高中等差數(shù)列教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案帶答案。

學(xué)案29等差數(shù)列及其前n項和
導(dǎo)學(xué)目標：1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．等差數(shù)列的有關(guān)定義
(1)一般地，如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的____等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為____________(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是__________，其中A叫做a，b的__________．
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝________，an＝am＋________(m，n∈N*)．
(2)前n項和公式：Sn＝__________＝____________.
3．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn＝d2n2＋a1－d2n.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式Sn＝__________.
4．等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有__________，特別地，當m＋n＝2p時，______________.
(2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．
(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d0，則數(shù)列為____________；若d0，則數(shù)列為__________；若d＝0，則數(shù)列為________．
自我檢測
1．(2010北京海淀區(qū)模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為()
A．130B．260
C．156D．168
2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于()
A．1B.53C．2D．3
3．(2010泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a5a3＝59，則S9S5等于()
A．1B．－1
C．2D.12
4．(2010湖南師大附中)若等差數(shù)列{an}的前5項之和S5＝25，且a2＝3，則a7等于()
A．12B．13C．14D．15
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________.
探究點一等差數(shù)列的基本量運算
例1等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50，
(1)求通項an；
(2)若Sn＝242，求n.

變式遷移1設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，它的前10項和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項公式an.

探究點二等差數(shù)列的判定
例2已知數(shù)列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝1an－1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大值和最小值，并說明理由．

變式遷移2已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an＋λ2n}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

探究點三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例3若一個等差數(shù)列的前5項之和為34，最后5項之和為146，且所有項的和為360，求這個數(shù)列的項數(shù)．

變式遷移3已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
(1)前四項和為21，末四項和為67，且前n項和為286，求n；
(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
(3)若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù)．

探究點四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用
例4(2011廈門月考)已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n項和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝12an－30，求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值．

變式遷移4在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項和為Sn.
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時n的值．
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

1．等差數(shù)列的判斷方法有：
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)){an}是等差數(shù)列．
(2)中項公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*){an}是等差數(shù)列．
(3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)){an}是等差數(shù)列．
(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù)){an}是等差數(shù)列．
2．對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞著通項公式和前n項和公式，在兩個公式中共五個量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式．
3．要注意等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．
4．在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為()
A．5B．6C．8D．10
2．(2010全國Ⅱ)如果等差數(shù)列an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()
A．14B．21C．28D．35
3．(2010山東濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項和Sn最小的n是()
A．4B．5C．6D．7
4．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－13a11的值為()
A．14B．15C．16D．17
5．等差數(shù)列{an}的前n項和滿足S20＝S40，下列結(jié)論中正確的是()
A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值
C．S30＝0D．S60＝0
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.
7．(2009海南，寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，則m＝________.
8．在數(shù)列{an}中，若點(n，an)在經(jīng)過點(5,3)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前9項和S9＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011莆田模擬)設(shè){an}是一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項和S10＝110，且a22＝a1a4.
(1)證明：a1＝d；
(2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項公式．

10．(12分)(2010山東)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

11．(14分)(2010廣東湛師附中第六次月考)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)證明數(shù)列{1an}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項；
(3)若λan＋1an＋1≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．JAB88.com

答案自主梳理
1．(1)2差an＋1－an＝d(2)A＝a＋b2等差中項
2．(1)a1＋(n－1)d(n－m)d(2)na1＋n(n－1)2d(a1＋an)n23.An2＋Bn4.(1)am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap(3)遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列
自我檢測
1．A2.C3.A4.B5.24
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)等差數(shù)列{an}中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項，利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當?shù)墓剑梅匠探M觀點求解．
解(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程組a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.
所以an＝2n＋10.
(2)由Sn＝na1＋n(n－1)2d，Sn＝242.
得12n＋n(n－1)2×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
變式遷移1解由題意，知
S10＝10a1＋10×92d＝110，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即2a1＋9d＝22，a1d＝d2.
∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.
例2解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：
第一種是利用定義，即an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)，第二種是利用等差中項，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
2．解選擇、填空題時，亦可用通項或前n項和直接判斷．
(1)通項法：若數(shù)列{an}的通項公式為n的一次函數(shù)，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列．
(2)前n項和法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列．
3．若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項不是等差數(shù)列即可．
(1)證明∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1，
∴當n≥2時，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1
＝12－1an－1－1－1an－1－1
＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.
又b1＝1a1－1＝－52.
∴數(shù)列{bn}是以－52為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
(2)解由(1)知，bn＝n－72，則an＝1＋1bn
＝1＋22n－7，設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋22x－7，
易知f(x)在區(qū)間－∞，72和72，＋∞內(nèi)為減函數(shù)．
∴當n＝3時，an取得最小值－1；
當n＝4時，an取得最大值3.
變式遷移2解(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假設(shè)存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an＋λ2n}為等差數(shù)列．
設(shè)bn＝an＋λ2n，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3.
∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.
∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，
解得λ＝－1.
事實上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n
＝12n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1.
綜上可知，存在實數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列{an＋λ2n}為首項為2、公差為1的等差數(shù)列．
例3解題導(dǎo)引本題可運用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應(yīng)注意運用；也可用整體思想(把a1＋n－12d看作整體)．
解方法一設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項，
依題意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得
a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.
將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，
∴a1＋an＝36.
由Sn＝n(a1＋an)2＝36n2＝360，得n＝20.
所以該等差數(shù)列有20項．
方法二設(shè)此等差數(shù)列共有n項，首項為a1，公差為d，
則S5＝5a1＋5×42d＝34，①
Sn－Sn－5＝[n(n－1)d2＋na1]－[(n－5)a1＋(n－5)(n－6)2d]
＝5a1＋(5n－15)d＝146.②
①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，
∴a1＋n－12d＝18，
代入Sn＝na1＋n(n－1)2d
＝na1＋n－12d＝360，
得18n＝360，∴n＝20.
所以該數(shù)列的項數(shù)為20項．
變式遷移3解(1)依題意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.
∴a1＋an＝884＝22.
∵Sn＝n(a1＋an)2＝286，∴n＝26.
(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，
∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
(3)設(shè)項數(shù)為2n－1(n∈N*)，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n－1項，中間項為an，則
S奇＝(a1＋a2n－1)n2＝nan＝44，
S偶＝(a2＋a2n－2)(n－1)2＝(n－1)an＝33，
∴nn－1＝43.
∴n＝4，an＝11.
∴數(shù)列的中間項為11，項數(shù)為7.
例4解題導(dǎo)引若{an}是等差數(shù)列，
求前n項和的最值時，
(1)若a10，d0，且滿足an≥0an＋1≤0，前n項和Sn最大；
(2)若a10，d0，且滿足an≤0an＋1≥0，前n項和Sn最?。?br> (3)除上面方法外，還可將{an}的前n項和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意n∈N*.
解方法一∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列．
設(shè){an}的首項為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72，
得a1＋2d＝106a1＋15d＝72，∴a1＝2d＝4.
∴an＝4n－2.則bn＝12an－30＝2n－31.
解2n－31≤0，2(n＋1)－31≥0，得292≤n≤312.
∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項為負值.∴S15最小．
可知b1＝－29，d＝2，
∴S15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.
方法二同方法一求出bn＝2n－31.
∵Sn＝n(－29＋2n－31)2＝n2－30n＝(n－15)2－225，
∴當n＝15時，Sn有最小值，且最小值為－225.
變式遷移4解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，
∴a17＝－12，∴d＝a17－a917－9＝3，
∴an＝a9＋(n－9)d＝3n－63，
an＋1＝3n－60，
令an＝3n－63≤0an＋1＝3n－60≥0，得20≤n≤21，
∴S20＝S21＝－630，
∴n＝20或21時，Sn最小且最小值為－630.
(2)由(1)知前20項小于零，第21項等于0，以后各項均為正數(shù)．
當n≤21時，Tn＝－Sn＝－32n2＋1232n.
當n21時，Tn＝Sn－2S21＝32n2－1232n＋1260.
綜上，Tn＝－32n2＋1232n(n≤21，n∈N*)32n2－1232n＋1260(n21，n∈N*).
課后練習(xí)區(qū)
1．A2.C3.B4.C5.D
6．157.108.27
9．(1)證明∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a22＝a1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d(d≠0)．化簡得a1＝d.…………………………(6分)
(2)解由條件S10＝110和S10＝10a1＋10×92d，得到10a1＋45d＝110.
由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110，
故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.
因此，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，n∈N*.…………………………………………(12分)
10．解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分)
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an)2，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6分)
(2)因為an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，
因此bn＝14n(n＋1)＝141n－1n＋1.………………………………………………………(8分)
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝141－1n＋1＝n4(n＋1).
所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝n4(n＋1).…………………………………………………(12分)
11．(1)證明將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得1an－1an－1＝3(n≥2)．
所以數(shù)列{1an}為以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．…………………………………(4分)
(2)解由(1)可得1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝13n－2.……………………………………………………………………………(7分)
(3)解若λan＋1an＋1≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立，
即λ3n－2＋3n＋1≥λ對n≥2的整數(shù)恒成立．
整理得λ≤(3n＋1)(3n－2)3(n－1)………………………………………………………………(9分)
令cn＝(3n＋1)(3n－2)3(n－1)
cn＋1－cn＝(3n＋4)(3n＋1)3n－(3n＋1)(3n－2)3(n－1)＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1).………………………(11分)
因為n≥2，所以cn＋1－cn0，
即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2＝283.
所以λ的取值范圍為(－∞，283]．……………………………………………………(14分)

精選閱讀

等差數(shù)列的前n項和

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗少的高中教師教學(xué)。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《等差數(shù)列的前n項和》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《等差數(shù)列的前n項和》說課稿

《等差數(shù)列的前n項和》說課稿

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析
本節(jié)內(nèi)容選自普遍高中課程標準實驗教科書(北師大版)必修5第一章第四節(jié)等差數(shù)列的前n項和第一課時，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列定義及通項公式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和研究的，是進一步學(xué)習(xí)其它數(shù)列知識的基礎(chǔ)。等差數(shù)列前n項和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。

二、教學(xué)目標

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標：

認知目標：掌握等差數(shù)列前n項和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求和。

能力目標經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思。

情感目標：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

三、教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和公式

教學(xué)難點：獲得等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的思路

四、教法和學(xué)法

教法：采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項和公式發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推導(dǎo)，并逐步得到深化。

學(xué)法：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——推導(dǎo)——應(yīng)用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學(xué)知識應(yīng)用于對等差數(shù)列前n項和公式的探究。讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。

五、教學(xué)程序

（一）創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“興趣是最好的老師”，如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。因此，我通過對實際問題的引入，使學(xué)生一開始就能對這節(jié)課所研究的問題引起興趣，使其立刻進入到研究者的角色中來，并從這一簡單的例子進入我們今天的課題。

（二）探尋特例，提出猜想

1．激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例高斯問題入手進行研究，發(fā)現(xiàn)差數(shù)列前n項和公式。

2．讓學(xué)生總結(jié)得出猜想：差數(shù)列前n項和與它的首項，末項，及項數(shù)有怎樣的關(guān)系?

（三）尋找途徑，證明猜想

1．讓學(xué)生用倒序相加法證明差數(shù)列前n項和公式。

2．與等差數(shù)列通項公式結(jié)合得另一個公式。

3．運用差數(shù)列前n項和公式求解本節(jié)課問題。

（四）初步應(yīng)用，深化認識

用公式也是教學(xué)的重點。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段，通過“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三個層次來促進學(xué)生新的認知結(jié)構(gòu)的形成。

通過三道例題，主要讓學(xué)生在具體問題中如何選用公式，變用公式及知三求二在數(shù)列中的應(yīng)用，提高學(xué)生的計算能力

（五）小結(jié)反思，提高認識

通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識和方法？你對此有何體會？

1.等差數(shù)列前n項和公式:=

2公式的推證用的是倒序相加法

3在兩個求和公式中,各有四個元素,只要知道其中三個元素,結(jié)合通項公式就可求出另兩個元素.(體現(xiàn)了方程思想)

意圖：使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，能抓住重點進行課后復(fù)習(xí)

（六）當堂檢測

旨在了解學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，掌握學(xué)情，為了以后更好的進行教學(xué)。

（七）作業(yè)布置，

必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，熟練公式的應(yīng)用。根據(jù)學(xué)生的特點，為了促進數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們分析問題解決問題的能力，我們設(shè)計了選做題，達到分層教學(xué)的目的

六、設(shè)計理念——把“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的權(quán)力”還給學(xué)生

長期以來，我們的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程.為了應(yīng)付考試，為了使對公式定理應(yīng)用達到所謂的“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進行強化.在數(shù)學(xué)概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強化成只會套用公式的解題機器，這樣的學(xué)生面對新問題就束手無策.

數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體.新課程倡導(dǎo)：強調(diào)過程，強調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗.

