高中等差數(shù)列教案

高三數(shù)學(xué)教案：《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計。

本文題目： 高三數(shù)學(xué)教案：等差數(shù)列

一、預(yù)習(xí)問題：

1、等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從 起，每一項與它的前一項的差等于同一個 ，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ， 通常用字母 表示。

2、等差中項：若三個數(shù) 組成等差數(shù)列，那么A叫做 與 的 ，

即 或 ?！緒wW.zW5000.cOm 作文5000網(wǎng)】

3、等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差 時，數(shù)列為遞增數(shù)列; 時，數(shù)列為遞減數(shù)列; 時，數(shù)列為常數(shù)列;等差數(shù)列不可能是 。

4、等差數(shù)列的通項公式： 。

5、判斷正誤：

①1，2，3，4，5是等差數(shù)列; ( )

②1，1，2，3，4，5是等差數(shù)列; ( )

③數(shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列; ( )

④數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列; ( )

⑤數(shù)列 是等差數(shù)列; ( )

⑥若 ，則 成等差數(shù)列; ( )

⑦若 ，則數(shù)列 成等差數(shù)列; ( )

⑧等差數(shù)列是相鄰兩項中后項與前項之差等于非零常數(shù)的數(shù)列; ( )

⑨等差數(shù)列的公差是該數(shù)列中任何相鄰兩項的差。 ( )

6、思考：如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列。

二、實戰(zhàn)操作：

例1、(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項.

(2) 是不是等差數(shù)列 中的項?如果是，是第幾項?

(3)已知數(shù)列 的公差 則

例2、已知數(shù)列 的通項公式為 ，其中 為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?

例3、已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為 求這5個數(shù)。

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高三數(shù)學(xué)上冊《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計

高三數(shù)學(xué)上冊《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)5》（北師大版）第一章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用．等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣．同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法．

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識與技能

（1）理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（2）賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程：

（3）會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。

2.過程與方法

在定義的理解和通項公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力和嚴(yán)密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過教師指導(dǎo)下學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好習(xí)慣。

【教學(xué)重點】

①等差數(shù)列的概念；②等差數(shù)列的通項公式

【教學(xué)難點】

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程．

【學(xué)情分析】

我所教學(xué)的學(xué)生是我校高一（7）班的學(xué)生（平行班學(xué)生），經(jīng)過一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展．

【設(shè)計思路】

1．教法

①啟發(fā)引導(dǎo)法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性．

②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學(xué)生的積極性．

③講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點．

2．學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識多元的推導(dǎo)思維方法．

【教學(xué)過程】

一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1．從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么？

2．水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數(shù)列？

3．我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10000元錢，年利率是0．72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數(shù)列？

教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù)．

學(xué)生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（設(shè)置意圖：從實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型．通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究知識的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．

二：觀察歸納，形成定義

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述數(shù)列有什么共同特點？

思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎？

思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言嗎？

教師：引導(dǎo)學(xué)生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學(xué)生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念．

學(xué)生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定．

教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)符號角度理解等差數(shù)列的定義．

（設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性；使學(xué)生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點；一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準(zhǔn)確表達(dá)．）

三：舉一反三，鞏固定義

1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

教師出示題目,學(xué)生思考回答．教師訂正并強(qiáng)調(diào)求公差應(yīng)注意的問題．

注意：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0．

（設(shè)計意圖：強(qiáng)化學(xué)生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用）．

2思考4:設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？

（設(shè)計意圖：強(qiáng)化等差數(shù)列的證明定義法）

四：利用定義，導(dǎo)出通項

1.已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項？

2.已知一個等差數(shù)列｛an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢？

教師出示問題，放手讓學(xué)生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示．根據(jù)學(xué)生在課堂上的具體情況進(jìn)行具體評價、引導(dǎo)，總結(jié)推導(dǎo)方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學(xué)生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法．

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力．學(xué)生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學(xué)生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識．鼓勵學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運算能力）

五：應(yīng)用通項，解決問題

1判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？

2在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項

教師：給出問題，讓學(xué)生自己操練，教師巡視學(xué)生答題情況．

學(xué)生：教師叫學(xué)生代表總結(jié)此類題型的解題思路，教師補(bǔ)充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式

（設(shè)計意圖：主要是熟悉公式,使學(xué)生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系．初步認(rèn)識“基本量法”求解等差數(shù)列問題．）

六：反饋練習(xí)：教材13頁練習(xí)1

七：歸納總結(jié)：

1.一個定義：

等差數(shù)列的定義及定義表達(dá)式

2.一個公式：

等差數(shù)列的通項公式

3.二個應(yīng)用：

定義和通項公式的應(yīng)用

教師：讓學(xué)生思考整理，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后教師給出補(bǔ)充

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生能在新的高度上去重新認(rèn)識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念．）

【設(shè)計反思】

本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣．在探索的過程中，學(xué)生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項公式，強(qiáng)化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．本節(jié)課教學(xué)采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學(xué)生探討解決問題為途徑，以相互補(bǔ)充展開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學(xué)效率．

等差數(shù)列

等差數(shù)列學(xué)案

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。所以你在寫教案時要注意些什么呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“等差數(shù)列學(xué)案”，僅供參考，大家一起來看看吧。

§2等差數(shù)列?
第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式
知能目標(biāo)解讀
1.通過實例，理解等差數(shù)列的概念，并會用等差數(shù)列的概念判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項公式的求法.
3.體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點解決等差數(shù)列問題.
4.掌握等差中項的定義，并能運用它們解決問題.
5.能用等差數(shù)列的知識解決一些實際應(yīng)用問題.
重點難點點撥
重點：等差數(shù)列的概念.
難點：等差數(shù)列的通項公式及其運用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列的定義
（1）關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個方面：
①如果一個數(shù)列，不是從第2項起，而是從第3項起或第4項起，每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
②一個數(shù)列從第2項起，每一項與其前一項的差盡管等于常數(shù)，這個數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因為這些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時，此數(shù)列不是等差數(shù)列.
③求公差時，要注意相鄰兩項相減的順序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).
（2）如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列?
要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需證明對任意正整數(shù)n,an+1-an是同
一個常數(shù)(或an-an-1(n1)是同一個常數(shù)).這里所說的常數(shù)是指一個與n無關(guān)的常數(shù).
注意:判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的定義式：an+1-an=d(d為常數(shù)).若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個特例進(jìn)行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1(n1)不是常數(shù)，而是一個與n有關(guān)的變數(shù)即可.
2.等差數(shù)列的通項公式
（1）通項公式的推導(dǎo)常用方法：
方法一（疊加法）：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三（逐差法）：∵{an}是等差數(shù)列，則有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題的常用方法，應(yīng)注意體會并應(yīng)用.
（2）通項公式的變形公式
在等差數(shù)列{an}中，若m，n∈N+，則an=am+(n-m)d.推導(dǎo)如下：∵對任意的m,n∈N+，在等差數(shù)列中，有
am=a1+(m-1)d①
an=a1+(n-1)d②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：將等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0時)或常數(shù)函數(shù)(d=0時)，其圖像是一條射線上一些間距相等的點，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，d=(n≠m).
（3）通項公式的應(yīng)用
①利用通項公式可以求出首項與公差;
②可以由首項與公差求出等差數(shù)列中的任意一項;
③若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項，可以利用通項公式求出項數(shù).
3.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點，這些點的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.
當(dāng)d0時，{an}為遞增數(shù)列，如圖（甲）所示.
當(dāng)d0時，{an}為遞減數(shù)列，如圖(乙)所示.
當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)列，如圖(丙)所示.
4.等差中項
如果在數(shù)a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，
那么A叫做數(shù)a與b的等差中項.
注意:(1)等差中項A=a,A,b成等差數(shù)列；
(2)若a,b,c成等差數(shù)列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等價的；
(3)用遞推關(guān)系an+1=(an+an+2)給出的數(shù)列是等差數(shù)列，an+1是它的前一項an與后一項an+2的等差中項.
知能自主梳理
1.等差數(shù)列
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的是，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列.
2.等差中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做.
3.等差數(shù)列的判斷方法
（1）要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，只要證明：當(dāng)n≥2時，.
（2）如果an+1=對任意的正整數(shù)n都成立，那么數(shù)列{an}是.
（3）若a,A,b成等差數(shù)列，則A＝.
4.等差數(shù)列的通項公式
等差數(shù)列的通項公式為，它的推廣通項公式為.
5.等差數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)d0時，{an}是數(shù)列；當(dāng)d=0時，{an}是數(shù)列；當(dāng)d0時，{an｝是數(shù)列.
［答案］1.差同一個常數(shù)
2.a與b的等差中項
3.（1）an-an-1=d(常數(shù))(2)等差數(shù)列（3）
4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d
5.遞增常遞減
思路方法技巧
命題方向等差數(shù)列的定義及應(yīng)用
［例1］判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.
（1）an=3n+2；
（2）an=n2+n.
［分析］利用等差數(shù)列定義，看an+1-an是否為常數(shù)即可.
［解析］(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，這個數(shù)列為等差數(shù)列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
［說明］利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看an+1-an得到的結(jié)論是否是一個與n無關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列.至于它到底是一個什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇.
1n=1
變式應(yīng)用1試判斷數(shù)列｛cn｝，cn=是否為等差數(shù)列.
?2n-5n≥2
［解析］∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一個常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義.
∴{cn}不是等差數(shù)列.
命題方向等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用
［例2］已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］利用通項公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d，由等差數(shù)列的通項公式及已知，得
a1+4d=11a1=19
解得.
a1+7d=5d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d===-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
［說明］(1)對于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式先求出a1和d，確定通項，此法也稱為基本量法.
(2)對于解法二，根據(jù)通項公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，進(jìn)一步變形為d=，應(yīng)注意掌握對它的靈活應(yīng)用.
變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列{an}中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數(shù)列中的項.
a10=a1+9d=29
［解析］設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.
令an＝3n-1=91,得n=N+.
∴91不是此數(shù)列中的項.
命題方向等差中項的應(yīng)用
［例3］已知a,b,c成等差數(shù)列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列？
［分析］已知a,b,c成等差數(shù)列，由等差中項的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項.當(dāng)然需用到已知條件a+c=2b.
［解析］因為a,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.
［說明］本題主要考查等差中項的應(yīng)用，如果a,b,c成等差數(shù)列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.
變式應(yīng)用3已知數(shù)列｛xn｝的首項x1=3,通項xn=2np+nq(n∈N＋,p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列.求：p,q的值.
［分析］由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個關(guān)于p,q的等式，結(jié)合x1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.
［解析］由x1=3,得2p+q=3,①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3＋25p+5q=25p+8q,②
由①②得q=1,∴p=1.
［說明］若三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項，這個結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列的實際應(yīng)用
［例4］某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
［解析］由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an,則an-an-1=-20,(n≥2,n∈N＋),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列｛an｝,且首項a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，
由an＝-20n＋2200,解得n11,
即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.
［說明］關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將實際問題數(shù)列化.
變式應(yīng)用42012年將在倫敦舉辦奧運會，倫敦將會有很多的體育場，為了實際效果，體育場的看臺一般呈“輻射狀”.例如，某體育場一角的看臺座位是這樣排列的：第一排有150個座位，從第二排起每一排都比前一排多20個座位，你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎？第10排可坐多少人？
［分析］分析題意知，看臺上的每一排的座位數(shù)組成了一個等差數(shù)列.
［解析］由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個首項為a1=150,公差為d=20的等差數(shù)列，
∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,
則a10=330,即第10排可坐330人.
名師辨誤做答
［例5］已知數(shù)列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
（1）判斷數(shù)列｛an｝是否為等差數(shù)列？說明理由；
（2）求｛an｝的通項公式.
［誤解］（1）∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2(為常數(shù))，
∴｛an｝是等差數(shù)列.
（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.
［辨析］忽視首項與所有項之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類型是初學(xué)者易犯的錯誤.事實上，數(shù)列｛an｝從第2項起，以后各項組成等差數(shù)列，而｛an｝不是等差數(shù)列，an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型.
［正解］（1）當(dāng)n≥3時，an=an-1+2,
即an-an-1=2.
當(dāng)n=2時，a2-a1=0不滿足上式.
∴｛an｝不是等差數(shù)列.
（2）∵a2=1,an=an-1+2(n≥3)，
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
當(dāng)n≥3時，an-an-1=2.
∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不滿足此式.
1(n=1)
∴an=.
2n-3(n≥2)
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.（2011重慶文，1）在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=（）
A.12B.14C.16D.18
［答案］D?
［解析］該題考查等差數(shù)列的通項公式，由其兩項求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.?
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差數(shù)列{an}的通項公式an=3-2n,則它的公差為（）
A.2B.3C.－2D.－3?
［答案］C?
［解析］∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
∴公差為－2，故選C.
3.方程x2-6x+1=0的兩根的等差中項為（）
A.1B.2C.3D.4?
［答案］C
［解析］設(shè)方程x2-6x+1=0的兩根為x1、x2,則x1+x2=6.
∴其等差中項為=3.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a2=3,a4=a2+8,則a6=.?
［答案］19?
［解析］∵a2=3,a4=a2+8,?
a1+d=3a1=-1
∴,解得.
a1+3d=a1+d+8d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差數(shù)列，那么二次函數(shù)y=ax2+2bx+c(a≠0)的圖像與x軸的交點有個.［答案］1或2?
［解析］∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c,?
又Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
三、解答題
6.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通項公式an.?
a1+4d=10a1=－2
［解析］由題意得,解得.
a1+11d=31d=3
∴an=-2+(n-1)×3＝3n-5.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.等差數(shù)列1，-1，-3，-5，…，-89，它的項數(shù)為（）
A.92B.47C.46D.45?
［答案］C
［解析］∵a1=1，d=-1-1=-2,
∴an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,
由-89=-2n+3，得n=46.
2.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（）
A.a1+a8a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5?
［答案］B?
［解析］設(shè)公差為d,則a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知數(shù)列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是它的第（）?
A.12項B.13項C.14項D.15項
［答案］C?
［解析］由3(2n-1)=81,解得n=14.
4.在等差數(shù)列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,則a1等于（）
A.-9B.-8C.-7D.-4
［答案］B
a1+d=-5
［解析］由題意，得，
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.數(shù)列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,則a101的值是（）
A.49B.50C.51D.52
［答案］D
［解析］由2an+1=2an+1得an+1-an=，
∴{an}是等差數(shù)列,首項a1=2,公差d=,
∴an=2+(n-1)=,?
∴a101==52.
6.已知a=,b=,則a,b的等差中項為（）
A.B.C.D.
［答案］A
［解析］===.
7.設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項和為12，前三項積為48，則它的首項為（）?
A.1B.2C.4D.3
［答案］B
a1+a2+a3=12a1+a3=8
［解析］由題設(shè)，,∴a2=4,∴
a1a2a3=48a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的兩根，
又a3＞a1,∴a1=2.
8.{an}是首項為a1=4,公差d=2的等差數(shù)列，如果an=2012,則序號n等于（）
A.1003B.1004C.1005D.1006
［答案］C
［解析］∵a1=4,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,?
∴2n+2=2012,?
∴n=1005.
二、填空題
9.三個數(shù)lg(-),x,lg(+)成等差數(shù)列，則x=.
［答案］0
［解析］由等差中項的運算式得
x==＝0.
10.一個等差數(shù)列的第5項a2=10,且a1+a2+a3=3,則a1=,d=.
［答案］-2,3
a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2
［解析］由題意得,即，∴.
a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=3
11.等差數(shù)列{an}的前三項依次為x，2x+1，4x+2，則它的第5項為.
［答案］4
［解析］∵2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,則a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
12.在數(shù)列{an}中，a1=3，且對于任意大于1的正整數(shù)n，點（,）在直線x-y-=0上，則an=.?
［答案］3n2
［解析］由題意得-=,?
∴數(shù)列{}是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴=n,∴an=3n2.
三、解答題
13.在等差數(shù)列{an}中：
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.?
a1+(5-1)d=-1a1=-5
［解析］(1)由題意知，解得.
a1+(8-1)d=2d=1
a1+a1+(6-1)d=12a1=1
（2）由題意知，解得，
a1+(4-1)d=7，d=2

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
14.已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{xn}的通項由xn=f(xn-1)(n≥2,且n∈N+)確定.
(1)求證：｛｝是等差數(shù)列；
(2)當(dāng)x1=時，求x100.
［解析］(1)xn=f(xn-1)=(n≥2,n∈N+)，
所以==+，
-=(n≥2,n∈N+).
所以｛｝是等差數(shù)列；
(2)由(1)知{}的公差為.
又因為x1=,即＝2.
所以=2+(n-1)×，
=2+(100-1)×=35.
所以x100=.
15.已知等差數(shù)列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求數(shù)列｛an｝的通項公式.
［分析］顯然a6是a5和a7的等差中項，可利用等差中項的定義求解a5和a7，進(jìn)而求an.［解析］設(shè)a5=a6-d,a7=a6+d,?
則由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10a5=1a5＝9
由已知可得，解得或
a5a7=9a7=9a7=1
當(dāng)a5=1時，d=4,?
從而a1=-15,?an=-15+(n-1)×4=4n-19.?
當(dāng)a5=9時，d=-4,從而a1=25.
∴an=25+(n-1)×（-4）＝－4n+29.
所以數(shù)列｛an｝的通項公式為an=4n－19或an=-4n+29.
16.第一屆現(xiàn)代奧運會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運會如因故不能舉行，屆數(shù)照算.?
(1)試寫出由舉行奧運會的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項公式；
(2)2008年北京奧運會是第幾屆？2050年舉行奧運會嗎？
［解析］(1)由題意知，舉行奧運會的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個以1896為首項，4為公差的等差數(shù)列，這個數(shù)列的通項公式為
an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N+).
（2）假設(shè)an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.?
假設(shè)an=2050,2050=1892+4n無正整數(shù)解.
所以2008年北京奧運會是第29屆，2050年不舉行奧運會.
第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)
知能目標(biāo)解讀
1.掌握等差數(shù)列的項與序號的性質(zhì).
2.理解等差數(shù)列的項的對稱性.
3.能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)實際問題.
重點難點點撥
重點：等差數(shù)列的性質(zhì).
難點：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些實際問題.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列的公差與斜率的關(guān)系
（1）一次函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線，斜率k=(x1≠x2).
當(dāng)k=0時，對于常數(shù)函數(shù)f(x)=b,上式仍然成立.
（2）等差數(shù)列｛an｝的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率.
特別地，如果已知等差數(shù)列｛an｝的任意兩項an,am,由an=am+(n-m)d,類比直線方程的斜率公式得d=(m≠n).
2.等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)
若數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則
（1）｛an｝去掉前幾項后余下的項仍組成公差為d的等差數(shù)列；
（2）奇數(shù)項數(shù)列｛a2n-1｝是公差為2d的等差數(shù)列；偶數(shù)項數(shù)列｛a2n｝是公差為2d的等差數(shù)列；
（3）若｛kn｝是等差數(shù)列，則｛akn｝也是等差數(shù)列.
知能自主梳理
1.等差數(shù)列的項與序號的性質(zhì)
（1）兩項關(guān)系
通項公式的推廣：an=am+(m、n∈N+).
(2)多項關(guān)系
項的運算性質(zhì)：
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則=ap+aq.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，則am+an=.
2.等差數(shù)列的項的對稱性
有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和（若有中間項則等于中間項的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a(其中n為奇數(shù)且n≥3).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）若｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：
①｛c+an｝(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；
②｛can｝(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；
③｛ank｝(k∈N+)是公差為的等差數(shù)列.
(2)若｛an｝、｛bn｝分別是公差為d1、d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛pan+qbn｝(p、q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列.
［答案］1.(n-m)dam+an2ap
2.an-1an-k+1
3.dcdkdpd1+qd2
思路方法技巧
命題方向運用等差數(shù)列性質(zhì)an=am+(n-m)d(m、n∈N+)解題
［例1］若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q,aq=p(p≠q)，則ap+q為（）
A.p+qB.0C.-(p+q)D.
［分析］本題可用通項公式求解.
利用關(guān)系式an=am+(n-m)d求解.
利用一次函數(shù)圖像求解.
［答案］B
［解析］解法一：∵ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
a1+(p-1)d=q①
∴?
a1+(q-1)d=p②
①-②，得（p-q）d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①，有a1+(p-1)(-1)=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.∴應(yīng)選B.
解法二：∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+［(p+q-p)］d=q+q(-1)=0.∴應(yīng)選B.
解法三：不妨設(shè)pq，由于等差數(shù)列中，an關(guān)于n的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點，故三點（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共線.設(shè)ap+q=m，由已知，得三點（p,q）,(q,p),(p+q,m)共線（如圖）.
由△ABE∽△BCF，
得=.
∴=.
∴1=.
得m=0，即ap+q=0.∴應(yīng)選B.
［說明］本題采用了三種方法，第一種方法使用的是方程思想，由已知建立了兩個關(guān)于首項a1和公差d的等式，通過解方程組，達(dá)到解題目的.第二種方法使用的是通項公式的推廣形式an=am+(n-m)d.第三種方法使用的是函數(shù)的思想，通過點（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共線求得其解，這也是解決本類問題較簡便的方法.
變式應(yīng)用1已知｛an｝為等差數(shù)列，a15=8,a60=20,求a75.
［解析］解法一：∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,
a1+14d=8?
∴，
a1+59d=20
a1=
解得
d=
∴a75=a1+74d=+74×＝24.
解法二：∵a60=a15+45d,
∴45d=a60-a15=20-8=12,
∴d=.
∴a75=a60+15d=20+15×＝24.
命題方向運用等差數(shù)列性質(zhì)am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q)解題
［例2］在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求數(shù)列的通項公式.
［分析］要求通項公式，需要求出首項a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求解很困難，這樣促使我們轉(zhuǎn)換思路.如果考慮到等差數(shù)列的性質(zhì)，注意到a2+a8=2a5=a3+a7，問題就好解了.
［解析］∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21,
又∵a2+a8=a3+a7=2a5，
∴a3+a7=2a5=6，即a5=3.①
∴a3a7=-7，②
由①、②解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1,
∴a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.
［說明］本題利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，可以使計算過程變簡單，達(dá)到了事半功倍的效果.
變式應(yīng)用2在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,則3a9-a13的值為（）
A.20B.30C.40D.50
［答案］C
［解析］∵a3+a5+a7+a9+a11=100,
又∵a3+a11=a5+a9=2a7,
∴5a7=100,∴a7=20,
∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)
=3a7+6d-a7-6d
=2a7=40.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
［例3］已知四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為-8，求這四個數(shù).
［分析］此題常規(guī)方法是利用已知條件，先求出首項和公差，進(jìn)而求出這四個數(shù).其實,因為這里成等差數(shù)列的四個數(shù)之和已知，故可設(shè)此四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,這樣求解更為方便，但必須注意這時的公差應(yīng)為2d.
［解析］解法一：設(shè)這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),
依題意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,
∴a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,
∴d=1或d=-1.
又知四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，
∴d0,
∴d=1,故所求的四個數(shù)為-2，0，2，4.
解法二：若設(shè)這四個數(shù)為a,a+d,a+2d,a+3d(公差為d)，
依題意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a(bǔ)=1-d代入a(a+3d)=-8,
得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,
化簡得d2=4,∴d=2或-2.
又知四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，∴d0,∴d=2,a=-2.
故所求的四個數(shù)為-2，0，2，4.
［說明］此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：（1）若所給等差數(shù)列為2n(n∈N+)項，則可設(shè)為：a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此數(shù)列的公差為2d.(2)若所給等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(n∈N+)項,則這個數(shù)列可設(shè)為：a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,這個數(shù)列的公差為d.
變式應(yīng)用3已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個數(shù).
［解析］設(shè)這五個數(shù)依次為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由題意，得
5a=5
(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=

a=1
解得
?d2=
a=1
∴
?d=±
故這五個數(shù)為-，，1，，或，，1，，-.
名師辨誤做答
［例4］在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6=.
［誤解］39
∵a2+a3=13,∴a5=a2+a3=13,
∴a4+a5+a6=3a5=39.
［辨析］誤解過程中，a2+a3=a5是錯誤的，在運用等數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則am+an=ap+aq”的過程中，一定要明確條件“m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)”的內(nèi)在含義.
［正解］42
設(shè)公差為d,∵a2+a3=13,
∴2a1+3d=13,又a1=2,∴d=3.
∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知{an}為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于（）
A.4B.5C.6D.7?
［答案］C?
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，∴a2+a8=2a5,
∴2a5=12,∴a5=6.
2.如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=（）
A.14B.21C.28D.35
［答案］C?
［解析］∵a3+a4+a5=12，∴3a4=12,
∴a4=4.
∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.
3.等差數(shù)列｛an｝中，a4+a5=15,a7=12,則a2=（）?
A.3B.-3C.D.-
［答案］A
［解析］∵a4+a5=15,
∴a2+a7=a4+a5=15,
又a7=12.∴a2=3.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a3=7,a5=a2+6，則a6=.?
［答案］13?
［解析］設(shè)公差為d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
5.等差數(shù)列｛an｝中，若a2+a4022=4,則a2012＝.?
［答案］2?
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴2a2012=a2+a4022,
∴a2012===2.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}中，a3=5,a5=9,則a7=（）
A.11B.12C.13D.14?
［答案］C?
［解析］設(shè)公差為d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.
2.在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8=（）
A.45B.75C.180D.300
［答案］C
［解析］由a3+a7=a4+a6=2a5，得
a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
3.下列命題中正確的是（）
A.若a,b,c成等差數(shù)列，則a2,b2,c2成等差數(shù)列
B.若a,b,c成等差數(shù)列，則log2a,log2b,log2c成等差數(shù)列
C.若a,b,c成等差數(shù)列，則a+2，b+2,c+2成等差數(shù)列?
D.若a,b,c成等差數(shù)列，則2a，2b,2c成等差數(shù)列?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等差數(shù)列，?
∴2b=a+c,?
∴2b+4=a+c+4,?
即2（b+2）=(a+2)+(c+2),
∴a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列.
4.已知等差數(shù)列｛an｝中，a7+a9＝16,a4=1，則a12等于（）
A.15B.30C.31D.64
［答案］A
［解析］∵a7+a9=2a8=16,故a8=8.?
在等差數(shù)列{an}中，a4,a8,a12成等差數(shù)列，
所以a12=2a8-a4=16-1=15.
5.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有（）?
A.a1+a1010B.a2+a1000?
C.a3+a100≤0D.a51=0
［答案］D?
［解析］由題設(shè)a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,
∴a51=0.
6.等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，則a3+a6+a9的值為（）
A.30B.27C.24D.21
［答案］B?
［解析］解法一：設(shè)b1=a1+a4+a7=39，b2=a2+a5+a8=33，b3=a3+a6+a9，∵{an}成等差數(shù)列，∴b1,b2,b3成等差數(shù)列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.
解法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則
a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴33=39+3d,?
∴3d=-6,∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27.
7.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37等于（）
A.0B.37C.100D.-37?
［答案］C?
［解析］∵a1+b1=100,a2+b2=100,
∴(a2-a1)+(b2-b1)=0,
設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,則d1+d2=0.
∴a37+b37=a1+36d1+b1+36d2
=a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100.
8.在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為（）
A.14B.15C.16D.17?
［答案］C?
［解析］由題意，得5a8=120,∴a8=24,
∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.
二、填空題
9.在數(shù)列{an}中，a3,a10是方程x2-3x-5=0的兩根，若{an}是等差數(shù)列，則a5+a8=.
［答案］3?
［解析］由題意，得a3+a10=3,
∴a5+a8=a3+a10=3.
10.等差數(shù)列｛an｝中，a2+a3+a10+a11=36,則a6+a7=.
［答案］18
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴a2+a11=a3+a10=a6+a7,
∴a2+a3+a10+a11=2(a6+a7)=36,
∴a6+a7=18.
11.(2012洛陽模擬)已知｛an｝為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則a20=.
［答案］1
［解析］∵a1+a3+a5=105,即3a3=105
∴a3=35,同理a4=33,?
∴d=a4-a3=-2
∴a20=a4+(20-4)d=1.
12.等差數(shù)列{an}中，公差為，且a1+a3+a5+…+a99=60，則a2+a4+a6+…+a100=.
［答案］85
［解析］由等差數(shù)列的定義知
a2+a4+a6+…+a100??
=a1+a3+a5+…+a99+50d
=60+25=85.
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}中，a2+a6+a10=1,求a3+a9.?
［解析］∵a2+a10=2a6,?
∴3a6=1,a6=.?
∴a3+a9=2a6=.
14.已知等差數(shù)列｛an｝的公差是正數(shù)，且a3a7=-12,a4+a6=-4,求｛an｝的通項公式.
［解析］∵a3+a7=a4+a6=-4,又a3a7=-12
∴a3、a7是方程x2+4x-12=0的兩根
而d0,∴a3=-6,a7=2.
a1+2d=-6
∴
a1+6d=2
故a1=-10,d=2,∴an=2n-12.
15.已知數(shù)列｛an｝,an=2n-1,bn=a2n-1.
(1)求｛bn｝的通項公式；
（2）數(shù)列｛bn｝是否為等差數(shù)列？說明理由.?
［解析］∵an=2n-1,bn=a2n-1,
∴b1=a1=1,b2=a3=5,b3＝a5=9，
bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2)由bn=4n-3知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.?
∵bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,?
∴{bn}是首項b1=1,公差為4的等差數(shù)列.
16.有一批影碟機(jī)原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷；買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位購買一批此類影碟機(jī)，問去哪家商場買花費較少.
［解析］設(shè)單位需購買影碟機(jī)n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元，售價依臺數(shù)n成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列為{an}.?
an=780+(n-1)(-20)=800-20n,?
解不等式an≥440即800-20n≥440，得n≥18.?
當(dāng)購買臺數(shù)小于18臺時，每臺售價為800-20n，在臺數(shù)大于等于18臺時，每臺售價為440元.
到乙商場購買，每臺售價為800×75%=600元.?
作差：（800-20n）n-600n=20n（10-n），?
當(dāng)n10時，600n(800-20n)n，?
當(dāng)n=10時，600n=(800-20n)n，?
當(dāng)10n≤18時（800-20n）n600n，?
當(dāng)n18時，440n660n.?
答：當(dāng)購買少于10臺時到乙商場花費較少，當(dāng)購買10臺時到兩商場購買花費相同，當(dāng)購買多于10臺時到甲商場購買花費較少.
第3課時等差數(shù)列的前n項和
知能目標(biāo)解讀
1.理解并掌握等差數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)過程，能夠應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等差數(shù)列的實際問題.
2.體會等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系，能用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決有關(guān)的數(shù)列問題.
3.熟練掌握等差數(shù)列的五個基本量a1,d,n,an,Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個求出其余的兩個.
4.進(jìn)一步熟悉由數(shù)列的前n項和Sn求通項的方法.
重點難點點撥
重點：探索等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法，掌握前n項和公式，會用公式解決一些實際問題.體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.
難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用公式解題時公式的選取.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等差數(shù)列前n項和公式中涉及五個量a1,d,n,an,Sn,已知其中任意三個就可以列方程組求另外兩個（簡稱“知三求二”），它是方程思想在數(shù)列中的體現(xiàn).
2.等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，用的是倒序相加法，要注意體會這種求和方法的適用對象和操作程序，并能用來解決與之類似的求和問題.注意公式Sn=,Sn=na1+d，Sn=nan-d之間可以相互轉(zhuǎn)化.
3.Sn是n的二次函數(shù)，{an}不一定是等差數(shù)列.如果Sn=an2+bn+c，則在c=0時{an}是等差數(shù)列，在c≠0時{an}不是等差數(shù)列；反過來{an}是等差數(shù)列，Sn的表達(dá)式可以寫成Sn=an2+bn的形式，但當(dāng){an}是不為零的常數(shù)列時，Sn=na1是n的一次函數(shù).?
知能自主梳理
1.等差數(shù)列的前n項和公式
若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項為a1,公差為d,則前n項和Sn==.
2.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
（1）等差數(shù)列｛an｝的前k項和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成公差為的等差數(shù)列.
（2）等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,則｛｝也是.
［答案］1.na1+d
2.(1)k2d(2)等差數(shù)列
思路方法技巧
命題方向有關(guān)等差數(shù)列的基本量的運算
［例1］已知等差數(shù)列{an}中，
（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;
（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.
［分析］a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量表示，五個基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.
［解析］(1)∵Sn=n+（-）=-15，
整理，得n2-7n-60=0.
解之得n=12或n=-5(舍去).
∴a12=+(12-1)×（-）=-4.
(2)由Sn===-1022,
解之得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解之得d=-171.
［說明］等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是由通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程（組）求解.這種方法是解決數(shù)列運算的基本方法，在具體求解過程中應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體代換思想的運用.
變式應(yīng)用1在等差數(shù)列｛an｝中，
（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
（2）已知a3+a15=40,求S17.
［解析］（1）∵a6=10,S5=5,
a1+5d=10a1=-5
∴，解得.
?5a1+10d=5d=3
∴a8=a6+2d=16,S8==44.
(2)∵a1+a17=a3+a15,
∴S17===＝340.
命題方向等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
［例2］一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和.
［分析］解答本題可利用前n項和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.
［解析］方法一：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,前n項和為Sn,則
Sn=na1+d.
10a1+d=100①
由已知得
?100a1+d=10②
①×10－②，整理得d=-,
代入①，得a1=.
∴S110=110a1+d
=110×+×（-）
=110（）＝－110.
故此數(shù)列的前110項之和為－110．
方法二：數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,…，S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，前10項和10S10+×D=S100=10D=-22，
∴S110-S100=S10+（11-1）D=100+10×（-22）=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
方法三：設(shè)Sn=an2+bn.
∵S10=100,S100=10,
102a+10b=100a=-
∴，.
1002a+100b=10b=
∴Sn=-n2+n.
∴S110=-×1102+×110=-110.
方法四：∵S100-S10=a11+a12+…+a100
==.
又S100-S10=10-100=-90,
∴a1+a110=-2.
∴S110==-110.
方法五：在等差數(shù)列中，因為點（n,）共線，
所以（10，）,（100，）,（110，）三點共線，
故＝
即＝
∴=10+×(-10)=-1
∴S110=-110.
［說明］比較上述五種解法可以看出，利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題，可以大大減少運算量.
變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且Sm=70，S2m=110,則S3m＝.
［答案］120
［解析］∵{an}為等差數(shù)列，
∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列,
∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,
即2（110-70）＝70+S3m-110，
∴S3m=120.
命題方向等差數(shù)列前n項和的最值問題
［例3］已知數(shù)列{an｝是等差數(shù)列，a1=50,d=-0.6.
(1)從第幾項開始有an0;
(2)求此數(shù)列的前n項和的最大值.
［分析］對于（1）實質(zhì)上是解一個不等式，但要注意n∈N＋；對于（2）實際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律，由于等差數(shù)列中Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以可以用二次函數(shù)的方法處理，也可以由an的變化推測Sn的變化.
［解析］（1）因為a1=50，d=-0.6,
所以an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6≤0，則n≥≈84.3.
由于n∈N＋，故當(dāng)n≥85時，an0，即從第85項起以后各項均小于0.
（2）解法一：因為d=-0.60,a1=500,
由（1）知a840,a850,所以S1S2…S84,且S84S85S86….
所以當(dāng)n=84時，Sn有最大值，即S84=50×84+×(-0.6)=2108.4.
解法二：Sn=50n+×(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+.當(dāng)n取接近于的自然數(shù)，即n=84時，Sn達(dá)到最大值S84=2108.4.
［說明］求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值有兩種方法：
方法一：根據(jù)項的正負(fù)來定.
若a10,d0，則數(shù)列的所有正數(shù)項之和最大；
若a10,d0，則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項之和最小.
方法二：Sn=na1+d=n2+（a1-）n
=(n+)2-
=[n-（-）]2-（-）2.
由二次函數(shù)的最大、最小值知識及n∈N+知，當(dāng)n取最接近（-）的正整數(shù)時，Sn取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（-）的正整數(shù)有時有1個，有時有2個.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列{an｝中，a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
［解析］解法一：利用前n項和公式和二次函數(shù)性質(zhì)，由S17=S9得
25×17+(17-1)d=25×9+(9-1)d,解得d=-2,
∴Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,
∴由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)n=13時，Sn有最大值169.
解法二：同解法一先求出d=-2.因為a1=250,
an=25-2(n-1)≥0n≤13
由，得，
an+1=25-2n≤0n≥12
所以當(dāng)n=13時，Sn有最大值169.
解法三：同解法一先求出d=-2.由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15
=a13+a14,故a13+a14=0.因為d=-20,a10,所以a130,a140,故n=13時，Sn有最大值169.
解法四：同解法一先求出d=-2.由d=-2，得Sn的圖像如圖所示（圖像上一些孤立點），由S17=S9知圖像對稱軸為n==13,所以當(dāng)n=13時，Sn取得最大值169.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列前n項和在實際問題中的應(yīng)用
［例4］有30根水泥電線桿，要運往1000m遠(yuǎn)的地方開始安裝，在1000m處放一根，以后每隔50m放一根，一輛汽車每次只能運三根，如果用一輛汽車完成這項任務(wù)，這輛汽車的行程共多少？
［分析］這是一道等差數(shù)列求和的應(yīng)用題.對于應(yīng)用題首先是根據(jù)問題給出的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，然后解此數(shù)學(xué)問題，最后再回到應(yīng)用問題作出結(jié)論.
［解析］解法1：如圖所示示意圖，假定30根水泥電線桿存放M處.
a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m),
a3=|MC|=1100(m),a6=a3+50×3＝1250(m),
…
a30=a3+150×9（m）.
由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運一次只能到a3,a6,a9,…,a30這些地方，這樣組成公差為150m，首項為1100的等差數(shù)列，令汽車行程為S，則有
S＝2(a3+a6+…+a30)
=2(a3+a3+150×1＋…＋a3+150×9)
＝2（10a3+150××9）＝2（11000＋6750）
＝35.5（km）.
答：這輛汽車行程共有35.5km.
解法2（略解）：根據(jù)題設(shè)和汽車需運送十次，可得一等差數(shù)列｛an｝,其a1=100,d=150,n=10,則S10=10a1+d=7750(m).
所以總共行程為7750×2＋1000×20＝35.5（km）.
解法3（略解）：根據(jù)題意和汽車每次走的路程可構(gòu)成一個等差數(shù)列，其中
a1=(1000+50×2)×2＝2200，a2=(1000+50×5)×2＝2500，
…
d=150×2＝300，項數(shù)共有10項，
∴Sn=10a1+d
=10×2200＋5×9×300＝35.5（km）.
［說明］有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題，應(yīng)首先通過對實際問題的研究，建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實際的答案，一般求解步驟如下：
(1)問題中所涉及的數(shù)列{an}有何特征；
(2)是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和;
(3)列出等式（或方程）求解;
(4)得到問題的答案.
變式應(yīng)用4為了參加5000m長跑比賽,李強(qiáng)給自己制定了10天的訓(xùn)練計劃：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m，李強(qiáng)10天一共要跑多少路程？
［解析］將李強(qiáng)每一天跑的路程記為數(shù)列｛an｝,
則a1=5000m,公差d=400m.
∴S10＝10a1+×d
=10×5000＋45×400＝68000（m）
故李強(qiáng)10天一共要跑的路程為68000m.
名師辨誤做答
［例5］已知兩個等差數(shù)列｛an｝、｛bn｝的前n項和分別為Sn、Tn，且＝(n∈N+),求.
［誤解］由=,
設(shè)Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0.
則a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k,
b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k.
∴==.
［辨析］錯誤的原因是“設(shè)Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0”.這種設(shè)法雖然可以使=成立，但是相對于變量n來說，k是常數(shù)，故Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k是n的一次函數(shù)，與公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為n的二次函數(shù)不符合.
［正解］由于等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn＝an2+bn=an(n+),
設(shè)Sn=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn,
∴a11=S11-S10=(7×11+1)11k-(7×10+1)10k＝148k，
b11=T11-T10=(4×11+27)11k-(4×10+27)10k=111k.
∴==.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a2=2,a8=10,則前9項和S9＝（）?
A.45B.52C.108D.54?
［答案］D?
［解析］∵{an}是等差數(shù)列，
∴a2+a8=a1+a9=2+10=12,?
∴S9==＝54.
2.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前20項和等于（）
A.160B.180C.200D.220?
［答案］B?
［解析］∵{an}是等差數(shù)列，?
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18,
又a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54.?
∴3(a1+a20)=54,?
∴a1+a20=18.?
∴S20==180.
3.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=，S4=20，則S6=（）
A.16B.24C.36D.48
［答案］D
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,?
∵a1=,S4=4×+d=2+6d=20,?
∴d=3,故S6=6×+×3=48,故選D.
二、填空題
4.等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14,其前n項和Sn=100,則n=.?
［答案］10?
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,?
a1+2d+a1+4d=14
由題意，得，解得d=2.
a1=1
又Sn=na1+×d,
∴100=n+×2
解得n=10.
5.等差數(shù)列｛an｝中，S11=2013，則a6=.?
［答案］183?
［解析］∴S11===11a6=2013,
∴a6=183.
三、解答題
6.在等差數(shù)列｛an｝中：已知S7=42,Sn=510，an-3=45,求n.
［解析］S7==7a4=42,∴a4=6.
∴Sn====510.?
∴n=20.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項和S10=（）?
A.138B.135C.95D.23?
［答案］C?
［解析］設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.?
a2+a4=4①
則
a3+a5=10②
②-①得2d=6,∴d=3.?
a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4×3=4,
∴a1=-4,?
S10=10×(-4)+×3=-40+135=95.
故選C.
2.在等差數(shù)列{an}中，a2+4a7+a12=100,則2a3+a15等于（）
A.20B.100C.25D.50?
［答案］D?
［解析］∵a2+a12=2a7,?
∴6a7=100,∴3a7=50.?
又2a3+a15=2(a7-4d)+a7+8d
=3a7=50,故選D.
3.已知一個等差數(shù)列的前四項之和為21，末四項之和為67，前n項和為286，則項數(shù)n為
（）?
A.24B.26C.25D.28
［答案］B
［解析］設(shè)該等差數(shù)列為｛an｝,?
由題意，得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,?
∴4(a1+an)=21+67=88,?
∴a1+an=22.?
∴Sn==11n=286,
∴n=26.
4.(2011江西文，5)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d=-2,Sn為其前n項和，若S10=S11，則a1=（）
A．18B．20C．22D．24?
［答案］B
［解析］本題主要考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及等差數(shù)列通項公式.?
S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×（-2）=0，所以a1=20.
5.已知等差數(shù)列{an}中，a4=9,a7=3,則數(shù)列{an}前n項和的最大值為（）?
A.8B.24C.45D.64?
［答案］D?
［解析］設(shè)等差數(shù)列的公差為d,?
則a7-a4=3d,?
∴3d=-6,d=-2.?
∴a1=a4-3d=9+6=15,?
∴Sn=15n+×(-2)?
=-n2+16n
=-(n-8)2+64,?
∴當(dāng)n=8時，Sn取最大值64.
6.已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（）
A.2B.3C.4D.5
［答案］B
［解析］∵S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15，
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30，
∴S偶-S奇=5d=15,∴d=3.
7.等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)首項a1和d變化時，a2+a8+a11是一個定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（）
A.S7B.S8C.S13D.S15
［答案］C
［解析］由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7為定值，則S13==13a7也為定值，故選C.
8.等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=（）?
A.38B.20C.10D.9
［答案］C?
［解析］由等差數(shù)列的性質(zhì)，得
am-1+am+1＝2am，
∴2am=am2,由題意，得am≠0,∴am=2.
又S2m-1===2(2m-1)=38,
∴m=10.
二、填空題
9.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0,d=,an=3,Sn=,則a1=,n=.
［答案］23
3＝a1+(n-1)×
［解析］由題意，得
＝na1+n×（n-1）×
a1=2
解得.
n=3
10.(2011廣東理，11)等差數(shù)列｛an｝前9項的和等于前4項的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=.
［答案］10
［解析］本題考查等差數(shù)列通項公式、前n項和公式以及基本運算能力.
設(shè)等差數(shù)列公差為d，則an=1+(n-1)d,?
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0，
∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.?
又a4=1+3×(-)=,ak=1+(k-1)d,?
∴+1+(k-1)d=0，d=-代入，得k=10.
11.數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2n2（n∈N+），則an=,此時Sn與nan的大小關(guān)系是.
［答案］-4n+5Sn≥nan
［解析］n=1時，S1=a1=1;?
n≥2時，an=Sn-Sn-1=-4n+5
n=1時，也適合上式，故an=-4n+5.?
Sn-nan=3n-2n2-n(-4n+5)?
=2n2-2n=2n(n-1)≥0,?
故Sn≥nan.
12.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a4=1,S5=10,當(dāng)Sn取最大值時，n的值為.?
［答案］4或5
［解析］由a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得
a1=4,d=-1,?
Sn=4n-=?
=-.?
（n-）2+,?
又∵n∈N+,∴當(dāng)n=4或n=5時，Sn最大.
三、解答題
13.設(shè){an}是等差數(shù)列，前n項和記為Sn，已知a10=30，a20=50.
（1）求通項an;?
（2)若Sn=242，求n.?
［解析］（1）由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組
a1+9d=30
，解得a1=12,d=2,
a1+19d=50
∴an=2n+10.
（2）由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242,
解得n=11或n=-22（舍去）.∴n=11.
14.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S6=36，Sn=324,若Sn-6=144(n6),求數(shù)列的項數(shù)n.
［解析］由題意可知
a1+a2+…+a6=36,①

an+an-1+…+an-5=324-144,②
由①+②，得
（a1+an）+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=216,
∴6(a1+an)=216,∴a1+an=36.
∴Sn==18n=324,∴n=18.
15.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動.甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.?
（1）甲、乙開始運動后幾分鐘第一次相遇？?
（2）如果甲、乙到達(dá)對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運動后幾分鐘第二次相遇？
［解析］（1）設(shè)n分鐘后第一次相遇，依題意得
2n++5n＝70,
整理得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).?
甲、乙第一次相遇是在開始運動后7分鐘.?
(2)設(shè)n分鐘后第二次相遇，依題意，得
2n++5n=3×70，
整理得n2+13n-6×70＝0，
解得n=15,n=-28(舍去).?
甲、乙第二次相遇是在開始運動后15分鐘.
16.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12,S120,S130.
(1)求公差d的取值范圍;?
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大，并說明理由.
［解析］(1)設(shè){an}的首項為a，由已知有
a+2d=12
12a+d0，
13a+d0
24+7d0
將a=12-2d代入兩個不等式，消去a得-d-3.
12+4d0
?S12012a+d0
(2)解法一：由
S13013a+d0
a+d0a+d0
.
a+6d0a70
因為d0，a6=a+5da+d0，可知a1a2…a60a7…，所以S1,S2,…,S12中最大的是S6.
［另法：S12=6(a6+a7)0，S13=13a70，得a6+a70，a70.所以a6-a70.所以S6最大.］
解法二：Sn=na+d=n(12-2d)+n(n-1)d=n2+n，二次函數(shù)y=x2+x的對稱軸方程為x=-=-，由于-d-3，有6-6.5，所以當(dāng)n=6時，S6最大.
第4課時等差數(shù)列的綜合應(yīng)用
知能目標(biāo)解讀
1.進(jìn)一步了解等差數(shù)列的定義，通項公式以及前n項和公式.
2.理解等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)應(yīng)用.
3.掌握等差數(shù)列的前n項和之比問題，以及實際應(yīng)用.
重點難點點撥
重點：熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式解決一些應(yīng)用問題.
難點：會求與等差數(shù)列有關(guān)的一些簡單最值問題.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
an與Sn的關(guān)系
如果已知數(shù)列{an}的前n項和Sn的公式，那么這個數(shù)列也隨之確定：a1=S1,a2=S2-S1，a3=S3-S2，…，其通項公式如下：
S1(n=1)
an=，利用這一公式應(yīng)當(dāng)注意：
Sn-Sn-1(n≥2)
檢驗n=1時，a1=S1是否符合an=Sn-Sn-1(n≥2)的形式.如果符合，則可將a1=S1合并到an=Sn-Sn-1（n≥2）中；如果不符合，則必須采用分段函數(shù)的形式來表示，不能直接用an=Sn-Sn-1.
注意：
已知數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2)，這里常常因為忽略了條件n≥2而出錯.即由an=Sn-Sn-1求得an時的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當(dāng)n=1時，Sn-1=S0，而與前n項和的定義矛盾.可見由此求得的an不一定就是它的通項公式，必須驗證n=1時是否也成立.
知能自主梳理
1.等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)形式
等差數(shù)列的前n項和Sn＝na1+d可以改寫成：Sn＝n2+(a1-)n.當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的函數(shù)，所以可借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來處理等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)問題.
2.等差數(shù)列前n項和的最值
在等差數(shù)列{an}中，a10,d0.則Sn存在最值；a10,d0，則Sn存在最值.
3.等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)
（1）若項數(shù)為2n，則
S偶-S奇＝，＝.
(2)若項數(shù)為2n-1,則
S奇-S偶＝，＝.
［答案］1.二次二次
2.大小
3.(1)nd（2）an
思路方法技巧
命題方向已知Sn求an
［例1］已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+n,求數(shù)列{an}的通項公式an.
S1(n=1)
［分析］利用an與Sn的關(guān)系an=，求解.
Sn-Sn-1(n≥2)
［解析］當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1
=（-n2+n）-［-(n-1)2+(n-1)］
=-3n+104.
當(dāng)n=1時，a1=S1=-+=101滿足上式，
∴an=-3n+104(n∈N+).
［說明］由Sn求通項公式an時，要分n=1和n≥2兩種情況，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示.
變式應(yīng)用1Sn是數(shù)列{an}的前n項和，根據(jù)條件求an.
（1）Sn=2n2+3n＋2；
（2）Sn=3n-1.
［解析］（1）當(dāng)n=1時，a1=S1=7,
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n＋2)-［2(n-1)2+3(n-1)＋2］=4n+1，又a1=7不適合上式，
7（n=1）
∴an=.
4n+1(n≥2)
(2)當(dāng)n=1時，a1=S1=2,
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）
=2×3n-1，顯然a1適合上式，
∴an=2×3n-1(n∈N+).
命題方向求數(shù)列{|an|}的前n項和
［例2］已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=12n-n2,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.
［分析］由Sn＝12n-n2知Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)且n∈N+，可知{an}是等差數(shù)列，可求出an，然后再判斷哪些項為正，哪些項為負(fù)，最后求出Tn.
［解析］當(dāng)n=1時，a1=S1=12-12=11.
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n.
又n=1時適合上式，
∴{an}的通項公式為an=13-2n.
由an=13-2n≥0得n≤，
即當(dāng)1≤n≤6(n∈N+)時，an0,當(dāng)n≥7時，an0.
①當(dāng)1≤n≤6（n∈N+）時，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=12n-n2.
②當(dāng)n≥7(n∈N+)時，
Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn
=2(12×6-62)-［11n+×(-2)］=n2-12n+72.
12n-n2(1≤n≤6,n∈N+)
∴Tn=.
?n2-12n+72(n≥7,n∈N+)
［說明］對于帶絕對值符號的數(shù)列求和問題，應(yīng)先弄清n取什么值時，an0或an0，然后求解.本題的易錯點是：（1）對n在什么范圍內(nèi)取值時，an0或an0的討論.（2）在求Tn時需對n的范圍進(jìn)行分類討論，不能忽略了當(dāng)1≤n≤6時的情況.
變式應(yīng)用2等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn=-5n2+20n，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.
［解析］設(shè)首項為a1，公差為d，則a1=S1=15,
S2=-5×4+40=20.
∴a2=S2-a1=5,
∴d=a2-a1=-10.
∴an=-10n+25.
由an≥0,即-10n+25≥0，得n≤2.5,
又∵n∈N+，∴a1,a2為正，a3,a4,…為負(fù),
∴當(dāng)n≤2時，|an|=an,Sn=-5n2+20n;
當(dāng)n2時，|an|=-an,
∴Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2-a3-a4-…-an=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40.
-5n2+20n（n≤2）
∴Sn=.
5n2-20n+40（n2）
命題方向等差數(shù)列前n項和性質(zhì)
［例3］項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項及項數(shù).
［分析］設(shè)項數(shù)為2n－1，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項為n-1項，由奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的關(guān)系，列式求解.
［解析］設(shè)等差數(shù)列共2n-1項，則奇數(shù)項有n項，偶數(shù)項有n-1項，中間項是第n項，記為an,設(shè)公差為d,
S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1=44
則
S偶＝a2+a4+a6+…+a2n-2=33
∴S奇－S偶＝nan-(n-1)an=an=11
即中間項an=11.
又S2n-1=S奇＋S偶＝77.
∴==77
∴(2n-1)×11＝77，∴2n-1=7.
即數(shù)列的中間項為11，這個數(shù)列共7項.
［說明］等差數(shù)列｛an｝中，公差為d:
①若共有2n項，則S2n=n(an+an+1);
S偶－S奇＝nd;S偶：S奇＝an+1：an.
②若共有2n-1項，則S2n-1=(2n-1)an;
S奇－S偶＝an;S偶：S奇＝（n-1）：n.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列｛an｝中，前12項和為354，前12項中奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為27：32,求公差d.
［解析］解法一：設(shè)這個數(shù)列的首項為a1,公差為d,則12a1+d=354.
=d=5.
S奇＋S偶＝354，S偶＝192，
解法二：
＝S奇＝162.
又S偶－S奇＝6d,∴d=5.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等差數(shù)列的實際應(yīng)用
［例4］從5月1日開始，有一新款服裝投入某商場銷售，5月1日該款服裝銷售出10件，第二天銷售出25件，第三天銷售出40件，以后，每天售出的件數(shù)分別遞增15件，直到5月13日銷售量達(dá)到最大，然后，每天銷售的件數(shù)分別遞減10件.
（1）記該款服裝五月份日銷售量與銷售天數(shù)n的關(guān)系為an，求an；
（2）求五月份的總銷售量；
（3）按規(guī)律，當(dāng)該商場銷售此服裝超過1300件時，社會上就流行，而日銷售量連續(xù)下降，且日銷售量低于100件時，則流行消失，問：該款服裝在社會上流行是否超過10天？說明理由.
［分析］由題意可知：從5月1日到5月13日，服裝日銷售量成遞增的等差數(shù)列；從5月14日到5月31日，服裝日銷售量成遞減的等差數(shù)列.解答本題可先確定an與n的關(guān)系，然后用等差數(shù)列的前n項和公式解決問題.
［解析］（1）依題意，數(shù)列a1,a2,…,a13是首項為10，公差為15的等差數(shù)列.
∴an=15n-5(1≤n≤13)，
a14,a15,a16,…,a31是首項為a14=a13-10=180,公差為-10的等差數(shù)列.
∴an=180+(n-14)(-10)=-10n+320(14≤n≤31)，
15n-5(1≤n≤13，n∈N+)
∴an=.
-10n+320(14≤n≤31，n∈N+)
(2)五月份的總銷售量為+17×180+＝3000（件）.
(3)5月1日至5月13日銷售總數(shù)為==12001300.
∴5月13日前還沒有流行，由-10n+320100得n22,
∴第22天流行結(jié)束，故該服裝在社會流行沒有超過10天.
［說明］數(shù)列應(yīng)用題的解法一般是根據(jù)題設(shè)條件，建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系（即等差數(shù)列模型），然后確定公差、首項、項數(shù)是什么，分清an與Sn,然后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓詈蠡貧w實際.
變式應(yīng)用4某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢？全部付清后，買這40套住房實際花了多少錢？
［解析］因購房時付150萬元，則欠款1000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}.
則a1=50+1000×1%=60,
a2=50+(1000-50)×1%=59.5,
a3=50+(1000-50×2)×1%=59,
a4=50+(1000-50×3)×1%=58.5,
∴an=50+［1000-50(n-1)］×1%
=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N).
∴{an}是以60為首項，-為公差的等差數(shù)列，
∴a10=60-9×=55.5，
a20=60-19×=50.5.
∴S20=×（a1+a20）×20
=10×（60+50.5）=1105.
∴實際共付1105+150=1255萬元.
名師辨誤做答
［例5］已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足關(guān)系式lg(Sn+1)=n+1(n=1,2,…),試求數(shù)列｛an}的通項公式.
［誤解］由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1.
∴an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=910n.
S1,n=1
［辨析］上面解法在運用公式an=時漏掉了n=1時的情況，實際上當(dāng)n=1時，
Sn-Sn-1,n≥2
a1=S1=102-1=99,不適合通項公式an=910n,故應(yīng)分情況討論.
［正解］由lg(Sn+1)=n+1得Sn=10n+1-1,
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n,
當(dāng)n=1時，a1=S1=102-1=99不滿足上式，
99(n=1)?
∴an=.
910n(n≥2)
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}中,前15項之和為S15=90,則a8等于（）
A.6B.C.12D.
［答案］A
［解析］∵S15=a1+a2+…a15=15a8=90,
∴a8=6.
2.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則（）?
A.an=2n-1B.an=2n+1?
C.an=-2n-1D.an=-2n+1?
［答案］A?
［解析］當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2
=n2-n2+2n-1=2n-1,?
當(dāng)n=1時，a1=S1=1滿足上式，?
∴an=2n-1(n∈N+).
3.已知等差數(shù)列共有2n+1項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則an+1等于（）
A.30B.29C.28D.27?
［答案］B?
［解析］∵S奇-S偶=an+1,
∴an+1=29.
二、填空題
4.在等差數(shù)列{an}中，a5+a10=58,a4+a9=50,則它的前10項和為.?
［答案］210?
［解析］解法一：a5+a10=2a1+13d=58,?
a4+a9=2a1+11d=50,∴a1=3,d=4，
∴S10=10×3+×4=210.
解法二：a5+a10=(a1+a10)+4d=58,
a4+a9=(a1+a10)+2d=50,∴a1+a10=42,?
∴S10==210.
5.（2011遼寧文，15）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S2=S6,a4=1,則a5＝.
［答案］-1?
［解析］本題考查了對等差數(shù)列前n項和的理解和應(yīng)用，同時還考查了等差數(shù)列的運算性質(zhì)及考生靈活處理問題的能力.?
∵S2=S6,∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0
又∵a3+a6=a4+a5?
∴S6-S2=2(a4+a5)=0?
∴a4+a5=0?
又∵a4=1,∴a5=-1.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.四個數(shù)成等差數(shù)列，S4=32,a2：a3=1：3,則公差d等于（）
A.8B.16C.4D.0
［答案］A?
［解析］∵a2：a3=1：3，∴=，∴d=-2a1，
又S4=4a1+d=-8a1=32，∴a1=-4，
∴d=8.
2.在等差數(shù)列{an}中，若S12=8S4，且d≠0，則等于（）
A.B.C.2D.
［答案］A?
［解析］由題意，得12a1+×12×11×d
=8（4a1+×4×3×d）,?
∴10a1=9d,?
∴=.
3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9等于（）?
A.63B.45C.36D.27?
［答案］B?
［解析］解法一：∵{an}是等差數(shù)列，∴S3、S6-S3、S9-S6為等差數(shù)列.
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),?
∴S9-S6=2S6-3S3=45.?
解法二：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，令bn=,則{bn}成等差數(shù)列.
由題設(shè)b3==3,b6==6,?
∴b9=2b6-b3=9.?
∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.
4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10,S4=S8,則當(dāng)Sn取得最大值時，n的值為（）
A.5B.6C.7D.8?
［答案］B?
［解析］解法一：∵a10,S4=S8,∴d0,且a1=-d,∴an=-d+(n-1)d=nd-d，
an≥0nd-d≥0
由，得，
an+10(n+1)d-d0
∴5n≤6∴n=6,?
解法二：∵a10,S4=S8,?
∴d0且a5+a6+a7+a8=0，?
∴a6+a7=0,∴a60,a70,∴前六項之和S6取最大值.
5.(2011大綱全國理，4)設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=（）
A.8B.7C.6D.5?
［答案］D
［解析］本小題考查的內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項和公式與通項公式.?
方法一：Sk+2-Sk=［(k+2)×1+×2］-［k×1+×2］=4k+4=24,∴k=5.
方法二：Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=［1+(k+1)×2］+［1+k×2］
=4k+4=24,∴k=5.
6.設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5S6，S6=S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A.d0B.a7=0
C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值.?
［答案］C?
［解析］由S5S6知a60,由S6=S7知a7=0,?
由S7S8知a80,C選項S9S5即a6+a7+a8+a90,∴a7+a80,顯然錯誤.
7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若=a1+a200,且A、B、C三點共線（該直線不過點O），則S200=（）
A.100B.101C.200D.201
［答案］A
［解析］∵=a1+a200，且A、B、C三點共線，
∴a1+a200=1，S200==100.
8.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（）
A.2B.3C.4D.5
［答案］D?
［解析］由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
==
====7+.?
∴當(dāng)n取1、2、3、5、11時，符合條件.
二、填空題
9.2012是等差數(shù)列4，6，8，…中的第項.?
［答案］1005?
［解析］等差數(shù)列4,6,8,…的第n項?
an=4+2(n-1)=2n+2,?
令2012=2n+2,∴n=1005.
10.已知兩個等差數(shù)列{an}、{bn}，它們的前n項和的比為=,則=.
［答案］
［解析］======.
11.設(shè)數(shù)列{an}的通項為an=3n-10(n∈N+)，則|a1|+|a2|+…+|a10|=.
［答案］89?
［解析］|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)
=(1+4+7)+(2+5+8+11+14+17+20)=89.
12.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,若S9=72,則a2+a4+a9=.?
［答案］24
［解析］∵｛an｝是等差數(shù)列，?
由S9=72得，S9＝9a5,∴a5=8
∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4
=(a5+a6)+a4=3a5=24.
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=5n-3,求數(shù)列的通項公式an.?
［解析］∵數(shù)列的前n項和Sn=5n-3,?
∴當(dāng)n=1時，a1=S1=5-3=2,?
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)
=45n-1,
∴a1=S1=2不滿足上式.?
2(n=1)
∴數(shù)列的通項公式an=.
?45n-1?(n≥2)
14.數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=n2-7n-8.
（1）求{an}的通項公式；
（2）求｛|an|｝的前n項和Tn.
［解析］(1)當(dāng)n＝1時，a1=S1=-14;?
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-8,?
-14(n=1)?
故an=.
2n-8(n≥2)
(2)由an=2n-8可知：當(dāng)n≤4時，an≤0,
當(dāng)n≥5時，an0.
∴當(dāng)n≤4時，Tn=-Sn=-n2+7n+8,
當(dāng)n≥5時，Tn=-S4+(Sn-S4)＝Sn-2S4=n2-7n-8-2×(-20)=n2-7n+32,
-n2+7n+8(1≤n≤4)
∴Tn=.
n2-7n+32(n≥5)
15.等差數(shù)列{an}中，a10,S9=S12,則該數(shù)列前多少項的和最?。?br> ［解析］解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由題意得
9a1+×9×8×d=12a1+×12×11×d
即3a1=-30d,∴a1=-10d,?
∵a10,∴d0,?
∴Sn=na1+n(n-1)d=dn2-dn?
=（n-）2-2d.?
∵d0,∴Sn有最小值.
又∵n∈N*,∴n=10或n=11時，Sn取最小值.
解法二：同解法一，由S9=S12，得=-.?

an=a1+(n-1)d≤01-(n-1)≥0
由，得.
an+1=a1+nd≥01-n≤0
解得10≤n≤11.?
∴n取10或11時，Sn取最小值.
解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0,∴3a11=0,
∴a11=0.∵a10,
∴前10項或前11項和最小.
16.已知公差大于零的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足：a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式an;?
(2)若數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且bn＝,求非零常數(shù)c.
［解析］(1){an}為等差數(shù)列，
∵a3+a4=a2+a5=22,?
又a3a4=117,?
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩個根.?
又公差d0,∴a3a4,?
∴a3=9,a4=13.
a1+2d=9a1=1
∴，∴，
a1+3d=13d=4,?
∴an=4n-3.
(2)由（1）知，Sn=n1+4=2n2-n,?
∴bn==,?
∴b1=,b2=,b3=,?
∵{bn}是等差數(shù)列，∴2b2=b1+b3,?
∴2c2+c=0，∴c=-(c=0舍去).
§3等比數(shù)列
第1課時等比數(shù)列的概念及通項公式
知能目標(biāo)解讀
1.理解等比數(shù)列的定義，能夠應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能確定等比數(shù)列的公比.
2.探索并掌握等比數(shù)列的通項公式，能夠應(yīng)用它解決等比數(shù)列的問題.
3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
4.掌握等比中項的定義，能夠應(yīng)用等比中項的定義解決問題.
重點難點點撥
重點：等比數(shù)列的定義和通項公式的應(yīng)用.
難點：等比數(shù)列與指函數(shù)的關(guān)系.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的定義
要正確理解等比數(shù)列的定義，應(yīng)注意以下幾方面：
①由于等比數(shù)列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能為0.
②“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.
③均為同一常數(shù)，即比值相等，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時還要注意公比是每一項與其前一項之比，防止前后次序顛倒.
④如果一個數(shù)列不是從第2項起而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列.這時可以說此數(shù)列從第2項起或從第3項起是一個等比數(shù)列.
⑤如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比盡管是一個與n無關(guān)的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時此數(shù)列不是等比數(shù)列.
⑥常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列.當(dāng)常數(shù)列各項不為0時，它是等比數(shù)列，且公比q=1.
注意：
(1)由等比數(shù)列的定義知，要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對任意n∈N+，是一個常數(shù)或證明對任意n∈N+且n≥2，是一個常數(shù)，這時所說的常數(shù)是指一個與n無關(guān)的常數(shù).
(2)要證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列，可證明或(n≥2)不是一個常數(shù)，也可以采用舉反例的方法，舉一個反例即可.
2.等比數(shù)列的通項公式
（1）等比數(shù)列的通項公式：首項為a1,公比為q的等比數(shù)列的通項公式是an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
（2）等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)
教材上是采用的不完全歸納法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn-1.除此之外，還可以用如下方法推導(dǎo).
方法1：累積法：因為=q,=q,…=q，=q,
將這n-1個式子相乘得=qn-1,所以an=a1qn-1.
方法2：迭代法：根據(jù)等比數(shù)列的定義有an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2=a1qn-1.
（3）通項公式中的基本量：通項公式中涉及的基本量有：a1,q,n,an，知道其中的三個，可以求出第四個量，即“知三求一”問題.
注意：
由等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1可知，要寫出其通項，必須知道a1和q，因此要確定通
項公式，需兩個獨立的條件.
（4）等比數(shù)列通項公式的變形形式：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對任意的m,n∈N+，有an=amqn-m.
∵an=a1qn-1①
am=a1qm-1②
由①÷②得==qn-m，∴an=amqn-m.
這里的an=amqn-m可以看成是通項公式的另一種形式.
注意：
在已知a1和q的前提下，利用通項公式an=a1qn-1可以求出等比數(shù)列中的任意一項;在已知等比數(shù)列任意兩項的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項.
（5）用函數(shù)的觀點看等比數(shù)列的通項
等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1，可以改寫為an=qn.當(dāng)q0，且q≠1時，y=qx是一個指數(shù)函數(shù)，而y=qx是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列{an}的圖像是函數(shù)y=qx的圖像上的一群孤立的點.
例如，當(dāng)a1=1，q=2時，an=2n，表示這個數(shù)列各項的點就都在函數(shù)y=2x的圖像上，如下圖所示：
3.等比中項
(1)在a,b同號時，a,b的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)；在a,b異號時，沒有等比中項.
(2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起（有窮數(shù)列的末項除外）每一項都是它的前一項與后一項的等比中項.
(3)若a,b,c成等比數(shù)列，則b2=ac;反過來，若b2=ac，則a,b,c不一定成等比數(shù)列，如a=b=0.
特別地，若a,b,c均不為零時，則a,b,c成等比數(shù)列b2=ac.
(4)注意a,b,c成等比數(shù)列與b=是不等價的.?
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從起，每一項與它的前一項的比都等于，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的，公比通常用字母表示.
2.等比數(shù)列的遞推公式與通項公式
已知等比數(shù)列｛an｝的首項為a1,公比為q(q≠0),
填表：
遞推公式通項公式
=q(n≥2)

