小學(xué)三角形教案

第1章解三角形復(fù)習(xí)教案。

教學(xué)設(shè)計(jì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
首先了解新課標(biāo)對(duì)本章的定位．解三角形作為三角系列的最后一章，突出了基礎(chǔ)性、選擇性與時(shí)代性．本章重在研究三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系，如正弦定理、余弦定理等．正弦定理、余弦定理更深刻地反映了三角形的度量本質(zhì)，成為解三角形的主要工具．
本章的數(shù)學(xué)思想方法是一條看不見(jiàn)的暗線，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓．在初中，教科書(shū)著重從空間形式定性地討論三角形中線段與角之間的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，從而較清晰地解決了三角形的確定性問(wèn)題．本章對(duì)兩個(gè)定理的推導(dǎo)引入中十分強(qiáng)調(diào)這一量化思想方法，并選擇了更有教育價(jià)值的正弦定理和余弦定理的證明方法．本章中融合了學(xué)生已學(xué)過(guò)的大部分幾何知識(shí)，將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)處理，突出幾何背景，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)．
三維目標(biāo)
1．熟練掌握三角形中的邊角關(guān)系．
2．通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求對(duì)全章有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，熟練掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實(shí)際問(wèn)題向解斜三角形類型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力．
3．注重思維引導(dǎo)及方法提煉，展現(xiàn)學(xué)生的主體作用，關(guān)注情感的積極體驗(yàn)，加強(qiáng)題后反思環(huán)節(jié)，提升習(xí)題效率，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的熱情、興趣和信心．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：掌握正、余弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程并且能用它們解斜三角形．
教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并正確地解出這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
(直接引入)本節(jié)課我們將對(duì)全章的知識(shí)、方法進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)；系統(tǒng)掌握解三角形的方法與技巧．由此展開(kāi)新課的探究．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1本章我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容？請(qǐng)畫(huà)出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些應(yīng)用？
3在解三角形時(shí)應(yīng)用兩個(gè)定理要注意些什么問(wèn)題？若求一個(gè)三角形的角時(shí)，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎樣選擇較好？
4本章中解三角形的知識(shí)主要應(yīng)用于怎樣的一些問(wèn)題？
5總結(jié)從初中到高中測(cè)量河流寬度和物體高度的方法.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出本章知識(shí)框圖，教師打出課件演示：
從圖中我們很清晰地看出本章我們學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理以及應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形，由于本章內(nèi)容實(shí)踐性很強(qiáng)，之后又重點(diǎn)研究了兩個(gè)定理在測(cè)量距離、高度、角度等問(wèn)題中的一些應(yīng)用．教師與學(xué)生一起回憶正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及應(yīng)用如下：
正弦定理、余弦定理：
asinA＝bsinB＝csinC，
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
正弦定理、余弦定理的應(yīng)用：
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題．
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)．
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題．
①已知三邊，求三個(gè)角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．
在求解一個(gè)三角形時(shí)，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要盡量選擇運(yùn)算量較小，不產(chǎn)生討論的方法求解．若求邊，盡量用正弦定理；若求角，盡量用余弦定理．
除了正弦定理、余弦定理外，我們還學(xué)習(xí)了三角形面積公式S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，利用它我們可以解決已知兩邊及其夾角求三角形的面積．
教師利用多媒體投影演示課件如下：

解斜三角形時(shí)可用的
定理和公式適用類型備注
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝b2＋a2－2bacosC(1)已知三邊
(2)已知兩邊及其夾角類型(1)(2)有解時(shí)只有一解
正弦定理
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
(3)已知兩角和一邊
(4)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解和無(wú)解
三角形面積公式
S＝12bcsinA
＝12acsinB
＝12absinC
(5)已知兩邊及其夾角

