高中等差數(shù)列的教案

高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和023。

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是由小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和023”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

一、教學(xué)目標(biāo)
1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；
3、會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題．
二、教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題．
三、教學(xué)過程
（一）、復(fù)習(xí)引入：
1．等差數(shù)列的定義：－=d，（n≥2，n∈N）
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（1）（2）（3）=pn+q(p、q是常數(shù))
3．幾種計(jì)算公差d的方法：①－②③
4．等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列
5．等差數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+q(m,n,p,q∈N)
6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為.
“小故事”1、2、3
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”
過了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：
“1+2+3+…+100=5050．”
教師問：“你是如何算出答案的？”
高斯回答說：“因?yàn)?+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”
這個(gè)故事告訴我們：
（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．
（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法．
二、講解新課：
1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：
證明：①
②
①+②：
∵
∴由此得：．
2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：．
用上述公式要求必須具備三個(gè)條件：．
但代入公式1即得：
此公式要求必須已知三個(gè)條件：
總之：兩個(gè)公式都表明要求必須已知中三個(gè)．
公式二又可化成式子：，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式．
三、例題講解
例1、(1)已知等差數(shù)列{an}中,a1=4,S8=172,求a8和d;
(2)等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？
解：(1)
(2)設(shè)題中的等差數(shù)列為，前n項(xiàng)為則
由公式可得.解之得：（舍去）
∴等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項(xiàng)的和是54．
例2、教材P43面的例1
解：
例3．求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．
解：由得
∴正整數(shù)共有14個(gè)即中共有14個(gè)元素
即：7，14，21，…，98是等差數(shù)列．
∴答：略．
例4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.
（學(xué)生練學(xué)生板書教師點(diǎn)評(píng)及規(guī)范）
練習(xí)：⑴在等差數(shù)列中，已知，求.
⑵在等差數(shù)列中，已知，求.
例4．已知等差數(shù)列{an}前四項(xiàng)和為21,最后四項(xiàng)的和為67,所有項(xiàng)的和為286,求項(xiàng)數(shù)n.
解：依題意，得
兩式相加得
又所以
又，所以n=26．
例5．已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和為310,前20項(xiàng)的和為1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)
列的前n項(xiàng)的和嗎？.
思考：（1）等差數(shù)列中，成等差數(shù)列嗎？
（2）等差數(shù)列前m項(xiàng)和為,則、.、是等差數(shù)列嗎？
練習(xí)：教材第118頁練習(xí)第1、3題．
三、課堂小結(jié)：
1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：；
2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：．
四、課外作業(yè)：
1.閱讀教材第42～44頁；
2.《習(xí)案》作業(yè)十三．
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擴(kuò)展閱讀

等差數(shù)列前n項(xiàng)和

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會(huì)提前最好準(zhǔn)備，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來，有效的提高課堂的教學(xué)效率。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

課時(shí)192.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些實(shí)際問題。
【知識(shí)概念】
1．等差數(shù)列的判定方法

2．等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)

3.an與Sn的關(guān)系
；。
4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)
【例題選講】
例1．某劇場(chǎng)有20排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，這個(gè)劇場(chǎng)共有多少個(gè)座位？

例2．某種卷筒紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑40mm,滿盤時(shí)直徑120mm。已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm,問：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約是多少？（精確到1m）

例3．教育儲(chǔ)蓄是一種零存整取定期儲(chǔ)蓄存款，它享受整存整取利率，利息免稅。教育儲(chǔ)蓄的對(duì)象為在校小學(xué)四年級(jí)（含四年級(jí)）以上的學(xué)生。設(shè)零存整取3年期教育儲(chǔ)蓄的月利率為2.1‰.起存款金額50元，存款總額不超過2萬元。
（1）欲在3年后一次支取本息合計(jì)2萬元，每月大約存入多少元？
（2）零存整取3年期教育儲(chǔ)蓄每月至多存入多少元？此時(shí)3年后本息合計(jì)約多少元？（精確到元）

【課堂練習(xí)】
課本P43練習(xí)4
課本P44習(xí)題9、10、11、12
【鞏固提高】
1．某鋼材庫新到200根相同的圓鋼，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓鋼盡可能的少，那么將剩余多少根圓鋼？

2．有30根電線桿，要運(yùn)往1000m遠(yuǎn)的地方開始安裝，在1000m處放一根，以后每50m放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車完成這項(xiàng)任務(wù)，這輛汽車的行程共有多少km？又若一輛車一次可運(yùn)四根，怎樣安排汽車的行程最短。

3．A，B兩物自相距30m處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，A每分鐘走3m，B每分鐘走2m，且以后每分鐘比前1分鐘多走0.5m，則A和B開始運(yùn)動(dòng)后分鐘相遇。
4．流行性感冒（簡稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月份曾發(fā)生流感。據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制。從某天起。每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人。到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共有8670人。問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。

高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和024

2.3等差數(shù)列的前項(xiàng)和（二）

教學(xué)要求：進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題；會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的公式研究的最值.
如果An，Bn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，則．
教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握等差數(shù)列的求和公式.
教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求和公式解決問題.
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：
1、等差數(shù)列求和公式：，
2、在等差數(shù)列{an}中
(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6;
(3)若a5=6,a8=15,求a14;(4)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
二、講授新課：
1、探究：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式.
例1、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？
【結(jié)論】數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系：
由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n≥2時(shí)，=-，即=.
練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？
探究：一般地，如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？
（是，，）.
由此，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可化成式子：，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式.
2.教學(xué)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題：
①例題講解：
例2、數(shù)列是等差數(shù)列，.（1）從第幾項(xiàng)開始有；（2）求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.
結(jié)論：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法：
（1）當(dāng)0，d0，前n項(xiàng)和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；
當(dāng)0，d0，前n項(xiàng)和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.
（2）由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值.
練習(xí)：在等差數(shù)列{}中,＝－15,公差d＝3,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最小值.
例3、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，求使得最大的序號(hào)n的值。
歸納：（1）當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}首項(xiàng)為正數(shù)，公差小于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和為有最大值，可以通過
求得n
（2）當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}首項(xiàng)不大于零，公差大于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和為有最小值，可以通過
求得n
三、課堂小結(jié)：
求＂等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題＂常用的方法有：
（1）滿足的n值；
（2）由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值；
（3）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求．
四、課外作業(yè)：
作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)十四。
補(bǔ)充題：（依情況而定）
1．(1)已知等差數(shù)列{an}的an＝24－3n，則前多少項(xiàng)和最大？
(2)已知等差數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn＝2n-17,則前多少項(xiàng)和最小?
解：(1)由an＝24－3n知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，前8項(xiàng)或前7項(xiàng)的和取最大值.
(2)由bn＝2n－17n知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，前8項(xiàng)的和取最小值.
2.數(shù)列{an}是首項(xiàng)為正數(shù)a1的等差數(shù)列,又S9=S17.問數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大?
解:由S9=S17得9a5=17a9,
說明:．
3．首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an},它的前3項(xiàng)之和與前11項(xiàng)之和相等,問此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大?
解法一:由S3=S11得:解之得
故當(dāng)n=7時(shí),Sn最大,即前7項(xiàng)之和最大.
解法二:由
解得:，所以n=7,即前7項(xiàng)之和最大.
解法三:由知:{an}是遞減的等差數(shù)列.
又S3=S11,
必有，前7項(xiàng)之和最大．
4．已知等差數(shù)列{an},滿足an=40-4n,求前多少項(xiàng)的和最大?最大值是多少?
解法一:由
解法二:
令
．
5．已知等差數(shù)列{an}，3a5=8a12，a10，設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,求Sn取最小值時(shí)n的值．
[分析]求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和最小,可以用函數(shù)的方式去求,亦可以用數(shù)列單調(diào)性,也可以由完成.
解法一:
點(diǎn)(n,Sn)是開口向上拋物線上一些孤立的點(diǎn),即在函數(shù)的圖象上,其對(duì)稱軸距離x=15.7最近的整數(shù)點(diǎn)(16,S16),
解法二:

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》說課稿

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》說課稿

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析
本節(jié)內(nèi)容選自普遍高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(北師大版)必修5第一章第四節(jié)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和研究的，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)列知識(shí)的基礎(chǔ)。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

能力目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。

情感目標(biāo)：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

教學(xué)難點(diǎn)：獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路

四、教法和學(xué)法

教法：采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推導(dǎo)，并逐步得到深化。

學(xué)法：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——推導(dǎo)——應(yīng)用”這一思維方法，采取個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的探究。讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。

五、教學(xué)程序

（一）創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“興趣是最好的老師”，如果一節(jié)課有個(gè)好的開頭，那就意味著成功了一半。因此，我通過對(duì)實(shí)際問題的引入，使學(xué)生一開始就能對(duì)這節(jié)課所研究的問題引起興趣，使其立刻進(jìn)入到研究者的角色中來，并從這一簡單的例子進(jìn)入我們今天的課題。

（二）探尋特例，提出猜想

1．激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例高斯問題入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2．讓學(xué)生總結(jié)得出猜想：差數(shù)列前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)，末項(xiàng)，及項(xiàng)數(shù)有怎樣的關(guān)系?

（三）尋找途徑，證明猜想

1．讓學(xué)生用倒序相加法證明差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2．與等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合得另一個(gè)公式。

3．運(yùn)用差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解本節(jié)課問題。

（四）初步應(yīng)用，深化認(rèn)識(shí)

用公式也是教學(xué)的重點(diǎn)。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式，可采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段，通過“選擇公式”，“變用公式”，“知三求二”三個(gè)層次來促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

通過三道例題，主要讓學(xué)生在具體問題中如何選用公式，變用公式及知三求二在數(shù)列中的應(yīng)用，提高學(xué)生的計(jì)算能力

（五）小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)

通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對(duì)此有何體會(huì)？

1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:=

2公式的推證用的是倒序相加法

3在兩個(gè)求和公式中,各有四個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.(體現(xiàn)了方程思想)

意圖：使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，能抓住重點(diǎn)進(jìn)行課后復(fù)習(xí)

（六）當(dāng)堂檢測(cè)

旨在了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，掌握學(xué)情，為了以后更好的進(jìn)行教學(xué)。

（七）作業(yè)布置，

必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，熟練公式的應(yīng)用。根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，為了促進(jìn)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們分析問題解決問題的能力，我們?cè)O(shè)計(jì)了選做題，達(dá)到分層教學(xué)的目的

六、設(shè)計(jì)理念——把“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的權(quán)力”還給學(xué)生

長期以來，我們的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程.為了應(yīng)付考試，為了使對(duì)公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂的“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進(jìn)行強(qiáng)化.在數(shù)學(xué)概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化成只會(huì)套用公式的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對(duì)新問題就束手無策.

數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體.新課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗(yàn).

基于以上認(rèn)識(shí)，在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，教師所考慮的不是簡單地告訴學(xué)生差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的內(nèi)容，而是創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)公式的過程中讓學(xué)生體會(huì)到：公式并不是憑空產(chǎn)生的，發(fā)現(xiàn)公式并不都是高不可攀的事情，通過我的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事.在這個(gè)過程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
2．2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)等差數(shù)列求和共分2課時(shí)，第1課時(shí)是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它解決數(shù)列求和的有關(guān)問題．等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，是由計(jì)算工廠堆放的鋼管數(shù)這一實(shí)例引入的，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)，通過對(duì)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”這一重要數(shù)學(xué)方法．
第2課時(shí)的主要內(nèi)容是讓學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，進(jìn)一步了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題．通過本節(jié)課的教學(xué)使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的認(rèn)識(shí)更為深刻，并進(jìn)一步感受數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等方面的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過探究一些特殊數(shù)列求和問題的思路和方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．
在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生融入問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過觀察、活動(dòng)、探索、交流、反思，來認(rèn)識(shí)和理解等差數(shù)列的求和內(nèi)容．在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，學(xué)會(huì)探究．在教法上，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過程中的主體地位．通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析問題的能力和積極思維、追求新穎的創(chuàng)新意識(shí)．
三維目標(biāo)
1．通過經(jīng)歷等差數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)、探究過程，掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值．
2．學(xué)會(huì)常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的思維水平的發(fā)展．通過例題及其變式例題的訓(xùn)練，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
3．通過有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的問題，能用多種方法解決數(shù)列求和問題．
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列求和公式的深刻理解及其靈活應(yīng)用．
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)我們?cè)谌粘Ｉ钪谐３Ｓ龅竭@樣的事情：(可利用多媒體課件或幻燈片)有一堆鋼管放置如圖1，請(qǐng)你幫助管理人員算一算一共有鋼管多少根？求圖2共有多少朵花？當(dāng)然一根根地?cái)?shù)鋼管或一朵朵地?cái)?shù)小花能算出來，但有沒有更好的方法呢？若讓你求出第100層的鋼管數(shù)或讓你求出第100個(gè)圓圈上的小花數(shù)，那么你怎樣求呢？這實(shí)際上就是等差數(shù)列的求和問題，由此展開新課．
圖1
圖2

思路2.(事例導(dǎo)入)關(guān)于“加薪的學(xué)問”有一報(bào)道如下：在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目是：老板給你兩個(gè)加工資的方案，一是每年年末加1000元；二是每半年結(jié)束時(shí)加300元．請(qǐng)選一種，一般不擅長數(shù)學(xué)的，很容易選擇前者．因?yàn)橐荒昙?000元總比兩個(gè)半年共加600元要多．其實(shí)，由于加工資是累計(jì)的，時(shí)間稍長，往往第二種方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000＋2000＝3000(元)；而第二種方案在第一年加得(300＋600)元，第二年加得900＋1200＝2100(元)，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一種方案可得1000＋2000＋3000＝6000(元)，第二種方案則為300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300(元)，比第一種方案多了300元．第四年、第五年會(huì)更多．因此，你若在該公司干三年以上，則應(yīng)選擇第二種方案．
以上材料的正確解答恰是我們要研究的數(shù)列求和問題，由此導(dǎo)入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)教師出示幻燈投影1.
印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的經(jīng)典之作，這個(gè)古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風(fēng)格，是印度伊斯蘭教文化的象征．
陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕．傳說當(dāng)時(shí)陵寢中有一個(gè)等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)，奢華之程度，可見一斑．你知道這個(gè)圖案中一共有多少顆寶石嗎？(該問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離，引領(lǐng)學(xué)生步入探討高斯算法的階段)

(2)教師出示幻燈投影2.
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．高斯十歲時(shí)，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在給大家出道題目：1＋2＋…100＝？”
過了兩分鐘，正當(dāng)大家在：1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：
“1＋2＋3＋…＋100＝5050.”
你知道高斯是如何算出答案的嗎？
(3)根據(jù)問題(1)(2)你能探究出等差數(shù)列的求和公式嗎？
(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有什么結(jié)構(gòu)特征？
(5)怎樣運(yùn)用這兩個(gè)公式解決數(shù)列求和問題？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究以上兩個(gè)著名的歷史問題，一方面展示了歷史文化奇跡，如問題(1)，另一方面切身感受一下歷史名人的成長足跡，激發(fā)學(xué)生的探究興趣．高斯是18世紀(jì)德國著名的數(shù)學(xué)家，被稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，他與阿基米德、牛頓齊名，是數(shù)學(xué)史上一顆光芒四射的巨星.10歲的小高斯能迅速寫出1＋2＋3＋…＋99＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050，將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確地得到了結(jié)果，的確思維非凡．可見作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，因此能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．今天我們重溫這段歷史，是想讓學(xué)生從中感悟?qū)W習(xí)的真諦，站在巨人的肩膀上去學(xué)習(xí)，實(shí)際上，高斯用的是首尾配對(duì)相加的方法．也就是：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50個(gè)101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5050.高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101,50個(gè)101就等于5050了．
高斯的這種算法，就是等差數(shù)列求和的方法，也就是我們將要探究的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問題．
現(xiàn)在，我們?cè)賮硖骄壳懊娴挠《忍┘Я甑牧陮嬛械牡冗吶切螆D案，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21層，得到下圖，則下圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢？這是求“1＋2＋3＋…＋21”奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和的問題，高斯的方法不能用了．要是偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)求和就好首尾配成對(duì)了．
高斯的這種“首尾配對(duì)”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和，適用于偶數(shù)個(gè)項(xiàng)，我們是否有簡單的方法來解決這個(gè)問題呢？
我們發(fā)現(xiàn)用幾何的方法，將這個(gè)全等三角形倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形．平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為22個(gè)，共21行．則三角形中的寶石個(gè)數(shù)就是1＋21×212.
這種方法不需分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況就可以求和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學(xué)式子表示就是：
1＋2＋3＋…＋21，
21＋20＋19＋…＋1，
這就是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法——“倒序相加法”．
探究了以上兩個(gè)實(shí)際問題的求和，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)求和問題有了一定的認(rèn)識(shí)，比較以上兩種探究過程學(xué)生自然會(huì)思考能否把“倒序相加法”推廣到任意一個(gè)等差數(shù)列呢？這種類比的聯(lián)想就是思維智慧的閃現(xiàn)．為了降低難度，教師可先與學(xué)生一起探究1＋2＋3＋…＋n的問題，得到如下算式：
1＋2＋3＋…＋n－1＋n
n＋n－1＋n－2＋…＋2＋1
(n＋1)＋(n＋1)＋(n＋1)＋…＋(n＋1)＋(n＋1)
可知1＋2＋3＋…＋n＝n＋1×n2.
再進(jìn)一步探究，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的問題，讓學(xué)生明白Sn就表示{an}的前n項(xiàng)和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，根據(jù)倒序相加法可得如下算式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，
2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…＋(an＋a1).
根據(jù)上節(jié)課等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1.
所以，2Sn＝n(a1＋an)．由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝na1＋an2
這就是說，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半．
將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d代入上式，可得等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的另一公式：
Sn＝na1＋nn－12d
以上兩種推導(dǎo)過程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量來轉(zhuǎn)化為用我們前面求得的結(jié)論，并且我們得到了等差數(shù)列前n項(xiàng)求和的兩種不同的公式．這兩種求和公式都很重要，都稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
從以上探究我們可以看出這兩個(gè)公式是可以轉(zhuǎn)化的，從結(jié)構(gòu)特征看，前一個(gè)公式反映了等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)；后一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較．兩個(gè)公式從不同角度反映了數(shù)列的性質(zhì)．兩個(gè)公式的共同點(diǎn)是需要知道a1和n，不同點(diǎn)是前者還需知an，后者還需要知道d.
從方程角度看兩公式共涉及5個(gè)元素：a1，d，n，an，Sn，教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意這5個(gè)元素，其中a1，d稱為基本元素．因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)a1，公差d已知，則此數(shù)列完全確定，因此等差數(shù)列中不少問題都可轉(zhuǎn)化為求基本元素a1和d的問題，這往往要根據(jù)已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，再解這個(gè)方程組求出a1，d.
討論結(jié)果：(1)～(3)略．
(4)前一個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征是可與梯形面積公式(上底＋下底)×高÷2相類比，上底就是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n；后一個(gè)公式是二次函數(shù)的形式．
(5)運(yùn)用這兩個(gè)公式解題時(shí)要讓學(xué)生明確解方程或方程組的思路．
應(yīng)用示例
例1計(jì)算：
(1)1＋2＋3＋…＋n；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)；
(3)2＋4＋6＋…＋2n；
(4)1－2＋3－4＋5－6＋…＋(2n－1)－2n.
活動(dòng)：對(duì)于剛學(xué)完公式的學(xué)生來講，直接解答課本上的例1跨度太大．因此先補(bǔ)充了這樣一個(gè)直接運(yùn)用公式的題目．目的是讓學(xué)生迅速熟悉公式，用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己去解答完成，只是對(duì)(4)需做必要的點(diǎn)撥：本小題數(shù)列共有幾項(xiàng)？是否為等差數(shù)列？能否直接運(yùn)用Sn公式求解？若不能，應(yīng)如何解答？引導(dǎo)學(xué)生觀察，本小題中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以原式＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(2＋4＋6＋…＋2n)＝n2－n(n＋1)＝－n.有的學(xué)生可能觀察得很快，本小題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為－1，故可得另一解法：原式＝(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝－n.
解：(1)1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n1＋2n－12＝n2；
(3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2n＋22＝n(n＋1)；
(4)原式＝－n.
點(diǎn)評(píng)：本例前3小題直接利用等差數(shù)列求和公式，對(duì)于(4)小題給我們以啟示：在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法．注意在運(yùn)用求和公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解．
變式訓(xùn)練
已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項(xiàng)的和S10等于()
A．138B．135C．95D．23
答案：C
解析：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可解得d＝3，a1＝－4，∴a10＝a1＋9d＝23，
∴S10＝a1＋a102×10＝95.

例2(教材本節(jié)例2)
活動(dòng)：通過本例介紹由求和公式求通項(xiàng)公式的方法，分析求和公式與二次函數(shù)的聯(lián)系．并結(jié)合邊注引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)問題．教學(xué)中應(yīng)引起高度重視，可讓學(xué)生自己探究，教師給予適當(dāng)點(diǎn)撥．
點(diǎn)評(píng)：求使Sn最小的序號(hào)n值的方法很多，可鼓勵(lì)學(xué)生課后進(jìn)一步探究．
例3已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？
活動(dòng)：教師與學(xué)生一起探究，本例的已知條件是在等差數(shù)列{an}中，S10＝310，S20＝1220.由前面我們所學(xué)知道，將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得兩個(gè)關(guān)于a1與d的關(guān)系式，它們都是關(guān)于a1與d的二元一次方程，解這個(gè)二元一次方程組可求得a1與d，a1與d確定了，那么就可求出這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
解：方法一：由題意可知
S10＝310，S20＝1220，
將它們代入公式Sn＝na1＋nn－12d，得到10a1＋45d＝310，20a1＋190d＝1220.
解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組，得到a1＝4，d＝6，
所以Sn＝4n＋nn－12×6＝3n2＋n.
方法二：由S10＝a1＋a102×10＝310，得a1＋a10＝62，①
S20＝a1＋a202×20＝1220.
所以a1＋a20＝122.②
②－①，得10d＝60，所以d＝6.
代入①，得a1＝4，所以有Sn＝a1n＋nn－12d＝3n2＋n.
點(diǎn)評(píng)：本例的給出方式是設(shè)問“由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎”，而不是“求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和”．這就更深了一層，讓學(xué)生領(lǐng)悟到a1與d一旦確定，那么這個(gè)等差數(shù)列就確定了，同時(shí)通過本例也讓學(xué)生領(lǐng)悟等差數(shù)列中a1與d是所給5個(gè)量中的基本量.5個(gè)量中已知3個(gè)量則可求其他量，只需通過構(gòu)造方程或方程組，運(yùn)用方程思想即可解決問題．教學(xué)時(shí)教師要充分利用本題的訓(xùn)練價(jià)值，使學(xué)生熟練地掌握這一基本題型．解完后教師要再引領(lǐng)學(xué)生反思總結(jié)．
變式訓(xùn)練
設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4＝14，S10－S7＝30，求S9.
解：由S4＝14，S10－S7＝30，
∴4a1＋6d＝14，10a1＋45d－7a1＋21d＝30，
即2a1＋3d＝7，a1＋8d＝10.解得a1＝2，d＝1，
∴S9＝9a1＋36d＝54.

例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋12n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？
活動(dòng)：這是一道合作探究題．教學(xué)時(shí)給出一定的時(shí)間讓學(xué)生對(duì)本題進(jìn)行思考探究．
本題給出了一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的式子，來判斷它是否是等差數(shù)列．解題的出發(fā)點(diǎn)是從所給的和的公式去求出通項(xiàng)．那么通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的公式有何種關(guān)系呢？由Sn的定義可知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，
即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.這種由已知數(shù)列的Sn來確定數(shù)列通項(xiàng)的方法對(duì)任意數(shù)列都是可行的．本題即用這種方法求出的通項(xiàng)an＝2n－12，我們從中知道它是等差數(shù)列，這時(shí)當(dāng)n＝1也是滿足的，但是不是所有已知Sn求an的問題都能使n＝1時(shí)，an＝Sn－Sn－1滿足呢？請(qǐng)同學(xué)們來探究一下．
解：根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an與Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知當(dāng)n＞1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－[(n－1)2＋12(n－1)]＝2n－12，①
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋12×1＝32.
也滿足①式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－12.
由此可知，數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為32，公差為2的等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且是關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使我們能從數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征上來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列．實(shí)質(zhì)上等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中皆無常數(shù)項(xiàng)．
通過本例，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：這實(shí)際上給出了已知數(shù)列前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)公式的一個(gè)方法，即已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝a1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.這種已知數(shù)列Sn來確定an的方法對(duì)于任何數(shù)列都是可行的，但要強(qiáng)調(diào)a1不一定滿足由Sn－Sn－1＝an求出的通項(xiàng)表達(dá)式．因此最后要驗(yàn)證首項(xiàng)a1是否滿足已求出的an.這點(diǎn)要引起學(xué)生足夠的注意．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－32n2＋2052n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：由條件，知當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－32n2＋2052n)－[－32(n－1)2＋2052(n－1)]＝－3n＋104.
把n＝1代入上式也適合．
∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．

知能訓(xùn)練
1．等差數(shù)列{an}中，(1)已知a1＝5，an＝95，n＝10，求Sn；
(2)已知a1＝100，d＝－2，n＝50，求Sn.
2．已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通項(xiàng)an；
(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值．
答案：
1．解：由等差數(shù)列求和公式，直接求得：(1)Sn＝500；(2)Sn＝2550.
2．解：(1)設(shè){an}的公差為d，由已知條件，a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解出a1＝3，d＝－2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，
所以n＝2時(shí)，Sn取到最大值4.
課堂小結(jié)
1．本節(jié)的小結(jié)由學(xué)生來完成，首先回顧總結(jié)本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？(兩個(gè)重要的等差數(shù)列求和公式)通過等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，你都從中學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？(數(shù)列倒序相加法)對(duì)你今后的學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)指導(dǎo)？
2．你是怎樣從方程的角度來理解等差數(shù)列求和公式的？又是怎樣從等差數(shù)列的性質(zhì)來理解等差數(shù)列的求和公式的？上節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的通項(xiàng)與本節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和公式有什么聯(lián)系？本節(jié)的重要題型是什么？
作業(yè)
課本習(xí)題2—2A組8、9.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)力求突出實(shí)際背景的教學(xué)，以大量的日常生活實(shí)例及古今中外的數(shù)列故事來鋪墊學(xué)生學(xué)習(xí)等差數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵．除了本教案設(shè)計(jì)的幾個(gè)實(shí)例，教學(xué)時(shí)還可根據(jù)實(shí)際情況再補(bǔ)加一些實(shí)例背景．
本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練．通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個(gè)角度觀察問題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì)．說到底，學(xué)數(shù)學(xué)，其實(shí)是要使人聰明，使人的思維更加縝密．
本節(jié)的思考與探究沒有涉及，設(shè)計(jì)的意圖是留給學(xué)有余力的學(xué)生課后選做．鑒于習(xí)題2—2B組中3,4,5,6都有一定的難度，因此也設(shè)計(jì)為選做．
(設(shè)計(jì)者：周長峰)

第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.上一節(jié)課我們一起探究推導(dǎo)了等差數(shù)列的求和公式，得到了求和公式的兩種形式．我們知道以前在公式的學(xué)習(xí)過程中，不僅要會(huì)對(duì)公式正用、逆用及變形用，還要從運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)公式，從函數(shù)及數(shù)列結(jié)合的角度透徹理解公式．這里公式Sn＝na1＋nn－12d表明Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，那么你能看出點(diǎn)列(n，Sn)均在同一條拋物線上嗎？這樣的拋物線有什么特點(diǎn)？由此展開新課．
思路2.上一節(jié)課我們從幾個(gè)日常生活中的實(shí)例探究了等差數(shù)列的很重要的公式，我們也知道等差數(shù)列有著十分豐富的有趣性質(zhì)，那么根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，你能探究出等差數(shù)列的哪些重要結(jié)論呢？比如單調(diào)性、奇偶性、最大值等．教師引導(dǎo)學(xué)生由此導(dǎo)入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶上節(jié)課等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，并寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.2等差數(shù)列求和公式中共有幾個(gè)量？基本量是什么？3等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)有著怎樣的關(guān)系？4你能探究出哪些與和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)？5怎樣利用所學(xué)知識(shí)靈活地處理求和問題？
活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課我們用倒序相加法探究的等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式：Sn＝na1＋an2，Sn＝na1＋nn－12d.在公式涉及的5個(gè)量a1，d，n，an，Sn中，知三可求其二．其中a1，d是最基本的兩個(gè)量．我們稱為基本元素，在等差數(shù)列的不少問題中，我們往往都轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)量來求．當(dāng)然如果熟悉并掌握一些常用結(jié)論及性質(zhì)，往往能找到簡潔明快、輕盈優(yōu)美的靈活解題技巧，提高我們的解題速度．下面我們探究等差數(shù)列求和的一些性質(zhì)問題．
從等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中我們可以看出，公式里不含常數(shù)項(xiàng)．教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，如果a1，d是確定的，那么Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n.可以看出當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式．
從圖象角度看(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx(A≠0)的圖象上．所以當(dāng)d≠0時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn的圖象是拋物線y＝Ax2＋Bx圖象上的一群孤立點(diǎn)，這樣我們就可以借助于二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)來處理等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)問題．若d＝0，則Sn＝na1.因此我們可以得出這樣的結(jié)論：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可以寫成Sn＝an2＋bn的形式(其中a、b為常數(shù))且公差為2a.
結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)我們還可得到：當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，由am≥0am＋1≤0Sm為最大值；當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，由am≤0am＋1≥0Sm為最小值．
通過具體例子驗(yàn)證、猜想并推廣到一般，我們還可得到：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為A，緊接著n項(xiàng)的和為B，再緊接著n項(xiàng)的和為C，…，則A，B，C，…也成等差數(shù)列．
通過以上這些探究，我們?cè)谔幚淼炔顢?shù)列有關(guān)和的問題時(shí)可有更多的選擇余地，而且有些解法更加簡單、快捷，提高了我們解題的質(zhì)量和效果．如下例：
已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10，則可這樣解：∵S5＝5a3＝40，∴a3＝8，a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.
∴a10＝a3＋7d＝29.
此解法比常規(guī)解法優(yōu)越得多，這類解題技巧在等差數(shù)列中比比皆是，讓學(xué)生在解題探究中細(xì)心領(lǐng)悟．
討論結(jié)果：(1)(4)(5)略．
(2)等差數(shù)列求和公式中共有5個(gè)量，其中a1，d是基本量．
(3)等差數(shù)列求和公式可看作n的二次函數(shù)式，上節(jié)課的例題中初步涉及了這一思想，本節(jié)將作進(jìn)一步的探究．
應(yīng)用示例
例1已知等差數(shù)列5,427，347，…的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最大的序號(hào)n的值．
活動(dòng)：本例目的是讓學(xué)生在上節(jié)初步理解的基礎(chǔ)上，對(duì)等差數(shù)列求和公式的二次函數(shù)特征做進(jìn)一步的螺旋提升．我們知道，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，所以Sn可以看成函數(shù)y＝d2x2＋(a1－d2)x(x∈N*)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn)，因此我們可以利用二次函數(shù)來求n的值．
解：由題意知，等差數(shù)列5,427，337，…的公差為－57，
所以Sn＝n2[2×5＋(n－1)(－57)]
＝75n－5n214
＝－514(n－152)2＋112556.
于是，當(dāng)n取與152最接近的整數(shù)7或8時(shí)，Sn取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：我們能否換一個(gè)角度再來思考這個(gè)問題呢？由已知，它的首項(xiàng)為5，公差為－57.因?yàn)樗氖醉?xiàng)為正數(shù)，公差小于零，因而這個(gè)數(shù)列是個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)該數(shù)列的項(xiàng)出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)，則它的前n項(xiàng)的和一定會(huì)開始減小，在這樣的情況下先求出它的通項(xiàng)，求得結(jié)果是an＝a1＋(n－1)d＝－57n＋407.令an＝－57n＋407≤0，得到了n≥8，這樣就可以知道a8＝0，而a9＜0.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7＝S8，從第9項(xiàng)和Sn開始減小，由于a8＝0對(duì)數(shù)列的和不產(chǎn)生影響，所以就可以說這個(gè)等差數(shù)列的前7項(xiàng)或8項(xiàng)的和最大．這就是上節(jié)課留給學(xué)生課后探究的問題．
教師與學(xué)生一起歸納一下這種解法的規(guī)律：
①當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)大于零，公差小于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和Sn有最大值，可通過an≥0，an＋1≤0求得n的值．
②當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)不大于零，公差大于零時(shí)，它的前n項(xiàng)的和Sn有最小值，可以通過an≤0，an＋1≥0求得n的值．
有了這種方法再結(jié)合前面的函數(shù)性質(zhì)的方法，我們求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和的最值問題就可從通項(xiàng)與求和兩個(gè)角度入手解決：
(1)利用an取值的正負(fù)情況來研究數(shù)列的和的變化情況；
(2)利用Sn：由Sn＝d2n2＋(a1－d2)n利用二次函數(shù)求得Sn取最值時(shí)n的值．
變式訓(xùn)練
已知an＝1024＋lg21－n(lg2＝0.3010)，n∈N*.問前多少項(xiàng)之和最大？前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？(讓一位學(xué)生上黑板去板演)
解：(1)an＝1024＋1－nlg2≥0an＋1＝1024－nlg2＜0
?1024lg2＜n≤1024lg2＋1?3401＜n＜3403.所以n＝3402.
(2)Sn＝1024n＋nn－12(－lg2)，當(dāng)Sn＝0或Sn趨近于0時(shí)其絕對(duì)值最小，
令Sn＝0，即1024＋nn－12(－lg2)＝0，得n＝2048lg2＋1≈6804.99.
因?yàn)閚∈N*，所以有n＝6805.

例2等差數(shù)列{an}中，a1＜0，S9＝S12，求該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？
活動(dòng)：寫出前n項(xiàng)和的函數(shù)解析式，再求此式的最值是最直觀的思路．教學(xué)時(shí)，教師充分讓學(xué)生合作討論此題，從不同角度來探究此題的解法，教師只是給予必要的點(diǎn)撥．
解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則由題意，得9a1＋12×9×(9－1)d＝12a1＋12×12×(12－1)d，即3a1＝－30d，
∴d＝－110a1.
又∵a1＜0，∴d＞0.
∴Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12dn2－212dn＝d2(n－212)2－2128d.
∵d＞0，∴Sn有最小值．
又∵n∈N*，∴當(dāng)n＝10或n＝11時(shí)，Sn取最小值．
解法二：由an＝a1＋n－1d≤0，an＋1＝a1＋nd≥0，即1－110n－1≥0，1－110n≤0，
解得10≤n≤11.
∴取n＝10或n＝11時(shí)，Sn取最小值．
解法三：∵S9＝S12，即a1＋a2＋…＋a9＝a1＋a2＋…＋a12，
∴a10＋a11＋a12＝0，即3a11＝0.
又∵a1＜0，∴前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小．
點(diǎn)評(píng)：解完本題后教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)以上三種解法進(jìn)行反思總結(jié)．本題的三種解法從三個(gè)不同的視角說明了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，方法迥異，殊途同歸，由此看出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在簡化運(yùn)算中的作用，其中第一種解法運(yùn)算量偏大，不容易進(jìn)行到底，即便做對(duì)了，所花時(shí)間也較多，要讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這一點(diǎn)．
事實(shí)上，本題還能探究出另一種解法——圖象法．∵S9＝S12，∴Sn的圖象所在的拋物線的對(duì)稱軸為x＝9＋122＝10.5，
又∵a1＜0，∴數(shù)列{an}的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小．
例3(教材本節(jié)例3)
活動(dòng)：本例是教材等差數(shù)列部分的最后一個(gè)例題，目的是讓學(xué)生通過學(xué)到的等差數(shù)列知識(shí)，解決實(shí)際問題．教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，觀察教育儲(chǔ)蓄的規(guī)律．通過分析知李先生的每個(gè)100元的利息依次可組成等差數(shù)列，然后得出算式求解．
點(diǎn)評(píng)：解決本例的關(guān)鍵是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型．
例4已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)由通項(xiàng)公式bn＝Snn＋c構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn}，若{bn}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c.
活動(dòng)：讓學(xué)生自己探究本題(1)，對(duì)(2)教師可引導(dǎo)學(xué)生充分利用等差數(shù)列的特征，可由學(xué)生合作探究，教師僅給予必要的點(diǎn)撥．
解：(1)∵{an}為等差數(shù)列，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝14.
又a2a3＝45，
∴a2，a3是方程x2－14x＋45＝0的兩實(shí)根．
又公差d＞0，∴a2＜a3.∴a2＝5，a3＝9.
∴a1＋d＝5a1＋2d＝9?a1＝1，d＝4.
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝n1＋nn－12×4＝2n2－n，
∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.
∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c.
又{bn}也是等差數(shù)列，即b1＋b3＝2b2.
∴262＋c＝11＋c＋153＋c.
解之，得c＝－12(c＝0舍去)．∴bn＝2n2－nn－12＝2n.
易知{bn}是等差數(shù)列，c＝－12.
例52000年11月14日，教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元．為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？
活動(dòng)：這是一道實(shí)際應(yīng)用題，從題中給出的信息我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的模型，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是500，記為a1，公差為50，記為d，而從2001年到2010年應(yīng)為十年，所以這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.再用公式就可以算出來了．
解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元．
所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}，表示從2001年起各年投入的資金，其中
a1＝500，d＝50.
那么，到2010年(n＝10)投入的資金總額為
S10＝10×500＋10×10－12×50＝7250(萬元)．
答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元．
點(diǎn)評(píng)：反思本例的解題過程，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，用剛學(xué)到的等差數(shù)列求和公式解之．
變式訓(xùn)練
一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？
解：由題意，所鋪瓦片數(shù)成等差數(shù)列．設(shè)所成等差數(shù)列為{an}，則a1＝21，d＝1，n＝19.
由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知：
共鋪瓦片S19＝19×21＋19×182×1＝570(塊)．
答：共鋪瓦片570塊．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為________．
2．在等差數(shù)列{an}中滿足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n＝__________.
答案：
1．4解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有4a1＋4×32×d≥10，即2a1＋3d≥5，
5a1＋5×42×d≤15，即a1＋2d≤3.
所以a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4.
因此a4的最大值為4.
2．9解析：∵3a4＝7a7，
∴d＝－433a1.
又∵a1＞0，d＜0，
∴Sn＝na1＋nn－12d＝－2a133(n－354)2＋1225264a1.
故當(dāng)n＝9時(shí)，Sn最大．
課堂小結(jié)
1．本課的小結(jié)由學(xué)生來完成．首先回顧總結(jié)本節(jié)探究了哪些重要結(jié)論？通過本節(jié)幾個(gè)例題及變式訓(xùn)練的探討，你對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用又拓展了多少？你從中體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？對(duì)你今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)指導(dǎo)？你將本節(jié)所學(xué)知識(shí)納入已有的知識(shí)系統(tǒng)中了嗎？
2．你是怎樣從方程思想的角度來理解等差數(shù)列求和公式的？又是怎樣從等差數(shù)列的性質(zhì)來理解等差數(shù)列的求和公式的？你是怎樣從二次函數(shù)的角度來更加深刻地認(rèn)識(shí)等差數(shù)列求和公式的？它是怎樣與函數(shù)、不等式、方程等內(nèi)容交匯的？重要的是你今天有什么獨(dú)創(chuàng)呢？比如，若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2－3n＋1，則通項(xiàng)an等于多少呢？你得出的答案是an＝0，4n－5，n＝1，n≥2，還是an＝4n－5(n∈N*)呢？請(qǐng)課下思考．
作業(yè)
課本習(xí)題2—2A組12；習(xí)題2—2B組1,2,3.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)的核心是突出學(xué)生的思維訓(xùn)練，這是一條主線，像例2引導(dǎo)學(xué)生探究了3種解法，從中比較了由于視角的不同而表現(xiàn)出的差異，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用．因?yàn)閺慕夥ㄉ峡从械慕夥ǚ彪s，甚至有了思路也不一定解出來，而有的解法確實(shí)太漂亮了，簡潔而流暢．
本教案設(shè)計(jì)突出了方程的思想，所謂方程思想就是指把數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)量關(guān)系用解析式的形式表示出來，再把解析式歸結(jié)為方程，通過解方程的手段或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行研究使問題得以解決．設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程是用方程的思想解數(shù)列問題的重要環(huán)節(jié)．
本教案設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與其他知識(shí)的交匯．我們知道數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用．而對(duì)數(shù)列求和公式的視角又大而廣之，即把數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)，這體現(xiàn)了思維的廣闊性，也使學(xué)生的思維一下子博大而高遠(yuǎn)了，這或許就是數(shù)學(xué)的魅力之所在．
備課資料
一、等差數(shù)列的性質(zhì)探究
等差數(shù)列的內(nèi)容內(nèi)涵豐富，通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是其核心內(nèi)容，我們對(duì)其進(jìn)行合理整合、變形，可以得到諸多的性質(zhì)，它們的應(yīng)用使解題變得輕松愉悅，與常規(guī)方法相比較，過程要簡捷得多．
【性質(zhì)1】已知等差數(shù)列{an}，m、p、q∈N*，若存在實(shí)數(shù)λ使m＝p＋λq1＋λ(λ≠－1)，
則am＝ap＋λaq1＋λ.
證明：由等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝dn＋a1－d的幾何意義：點(diǎn)(p，ap)、(m，am)、(q，aq)共線，由斜率公式得am－apm－p＝aq－amq－m，因?yàn)閙＝p＋λq1＋λ，所以p－mm－q＝λ.
所以λ(am－aq)＝ap－am.所以(1＋λ)am＝ap＋λaq，即am＝ap＋λaq1＋λ.
評(píng)析：特別地，當(dāng)λ＝1時(shí)，2am＝ap＋aq，我們不妨將性質(zhì)1稱為等差數(shù)列的定比分點(diǎn)公式．
【性質(zhì)2】等差數(shù)列{an}，ni，mi∈N*，i＝1,2,3，…，k，若i＝1kni＝i＝1kmi，則i＝1kani＝i＝1kami.
證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.根據(jù)ani＝ami＋(ni－mi)d，i＝1,2,3，…，k，
則i＝1kani＝i＝1kami＋(i＝1kni－i＝1kmi)d＝i＝1kami.所以i＝1kani＝i＝1kami.
推論：等差數(shù)列{an}，ni，m∈N*，i＝1,2,3，…，k，若km＝i＝1kni，則kam＝i＝1kani.
評(píng)析：本性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是等差中項(xiàng)性質(zhì)的推廣．
【性質(zhì)3】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，n，m∈N*，
則Smm－Snn＝12(m－n)d.
證明：因?yàn)镾mm－Snn＝nSm－mSnmn
＝n[ma1＋mm－12d]－m[na1＋nn－12d]mn
＝mna1＋mnm－12d－mna1－mnn－12dmn
＝m2n－mn－mn2＋mn2mnd
＝m2n－mn22mnd
＝mnm－n2mnd
＝12(m－n)d，
所以Smm－Snn＝12(m－n)d.
評(píng)析：實(shí)質(zhì)上數(shù)列{Snn}是公差為d2的等差數(shù)列．
【性質(zhì)4】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，n，m∈N*，則Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
證明：因?yàn)镾m＋n＝Sn＋(an＋1＋an＋2＋…＋an＋m)
＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(am＋nd)
＝Sn＋(a1＋a2＋…＋am)＋mnd
＝Sm＋Sn＋mnd，
所以Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
【性質(zhì)5】等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若m＝p＋q(m、p、q∈N*且p≠q)，
則有Smm＝Sp－Sqp－q.
證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)镾p－Sq＝pa1＋12p(p－1)d－qa1－12q(q－1)d＝(p－q)[a1＋12(p＋q－1)d]，
所以Sp－Sqp－q＝a1＋12(p＋q－1)d.
又因?yàn)镾mm＝a1＋12(m－1)d，且m＝p＋q，
所以有Smm＝Sp－Sqp－q.
推論：等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若m＋t＝p＋q(m、t、p、q∈N*且m≠t，p≠q)，則Sm－Stm－t＝Sp－Sqp－q.
【性質(zhì)6】等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.
(1)當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，S2k＝k(ak＋ak＋1)；
(2)當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，S2k－1＝kak.
二、備用習(xí)題
1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，則n的值為()
A．9B．21C．27D．36
2．過圓x2＋y2＝5內(nèi)一點(diǎn)P(52，32)有n條弦，這n條弦的長度成等差數(shù)列{an}，如果過P點(diǎn)的圓的最短的弦長為a1，最長的弦長為an，且公差d∈(16，13)，那么n的取值集合為…()
A．{5,6,7}B．{4,5,6}C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}
3．如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則()
A．a(chǎn)1a8＞a4a5B．a(chǎn)1a8＜a4a5
C．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5D．a(chǎn)1a8＝a4a5
4．等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若這個(gè)數(shù)列的前40項(xiàng)的和是20m，則m等于()
A．a(chǎn)10＋a30B．a(chǎn)20C．a(chǎn)40＋dD．a(chǎn)15＋a26
5．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3S6＝13，則S6S12等于()
A.310B.13C.18D.19
6．已知正實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則x1x2的取值范圍是__________．
7．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為__________．
8．設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S23＝9S2，S4＝4S2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
參考答案：
1．答案：C
解析：Sn＝na1＋an2＝18，由S3＝1和an＋an－1＋an－2＝3，a1＋a2＋a3＝1，得3(a1＋an)＝4.
∴a1＋an＝43.∴n＝36a1＋an＝3643＝27.
2．答案：A
解析：過點(diǎn)P的最長弦是直徑，最短弦是過點(diǎn)P垂直于這條直徑的弦為23.
∵an＝a1＋(n－1)d，
∴25＝23＋(n－1)d.
n－1＝25－23d，∴d∈(16，13)．
∴3(25－23)＜n－1＜6(25－23)．
∴n＝5,6,7.
3．答案：B
解析：a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2＜0.
4．答案：D
解析：∵S40＝40a1＋a402＝20m，
∴a1＋a40＝m.
而a1＋a40＝a15＋a26，且d≠0，a1≠d，可排除A、B、C.
5．答案：A
解析：設(shè)S3＝m，∵S3S6＝13，
∴S6＝3m.∴S6－S3＝2m.
由等差數(shù)列依次每k項(xiàng)之和仍為等差數(shù)列，得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m.
∴S6S12＝310.
6．答案：(0,7－43)∪(7＋43，＋∞)
解析：∵x1x2＝ca＞0，又2b＝a＋c，b2－4ac＞0，
則(a＋c2)2－4ac＞0，a2＋c2－14ac＞0，ac＋ca－14＞0，
令t＝ca，則t＋1t－14＞0.
t2－14t＋1＞0.解得t∈(0,7－43)∪(7＋43，＋∞)．
7．答案：3
解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
∴S偶－S奇＝5d＝15.
∴d＝3.
8．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由Sn＝na1＋nn－12d及已知條件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)，①
4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②
由②得d＝2a1，代入①，有a21＝49a1，
解得a1＝0或a1＝49.
當(dāng)a1＝0時(shí)，d＝0(舍去)，因此a1＝49，d＝89.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝49＋(n－1)×89＝49(2n－1)．