高中函數(shù)單調(diào)性教案

高三數(shù)學教案：《函數(shù)的單調(diào)性復習》教學設計。

本文題目：高三數(shù)學復習教案： 函數(shù)的單調(diào)性復習教案

一、課前檢測

1. 下列函數(shù) 中，滿足 “對 ,當 時，都有 ”的是( B )

A. B. C. D.

2. 函數(shù) 和 的遞增區(qū)間依次是( C )

A. B. C. D.

3. 已知函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞減，則 的取值范圍是( C )

A. B. C. D.

二、知識梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設函數(shù) 的定義域為 ，區(qū)間 ，如果對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個值 ，當 時都有 ，那么就稱函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào) ( )函數(shù)，區(qū)間 稱為 的 ( )區(qū)間.

解讀：

2.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：

(1)定義法： (2)圖象法： (3)導數(shù)法： (4)利用復合函數(shù)的單調(diào)性：

解讀：

3.關于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結論：

①兩個增(減)函數(shù)的和為_____;一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是______;

②奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_____的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_____的單調(diào)性;

③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義域上有______的單調(diào)性;

解讀：

4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數(shù)法、導數(shù)法等

解讀：

三、典型例題分析

例1 求證： 在 上是增函數(shù).

答案：略

變式訓練：對于給定的函數(shù) ，有以下四個結論：

① 的圖象關于原點對稱;② 在定義域上是增函數(shù);③ 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且在 上為增函數(shù);④ 有最小值2。

其中結論正確的是 . 答案：①③④

小結與拓展：對 “對勾函數(shù)”的認識。

例2 已知函數(shù) .滿足對任意的 都有 成立，則 的取值范圍是 ( A )

A. B. C. D.

變式訓練：已知函數(shù) ,若 則實數(shù) 的取值范圍是 .

解析： 在 上是增函數(shù)，由題得 ，解得

小結與拓展：判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法。

例3 (1)函數(shù) 的遞增區(qū)間為___________; 答案：

(2)函數(shù) 的遞減區(qū)間為_________。 答案：

變式訓練1：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;

答案：遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為

變式訓練2：已知 在[0, 1]上是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是____。

解：題中隱含a>0，∴2-ax在[0，1]上是減函數(shù).∴y=logau應為增函數(shù)，且u=2-ax在[0，1]上應恒大于零.∴

∴1

小結與拓展：復合函數(shù)單調(diào)性按照“同增異減”的法則來判定

例4 函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時，f(x)>1.?

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù);?

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)

解：(1)設x1,x2∈R，且x1

則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.

∴f(x2)>f(x1).?

即f(x)是R上的增函數(shù).

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，?

∴f(2)=3，

∴原不等式可化為f(3m2-m-2)

∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2

解得-1

小結與拓展：判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法，關鍵是根據(jù)條件判斷 的符號，需要設法構造出 的因式。

變式訓練：已知定義在區(qū)間 上的函數(shù) 滿足 ，且當 時， ，

(1)求 的值;(2)判斷 的單調(diào)性;(3)若 ，解不等式 。

答案：(1)令 可得 ;

(2)任取 且 則 ，

所以， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減;

(3)由 ，由 單調(diào)遞減 ，解的： 或

四、歸納與總結(以學生為主，師生共同完成)

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯點：

4.教學反思(不足并查漏)：

相關知識

函數(shù)的單調(diào)性

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為高中教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“函數(shù)的單調(diào)性”，僅供您在工作和學習中參考。

數(shù)學必修1：函數(shù)的單調(diào)性
教學目標：理解函數(shù)的單調(diào)性
教學重點：函數(shù)單調(diào)性的概念和判定
教學過程：
1、過對函數(shù)、、及的觀察提出有關函數(shù)單調(diào)性的問題.
2、閱讀教材明確單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念
3、
例1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，及在每一單調(diào)區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù)。
解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有，
其中在區(qū)間，
上是減函數(shù)，在區(qū)間上是
增函數(shù)。
注意：1單調(diào)區(qū)間的書寫
2各單調(diào)區(qū)間之間的關系
以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調(diào)性呢？
例2、證明函數(shù)在R上是增函數(shù)。
證明：設是R上的任意兩個實數(shù)，且，則
，
所以，在R上是增函數(shù)。
例3、證明函數(shù)在上是減函數(shù)。
證明：設是上的任意兩個實數(shù)，且，則
由，得，且
于是
所以，在上是減函數(shù)。
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
（1）取值
（2）計算、
（3）對比符號
（4）結論

課堂練習：教材第50頁練習A、B
小結：本節(jié)課學習了單調(diào)遞增、單調(diào)遞減和單調(diào)區(qū)間的概念及判定方法
課后作業(yè)：第57頁習題2-1A第5題

函數(shù)單調(diào)性

年級高一

學科數(shù)學

課題

函數(shù)的單調(diào)性（2）

授課時間

撰寫人

劉報

學習重點

函數(shù)單調(diào)性證明

學習難點

函數(shù)單調(diào)性應用及證明

學習目標

1.理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2.學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).3.函數(shù)單調(diào)性證明

教學過程

一自主學習

1.指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，并進行證明.2．函數(shù)的最小值為，的最大值為.

3：先完成下表，

函數(shù)

最高點

最低點

,

,

4設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的。

仿照最大值定義，給出最小值（MinimumValue）的定義．

二師生互動

例1一枚炮彈發(fā)射，炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是，那么什么時刻距離地面的高度達到最大？最大是多少？

變式：經(jīng)過多少秒后炮彈落地？

試試：一段竹籬笆長20米，圍成一面靠墻的矩形菜地，如何設計使菜地面積最大？

例2求在區(qū)間[3，6]上的最大值和最小值.

變式：求的最大值和最小值.

練一練函數(shù)的最小值為，最大值為.如果是呢？

三鞏固練習

1.函數(shù)的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函數(shù)的最小值是（）.A.0B.2C.4D.4.已知函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在區(qū)間上，當時，有最小值

3，則在區(qū)間上，當時，有最值為.5.函數(shù)的最大值為，最小值為.6.用多種方法求函數(shù)最小值.

四課后反思

五課后鞏固練習

1.作出函數(shù)的簡圖，研究當自變量x在下列范圍內(nèi)取值時的最大值與最小值．（1）；（2）；（3）.2.已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍

高三數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性2

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助教師提高自己的教學質(zhì)量。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編精心為您整理的“高三數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性2”，希望能對您有所幫助，請收藏。

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應用意識.●難點磁場(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.?●案例探究［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)

函數(shù)單調(diào)性的應用

1.3.1函數(shù)單調(diào)性的應用
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的應用
（二）解析：本節(jié)課要學的內(nèi)容指的是會判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性、會確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、能證明函數(shù)的單調(diào)性,其關鍵是利用形式化的定義處理有關的單調(diào)性問題,理解它關鍵就是要學會轉(zhuǎn)換式子.學生已經(jīng)掌握了函數(shù)單調(diào)性的定義、代數(shù)式的變換、函數(shù)的概念等知識,本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎上的應用.教學的重點是應用定義證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性,解決重點的關鍵是嚴格按過程進行證明。
二、教學目標及解析
(一)教學目標:
掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應用知識解決問題的能力.
(二)解析:
會證明就是指會利用三步曲證明函數(shù)的單調(diào)性；會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是指會利用函數(shù)的圖象寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間；應用知識解決問題就是指能利用函數(shù)單調(diào)性的意義去求參變量的取值情況或轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。

三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學中,學生可能遇到的問題是如何才能準確確定的符號,產(chǎn)生這一問題的原因是學生對代數(shù)式的恒等變換不熟練.要解決這一問題,就是要根據(jù)學生的實際情況進行知識補習，特別是因式分解、二次根式中的分母有理化的補習.

四、教學支持條件分析
在本節(jié)課()的教學中,準備使用(),因為使用(),有利于().

五、教學過程
問題1.用三種語言描述函數(shù)單調(diào)性的意義

問題2.基本例題
例1如圖是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

活動：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).
解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù).
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.
圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.
變式訓練
課本P32練習1、3.
例2物理學中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.
活動：學生先思考或討論，再到黑板上書寫.當學生沒有證明思路時，教師再提示,及時糾正學生解答過程出現(xiàn)的問題，并標出關鍵的地方，以便學生總結定義法的步驟.體積V減少時，壓強p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時，壓強p將增大的方法是用不等式表達.已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常用單調(diào)性的定義來解決.
解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可.
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.
定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結論.定義法的步驟可以總結為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為：“去比賽”.
變式訓練
課本P32練習4.
1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.
解：①正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)
當k0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當k0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).
②反比例函數(shù)：y=(k≠0)
當k0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當k0時，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.
③一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)
當k0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當k0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).
④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)
當a0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,］，單調(diào)遞增區(qū)間是［,+∞)；
當a0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,］.
點評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結論記住，可以提高解題速度.
2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2,+∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的值.
答案：a=2.

問題3。能力型例題
例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；
（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù)；
（3）當函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的取值范圍.
圖1-3-1-4
解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.
(2)設x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，則有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，∴x1-x20,x1+x22.
∴2-x1-x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).
∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù).
（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側是增函數(shù)，那么當區(qū)間(-∞,m］位于對稱軸的左側時滿足題意，則有m≤1，即實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］.
點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應用.討論有關二次函數(shù)的單調(diào)性問題時，常用數(shù)形結合的方法，結合二次函數(shù)圖象的特點來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).
判斷函數(shù)單調(diào)性時，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.
判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：
第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；
第二步，結合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第三步，用數(shù)學符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結論.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運用單調(diào)性解決一些問題，會判斷復合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點題型.
例2.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設F(x)=f(x)-f(a-x).用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；
活動：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；解：（1）設x1、x2∈R，且x1x2.則
F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1x2，∴a-x2a-x1.
∴f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).
∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］0.
∴F(x1)F(x2).∴F(x)是R上的增函數(shù).
知能訓練
課本P32練習2.
例3.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若f(a+1)f(-4a+1)成立，則a的取值范圍是______.
點評：本題實質(zhì)是解不等式，但是這是一個不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關的抽象不等式時，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.
拓展提升
例4．1.畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.
2.試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.

六、課堂小結
本節(jié)學習了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.
活動：學生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價.
引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結.