教師點(diǎn)撥學(xué)生，以上這些知識(shí)與初中的邊角關(guān)系、勾股定理等內(nèi)容構(gòu)成三角形內(nèi)容的有機(jī)整體．實(shí)際上，正弦定理只是初中“三角形中大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系的量化．余弦定理是初中“已知兩邊及其夾角，則這兩個(gè)三角形全等”的量化，又是勾股定理的推廣．本章的應(yīng)用舉例也是在初中學(xué)習(xí)的一些簡(jiǎn)單測(cè)量的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了正弦定理、余弦定理解關(guān)于斜三角形的問(wèn)題．
在應(yīng)用兩個(gè)定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：
①在利用正弦定理求角時(shí)，由于正弦函數(shù)在(0，π)內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào)，所以角的個(gè)數(shù)可能不唯一，這時(shí)應(yīng)注意借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解，不多解．
②在運(yùn)用正弦定理與余弦定理進(jìn)行有關(guān)三角形內(nèi)角證明時(shí)，余弦定理會(huì)省去取舍的麻煩，但同時(shí)要注意在根據(jù)三角函數(shù)求角時(shí)，應(yīng)先確定其范圍．
③在進(jìn)行邊角，角邊轉(zhuǎn)換時(shí)，注意運(yùn)用正弦定理和余弦定理的變形形式．
討論結(jié)果：
(1)、(2)、(5)略．
(3)在應(yīng)用兩個(gè)定理求解時(shí)，注意與平面幾何知識(shí)的融合．若求解一個(gè)三角形時(shí)兩個(gè)定理都可用，則求邊宜選正弦定理，求角宜選余弦定理，但要具體問(wèn)題具體分析，從中選擇最優(yōu)解法．
(4)本章知識(shí)主要應(yīng)用測(cè)量、航海、建筑等在日常生活中與三角形有關(guān)的問(wèn)題．
應(yīng)用示例
例1判斷滿足下列條件的三角形形狀．
(1)acosA＝bcosB；
(2)sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB.
活動(dòng)：教師與學(xué)生一起探究判定三角形形狀的方法有哪些．學(xué)生思考后可得出確定三角形的形狀主要有兩條途徑：(1)化邊為角，(2)化角為邊．鼓勵(lì)學(xué)生盡量一題多解，比較各種解法的優(yōu)劣．
解：(1)方法一：用余弦定理，得a×b2＋c2－a22bc＝b×c2＋a2－b22ca.
∴c2(a2－b2)＝a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)．
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴三角形是等腰三角形或直角三角形．
方法二：用正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
因此三角形為等腰三角形或直角三角形．
(2)方法一：先用正弦定理，可得c＝a＋bcosA＋cosB，即ccosA＋ccosB＝a＋b.
再用余弦定理，得cb2＋c2－a22bc＋ca2＋c2－b22ac＝a＋b.
化簡(jiǎn)并整理，得a3＋b3＋a2b＋ab2－ac2－bc2＝0，
(a＋b)(a2＋b2－c2)＝0.
∵a＞0，b＞0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
∴三角形為直角三角形．
方法二：∵sinA＝sin(B＋C)，sinB＝sin(A＋C)，
∴原式可化為sinCcosA＋cosBsinC
＝sinA＋sinB＝sin(B＋C)＋sin(A＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC＋sinAcosC＋cosAsinC.
∴sinBcosC＋sinAcosC＝0，
即cosC(sinA＋sinB)＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴sinA＋sinB≠0.∴cosC＝0.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.∴三角形為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：第(1)題中的第2種解法得出sin2A＝sin2B時(shí)，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.這樣就漏掉了一種情況，因?yàn)閟in2A＝sin2B中有可能推出2A與2B兩角互補(bǔ)，這點(diǎn)應(yīng)引起學(xué)生注意．第(2)題中繞開(kāi)正、余弦定理通過(guò)三角函數(shù)值的符號(hào)判定也是一種不錯(cuò)的選擇，但學(xué)生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)等常見(jiàn)結(jié)論對(duì)解三角形大有益處．
變式訓(xùn)練
△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c.若a＝52b，A＝2B，則cosB等于()
A.53B.54C.55D.56
答案：B
解析：由題意得ab＝52＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，cosB＝54.

例2在△ABC中，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，求tanC的值．
活動(dòng)：本題涉及三角形的面積，面積公式又是以三角形的三邊a、b、c的形式給出，從哪里入手考慮呢？教師可先讓學(xué)生自己探究，學(xué)生可能會(huì)想到將三角形面積公式代入已知條件，但三角形面積公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA有三個(gè)，代入哪一個(gè)呢？且代入以后的下一步方向又是什么呢？顯然思路不明．這時(shí)教師適時(shí)點(diǎn)撥可否化簡(jiǎn)等式右邊呢？這樣右邊為(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，這就出現(xiàn)了目標(biāo)角C，思路逐漸明朗，由此得到題目解法．
解：由已知，得(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab
＝2abcosC＋2ab＝2×12absinC.
∴2(1＋cosC)＝sinC，
2×2cos2C2＝2sinC2cosC2.
∵0°＜C＜180°，∴0°＜C2＜90°，即cosC2≠0.
∴tanC2＝2.∴tanC＝2tanC21－tan2C2＝41－4＝－43.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)本題的探究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到拿到題目后不能盲目下手，應(yīng)先制定解題策略，尋找解題切入口．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，tanA＝14，tanB＝35.
(1)求角C的大??；
(2)若AB邊的長(zhǎng)為17，求BC邊的長(zhǎng)．
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－14＋351－14×35＝－1.
又∵0°＜C＜180°，∴C＝135°.
(2)∵tanA＝sinAcosA＝14，sin2A＋cos2A＝1,0°＜A＜90°，
∴sinA＝1717.
由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，∴BC＝ABsinAsinC＝2.

