小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題-多邊形的邊與角。

專題14多邊形的邊與角
閱讀與思考
主要是指多邊形的邊、內(nèi)外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形等基本概念和多邊形內(nèi)角和定理、外角和定理，其中多邊形內(nèi)、外角和定理是解有關(guān)多邊形問題的基礎(chǔ)．
多邊形的許多性質(zhì)與問題往往可以利用三角形來說明、解決，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題是解多邊形問.題的基本策略，轉(zhuǎn)化的方法是連對角線或向外補(bǔ)形．
多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，但外角和卻總是不變的，所以，我們常以外角和的“不變”來制約內(nèi)角和的“變”，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題來處理，這是解多邊形相關(guān)問題的常用技巧．
例題與求解
【例1】兩個(gè)凸多邊形，它們的邊長之和為12，對角線的條數(shù)之和為19，那么這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是＿＿＿＿和＿＿＿＿．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：設(shè)兩個(gè)凸多邊形分別有，條邊，分別引出，條對角線，由此得，方程組．

【例2】凸邊形有且只有3個(gè)鈍角，那么的最大值是（）
A．5B．6C．7D．8
解題思路：運(yùn)用鈍角、銳角概念，建立關(guān)于的不等式，通過求解不等式逼近求解．

【例3】凸邊形除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2570°，求的值．
（山東省競賽試題）
解題思路：利用邊形內(nèi)角和公式，以及邊數(shù)為大于等于3的自然數(shù)這一要求，推出該角大小，進(jìn)而求出的值．

【例4】如圖，凸八邊形ABCDEFGH的八個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)G的長分為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．（全國通訊賽試題）
解題思路：該八邊形每一內(nèi)角均為135°，每一外角為45°，可將八邊形問題轉(zhuǎn)化為特殊三角形解決、特殊四邊形加以解決．

【例5】如圖所示，小華從M點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后，向左轉(zhuǎn)20°，再沿直線前進(jìn)10米后，又向左轉(zhuǎn)20°，…這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地M時(shí)，行走了多少米？
解題思路：試著將圖形畫完，你也許就知道答案了．

能力訓(xùn)練
A級
1．如圖，凸四邊形有＿＿＿個(gè)；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
（重慶市競賽試題）
2．如圖，凸四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD和DA的長分別為3，4，12和13，∠ABC＝90°，則四邊形ABCD的面積為＿＿＿．

3．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
4．如圖，ABCD是凸四邊形，則的取值范圍是＿＿＿．.
5．一個(gè)凸多邊形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是（）
A．9條B．8條C．7條D．6條
（“祖沖之杯”邀請賽試題）
6．—個(gè)凸邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么的最大值是（）
（全國初中聯(lián)賽試題）
A．11B．12C．13D．14
7．如圖，是一個(gè)正方形桌面，如果把桌面砍下一個(gè)角后，桌面還剩（）個(gè)角．
A．5個(gè)B．5個(gè)或3個(gè)
C．5個(gè)或3個(gè)或4個(gè)D．4個(gè)
8．—個(gè)凸邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余個(gè)內(nèi)角的和為2400°，則的值是（）
A．15B．16C．17D．不能確定
9．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和DC的長．

10．—個(gè)凸邊形的最小內(nèi)角為95°，其他內(nèi)角依次增加10°，求的值．
（“希望杯”邀請賽試題）

11．平面上有A，B，C，D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—個(gè)三角形的內(nèi)角不超過45°．
（江蘇省競賽試題）

12．我們常見到如圖那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整的、無空隙的地面．問：
（1）像上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？
（2）你能不能另外想出一個(gè)用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖．
（3）請你再畫出一個(gè)用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖．
（安徽省中考試題）

B級
1．一個(gè)正邊形恰好被正邊形圍住（無重疊、無間隙，如圖所示是＝4，＝8的情況），若＝10，則＝＿＿＿＿．
2．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，F(xiàn)ACD＝3，則BC＋DE＝＿＿＿＿．
（北京市競賽試題）
3．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到五個(gè)角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于＿＿＿．若延長凸邊形（≥5）的各邊相交，則得到的個(gè)角的和等于＿＿＿＿．
（第十二屆“希望杯”邀請賽試題）
4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，則∠D＝（）
A．60°B．67.5°C．75°D．不能確定
（重慶市競賽試題）
5．如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，則∠DAO＋∠DCO的大小是（）
A．70°B．110°C．140°D．150°
6．在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）
A．12B．12或13C．14D．14或15
（江蘇省競賽試題）
7．一個(gè)凸十一邊形由若干個(gè)邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸十一邊形各個(gè)內(nèi)角大小，并畫出這樣的凸十一邊形的草圖．
（全國通訊賽試題）

8．一塊地能被塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果使用較小的相同正方形地磚，那么需＋76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知及地磚的邊長都是整數(shù)，求的值．
（上海市競賽試題）

9．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形，記作A1如下左圖，將A1的每條邊三等分，在中間的線段上各向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記作A2（如下中圖）；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3（如下右圖）；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作
A4，求A4的周長．
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

10．在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫作平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角（360°）時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．
（1）請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：
正多邊形邊數(shù)3456…

正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)60°90°
（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？
（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形．說明你的理由．
（陜西省中考試題）

擴(kuò)展閱讀

八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題-整體與完形

專題28整體與完形

閱讀與思考
許多幾何問題，常因圖形復(fù)雜、不規(guī)則而給解題帶來困難，這些復(fù)雜、不規(guī)則的圖形，從整體考慮，可看作某種圖形的一部分，如果將它們補(bǔ)充完整，就可得到常見的特殊圖形，那么就能利用特殊圖形的特殊性質(zhì)轉(zhuǎn)化問題，這就是解幾何問題的補(bǔ)形法，常見的補(bǔ)形方法有：
1.將原圖形補(bǔ)形為最能體現(xiàn)相關(guān)定理、推論、公理的基本圖形；
2.將原圖形補(bǔ)形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；
3.將原圖形補(bǔ)形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形：
例題與求解
【例1】如圖，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，則∠AFE＝_________度.(北京市競賽試題)
解題思路：有平行的條件，不妨將六邊形補(bǔ)形為較為規(guī)整的平行四邊形.

【例2】設(shè)分別是△ABC的三邊長，且滿足，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是（）.
A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不確定
（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）
解題思路：從化簡已知等式入手，并補(bǔ)出相應(yīng)的圖形.

【例3】如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連結(jié)FG，延長AF，AG，與直線BC相交，易證.
若（1）BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；（2）BD為∠ABC的內(nèi)角平分線；（3）CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明.
（黑龍江省中考試題）
解題思路：既有平分線又有垂線，聯(lián)想到等腰三角形性質(zhì)，考慮將圖形補(bǔ)成等腰三角形.

【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，
CD＝，求AD的長.（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）
解題思路：由于四邊形ABCD是一般四邊形，所以直接求AD比較困難，應(yīng)設(shè)法將AD轉(zhuǎn)化為特殊三角形的邊.
例4題圖例5題圖
【例5】如圖，凸八邊形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，試證明：該凸八邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到8條邊的距離之和是一個(gè)定值.
（山東省競賽試題）
解題思路：本例是一個(gè)幾何定值證明問題，關(guān)鍵是將八邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問題來解決，若連結(jié)對角線，則會(huì)破壞一些已知條件，應(yīng)當(dāng)考慮向外補(bǔ)形.

【例6】如圖，在△ABC中，∠ABC＝，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADC＝，且.將△ACD以直線AD為軸作軸對稱變換，得到△，連結(jié).
(1)證明：⊥;
(2)求∠C的大小.
（全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題）
解題思路：本題分別考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

能力訓(xùn)練
1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積為12，則BC＋CD＝_____________.（山東省競賽試題）
2.如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，則這個(gè)五邊形的面積為_______________.
（美國AHSME試題）
3.如圖，一個(gè)凸六邊形六個(gè)內(nèi)角都是，其中連續(xù)四條邊的長依次為，則該六邊形的周長為______________.
4.如圖，ABCDEF是正六邊形，M，N分別是邊CD，DE的中點(diǎn)，線段AM與BN相交于P，則

＝_________.（浙江省競賽試題）
5.如圖，長為的三條線段交于O點(diǎn)，并且∠＝∠＝∠＝，則三個(gè)三角形的面積和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.
（“希望杯”邀請賽試題）
6.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，則AB＝().
A.B.C.D.
（廣西壯族自治區(qū)中考試題）
7.如圖，在△ABC中，M為BC中點(diǎn)，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，則MN等于（）.
A.B.C.D.
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，則BE的長為（）
A.B.C.D.
9.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，則∠D等于（）
A.B.C.D.條件不夠，無法求出
（重慶市競賽試題）

10.如圖，在△ABC中，E是AC中點(diǎn)，D是BC邊上一點(diǎn)，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.
11.如圖，設(shè)是的斜邊長，是直角邊，求證：.
（加拿大中學(xué)生競賽試題）
12.如圖，已知八邊形ABCDEFGH所有的內(nèi)角都相等，而且邊長都是整數(shù).求證：這個(gè)八邊形的對邊相等.
13.如圖，設(shè)P為△ABC的中位線DE上的一點(diǎn)，BP交AC于N，CP交AB于M，求證：.
（齊齊哈爾市競賽試題）
14.一個(gè)圓內(nèi)接八邊形相鄰的四條邊長是，另四條邊長是，求八邊形的面積.

八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題-梯形

專題21梯形
閱讀與思考
梯形是一類具有一組對邊平行而另一組對邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).
解決梯形問題的基本思路是：通過適當(dāng)添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見的輔助線的方法有：
（1）過一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線（平移腰）；
（2）過一個(gè)頂點(diǎn)作一條對角線的平行線（平移對角線）；
（3）過較短底的一個(gè)頂點(diǎn)作另一底的垂線；
（4）延長兩腰，使它們的延長線交于一點(diǎn)，將梯形還原為三角形．
如圖所示：

例題與求解
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長度分別為，，那么AB的長是___________.（荊州市競賽試題）
解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．
【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形．
（1）求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；
（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？若能，請你畫出大致的示意圖．
（山東省中考試題）
解題思路：對于（1）、（2），在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)系，從作出梯形的常見輔助線入手；對于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開想象的翅膀，就可設(shè)計(jì)出若干種圖形．

【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2，求梯形的高.
（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）
解題思路：由于題目條件中涉及對角線位置關(guān)系，不妨從平移對角線入手．
【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點(diǎn)P在線段AD上，問：滿足條件∠BPC＝900的點(diǎn)P有多少個(gè)？
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形．

【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對角線AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點(diǎn)S，P，Q分別為OD，OA，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：多個(gè)中點(diǎn)給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.
【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半．
（山東省競賽試題）
解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運(yùn)用條件EP＝PF的圖形．

能力訓(xùn)練
A級
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.
（天津市中考試題）
2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900至DE，連接AE，則△ADE的面積為______________.（寧波市中考試題）
3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長為30cm，則這個(gè)等腰梯形的腰長為______________.
4.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位線，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果，那么梯形ABCD的面積為__________.（成都市中考試題）
5.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則梯形的高和中位線的長之間的關(guān)系是()
A．＞B．＝C．＜D．無法確定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，則DC的長度是()
A.B．8C.D.E.
（美國高中考試題）
7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()
A.300B.450C.600D.900
（陜西省中考試
8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA＋PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考試題）
9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．
（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點(diǎn)，BD與EF相交于G．
求證：．
11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．
求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考試題）
12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BC交CD于點(diǎn)F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求點(diǎn)E到BC的距離；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥EF交BC于點(diǎn)M，過M作MN//AB交折線ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP＝．
①當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由．
②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．（江西省中考試題)

B級
1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)F，則AF＝__________.
（山東省競賽試題）
2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝，設(shè)E為CG中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，則EF長為_________.
（“希望杯”邀請賽試題）
3.用四條線段：作為四條邊，構(gòu)成一個(gè)梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值為_________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）
4.如圖，梯形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O點(diǎn)，且AO：CO＝3：2，則兩條對角線將梯形分成的四個(gè)小三角形面積之比為_________.（安徽省中考試題）
第4題圖第5題圖第6題圖
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的面積為()
A．B．2SC．D．
（重慶市競賽試題）
6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，
DA的中點(diǎn)，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()
A．4B．C．5D．6
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
7.如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC＝；②若∠BEC＝，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線，則∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（重慶市競賽試題）
8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中點(diǎn)，從M作AD的垂線交BC于N，則BN的長等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀請賽試題）
9.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中點(diǎn)，MN⊥AD.求證：
（山東省競賽試題）
10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線交線段EF于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11.已知一個(gè)直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對角線的長都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.
（“東方航空杯”上海市競賽試題）

12.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABD的邊BD的三等分點(diǎn)（）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.
（1）求值.
（2）已知，點(diǎn)P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.
（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點(diǎn)M，使過M且與PB，CQ分別交于S，T的直線把PQCB的面積分成相等的兩部分，若存在，請寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)及CM的長度；若不存在，請說明理由.

八年級數(shù)學(xué)競賽例題專題-平行四邊形、矩形、菱形

專題19平行四邊形、矩形、菱形

閱讀與思考
平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對邊、對角、對角線三個(gè)方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個(gè)直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來，判定一個(gè)四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.
連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問題時(shí)，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四邊形的背景下思考問題，運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.
熟悉以下基本圖形：
例題與求解
【例l】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四個(gè)命題：
①一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
②一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
③一組對角相等且這一組對角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；
④一組對角相等且這一組對角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形；
其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）
A.1B.2C.3D.4
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定.

【例3】如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足AE+CF＝2.
（1）判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（2）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.
(煙臺(tái)中考試題)

解題思路：對于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于（2），只需求出BE的取值范圍.

【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥EF于點(diǎn)G，延長GP并在春延長線上取一點(diǎn)D，使得PD＝PC.
求證：BC⊥BD，BC＝BD.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：只需證明△CPB≌△DPB，關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).

【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長線于點(diǎn)F.
（1）在圖1中證明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；
（3）若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連結(jié)DB，DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù).
(北京市中考試題)

解題思路：對于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個(gè)等腰三角形；
對于（2），用測量的方法可得∠BDG=45°，進(jìn)而想到等腰直角三角形，連CG，BD，只需證明△BGC≌△DGF，這對解決（3），有不同的解題思路.
對于（3）

【例6】如圖，△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC，點(diǎn)N在AC上，且AN＝MC，AM與BN相交于點(diǎn)P.
求證：∠BPM＝45°.
(浙江省競賽試題)

解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，構(gòu)造平行四邊形.

，

能力訓(xùn)練
A級
1.如圖，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，則□ABCD的面積為________.
2.如圖，□ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M，若△CDM周長為a，那么□ABCD的周長為________.
(浙江省中考試題)

3.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，過C作CF∥AB，連結(jié)AF與BC相交于G，若GF＝2AC，則∠BAG的大小是________.
(“希望杯”競賽試題)

4.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小是________.
(“希望杯”邀請賽試題)

5.四邊形的四條邊長分別是a，b，c，d，其中a，c為對邊，且滿足，則這個(gè)四邊形一定是（）
A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形
C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形

6.現(xiàn)有以下四個(gè)命題：
①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個(gè)角為直角且對角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4倍.
其中，正確的命題有（）
A.①②B.③④C.③D.①②③④

7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，延長AF，EC交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正確的是（）
A.②③B.③④C.①②④D.②③④
(齊齊哈爾中考試題)

8.如圖，矩形ABCD的長為a，寬為b，如果，則＝（）
A.B.C.D.
(“縉云杯”競賽試題)

9.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請具體寫出這些組合.
(江蘇省競賽試題)

10.如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點(diǎn)，且CD＝BF，以AD為邊作等邊△ADE.
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF＝30°，證明你的結(jié)論.
(江蘇省南通市中考試題)

11.如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M為BC中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.
(河南省中考試題)

12.如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積.
(山東省競賽試題)

B級
1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上，AE＝2EC，F(xiàn)在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面積為2，則□ABCD的面積是________.
(“希望杯”競賽試題)

2.如圖，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝________.
(山東省競賽試題)

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將矩形折疊，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則折痕EF長為________.
(武漢市競賽試題)

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交AB于點(diǎn)F，則重疊部分△AFC的面積為________.
(山東省競賽試題)

5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為________.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為________.
(“希望杯”邀請賽試題)

7.如圖，△ABC的周長為24，M是AB的中點(diǎn)，MC＝MA＝5，則△ABC的面積是（）
A.30B.24C.16D.12
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

8.如圖，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則∠AED的大小是（）
A.60°B.65°C.70°D.75°
9.如圖，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，則AP+PB的值為（）
A.15B.14C.13D.12
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

10.如圖1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可畫出兩個(gè)：矩形ACBD和矩形AEFB（如圖2）.
解答問題：
（1）設(shè)圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為，，則________（填“＞”、“＝”或“＜”）.
（2）如圖3，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出________個(gè)，利用圖3畫出來.
（3）如圖4，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出________個(gè)，利用圖4畫出來.
（4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個(gè)的周長最?。繛槭裁?？
(陜西中考試題)

11.四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn).求證：若△AMN有一個(gè)內(nèi)角等于60°，則△AMN為等邊三角形.

12.如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.
求證：該六邊形的各角相等.
(全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題)