0減小到負(fù)數(shù)
將實(shí)際的量與函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)意義聯(lián)系起來，過渡自然，突破理解障礙
引出函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系通過上述實(shí)際例子的分析，聯(lián)想觀察其他函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系
進(jìn)一步的函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)驗(yàn)證，加深兩者之間的關(guān)系
我們能否得出以下結(jié)論：
在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
答案是肯定的
從導(dǎo)數(shù)的概念給出解釋表明函數(shù)在此點(diǎn)處的切線斜率是由左下向右上，因此在附近單調(diào)遞增
表明函數(shù)在此點(diǎn)處的切線斜率是由左上向右下，因此在附近單調(diào)遞減
所以，若，則，f(x)為增函數(shù)
同理可說明時(shí)，f(x)為減函數(shù)
用導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性的內(nèi)在關(guān)系，幫助理解與記憶
導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性總結(jié)若y=f(x)在區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)，則
（1）在（a,b）內(nèi)，y=f(x)在（a,b）單調(diào)遞增
（2）在（a,b）內(nèi)，y=f(x)在（a,b）單調(diào)遞減
抽象概括我們的心法手冊（用以指導(dǎo)我們拆解題目）
例題精講1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性
教材例1在教學(xué)環(huán)節(jié)中的處理方式：
以學(xué)生的自學(xué)為主，可以更改部分?jǐn)?shù)據(jù)，讓學(xué)生動手模仿。
小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的正負(fù)→函數(shù)的增減→構(gòu)建函數(shù)大致形狀
提醒學(xué)生觀察的點(diǎn)的圖像特點(diǎn)（為下節(jié)埋下伏筆）
丟出思考題：“”的點(diǎn)是否一定對應(yīng)函數(shù)的最值（由于學(xué)生尚未解除“極值”的概念，暫時(shí)還是以最值代替）例題處理的目標(biāo)就是為達(dá)到將“死結(jié)論”變成“活套路”
2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及計(jì)算求函數(shù)單調(diào)區(qū)間
教材例2在教學(xué)環(huán)節(jié)中的處理方式：
可以先以為例回顧我們高一判斷函數(shù)單調(diào)性的定義法；再與我們導(dǎo)數(shù)方法形成對比，體會導(dǎo)數(shù)方法的優(yōu)越性。
引導(dǎo)學(xué)生逐步貫徹落實(shí)我們之前準(zhǔn)備的“心法手冊”
判斷單調(diào)性→計(jì)算導(dǎo)數(shù)大小→能否判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)
→Y，得出函數(shù)單調(diào)性；
→N，求“導(dǎo)數(shù)大于（小于）0”的不等式的解集→得出單調(diào)區(qū)間

補(bǔ)充例題：
已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解：y′=(x+)′=1－1x－2=
令＞0.解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)

要求根據(jù)函數(shù)單調(diào)性畫此函數(shù)的草圖
3、實(shí)際問題中利用導(dǎo)數(shù)意義判斷函數(shù)圖像
教材例3的處理方式：
可以根據(jù)課程進(jìn)度作為課堂練習(xí)處理
同時(shí)還可以引入類似的練習(xí)補(bǔ)充（如學(xué)生上學(xué)路上，距離學(xué)校的路程與時(shí)間的函數(shù)圖像）
堂上練習(xí)教材練習(xí)2——由函數(shù)圖像寫函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性
教材練習(xí)1——判斷函數(shù)單調(diào)性，計(jì)算單調(diào)區(qū)間針對教材的三個(gè)例題作知識強(qiáng)化練習(xí)
內(nèi)容總結(jié)體會導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性方面的極大優(yōu)越性體會學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重要性

課后練習(xí)：
1、函數(shù)的遞增區(qū)間是（）
ABCD
答案C對于任何實(shí)數(shù)都恒成立

2、已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的
取值范圍是（）
AB
CD
答案B在恒成立，

3、函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（）
ABCD
答案C令

4、對于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）
AB
CD
答案C當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)取得最小值，即有
得

5、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為___________________
答案

6、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________________
答案

7、已知的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在處的切線方程是
（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間
解：（1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，
切點(diǎn)為，則的圖象經(jīng)過點(diǎn)
得
（2）
單調(diào)遞增區(qū)間為

函數(shù)的單調(diào)性

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡單方便，下面是小編整理的“函數(shù)的單調(diào)性”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

數(shù)學(xué)必修1：函數(shù)的單調(diào)性
教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的單調(diào)性
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念和判定
教學(xué)過程：
1、過對函數(shù)、、及的觀察提出有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題.
2、閱讀教材明確單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念
3、
例1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，及在每一單調(diào)區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù)。
解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有，
其中在區(qū)間，
上是減函數(shù)，在區(qū)間上是
增函數(shù)。
注意：1單調(diào)區(qū)間的書寫
2各單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系
以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調(diào)性呢？
例2、證明函數(shù)在R上是增函數(shù)。
證明：設(shè)是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則
，
所以，在R上是增函數(shù)。
例3、證明函數(shù)在上是減函數(shù)。
證明：設(shè)是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則
由，得，且
于是
所以，在上是減函數(shù)。
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
（1）取值
（2）計(jì)算、
（3）對比符號
（4）結(jié)論

課堂練習(xí)：教材第50頁練習(xí)A、B
小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念及判定方法
課后作業(yè)：第57頁習(xí)題2-1A第5題

函數(shù)單調(diào)性

年級高一

學(xué)科數(shù)學(xué)

課題

函數(shù)的單調(diào)性（2）

授課時(shí)間

撰寫人

劉報(bào)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性證明

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用及證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2.學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).3.函數(shù)單調(diào)性證明

教學(xué)過程

一自主學(xué)習(xí)

1.指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，并進(jìn)行證明.2．函數(shù)的最小值為，的最大值為.

3：先完成下表，

函數(shù)

最高點(diǎn)

最低點(diǎn)

,

,

4設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的。

仿照最大值定義，給出最小值（MinimumValue）的定義．

二師生互動

例1一枚炮彈發(fā)射，炮彈距地面高度h（米）與時(shí)間t（秒）的變化規(guī)律是，那么什么時(shí)刻距離地面的高度達(dá)到最大？最大是多少？

變式：經(jīng)過多少秒后炮彈落地？

試試：一段竹籬笆長20米，圍成一面靠墻的矩形菜地，如何設(shè)計(jì)使菜地面積最大？

例2求在區(qū)間[3，6]上的最大值和最小值.

變式：求的最大值和最小值.

練一練函數(shù)的最小值為，最大值為.如果是呢？

三鞏固練習(xí)

1.函數(shù)的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最小值

3，則在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，有最值為.5.函數(shù)的最大值為，最小值為.6.用多種方法求函數(shù)最小值.

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)

1.作出函數(shù)的簡圖，研究當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時(shí)的最大值與最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容指的是會判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性、會確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、能證明函數(shù)的單調(diào)性,其關(guān)鍵是利用形式化的定義處理有關(guān)的單調(diào)性問題,理解它關(guān)鍵就是要學(xué)會轉(zhuǎn)換式子.學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)單調(diào)性的定義、代數(shù)式的變換、函數(shù)的概念等知識,本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的應(yīng)用.教學(xué)的重點(diǎn)是應(yīng)用定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是嚴(yán)格按過程進(jìn)行證明。
二、教學(xué)目標(biāo)及解析
(一)教學(xué)目標(biāo):
掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.
(二)解析:
會證明就是指會利用三步曲證明函數(shù)的單調(diào)性；會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是指會利用函數(shù)的圖象寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間；應(yīng)用知識解決問題就是指能利用函數(shù)單調(diào)性的意義去求參變量的取值情況或轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。

三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學(xué)中,學(xué)生可能遇到的問題是如何才能準(zhǔn)確確定的符號,產(chǎn)生這一問題的原因是學(xué)生對代數(shù)式的恒等變換不熟練.要解決這一問題,就是要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識補(bǔ)習(xí)，特別是因式分解、二次根式中的分母有理化的補(bǔ)習(xí).

四、教學(xué)支持條件分析
在本節(jié)課()的教學(xué)中,準(zhǔn)備使用(),因?yàn)槭褂?),有利于().

五、教學(xué)過程
問題1.用三種語言描述函數(shù)單調(diào)性的意義

問題2.基本例題
例1如圖是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

活動：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評價(jià)學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).
解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù).
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.
圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.
變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)1、3.
例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.
活動：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，教師再提示,及時(shí)糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大的方法是用不等式表達(dá).已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常用單調(diào)性的定義來解決.
解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可.
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.
定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時(shí)比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為：“去比賽”.
變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)4.
1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.
解：①正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).
②反比例函數(shù)：y=(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.
③一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)
當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).
④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)
當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,］，單調(diào)遞增區(qū)間是［,+∞)；
當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,］.
點(diǎn)評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.
2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.
答案：a=2.

問題3。能力型例題
例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；
（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
圖1-3-1-4
解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.
(2)設(shè)x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，則有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，∴x1-x20,x1+x22.
∴2-x1-x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).
∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù).
（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-∞,m］位于對稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］.
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).
判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.
判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：
第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；
第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第三步，用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問題，會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型.
例2.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；
活動：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；解：（1）設(shè)x1、x2∈R，且x1x2.則
F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1x2，∴a-x2a-x1.
∴f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).
∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］0.
∴F(x1)F(x2).∴F(x)是R上的增函數(shù).
知能訓(xùn)練
課本P32練習(xí)2.
例3.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若f(a+1)f(-4a+1)成立，則a的取值范圍是______.
點(diǎn)評：本題實(shí)質(zhì)是解不等式，但是這是一個(gè)不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時(shí)，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.
拓展提升
例4．1.畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.
2.試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.

六、課堂小結(jié)
本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.
活動：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評價(jià).
引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié).