小學(xué)三角形教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形講義隨堂測(cè)試習(xí)題。

尺規(guī)作圖（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，其中“尺”指沒(méi)有刻度的直尺，作用是作線；“規(guī)”指_________，作用是_______和_______．
2.讀一讀，背一背常見(jiàn)的幾何語(yǔ)言，并在旁邊畫(huà)一畫(huà)：
①連接AB；
②延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC=AB；
③延長(zhǎng)線段AB交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；
④過(guò)點(diǎn)A作AB∥CD；
⑤過(guò)點(diǎn)A作AB⊥CD于點(diǎn)E．
知識(shí)點(diǎn)睛
1.基本作圖：
①作一條線段等于已知線段；
②作一個(gè)角等于已知角；
③作已知角的角平分線．
書(shū)寫(xiě)作法時(shí)注意：________________，________________．
2.應(yīng)用作圖：
①______________________，設(shè)計(jì)作圖方案；
②調(diào)用__________________完成圖形．

精講精練
1.作一條線段等于已知線段．
已知：如圖，線段a．
求作：線段AB，使AB=a．
作法：（1）作射線AP；
（2）以_________為圓心，_______為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)B．
___________即為所求．

2.已知線段a，b（），作一條線段，使它等于2a-b．

3.作一個(gè)角等于已知角．
已知：如圖，∠ABC．
求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．
作法：（1）作射線EF；
（2）以________為圓心，_______為半徑作弧，交BA
于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N；
（3）以____為圓心，____為半徑作弧，交EF于點(diǎn)P；
（4）____________，__________作弧，交前弧于點(diǎn)D；
（5）作射線ED．
∠DEF______________．
證明：如圖，連接________，________．
在___________和___________中，
∴____________________（）
∴____________________
4.作一個(gè)已知角的倍角．

5.過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．
已知：如圖，A是直線MN外一點(diǎn)．
求作：直線AB，使AB∥MN．
6.已知兩邊及夾角作三角形．
已知：如圖，線段m，n，∠α．
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．

7.作已知角的角平分線．
已知：如圖，∠AOB．
求作：射線OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．
作法：（1）________________，__________________作弧，
交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；
（2）分別以______，______為圓心，______________為半徑作弧，兩弧在________________交于點(diǎn)P；
（3）_________________________．
______________________________．

8.作已知角的四等分線．
已知：如圖，∠AOB．
求作：射線OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．

9.為打造“宜居城市”，某市擬在新竣工的扇形廣場(chǎng)的內(nèi)部修建一個(gè)音樂(lè)噴泉，要求音樂(lè)噴泉M在廣場(chǎng)的兩個(gè)入口P，Q的連線上（P，Q的位置如圖所示），且到廣場(chǎng)兩邊AB，AC的距離相等．請(qǐng)?jiān)陬}目給的原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂(lè)噴泉M的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．

10.請(qǐng)畫(huà)出草圖，解決下列問(wèn)題：
（1）在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接BD，若AB=5，BC=3，則△ABD和△BCD的周長(zhǎng)的差是____________．

（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，則∠AED和∠EDB的數(shù)量關(guān)系是________________________．

（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO與CO交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則DE_____BD+CE（選填“”、“”或“=”）．

（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，過(guò)點(diǎn)E作ED∥AC交BC于D，過(guò)D作DF∥CE交AB于F，則∠EDF和∠BDF的數(shù)量關(guān)系是_____________________．

（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠ECD=_______．

（6）若等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線夾角為40°，則此等腰三角形的頂角為_(kāi)_____________．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.圓規(guī)、度量、截取
2.略
知識(shí)點(diǎn)睛
1.點(diǎn)線取名稱，作弧說(shuō)心徑
2.①畫(huà)出草圖
②基本作圖
精講精練
1.點(diǎn)A長(zhǎng)線段AB圖略
2.略
3.作法：（1）作射線EF；
（2）以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交BA于點(diǎn)
M，交BC于點(diǎn)N；
（3）以點(diǎn)E為圓心，BM長(zhǎng)為半徑作弧，交EF于點(diǎn)P；
（4）以點(diǎn)P為圓心，MN長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；
（5）作射線ED．
即為所求．
證明：連接MN，DP．
在和中
4.略
5.略
6.略
7.（1）以點(diǎn)為圓心任意長(zhǎng)為半徑
（2）點(diǎn)M點(diǎn)N大于長(zhǎng)內(nèi)部
（3）作射線OP
射線OP即為所求
8.略
9.略
10.（1）2（2）（3）=
（4）（5）15°（6）50°或130°

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2017八年級(jí)數(shù)學(xué)上特殊三角形講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)

特殊三角形（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.對(duì)幾何圖形，我們一般從邊、角、特殊的線、周長(zhǎng)及面積、對(duì)稱性等來(lái)研究，以等腰三角形為例：
（1）邊和角：等邊對(duì)________、等角對(duì)________．
（2）特殊的線：（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高）____________________．
（3）面積：
h1+h2_____h（填“”、“”或“=”）．
（4）對(duì)稱性：等腰三角形的對(duì)稱軸是__________________．
2.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求證：．
知識(shí)點(diǎn)睛
1.等邊三角形
①定義：_________________的三角形是等邊三角形．
②性質(zhì)：
邊：等邊三角形______________．
角：等邊三角形______________．
線：等邊三角形______________．
③判定：_________________的等腰三角形是等邊三角形．
_________________的三角形是等邊三角形．
2.直角三角形
性質(zhì)：30°角所對(duì)的直角邊___________________________．
直角三角形斜邊的中線等于_____________________．
3.等腰直角三角形
①定義：有一個(gè)角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形．
②性質(zhì)：
邊：等腰直角三角形_____________．
角：等腰直角三角形_____________．
線：等腰直角三角形____________，____________________
__________________________．
③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形．

精講精練
1.如圖，以BC為邊在正方形ABCD內(nèi)部作等邊△PBC，連接AP，DP，則∠PAD=_____________．
第1題圖第2題圖
2.如圖，在△ABC中，D，E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，則∠BAC的度數(shù)為_(kāi)______________．
3.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，則BC=________．
第3題圖第4題圖
4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=2，則AD的長(zhǎng)是（）
A．4B．6C．8D．10
5.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．
求證：AE=2CE．

6.如圖，∠BAC=∠BDC=90°，E為BC的中點(diǎn)，AE=5cm，則BC=______cm，DE=_______cm．
7.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．
求證：MN⊥BD．

8.如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，BN，CM為高，P為BC的中點(diǎn)，連接MN，MP，NP，下列結(jié)論：①NP=MP；②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，MN∥BC；③BN=2AN；④AN:AB=AM:AC．其中正確的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9.已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．E，F(xiàn)分別是AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=AF．
求證：△DEF為等腰直角三角形．

10.現(xiàn)有兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC按如圖所示方式放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.（1）等角、等邊
（2）三線合一
（3）=
（4）頂角的角平分線（底邊上的中線或底邊上的高）所在直線
2.提示：見(jiàn)到線段的和差倍分，考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短．
證明：如圖，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD．
∴BC=BD
∵∠ACB=90°，BC=CD
∴AB=AD
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴∠B=60°
∴∠D=60°
∴∠BAD=60°
∴BA=BD
∴BC=AB
知識(shí)點(diǎn)睛
1.三邊都相等
②三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°，三線合一
③有一個(gè)角是60°；有兩個(gè)角是60°
2.30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半
直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半
3.①直角
②兩直角邊相等，兩底角都是45°，三線合一，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
③有兩個(gè)角是45°
精講精練
1.15°
2.120°
3.8cm
4.B
5.證明略（提示，連接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，轉(zhuǎn)移角可得∠EBC=30°，利用直角三角形性質(zhì)可得AE=2CE）
6.10，5
7.證明略（提示：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=MB，由三線合一可得MN⊥BD）
8.C
9.證明略（提示：連接AD，證明△ADF≌△BDE，轉(zhuǎn)移邊轉(zhuǎn)移角證明△DEF為等腰直角三角形）
10.△EMC為等腰直角三角形
證明略（提示：連接AM，證明△MDE≌△MAC，轉(zhuǎn)移邊轉(zhuǎn)移角證明△EMC為等腰直角三角形）

2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形全等之類比探究講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)

三角形全等之類比探究（講義）
知識(shí)點(diǎn)睛
1.類比探究是一類共性條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形到一般情形（或由簡(jiǎn)單情形到復(fù)雜情形）逐步深入，解決思想方法一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜合題為主．
2.解決類比探究問(wèn)題的一般方法：
（1）根據(jù)題干條件，結(jié)合_______________先解決第一問(wèn)；
（2）用解決_______的方法類比解決下一問(wèn)，整體框架照搬．
整體框架照搬包括_________________，________________，_________________．
3.常見(jiàn)幾何特征及做法：
見(jiàn)中點(diǎn)，___________________________．
精講精練
1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE．
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．

2.如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的
平分線CF于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，連接HE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決）．
（2）如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？說(shuō)明理由．
（3）如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”是否成立？說(shuō)明理由．

3.以△ABC的邊AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．
（1）如圖1，在△ABC中，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（2）如圖2，當(dāng)△ABC為一般三角形時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若以△ABC的邊AB，AC為直角邊向內(nèi)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由．

4.（1）如圖1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=
∠ADC=90°，則能得到如下兩個(gè)結(jié)論：
①DC=BC；②AD+AB=AC．請(qǐng)你證明結(jié)論②．
（2）如圖2，把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為“∠ABC+∠ADC=180°”，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，如果D在AM的反向延長(zhǎng)線上，把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為“∠ABC=∠ADC”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接回答；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

【參考答案】
知識(shí)點(diǎn)睛：
解決類比探究問(wèn)題的一般方法：
（1）根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問(wèn)；
（2）用解決第（1）問(wèn)的方法類比解決下一問(wèn)，整體框架照搬．
整體框架照搬包括照搬字母，照搬輔助線，照搬思路．
常見(jiàn)幾何特征及做法：
見(jiàn)中點(diǎn)，考慮倍長(zhǎng)中線．
精講精練
1.證明：（1）如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE+DC
=AD+BE
（2）如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CBE+∠2=90°
∴∠1=∠CBE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE-DC
=AD-BE
（3）DE=BE-AD，理由如下：
如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=DC-CE
=BE-AD
2.解：（1）AE=EF，理由如下：
如圖，在AB上截取BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
（2）AE=EF仍成立，理由如下：
如圖，在AB上截取BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
（3）AE=EF仍成立，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)BA到H，使BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠H=45°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠1=45°
∴∠H=∠1
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠2=90°
∴∠2=∠3
∵∠HAE+∠2=180°，∠CEF+∠3=180°
∴∠HAE=∠CEF
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
3.解：（1）DE=2AM，AM⊥DE，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，連接BF，延長(zhǎng)MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，連接BF，延長(zhǎng)MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（3）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，交DE于G，連接BF．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠FBM=∠ACM
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠BAF=∠AED
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠AED+∠EAF=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
4.（1）證明：如圖，在BN上截取BE=AD．
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°
在△CDA和△CBA中
∴△CDA≌△CBA(AAS)
∴DC=BC，AD=AB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE(SAS)
∴AC=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（2）成立，證明如下：
如圖，過(guò)C作CG⊥AM于G，CF⊥AN于F，在BN上截取BE=AD．
∵CG⊥AM，CF⊥AN
∴
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°，CG=CF
∵∠ABC+∠ADC=180°
∠CDG+∠ADC=180°
∠ABC+∠EBC=180°
∴∠CDG=∠CBF，∠ADC=∠EBC
在△CGD和△CFB中
∴△CGD≌△CFB（AAS）
∴CD=CB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE（SAS）
∴CA=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（3）①成立；②不成立，AD+AC=AB

2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形全等之倍長(zhǎng)中線講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)

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三角形全等之倍長(zhǎng)中線（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.填空
（1）三角形全等的判定有：
三邊分別___________的兩個(gè)三角形全等，即（____）；
兩邊和它們的_____分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；兩角和它們的_____分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；兩角和其中一個(gè)角的______分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；
斜邊和_______邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，即（____）．
（2）要證明兩條邊相等或者兩個(gè)角相等，可以考慮放在兩個(gè)三角形中證________；要證明兩個(gè)三角形全等需要準(zhǔn)備______組條件，這三組條件里面必須有______；然后依據(jù)判定進(jìn)行證明，其中AAA，SSA不能證明兩個(gè)三角形全等，請(qǐng)舉出對(duì)應(yīng)的反例．

2.想一想，證一證
已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且O是AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)OC=OD時(shí)，求證：△AOC≌△BOD；
（2）當(dāng)AC∥BD時(shí)，求證：△AOC≌△BOD．

知識(shí)點(diǎn)睛
1.“三角形全等”輔助線：
見(jiàn)中線，要__________，________之后______________．
2.中點(diǎn)的思考方向：
①（類）倍長(zhǎng)中線

延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，延長(zhǎng)MD到E，使DE=MD，
連接BE連接CE

②平行夾中點(diǎn)

延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
精講精練
1.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．
（1）按要求作圖：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE．
（2）求證：△ACD≌△EBD．
（3）求證：AB+AC2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．

2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求證：AB=AC．

3.如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．
求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F．
求證：∠AEF=∠EAF．

5.如圖，在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，BG=CF．
求證：AD為△ABC的角平分線．

6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的長(zhǎng)．

7.如圖，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE，且EF=BE．連接BF，F(xiàn)D，取FD的中點(diǎn)G，連接EG，CG．
求證：EG=CG且EG⊥CG．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.（1）相等，SSS；夾角，SAS；夾邊，ASA；對(duì)邊，AAS；
直角，HL
（2）全等，三，邊
2.（1）證明：如圖
∵O是AB的中點(diǎn)
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）證明：如圖
∵O是AB的中點(diǎn)
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（ASA）
精講精練
1.解：（1）如圖，
（2）證明：如圖，
∵AD為BC邊上的中線
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）證明：如圖，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2AD
在△ABE中，AB+BEAE
∴AB+AC2AD
（4）在△ABE中，
ABBEAEAB+BE
由（3）得AE=2AD，BE=AC
∵AC=3，AB=5
∴53AE5+3
∴22AD8
∴1AD4
2.證明：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC

3.證明：如圖，延長(zhǎng)CD到F，使DF=CD，連接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中線
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中線
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE

4.證明：如圖，延長(zhǎng)AD到M，使DM=AD，連接BM
∵D是BC邊的中點(diǎn)
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5.證明：如圖，延長(zhǎng)FE到M，使EM=EF，連接BM
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD為△ABC的角平分線

6.解：如圖，延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG
=52.7
=2.3
7.證明：如圖，延長(zhǎng)EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M
由題意，∠FEB=90°，∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵點(diǎn)G為FD的中點(diǎn)
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中
∴△FGE≌△DGM（AAS）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG