高中等差數(shù)列教案

高三數(shù)學(xué)《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。

高三數(shù)學(xué)《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、等差數(shù)列的有關(guān)概念
1．定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
2．等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝(a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．
二、等差數(shù)列的有關(guān)公式
1．通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
2．前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋n(n-1)/2d+d＝(a1+an)n/2.
三、等差數(shù)列的性質(zhì)
1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}為等差數(shù)列，則am＋an＝ap＋aq.
2．在等差數(shù)列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd.
3．若{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍為等差數(shù)列，公差為n2d.
4．等差數(shù)列的增減性：d0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最小值．d0時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值．
5．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差為d.若其前n項(xiàng)之和可以寫成Sn＝An2＋Bn，則A＝d/2，B＝a1－d/2，當(dāng)d≠0時(shí)它表示二次函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差數(shù)列的充要條件．
四、解題方法
1.與前n項(xiàng)和有關(guān)的三類問(wèn)題
(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三個(gè)，即可求得其余兩個(gè)，這體現(xiàn)了方程思想．
(2)Sn＝d/2*n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bnd＝2A.
(3)利用二次函數(shù)的圖象確定Sn的最值時(shí)，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最小值．
2．設(shè)元與解題的技巧
已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元，若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；
若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．

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高三數(shù)學(xué)必修五《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、等差數(shù)列及前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)匯總
1.等差數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.
3.等差中項(xiàng)
如果A=(a+b)/2，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).
4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q，
則am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*).
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n為偶數(shù)，則S偶-S奇=nd/2;
若n為奇數(shù)，則S奇-S偶=a中(中間項(xiàng)).

注意：
一個(gè)推導(dǎo)
利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn=a1+a2+a3+…+an，①
Sn=an+an-1+…+a1，②
①+②得：Sn=n(a1+an)/2
兩個(gè)技巧
已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元.
(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….
(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.
四種方法
等差數(shù)列的判斷方法
(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù);
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*)都成立;
(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q;
(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.
注：后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列.

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》說(shuō)課稿

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡(jiǎn)析
本節(jié)內(nèi)容選自普遍高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(北師大版)必修5第一章第四節(jié)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和研究的，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

能力目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。

情感目標(biāo)：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

教學(xué)難點(diǎn)：獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路

四、教法和學(xué)法

教法：采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開始，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推導(dǎo)，并逐步得到深化。

學(xué)法：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——推導(dǎo)——應(yīng)用”這一思維方法，采取個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的探究。讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。

五、教學(xué)程序

（一）創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“興趣是最好的老師”，如果一節(jié)課有個(gè)好的開頭，那就意味著成功了一半。因此，我通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的引入，使學(xué)生一開始就能對(duì)這節(jié)課所研究的問(wèn)題引起興趣，使其立刻進(jìn)入到研究者的角色中來(lái)，并從這一簡(jiǎn)單的例子進(jìn)入我們今天的課題。

（二）探尋特例，提出猜想

1．激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例高斯問(wèn)題入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2．讓學(xué)生總結(jié)得出猜想：差數(shù)列前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)，末項(xiàng)，及項(xiàng)數(shù)有怎樣的關(guān)系?

（三）尋找途徑，證明猜想

1．讓學(xué)生用倒序相加法證明差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2．與等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合得另一個(gè)公式。

3．運(yùn)用差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解本節(jié)課問(wèn)題。

（四）初步應(yīng)用，深化認(rèn)識(shí)

用公式也是教學(xué)的重點(diǎn)。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段，通過(guò)“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三個(gè)層次來(lái)促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

通過(guò)三道例題，主要讓學(xué)生在具體問(wèn)題中如何選用公式，變用公式及知三求二在數(shù)列中的應(yīng)用，提高學(xué)生的計(jì)算能力

（五）小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)

通過(guò)以上的研究過(guò)程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對(duì)此有何體會(huì)？

1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:=

2公式的推證用的是倒序相加法

3在兩個(gè)求和公式中,各有四個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.(體現(xiàn)了方程思想)

意圖：使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，能抓住重點(diǎn)進(jìn)行課后復(fù)習(xí)

（六）當(dāng)堂檢測(cè)

旨在了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，掌握學(xué)情，為了以后更好的進(jìn)行教學(xué)。

（七）作業(yè)布置，

必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，熟練公式的應(yīng)用。根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，為了促進(jìn)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，我們?cè)O(shè)計(jì)了選做題，達(dá)到分層教學(xué)的目的

六、設(shè)計(jì)理念——把“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的權(quán)力”還給學(xué)生

長(zhǎng)期以來(lái)，我們的課堂教學(xué)太過(guò)于重視結(jié)論，輕視過(guò)程.為了應(yīng)付考試，為了使對(duì)公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂的“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)進(jìn)行強(qiáng)化.在數(shù)學(xué)概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來(lái)把學(xué)生強(qiáng)化成只會(huì)套用公式的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題就束手無(wú)策.

數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)造能力的載體.新課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過(guò)程的體驗(yàn).

基于以上認(rèn)識(shí)，在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，教師所考慮的不是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的內(nèi)容，而是創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)公式的過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)到：公式并不是憑空產(chǎn)生的，發(fā)現(xiàn)公式并不都是高不可攀的事情，通過(guò)我的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案分析

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案分析

教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能
（1）了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，理解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過(guò)程，記憶公式的兩種形式；
（2）用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，利用公式求Sn,a1,d,n,an；等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式兩套公式涉及五個(gè)字母，已知其中三個(gè)量求另兩個(gè)值；
2、過(guò)程與方法
（1）通過(guò)公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家高斯的有關(guān)貢獻(xiàn)，體會(huì)從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃季S規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題，解決問(wèn)題的一般思路和方法.
（2）通過(guò)公式推導(dǎo)的過(guò)程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法。
3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀
（1）通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美；通過(guò)有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題.
（2）通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)的情感。
教材分析：
本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，首先通過(guò)具體的例子給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的思路，而后導(dǎo)出了一般的公式，并加以應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項(xiàng)公式組成方程組，共同運(yùn)用，解決有關(guān)問(wèn)題．
重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，難點(diǎn)是公式推導(dǎo)的思路．
推導(dǎo)過(guò)程的展示體現(xiàn)了人類解決問(wèn)題的一般思路，即從特殊問(wèn)題的解決中提煉一般方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般情況，所以推導(dǎo)公式的過(guò)程中所蘊(yùn)含的思想方法比公式本身更為重要．
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，應(yīng)根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行計(jì)算；另外反用公式、變用公式、前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的綜合運(yùn)用體現(xiàn)了方程（組）思想．
高斯算法表現(xiàn)了大數(shù)學(xué)家的智慧和巧思，對(duì)一般學(xué)生來(lái)說(shuō)有很大難度，但大多數(shù)學(xué)生都聽說(shuō)過(guò)這個(gè)故事，所以難點(diǎn)在于一般等差數(shù)列求和的思路上．
教學(xué)過(guò)程
一、情境引入，問(wèn)題提出：
高二、二班同學(xué)為參加全校廣播體操比賽設(shè)計(jì)的比賽隊(duì)形，從前到后每行的人數(shù)分別為1，2，3，……，10.問(wèn)全班共有共有多少位同學(xué)？若假設(shè)有100行，共有多少人呢？
這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的.（由一名學(xué)生回答，再由學(xué)生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了.高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.