an=
3.等比中項
（1）如果三個數(shù)x,G,y組成，則G叫做x和y的等比中項.
（2）如果G是x和y的等比中項，那么,即.
［答案］1.第2項同一個常數(shù)公比q
2.a1qn-1
3.等比數(shù)列G2=xyG=±
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列的判斷
［例1］已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2an+1,求證：｛an｝是等比數(shù)列，并求出通項公式.
［分析］要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看an與an-1之比是否為一個常數(shù)，由題設(shè)還須利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求得an.
［證明］∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.
∴an+1=2an.①
又∵S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0.
由①式可知，an≠0,
∴由=2知｛an｝是等比數(shù)列，an=-2n-1.
［說明］(1)本題證明，關(guān)鍵是用等比數(shù)列的定義，其中說明an≠0是非常重要的.證明中，也可以寫出Sn-1=2an-1+1,從而得到an=2an-1,只能得到n≥2時，｛an｝是等比數(shù)列，得到n≥2時，an=-2n-1,再將n=1代入，驗證a1=-1也滿足通項公式的要求.
（2）判斷一個數(shù)列是否是等比數(shù)列的常用方法是：
①定義法
=q(q為常數(shù)且不為零){an}為等比數(shù)列.
②等比中項法
an+12=anan+2(n∈N+且an≠0){an}為等比數(shù)列.
③通項公式法
an=a1qn-1(a1≠0且q≠0){an}為等比數(shù)列.
變式應(yīng)用1判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列.
(1)1,3,32,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
［解析］（1）此數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為3.
(2)此數(shù)列不是等比數(shù)列.
(3)當(dāng)a=0時，數(shù)列為0,0,0,…,是常數(shù)列，不是等比數(shù)列；當(dāng)a≠0時，數(shù)列為a1,a2,a3,a4,…,an,…,顯然此數(shù)列為等比數(shù)列且公比為a.
命題方向等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用
［例2］在等比數(shù)列｛an｝中，已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.
［分析］本題可以列關(guān)于a1,q的方程組入手，解出a1與q,然后再求an.
［解析］設(shè)等比數(shù)列｛an｝的首項為a1,公比為q,
a5-a1=a1q4-a1=15①?
因為
a4-a2=a1q3-a1q=6②
由得q=或q=2.
當(dāng)q=時，a1=-16.
當(dāng)q=2時，a1=1,
∴an=-16×（）n-1或an=2n-1.
［說明］首項和公比是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，其他量便可迎刃而解.此類問題求解的通法是根據(jù)條件，建立關(guān)于首項和公比的方程組，求出首項和公比.
變式應(yīng)用2已知等比數(shù)列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
a1q+a1q4=18a1=32
［解析］解法一：由題意得，解得.
a1q2+a1q5=9q=
∴an=a1qn-1=32（）n-1=1,
∴26-n=20,∴n=6.
解法二：∵a3+a6=q(a2+a5),
∴q=,又∵a1q+a1q4=18,
∴a1=32,
∴an=a1qn-1=32×（）n-1=1,
解得n=6.
命題方向等比中項的應(yīng)用
［例3］等比數(shù)列｛an｝的前三項的和為168，a2-a5=42,求a5,a7的等比中項.
［分析］設(shè)出首項和公比→由題意列方程組→解方程組求q→求a1→求等比中項.
［解析］設(shè)該等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,因為a2-a5=42,所以q≠1,由已知，得

a1+a1q+a1q2=168a1（1+q+q2）=168
，所以，
a1q-a1q4=42a1q(1-q3)=42
因為1-q3=(1-q)(1+q+q2),
所以由②除以①，得q(1-q)=.
所以q=.
所以a1==96.
若G是a5,a7的等比中項，則應(yīng)有G2＝a5a7=a1q4a1q6=a12q10=962×（）10=9.
所以a5,a7的等比中項是±3.
［說明］由等比中項的定義可知：=G2=abG=±.這表明：只有同號的兩項才有等比中項，并且這兩項的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù).異號的兩數(shù)沒有等比中項.反之，若G2＝ab(ab≠0),則=,即a,G,b成等比數(shù)列.所以a,G,b成等比數(shù)列G2=ab(ab≠0).
變式應(yīng)用3若a,2a+2,3a+3成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值.
［解析］因為a,2a+2,3a+3成等比數(shù)列，
所以（2a+2）2=a(3a+3).
解得a=-1或a=-4.
因為當(dāng)a=-1時，2a＋2，3a+3均為0，故應(yīng)舍去.
故a的值為－4.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列的實際應(yīng)用
［例4］據(jù)《中國青年報》2004年11月9日報導(dǎo)，衛(wèi)生部艾滋病防治專家徐天民指出：前我國艾滋病的流行趨勢處于世界第14位，在亞洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在遞增，我國已經(jīng)處于艾滋病暴發(fā)流行的前沿，我國政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我國艾滋病感染者至少有80萬人，若不采取任何防治措施，則至少
到公元年后，我國艾滋病毒感染者將超過1000萬人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451)
［答案］2012
［解析］設(shè)x年后我國艾滋病毒感染者人數(shù)將達(dá)到1000萬人，則80(1+40%)x=1000,
即（）x=，
∴l(xiāng)g（）x=lg,
∴x===
==≈7.51(年).
故8年后，即公元2012年后，我國艾滋病毒感染者人數(shù)將超過1000萬人.
名師辨誤做答
［例5］在等比數(shù)列{an}中，a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個根，試求a7.
［誤解］∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個根，
a5+a9=
∴
a5a9=1
又∵a7是a5、a9的等比中項，∴a72=a5a9=1，即a7=±1.
［辨析］上述解法忽視了對a7的符號的討論，由于a5、a9均為正數(shù)且公比為q=±=±，所以不論q取正還是取負(fù)，a7始終與a5和a9的符號相同.
［正解］∵a5、a9是方程7x2-18x+7=0的兩個根，
a5+a9=0
∴，
a5a9=10
∴a50,a90,
又∵a7是a5、a9的等比中項，
∴a72=a5a9=1.
又a7與a5、a9的符號相同，
∴a7=1.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.若等比數(shù)列的首項為，末項為，公比為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（）
A.3B.4C.5D.6
［答案］B
［解析］∵（）n-1=,?∴（）n-1==（）3,∴n=4.
2.若{an}為等比數(shù)列，且2a4=a6-a5，則公比是（）
A.0B.1或-2C.-1或2D.-1或-2
［答案］C
［解析］由2a4=a6-a5，得2a1q3=a1q5-a1q4.
∵a1≠0,q≠0，
∴q2-q-2=0,∴q=-1或2.
3.等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2a6等于（）
A.4B.8C.16D.32
［答案］C
［解析］∵a2a6=a42=16,故選C.
二、填空題
4.2+與2-的等比中項為.
［答案］±1
［解析］設(shè)2+與2-的等比中項為G，則G2＝（2+）（2-）＝1，
∴G＝±1.
5.下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是.?
①1,-2,4,-8;②-,2,-2,4;③x,x2,x3,x4;④a-1,a-2,a-3,a-4.
［答案］①②④
［解析］由等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷，①組的公比為－2；②組的公比為－;③組中當(dāng)x=0時，不成等比，當(dāng)x≠0時為等比數(shù)列，④組的公比為a-1.
三、解答題
6.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1=,a7=27,求an.
［解析］由a7=a1q6,得27＝q6，?
∴q6=272=36,∴q=±3.?
當(dāng)q=3時，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;?
當(dāng)q=-3時，an=a1qn-1=×（-3）n-1＝－（-3）-3（-3）n-1＝－（-3）n-4.?
故an=3n-4或an=-(-3)n-4.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.已知等比數(shù)列｛an｝中，a1=32,公比q=-,則a6等于（）?
A.1B.-1C.2D.
［答案］B
［解析］a6=a1q5=32×（－）5=-1,故選B.
2.已知等比數(shù)列{an}中，a2011=a2013=-1,則a2012=（）?
A.-1B.1C.1或－1D.以上都不對?
［答案］C?
［解析］∵a2011,a2012,a2013成等比數(shù)列，
∴a22012=a2011a2012=1,?
∴a2012=1或-1.
3.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3，a2+a3=6，則a7=（）
A.64B.81C.128D.243?
［答案］A
［解析］∵{an}是等比數(shù)列，a1+a2=3,a2+a3=6,?
∴設(shè)等比數(shù)列的公比為q，?
則a2+a3=（a1+a2）q=3q=6，
∴q=2.?
∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,
∴a1=1,?
∴a7=a1q6=26=64.
4.已知a,b,c成等比數(shù)列，則方程ax2+bx+c=0的根的情況為（）
A.有兩個不等實根B.有兩個相等實根
C.只有一個實根D.無實根?
［答案］D?
［解析］∵a,b,c成等比，∴b2=ac,且b≠0.?
∴Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b20,?
故方程ax2+bx+c=0無實根.
5.在等比數(shù)列｛an｝中，a5a6a7＝3，a6a7a8=24,則a7a8a9的值等于（）
A.48B.72C.144D.192
［答案］D
［解析］設(shè)公比為q,則a6a7a8=a5a6a7q3,?
∴q3==8.?
又a7a8a9=a6a7a8q3=24×8＝192.
6.已知a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=x2-2x+3的頂點是(b,c)，則ad等于（）?
A.3B.2C.1D.-2
［答案］B?
［解析］∵曲線y=x2-2x+3=(x-1)2+2,?
∴曲線的頂點為（1，2），?
∴b=1,c=2,又∵a,b,c,d成等比數(shù)列，∴ad=bc=2.
7.已知lga,lgb,lgc三數(shù)成等差數(shù)列，則（）?
A.a+b=2cB.b=±
C.a+c=2bD.a、b、c成等比數(shù)列
［答案］D
［解析］由題意，知a0,b0,c0,?
且2lgb=lga+lgc,
∴b2=ac,故選D.
8.在等比數(shù)列{an}中，若a2a8=36,a3+a7=15,則公比為（）
A.,B.±
C.±D.±,±
［答案］D?