基于以上認識，在設(shè)計本節(jié)課時，教師所考慮的不是簡單地告訴學(xué)生差數(shù)列前n項和公式的內(nèi)容，而是創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)公式的過程中讓學(xué)生體會到：公式并不是憑空產(chǎn)生的，發(fā)現(xiàn)公式并不都是高不可攀的事情，通過我的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事.在這個過程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.

《等差數(shù)列前n項和》教案分析

《等差數(shù)列前n項和》教案分析

教學(xué)目標
1、知識與技能
（1）了解等差數(shù)列前n項和的定義，理解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的過程，記憶公式的兩種形式；
（2）用方程思想認識等差數(shù)列前n項和的公式，利用公式求Sn,a1,d,n,an；等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值；
2、過程與方法
（1）通過公式的推導(dǎo)和公式的運用，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家高斯的有關(guān)貢獻，體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法.
（2）通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對學(xué)生進行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法。
3、情感、態(tài)度、價值觀
（1）通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題.
（2）通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)的情感。
教材分析：
本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，首先通過具體的例子給出了求等差數(shù)列前n項和的思路，而后導(dǎo)出了一般的公式，并加以應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項公式組成方程組，共同運用，解決有關(guān)問題．
重點與難點
教學(xué)重點是等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點是公式推導(dǎo)的思路．
推導(dǎo)過程的展示體現(xiàn)了人類解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉一般方法，再試圖運用這一方法解決一般情況，所以推導(dǎo)公式的過程中所蘊含的思想方法比公式本身更為重要．
等差數(shù)列前n項和公式有兩種形式，應(yīng)根據(jù)條件選擇適當?shù)男问竭M行計算；另外反用公式、變用公式、前n項和公式與通項公式的綜合運用體現(xiàn)了方程（組）思想．
高斯算法表現(xiàn)了大數(shù)學(xué)家的智慧和巧思，對一般學(xué)生來說有很大難度，但大多數(shù)學(xué)生都聽說過這個故事，所以難點在于一般等差數(shù)列求和的思路上．
教學(xué)過程
一、情境引入，問題提出：
高二、二班同學(xué)為參加全校廣播體操比賽設(shè)計的比賽隊形，從前到后每行的人數(shù)分別為1，2，3，……，10.問全班共有共有多少位同學(xué)？若假設(shè)有100行，共有多少人呢？
這是小學(xué)時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的.（由一名學(xué)生回答，再由學(xué)生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果.

等差數(shù)列的前n項和教案

教學(xué)設(shè)計
2．2.2等差數(shù)列的前n項和
整體設(shè)計
教學(xué)分析
本節(jié)等差數(shù)列求和共分2課時，第1課時是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它解決數(shù)列求和的有關(guān)問題．等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，是由計算工廠堆放的鋼管數(shù)這一實例引入的，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等差數(shù)列任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和這一性質(zhì)的認識和發(fā)現(xiàn)，通過對等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”這一重要數(shù)學(xué)方法．
第2課時的主要內(nèi)容是讓學(xué)生進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，進一步了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題．通過本節(jié)課的教學(xué)使學(xué)生對等差數(shù)列的前n項和公式的認識更為深刻，并進一步感受數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等方面的聯(lián)系，促進學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容認知結(jié)構(gòu)的形成．通過探究一些特殊數(shù)列求和問題的思路和方法，體會數(shù)學(xué)思想方法的運用．
在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生融入問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，通過觀察、活動、探索、交流、反思，來認識和理解等差數(shù)列的求和內(nèi)容．在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽猜想，學(xué)會探究．在教法上，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動性及其在教學(xué)過程中的主體地位．通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析問題的能力和積極思維、追求新穎的創(chuàng)新意識．
三維目標
1．通過經(jīng)歷等差數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)、探究過程，掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值．
2．學(xué)會常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，促進學(xué)生的思維水平的發(fā)展．通過例題及其變式例題的訓(xùn)練，進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式．
3．通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)知識解決問題．
重點難點
教學(xué)重點：掌握等差數(shù)列的前n項和公式；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的問題，能用多種方法解決數(shù)列求和問題．
教學(xué)難點：對等差數(shù)列求和公式的深刻理解及其靈活應(yīng)用．
課時安排
2課時
教學(xué)過程
第1課時
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)我們在日常生活中常常遇到這樣的事情：(可利用多媒體課件或幻燈片)有一堆鋼管放置如圖1，請你幫助管理人員算一算一共有鋼管多少根？求圖2共有多少朵花？當然一根根地數(shù)鋼管或一朵朵地數(shù)小花能算出來，但有沒有更好的方法呢？若讓你求出第100層的鋼管數(shù)或讓你求出第100個圓圈上的小花數(shù)，那么你怎樣求呢？這實際上就是等差數(shù)列的求和問題，由此展開新課．
圖1
圖2

思路2.(事例導(dǎo)入)關(guān)于“加薪的學(xué)問”有一報道如下：在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目是：老板給你兩個加工資的方案，一是每年年末加1000元；二是每半年結(jié)束時加300元．請選一種，一般不擅長數(shù)學(xué)的，很容易選擇前者．因為一年加1000元總比兩個半年共加600元要多．其實，由于加工資是累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000＋2000＝3000(元)；而第二種方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2100(元)，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一種方案可得1000＋2000＋3000＝6000(元)，第二種方案則為300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300(元)，比第一種方案多了300元．第四年、第五年會更多．因此，你若在該公司干三年以上，則應(yīng)選擇第二種方案．
以上材料的正確解答恰是我們要研究的數(shù)列求和問題，由此導(dǎo)入新課．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)教師出示幻燈投影1.
印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的經(jīng)典之作，這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風(fēng)格，是印度伊斯蘭教文化的象征．
陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕．傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見一斑．你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？(該問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的距離，引領(lǐng)學(xué)生步入探討高斯算法的階段)

(2)教師出示幻燈投影2.
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在給大家出道題目：1＋2＋…100＝？”
過了兩分鐘，正當大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：
“1＋2＋3＋…＋100＝5050.”
你知道高斯是如何算出答案的嗎？
(3)根據(jù)問題(1)(2)你能探究出等差數(shù)列的求和公式嗎？
(4)等差數(shù)列的前n項和公式有什么結(jié)構(gòu)特征？
(5)怎樣運用這兩個公式解決數(shù)列求和問題？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生探究以上兩個著名的歷史問題，一方面展示了歷史文化奇跡，如問題(1)，另一方面切身感受一下歷史名人的成長足跡，激發(fā)學(xué)生的探究興趣．高斯是18世紀德國著名的數(shù)學(xué)家，被稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，他與阿基米德、牛頓齊名，是數(shù)學(xué)史上一顆光芒四射的巨星.10歲的小高斯能迅速寫出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050，將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確地得到了結(jié)果，的確思維非凡．可見作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，因此能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．今天我們重溫這段歷史，是想讓學(xué)生從中感悟?qū)W習(xí)的真諦，站在巨人的肩膀上去學(xué)習(xí)，實際上，高斯用的是首尾配對相加的方法．也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50個101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5050.高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101,50個101就等于5050了．
高斯的這種算法，就是等差數(shù)列求和的方法，也就是我們將要探究的等差數(shù)列的前n項和問題．
現(xiàn)在，我們再來探究前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21層，得到下圖，則下圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢？這是求“1＋2＋3＋…＋21”奇數(shù)個項的和的問題，高斯的方法不能用了．要是偶數(shù)項的數(shù)求和就好首尾配成對了．
高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數(shù)個項，我們是否有簡單的方法來解決這個問題呢？
我們發(fā)現(xiàn)用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形．平行四邊形中的每行寶石的個數(shù)均為22個，共21行．則三角形中的寶石個數(shù)就是1＋21×212.
這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學(xué)式子表示就是：
1＋2＋3＋…＋21，
21＋20＋19＋…＋1，
這就是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法——“倒序相加法”．
探究了以上兩個實際問題的求和，學(xué)生對數(shù)學(xué)求和問題有了一定的認識，比較以上兩種探究過程學(xué)生自然會思考能否把“倒序相加法”推廣到任意一個等差數(shù)列呢？這種類比的聯(lián)想就是思維智慧的閃現(xiàn)．為了降低難度，教師可先與學(xué)生一起探究1＋2＋3＋…＋n的問題，得到如下算式：
1＋2＋3＋…＋n－1＋n
n＋n－1＋n－2＋…＋2＋1
(n＋1)＋(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)＋(n＋1)
可知1＋2＋3＋…＋n＝n＋1×n2.
再進一步探究，等差數(shù)列{an}的前n項和的問題，讓學(xué)生明白Sn就表示{an}的前n項和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，根據(jù)倒序相加法可得如下算式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，
2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…＋(an＋a1).
根據(jù)上節(jié)課等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1.
所以，2Sn＝n(a1＋an)．由此可得等差數(shù)列{an}的前n項和公式：
Sn＝na1＋an2
這就是說，等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半．
將等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差數(shù)列{an}前n項和的另一公式：
Sn＝na1＋nn－12d
以上兩種推導(dǎo)過程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量來轉(zhuǎn)化為用我們前面求得的結(jié)論，并且我們得到了等差數(shù)列前n項求和的兩種不同的公式．這兩種求和公式都很重要，都稱為等差數(shù)列的前n項和公式．
從以上探究我們可以看出這兩個公式是可以轉(zhuǎn)化的，從結(jié)構(gòu)特征看，前一個公式反映了等差數(shù)列任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)；后一個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進行比較．兩個公式從不同角度反映了數(shù)列的性質(zhì)．兩個公式的共同點是需要知道a1和n，不同點是前者還需知an，后者還需要知道d.
從方程角度看兩公式共涉及5個元素：a1，d，n，an，Sn，教師要點撥學(xué)生注意這5個元素，其中a1，d稱為基本元素．因為等差數(shù)列的首項a1，公差d已知，則此數(shù)列完全確定，因此等差數(shù)列中不少問題都可轉(zhuǎn)化為求基本元素a1和d的問題，這往往要根據(jù)已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，再解這個方程組求出a1，d.
討論結(jié)果：(1)～(3)略．
(4)前一個公式的結(jié)構(gòu)特征是可與梯形面積公式(上底＋下底)×高÷2相類比，上底就是等差數(shù)列的首項a1，下底是第n項an，高是項數(shù)n；后一個公式是二次函數(shù)的形式．
(5)運用這兩個公式解題時要讓學(xué)生明確解方程或方程組的思路．
應(yīng)用示例
例1計算：
(1)1＋2＋3＋…＋n；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；
(3)2＋4＋6＋…＋2n；
(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.
活動：對于剛學(xué)完公式的學(xué)生來講，直接解答課本上的例1跨度太大．因此先補充了這樣一個直接運用公式的題目．目的是讓學(xué)生迅速熟悉公式，用基本量觀點認識公式，教學(xué)時可讓學(xué)生自己去解答完成，只是對(4)需做必要的點撥：本小題數(shù)列共有幾項？是否為等差數(shù)列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，應(yīng)如何解答？引導(dǎo)學(xué)生觀察，本小題中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n2－n(n＋1)＝－n.有的學(xué)生可能觀察得很快，本小題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結(jié)合都為－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.
解：(1)1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n1＋2n－12＝n2；
(3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2n＋22＝n(n＋1)；
(4)原式＝－n.
點評：本例前3小題直接利用等差數(shù)列求和公式，對于(4)小題給我們以啟示：在解題時我們應(yīng)仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法．注意在運用求和公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解．
變式訓(xùn)練
已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項的和S10等于()
A．138B．135C．95D．23
答案：C
解析：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可解得d＝3，a1＝－4，∴a10＝a1＋9d＝23，
∴S10＝a1＋a102×10＝95.

例2(教材本節(jié)例2)
活動：通過本例介紹由求和公式求通項公式的方法，分析求和公式與二次函數(shù)的聯(lián)系．并結(jié)合邊注引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列中項的性質(zhì)問題．教學(xué)中應(yīng)引起高度重視，可讓學(xué)生自己探究，教師給予適當點撥．
點評：求使Sn最小的序號n值的方法很多，可鼓勵學(xué)生課后進一步探究．
例3已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？
活動：教師與學(xué)生一起探究，本例的已知條件是在等差數(shù)列{an}中，S10＝310，S20＝1220.由前面我們所學(xué)知道，將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得兩個關(guān)于a1與d的關(guān)系式，它們都是關(guān)于a1與d的二元一次方程，解這個二元一次方程組可求得a1與d，a1與d確定了，那么就可求出這個等差數(shù)列的前n項和公式．
解：方法一：由題意可知
S10＝310，S20＝1220，
將它們代入公式Sn＝na1＋nn－12d，得到10a1＋45d＝310，20a1＋190d＝1220.
解這個關(guān)于a1與d的方程組，得到a1＝4，d＝6，
所以Sn＝4n＋nn－12×6＝3n2＋n.
方法二：由S10＝a1＋a102×10＝310，得a1＋a10＝62，①
S20＝a1＋a202×20＝1220.
所以a1＋a20＝122.②
②－①，得10d＝60，所以d＝6.
代入①，得a1＝4，所以有Sn＝a1n＋nn－12d＝3n2＋n.
點評：本例的給出方式是設(shè)問“由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和嗎”，而不是“求這個數(shù)列的前n項和”．這就更深了一層，讓學(xué)生領(lǐng)悟到a1與d一旦確定，那么這個等差數(shù)列就確定了，同時通過本例也讓學(xué)生領(lǐng)悟等差數(shù)列中a1與d是所給5個量中的基本量.5個量中已知3個量則可求其他量，只需通過構(gòu)造方程或方程組，運用方程思想即可解決問題．教學(xué)時教師要充分利用本題的訓(xùn)練價值，使學(xué)生熟練地掌握這一基本題型．解完后教師要再引領(lǐng)學(xué)生反思總結(jié)．
變式訓(xùn)練
設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.
解：由S4＝14，S10－S7＝30，
∴4a1＋6d＝14，10a1＋45d－7a1＋21d＝30，
即2a1＋3d＝7，a1＋8d＝10.解得a1＝2，d＝1，
∴S9＝9a1＋36d＝54.

例4已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋12n，求這個數(shù)列的通項公式．這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？
活動：這是一道合作探究題．教學(xué)時給出一定的時間讓學(xué)生對本題進行思考探究．
本題給出了一個數(shù)列的前n項和的式子，來判斷它是否是等差數(shù)列．解題的出發(fā)點是從所給的和的公式去求出通項．那么通項與前n項和的公式有何種關(guān)系呢？由Sn的定義可知，當n＝1時，S1＝a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，
即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.這種由已知數(shù)列的Sn來確定數(shù)列通項的方法對任意數(shù)列都是可行的．本題即用這種方法求出的通項an＝2n－12，我們從中知道它是等差數(shù)列，這時當n＝1也是滿足的，但是不是所有已知Sn求an的問題都能使n＝1時，an＝Sn－Sn－1滿足呢？請同學(xué)們來探究一下．
解：根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an與Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知當n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－[(n－1)2＋12(n－1)]＝2n－12，①
當n＝1時，a1＝S1＝12＋12×1＝32.
也滿足①式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－12.
由此可知，數(shù)列{an}是一個首項為32，公差為2的等差數(shù)列．
點評：如果一個數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0，且是關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前n項和公式的結(jié)構(gòu)特征上來認識等差數(shù)列．實質(zhì)上等差數(shù)列的兩個求和公式中皆無常數(shù)項．
通過本例，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：這實際上給出了已知數(shù)列前n項和求其通項公式的一個方法，即已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝a1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.這種已知數(shù)列Sn來確定an的方法對于任何數(shù)列都是可行的，但要強調(diào)a1不一定滿足由Sn－Sn－1＝an求出的通項表達式．因此最后要驗證首項a1是否滿足已求出的an.這點要引起學(xué)生足夠的注意．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－32n2＋2052n，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：由條件，知當n＝1時，a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－32n2＋2052n)－[－32(n－1)2＋2052(n－1)]＝－3n＋104.
把n＝1代入上式也適合．
∴數(shù)列通項公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．

知能訓(xùn)練
1．等差數(shù)列{an}中，(1)已知a1＝5，an＝95，n＝10，求Sn；
(2)已知a1＝100，d＝－2，n＝50，求Sn.
2．已知{an}是一個等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通項an；
(2)求{an}前n項和Sn的最大值．
答案：
1．解：由等差數(shù)列求和公式，直接求得：(1)Sn＝500；(2)Sn＝2550.
2．解：(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件，a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解出a1＝3，d＝－2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，
所以n＝2時，Sn取到最大值4.
課堂小結(jié)
1．本節(jié)的小結(jié)由學(xué)生來完成，首先回顧總結(jié)本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？(兩個重要的等差數(shù)列求和公式)通過等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)，你都從中學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？(數(shù)列倒序相加法)對你今后的學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)指導(dǎo)？
2．你是怎樣從方程的角度來理解等差數(shù)列求和公式的？又是怎樣從等差數(shù)列的性質(zhì)來理解等差數(shù)列的求和公式的？上節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的通項與本節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和公式有什么聯(lián)系？本節(jié)的重要題型是什么？
作業(yè)
課本習(xí)題2—2A組8、9.
設(shè)計感想
本教案設(shè)計力求突出實際背景的教學(xué)，以大量的日常生活實例及古今中外的數(shù)列故事來鋪墊學(xué)生學(xué)習(xí)等差數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵．除了本教案設(shè)計的幾個實例，教學(xué)時還可根據(jù)實際情況再補加一些實例背景．
本教案設(shè)計突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練．通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個角度觀察問題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì)．說到底，學(xué)數(shù)學(xué)，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密．
本節(jié)的思考與探究沒有涉及，設(shè)計的意圖是留給學(xué)有余力的學(xué)生課后選做．鑒于習(xí)題2—2B組中3,4,5,6都有一定的難度，因此也設(shè)計為選做．
(設(shè)計者：周長峰)

第2課時
導(dǎo)入新課
思路1.上一節(jié)課我們一起探究推導(dǎo)了等差數(shù)列的求和公式，得到了求和公式的兩種形式．我們知道以前在公式的學(xué)習(xí)過程中，不僅要會對公式正用、逆用及變形用，還要從運動、變化的觀點來認識公式，從函數(shù)及數(shù)列結(jié)合的角度透徹理解公式．這里公式Sn＝na1＋nn－12d表明Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0，那么你能看出點列(n，Sn)均在同一條拋物線上嗎？這樣的拋物線有什么特點？由此展開新課．
思路2.上一節(jié)課我們從幾個日常生活中的實例探究了等差數(shù)列的很重要的公式，我們也知道等差數(shù)列有著十分豐富的有趣性質(zhì)，那么根據(jù)等差數(shù)列的特點，你能探究出等差數(shù)列的哪些重要結(jié)論呢？比如單調(diào)性、奇偶性、最大值等．教師引導(dǎo)學(xué)生由此導(dǎo)入新課．
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶上節(jié)課等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法，并寫出等差數(shù)列前n項和的兩個公式.2等差數(shù)列求和公式中共有幾個量？基本量是什么？3等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)有著怎樣的關(guān)系？4你能探究出哪些與和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)？5怎樣利用所學(xué)知識靈活地處理求和問題？
活動：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課我們用倒序相加法探究的等差數(shù)列的兩個求和公式：Sn＝na1＋an2，Sn＝na1＋nn－12d.在公式涉及的5個量a1，d，n，an，Sn中，知三可求其二．其中a1，d是最基本的兩個量．我們稱為基本元素，在等差數(shù)列的不少問題中，我們往往都轉(zhuǎn)化為這兩個量來求．當然如果熟悉并掌握一些常用結(jié)論及性質(zhì)，往往能找到簡潔明快、輕盈優(yōu)美的靈活解題技巧，提高我們的解題速度．下面我們探究等差數(shù)列求和的一些性質(zhì)問題．
從等差數(shù)列的兩個求和公式中我們可以看出，公式里不含常數(shù)項．教師引導(dǎo)學(xué)生進一步探究，如果a1，d是確定的，那么Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n.可以看出當d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式．
從圖象角度看(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx(A≠0)的圖象上．所以當d≠0時，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn的圖象是拋物線y＝Ax2＋Bx圖象上的一群孤立點，這樣我們就可以借助于二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)來處理等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)問題．若d＝0，則Sn＝na1.因此我們可以得出這樣的結(jié)論：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{an}的前n項和可以寫成Sn＝an2＋bn的形式(其中a、b為常數(shù))且公差為2a.
結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)我們還可得到：當a1＞0，d＜0時，由am≥0am＋1≤0Sm為最大值；當a1＜0，d＞0時，由am≤0am＋1≥0Sm為最小值．
通過具體例子驗證、猜想并推廣到一般，我們還可得到：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為A，緊接著n項的和為B，再緊接著n項的和為C，…，則A，B，C，…也成等差數(shù)列．
通過以上這些探究，我們在處理等差數(shù)列有關(guān)和的問題時可有更多的選擇余地，而且有些解法更加簡單、快捷，提高了我們解題的質(zhì)量和效果．如下例：
已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10，則可這樣解：∵S5＝5a3＝40，∴a3＝8，a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.
∴a10＝a3＋7d＝29.
此解法比常規(guī)解法優(yōu)越得多，這類解題技巧在等差數(shù)列中比比皆是，讓學(xué)生在解題探究中細心領(lǐng)悟．
討論結(jié)果：(1)(4)(5)略．
(2)等差數(shù)列求和公式中共有5個量，其中a1，d是基本量．
(3)等差數(shù)列求和公式可看作n的二次函數(shù)式，上節(jié)課的例題中初步涉及了這一思想，本節(jié)將作進一步的探究．
應(yīng)用示例
例1已知等差數(shù)列5,427，347，…的前n項和為Sn，求使得Sn最大的序號n的值．
活動：本例目的是讓學(xué)生在上節(jié)初步理解的基礎(chǔ)上，對等差數(shù)列求和公式的二次函數(shù)特征做進一步的螺旋提升．我們知道，等差數(shù)列{an}的前n項和公式可以寫成Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，所以Sn可以看成函數(shù)y＝d2x2＋(a1－d2)x(x∈N*)當x＝n時的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點，因此我們可以利用二次函數(shù)來求n的值．
解：由題意知，等差數(shù)列5,427，337，…的公差為－57，
所以Sn＝n2[2×5＋(n－1)(－57)]
＝75n－5n214
＝－514(n－152)2＋112556.
于是，當n取與152最接近的整數(shù)7或8時，Sn取得最大值．
點評：我們能否換一個角度再來思考這個問題呢？由已知，它的首項為5，公差為－57.因為它的首項為正數(shù)，公差小于零，因而這個數(shù)列是個單調(diào)遞減數(shù)列，當該數(shù)列的項出現(xiàn)負數(shù)時，則它的前n項的和一定會開始減小，在這樣的情況下先求出它的通項，求得結(jié)果是an＝a1＋(n－1)d＝－57n＋407.令an＝－57n＋407≤0，得到了n≥8，這樣就可以知道a8＝0，而a9＜0.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7＝S8，從第9項和Sn開始減小，由于a8＝0對數(shù)列的和不產(chǎn)生影響，所以就可以說這個等差數(shù)列的前7項或8項的和最大．這就是上節(jié)課留給學(xué)生課后探究的問題．
教師與學(xué)生一起歸納一下這種解法的規(guī)律：
①當?shù)炔顢?shù)列{an}的首項大于零，公差小于零時，它的前n項的和Sn有最大值，可通過an≥0，an＋1≤0求得n的值．
②當?shù)炔顢?shù)列{an}的首項不大于零，公差大于零時，它的前n項的和Sn有最小值，可以通過an≤0，an＋1≥0求得n的值．
有了這種方法再結(jié)合前面的函數(shù)性質(zhì)的方法，我們求等差數(shù)列的前n項的和的最值問題就可從通項與求和兩個角度入手解決：
(1)利用an取值的正負情況來研究數(shù)列的和的變化情況；
(2)利用Sn：由Sn＝d2n2＋(a1－d2)n利用二次函數(shù)求得Sn取最值時n的值．
變式訓(xùn)練
已知an＝1024＋lg21－n(lg2＝0.3010)，n∈N*.問前多少項之和最大？前多少項之和的絕對值最小？(讓一位學(xué)生上黑板去板演)
解：(1)an＝1024＋1－nlg2≥0an＋1＝1024－nlg2＜0
?1024lg2＜n≤1024lg2＋1?3401＜n＜3403.所以n＝3402.
(2)Sn＝1024n＋nn－12(－lg2)，當Sn＝0或Sn趨近于0時其絕對值最小，
令Sn＝0，即1024＋nn－12(－lg2)＝0，得n＝2048lg2＋1≈6804.99.
因為n∈N*，所以有n＝6805.

例2等差數(shù)列{an}中，a1＜0，S9＝S12，求該數(shù)列前多少項的和最?。?br> 活動：寫出前n項和的函數(shù)解析式，再求此式的最值是最直觀的思路．教學(xué)時，教師充分讓學(xué)生合作討論此題，從不同角度來探究此題的解法，教師只是給予必要的點撥．
解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則由題意，得9a1＋12×9×(9－1)d＝12a1＋12×12×(12－1)d，即3a1＝－30d，
∴d＝－110a1.
又∵a1＜0，∴d＞0.
∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2(n－212)2－2128d.
∵d＞0，∴Sn有最小值．
又∵n∈N*，∴當n＝10或n＝11時，Sn取最小值．
解法二：由an＝a1＋n－1d≤0，an＋1＝a1＋nd≥0，即1－110n－1≥0，1－110n≤0，
解得10≤n≤11.
∴取n＝10或n＝11時，Sn取最小值．
解法三：∵S9＝S12，即a1＋a2＋…＋a9＝a1＋a2＋…＋a12，
∴a10＋a11＋a12＝0，即3a11＝0.
又∵a1＜0，∴前10項或前11項的和最?。?br> 點評：解完本題后教師引領(lǐng)學(xué)生對以上三種解法進行反思總結(jié)．本題的三種解法從三個不同的視角說明了等差數(shù)列前n項和的最值問題，方法迥異，殊途同歸，由此看出等價轉(zhuǎn)化思想在簡化運算中的作用，其中第一種解法運算量偏大，不容易進行到底，即便做對了，所花時間也較多，要讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這一點．
事實上，本題還能探究出另一種解法——圖象法．∵S9＝S12，∴Sn的圖象所在的拋物線的對稱軸為x＝9＋122＝10.5，
又∵a1＜0，∴數(shù)列{an}的前10項或前11項和最小．
例3(教材本節(jié)例3)
活動：本例是教材等差數(shù)列部分的最后一個例題，目的是讓學(xué)生通過學(xué)到的等差數(shù)列知識，解決實際問題．教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，觀察教育儲蓄的規(guī)律．通過分析知李先生的每個100元的利息依次可組成等差數(shù)列，然后得出算式求解．
點評：解決本例的關(guān)鍵是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型．
例4已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)由通項公式bn＝Snn＋c構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn}，若{bn}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c.
活動：讓學(xué)生自己探究本題(1)，對(2)教師可引導(dǎo)學(xué)生充分利用等差數(shù)列的特征，可由學(xué)生合作探究，教師僅給予必要的點撥．
解：(1)∵{an}為等差數(shù)列，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝14.
又a2a3＝45，
∴a2，a3是方程x2－14x＋45＝0的兩實根．
又公差d＞0，∴a2＜a3.∴a2＝5，a3＝9.
∴a1＋d＝5a1＋2d＝9?a1＝1，d＝4.
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝n1＋nn－12×4＝2n2－n，
∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.
∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c.
又{bn}也是等差數(shù)列，即b1＋b3＝2b2.
∴262＋c＝11＋c＋153＋c.
解之，得c＝－12(c＝0舍去)．∴bn＝2n2－nn－12＝2n.
易知{bn}是等差數(shù)列，c＝－12.
例52000年11月14日，教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng)．據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？
活動：這是一道實際應(yīng)用題，從題中給出的信息我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型，這個等差數(shù)列的首項是500，記為a1，公差為50，記為d，而從2001年到2010年應(yīng)為十年，所以這個等差數(shù)列的項數(shù)為10.再用公式就可以算出來了．
解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元．
所以，可以建立一個等差數(shù)列{an}，表示從2001年起各年投入的資金，其中
a1＝500，d＝50.
那么，到2010年(n＝10)投入的資金總額為
S10＝10×500＋10×10－12×50＝7250(萬元)．
答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元．
點評：反思本例的解題過程，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，用剛學(xué)到的等差數(shù)列求和公式解之．
變式訓(xùn)練
一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？
解：由題意，所鋪瓦片數(shù)成等差數(shù)列．設(shè)所成等差數(shù)列為{an}，則a1＝21，d＝1，n＝19.
由等差數(shù)列前n項和公式知：
共鋪瓦片S19＝19×21＋19×182×1＝570(塊)．
答：共鋪瓦片570塊．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為________．
2．在等差數(shù)列{an}中滿足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，若Sn取得最大值，則n＝__________.
答案：
1．4解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有4a1＋4×32×d≥10，即2a1＋3d≥5，
5a1＋5×42×d≤15，即a1＋2d≤3.
所以a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4.
因此a4的最大值為4.
2．9解析：∵3a4＝7a7，
∴d＝－433a1.
又∵a1＞0，d＜0，
∴Sn＝na1＋nn－12d＝－2a133(n－354)2＋1225264a1.
故當n＝9時，Sn最大．
課堂小結(jié)
1．本課的小結(jié)由學(xué)生來完成．首先回顧總結(jié)本節(jié)探究了哪些重要結(jié)論？通過本節(jié)幾個例題及變式訓(xùn)練的探討，你對等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用又拓展了多少？你從中體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？對你今后的進一步學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)指導(dǎo)？你將本節(jié)所學(xué)知識納入已有的知識系統(tǒng)中了嗎？
2．你是怎樣從方程思想的角度來理解等差數(shù)列求和公式的？又是怎樣從等差數(shù)列的性質(zhì)來理解等差數(shù)列的求和公式的？你是怎樣從二次函數(shù)的角度來更加深刻地認識等差數(shù)列求和公式的？它是怎樣與函數(shù)、不等式、方程等內(nèi)容交匯的？重要的是你今天有什么獨創(chuàng)呢？比如，若已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2－3n＋1，則通項an等于多少呢？你得出的答案是an＝0，4n－5，n＝1，n≥2，還是an＝4n－5(n∈N*)呢？請課下思考．
作業(yè)
課本習(xí)題2—2A組12；習(xí)題2—2B組1,2,3.
設(shè)計感想
本教案設(shè)計的核心是突出學(xué)生的思維訓(xùn)練，這是一條主線，像例2引導(dǎo)學(xué)生探究了3種解法，從中比較了由于視角的不同而表現(xiàn)出的差異，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中等價轉(zhuǎn)化的作用．因為從解法上看有的解法繁雜，甚至有了思路也不一定解出來，而有的解法確實太漂亮了，簡潔而流暢．
本教案設(shè)計突出了方程的思想，所謂方程思想就是指把數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)量關(guān)系用解析式的形式表示出來，再把解析式歸結(jié)為方程，通過解方程的手段或?qū)Ψ匠踢M行研究使問題得以解決．設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程是用方程的思想解數(shù)列問題的重要環(huán)節(jié)．
本教案設(shè)計強調(diào)了數(shù)列與其他知識的交匯．我們知道數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸．數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用．而對數(shù)列求和公式的視角又大而廣之，即把數(shù)列的前n項和Sn視為數(shù)列{Sn}的通項，這體現(xiàn)了思維的廣闊性，也使學(xué)生的思維一下子博大而高遠了，這或許就是數(shù)學(xué)的魅力之所在．
備課資料
一、等差數(shù)列的性質(zhì)探究
等差數(shù)列的內(nèi)容內(nèi)涵豐富，通項公式與前n項和公式是其核心內(nèi)容，我們對其進行合理整合、變形，可以得到諸多的性質(zhì)，它們的應(yīng)用使解題變得輕松愉悅，與常規(guī)方法相比較，過程要簡捷得多．
【性質(zhì)1】已知等差數(shù)列{an}，m、p、q∈N*，若存在實數(shù)λ使m＝p＋λq1＋λ(λ≠－1)，
則am＝ap＋λaq1＋λ.
證明：由等差數(shù)列{an}的通項公式an＝dn＋a1－d的幾何意義：點(p，ap)、(m，am)、(q，aq)共線，由斜率公式得am－apm－p＝aq－amq－m，因為m＝p＋λq1＋λ，所以p－mm－q＝λ.
所以λ(am－aq)＝ap－am.所以(1＋λ)am＝ap＋λaq，即am＝ap＋λaq1＋λ.
評析：特別地，當λ＝1時，2am＝ap＋aq，我們不妨將性質(zhì)1稱為等差數(shù)列的定比分點公式．
【性質(zhì)2】等差數(shù)列{an}，ni，mi∈N*，i＝1,2,3，…，k，若i＝1kni＝i＝1kmi，則i＝1kani＝i＝1kami.
證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.根據(jù)ani＝ami＋(ni－mi)d，i＝1,2,3，…，k，
則i＝1kani＝i＝1kami＋(i＝1kni－i＝1kmi)d＝i＝1kami.所以i＝1kani＝i＝1kami.
推論：等差數(shù)列{an}，ni，m∈N*，i＝1,2,3，…，k，若km＝i＝1kni，則kam＝i＝1kani.
評析：本性質(zhì)實質(zhì)上是等差中項性質(zhì)的推廣．
【性質(zhì)3】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，n，m∈N*，
則Smm－Snn＝12(m－n)d.
證明：因為Smm－Snn＝nSm－mSnmn
＝n[ma1＋mm－12d]－m[na1＋nn－12d]mn
＝mna1＋mnm－12d－mna1－mnn－12dmn
＝m2n－mn－mn2＋mn2mnd
＝m2n－mn22mnd
＝mnm－n2mnd
＝12(m－n)d，
所以Smm－Snn＝12(m－n)d.
評析：實質(zhì)上數(shù)列{Snn}是公差為d2的等差數(shù)列．
【性質(zhì)4】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，n，m∈N*，則Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
證明：因為Sm＋n＝Sn＋(an＋1＋an＋2＋…＋an＋m)
＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(am＋nd)
＝Sn＋(a1＋a2＋…＋am)＋mnd
＝Sm＋Sn＋mnd，
所以Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
【性質(zhì)5】等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若m＝p＋q(m、p、q∈N*且p≠q)，
則有Smm＝Sp－Sqp－q.
證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為Sp－Sq＝pa1＋12p(p－1)d－qa1－12q(q－1)d＝(p－q)[a1＋12(p＋q－1)d]，
所以Sp－Sqp－q＝a1＋12(p＋q－1)d.
又因為Smm＝a1＋12(m－1)d，且m＝p＋q，
所以有Smm＝Sp－Sqp－q.
推論：等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若m＋t＝p＋q(m、t、p、q∈N*且m≠t，p≠q)，則Sm－Stm－t＝Sp－Sqp－q.
【性質(zhì)6】等差數(shù)列{an}前n項和為Sn.
(1)當n＝2k(k∈N*)時，S2k＝k(ak＋ak＋1)；
(2)當n＝2k－1(k∈N*)時，S2k－1＝kak.
二、備用習(xí)題
1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，則n的值為()
A．9B．21C．27D．36
2．過圓x2＋y2＝5內(nèi)一點P(52，32)有n條弦，這n條弦的長度成等差數(shù)列{an}，如果過P點的圓的最短的弦長為a1，最長的弦長為an，且公差d∈(16，13)，那么n的取值集合為…()
A．{5,6,7}B．{4,5,6}C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}
3．如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則()
A．a(chǎn)1a8＞a4a5B．a(chǎn)1a8＜a4a5
C．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5D．a(chǎn)1a8＝a4a5
4．等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若這個數(shù)列的前40項的和是20m，則m等于()
A．a(chǎn)10＋a30B．a(chǎn)20C．a(chǎn)40＋dD．a(chǎn)15＋a26
5．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3S6＝13，則S6S12等于()
A.310B.13C.18D.19
6．已知正實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個交點，則x1x2的取值范圍是__________．
7．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為__________．
8．設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且S23＝9S2，S4＝4S2，求數(shù)列{an}的通項公式．
參考答案：
1．答案：C
解析：Sn＝na1＋an2＝18，由S3＝1和an＋an－1＋an－2＝3，a1＋a2＋a3＝1，得3(a1＋an)＝4.
∴a1＋an＝43.∴n＝36a1＋an＝3643＝27.
2．答案：A
解析：過點P的最長弦是直徑，最短弦是過點P垂直于這條直徑的弦為23.
∵an＝a1＋(n－1)d，
∴25＝23＋(n－1)d.
n－1＝25－23d，∴d∈(16，13)．
∴3(25－23)＜n－1＜6(25－23)．
∴n＝5,6,7.
3．答案：B
解析：a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2＜0.
4．答案：D
解析：∵S40＝40a1＋a402＝20m，
∴a1＋a40＝m.
而a1＋a40＝a15＋a26，且d≠0，a1≠d，可排除A、B、C.
5．答案：A
解析：設(shè)S3＝m，∵S3S6＝13，
∴S6＝3m.∴S6－S3＝2m.
由等差數(shù)列依次每k項之和仍為等差數(shù)列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m.
∴S6S12＝310.
6．答案：(0,7－43)∪(7＋43，＋∞)
解析：∵x1x2＝ca＞0，又2b＝a＋c，b2－4ac＞0，
則(a＋c2)2－4ac＞0，a2＋c2－14ac＞0，ac＋ca－14＞0，
令t＝ca，則t＋1t－14＞0.
t2－14t＋1＞0.解得t∈(0,7－43)∪(7＋43，＋∞)．
7．答案：3
解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15.
∴d＝3.
8．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由Sn＝na1＋nn－12d及已知條件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)，①
4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②
由②得d＝2a1，代入①，有a21＝49a1，
解得a1＝0或a1＝49.
當a1＝0時，d＝0(舍去)，因此a1＝49，d＝89.
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝49＋(n－1)×89＝49(2n－1)．