a3a7=a2a8=36a7=12a7=3
［解析］因為，所以，或
a3+a7=15a3=3a3=12
所以q4=4或q4=，所以q=±,或q=±.
二、填空題
9.在等比數(shù)列{an}中，a2=3,a8=24,則a5=.?
［答案］±6
［解析］∵a2=3,a8=24,且｛an｝為等比數(shù)列
∴a2a8=a25=3×24＝72
∴a5=±6.
10.若a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，公比為2，則的值為.?
［答案］
［解析］由題意，得a2=2a1,a3=4a1,?
a4=8a1,∴==.
11.(2012蘇州高二檢測)在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1=9,q=-,an=,則n=.
［答案］5
［解析］由題意知，an=a1qn-1,?
即=9×（-）n-1,?
∴n=5.
12.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的任何一項都等于它后面相鄰兩項的和，則該數(shù)列的公比q=.
［答案］
［解析］設(shè)該正項等比數(shù)列為｛an｝,公比為q,由題意，得
an=an+1+an+2=anq+anq2,?
∴q2+q-1=0,
∵q0,∴q=.
三、解答題
13.在等比數(shù)列｛an｝中，a2=4,a5=-,求an.?
［解析］由已知，有a2=4,a5=-.
a1q=4,
由，得a1=-8,q=-.
?a1q4=-
∴an=(-8)×（-）n-1，即an=(-1)n.
14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=(an-1)(n∈N+)
(1)求a1,a2;?
(2)求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.
［解析］(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),
∴a1=-.
又S2=(a2-1),即
a1+a2=(a2-1),得a2=.?
(2)證明：當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1
=(an-1)-(an-1-1),
得=-,?
所以｛an｝是首項為－,公比為－的等比數(shù)列.
15.培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？
［解析］由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列，記為{an}，其中a1=120,q=120,因此，a5=120×1204≈2.5×1010.
答：到第五代大約可以得到種子2.5×1010粒.
16.三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列，又這三個數(shù)的和為6，求這三個數(shù).
［解析］由已知，設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d,?
∴a-d+a+a+d=6.?
∴a=2,這三個數(shù)為2-d,2,2+d.?
若2-d為等比中項，則有（2-d）2=2(2+d),?
解得d=6,或d=0（舍去），此時三數(shù)為-4,2,8.?
若2+d是等比中項，則有（2+d）2=2(2-d),?
解得d=-6,或d=0(舍去)，此時三個數(shù)為8，2，-4.
若2為等比中項，則22=(2+d)(2-d),?
∴d=0（舍去）.?
綜上可知，三數(shù)為-4，2，8.

高三數(shù)學(xué)《等差數(shù)列》知識點匯總

高三數(shù)學(xué)《等差數(shù)列》知識點匯總

1.定義：如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。同樣為數(shù)列的等比數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列也有相通之處。

2.數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的前n項和S可以寫成S=an^2+bn的形式(其中a、b為常數(shù))。

3.性質(zhì)1：公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd。

4.性質(zhì)2：公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d。

5.性質(zhì)3：當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大;當(dāng)d0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減小;d=0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)。

【同步練習(xí)題】

1.在等差數(shù)列{an}中，a1=21，a7=18，則公差d=()

A.12B.13

C.-12D.-13

解析：選C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18，∴d=-12.

2.在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a6=17，則a14=()

A.45B.41

C.39D.37

解析：選B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17，解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41.

3.已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*，點Pn(n，an)都在直線y=2x+1上，則{an}為()

A.公差為2的等差數(shù)列B.公差為1的等差數(shù)列

C.公差為-2的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列

解析：選A.an=2n+1，∴an+1-an=2，應(yīng)選A.

4.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是()

A.2B.3

C.6D.9

解析：選B.由題意得m+2n=82m+n=10，∴m+n=6，

∴m、n的等差中項為3.

5.下面數(shù)列中，是等差數(shù)列的有()

①4,5,6,7,8，…②3,0，-3,0，-6，…③0,0,0,0，…

④110，210，310，410，…

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C.利用等差數(shù)列的定義驗證可知①、③、④是等差數(shù)列.

6.數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項為-2，公差為4的等差數(shù)列.若an=bn，則n的值為()

A.4B.5

C.6D.7

解析：選B.an=2+(n-1)×3=3n-1，

bn=-2+(n-1)×4=4n-6，令an=bn得3n-1=4n-6，∴n=5.