例3將一塊圓心角為120°，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請(qǐng)問(wèn)哪種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個(gè)最大值．
活動(dòng)：本題是北京西城區(qū)的一道測(cè)試題，解題前教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面解決實(shí)際問(wèn)題的方法步驟，讓學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)到解決本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決．

解：

按圖(1)的裁法：矩形的一邊OP在OA上，頂點(diǎn)M在圓弧上，設(shè)∠MOA＝θ，則|MP|＝20sinθ，|OP|＝20cosθ，從而S＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即當(dāng)θ＝π4時(shí)，Smax＝200.
按圖(2)的裁法：矩形的一邊PQ與弦AB平行，設(shè)∠MOQ＝θ，在△MOQ中，∠OQM＝90°＋30°＝120°，
(1)
(2)
由正弦定理，得|MQ|＝20sinθsin120°＝4032sinθ.
又因?yàn)閨MN|＝2|OM|sin(60°－θ)＝40sin(60°－θ)，
所以S＝|MQ||MN|＝160033sinθsin(60°－θ)
＝160033{－12[cos60°－cos(2θ－60°)]}＝80033[cos(2θ－60°)－cos60°]．
所以當(dāng)θ＝30°時(shí)，Smax＝40033.
由于40033＞200，所以用第二種裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為40033cm2.
點(diǎn)評(píng)：正弦定理、余弦定理在測(cè)量(角度、距離)、合理下料、設(shè)計(jì)規(guī)劃等方面有廣泛應(yīng)用．從解題過(guò)程來(lái)看，關(guān)鍵是要找出或設(shè)出角度，實(shí)質(zhì)是解斜三角形，將問(wèn)題涉及的有關(guān)量集中在某一個(gè)或者幾個(gè)三角形中，靈活地運(yùn)用正弦定理、余弦定理來(lái)加以解決．
變式訓(xùn)練
設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.
(1)求邊長(zhǎng)a；
(2)若△ABC的面積S＝10，求△ABC的周長(zhǎng)l.
解：(1)由acosB＝3與bsinA＝4，兩式相除，得
34＝acosBbsinA＝asinAcosBb＝bsinBcosBb＝cosBsinB.
又acosB＝3，知cosB＞0，
則cosB＝35，sinB＝45.
則a＝5.
(2)由S＝12acsinB＝10，得c＝5.
由cosB＝a2＋c2－b22ac＝35，
解得b＝25.故△ABC的周長(zhǎng)l＝a＋b＋c＝10＋25.

知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，若b＝2a，∠B＝∠A＋60°，則∠A＝__________.
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2＋c2－bc＝a2，cb＝12＋3，求∠A和tanB的值．
答案：
1．30°解析：由正弦定理，知asinA＝bsinB，
∴1sinA＝2sinA＋60°，2sinA＝sin(A＋60°)＝12sinA＋32cosA.
∴tanA＝33.∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝30°.
2．解：由余弦定理和已知條件，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝60°，且∠B＝180°－∠A－∠C＝120°－∠C.
由正弦定理和已知條件，得sinCsinB＝sin120°－BsinB＝3cosB＋sinB2sinB＝3cosB2sinB＋12＝12＋3，
∴tanB＝12.∴所求∠A＝60°，tanB＝12.
課本本章小結(jié)鞏固與提高1～8.
課堂小結(jié)
先由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課對(duì)全章的復(fù)習(xí)都有哪些收獲和提高？解決本章的基本問(wèn)題都有哪些體會(huì)？可讓若干學(xué)生在課堂上介紹自己的復(fù)習(xí)心得．
教師進(jìn)一步畫(huà)龍點(diǎn)睛，總結(jié)解題思路：(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問(wèn)題，注意隱含條件的挖掘．
作業(yè)
1．鞏固與提高9～12
2．自測(cè)與評(píng)估1～7
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)注重了優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的鞏固．在此過(guò)程中，學(xué)生對(duì)思想方法的領(lǐng)悟也更具深刻性；注重對(duì)學(xué)生抽象思維、發(fā)散思維的培養(yǎng)訓(xùn)練．通過(guò)一題多解訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)事物現(xiàn)象選擇角度地觀察，從而把握事物的本質(zhì)．
本教案設(shè)計(jì)意圖還按照習(xí)題的內(nèi)容分類處理進(jìn)行；注重了思維引導(dǎo)及方法提煉，展現(xiàn)了學(xué)生的主體作用，關(guān)注學(xué)生愉悅情感的積極體驗(yàn)，深挖了三角形本身內(nèi)在美的價(jià)值，意在激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極的向上心態(tài)．
備課資料
一、與三角形計(jì)算有關(guān)的定理
1．半角定理
在△ABC中，三個(gè)角的半角的正切和三邊之間有如下的關(guān)系：
tanA2＝1p－ap－ap－bp－cp，
tanB2＝1p－bp－ap－bp－cp，
tanC2＝1p－cp－ap－bp－cp，
其中p＝12(a＋b＋c)．
證明：tanA2＝sinA2cosA2，因?yàn)閟inA2＞0，cosA2＞0，
所以sinA2＝1－cosA2＝121－b2＋c2－a22bc
＝a2－b－c24bc＝a＋b－ca－b＋c4bc.
因?yàn)閜＝12(a＋b＋c)，所以a－b＋c＝2(p－b)，a＋b－c＝2(p－c)．
所以sinA2＝p－bp－cbc.
而cosA2＝1＋cosA2＝121＋b2＋c2－a22bc＝b＋c2－a24bc
＝b＋c＋ab＋c－a4bc＝pp－abc，
所以tanA2＝sinA2cosA2＝p－bp－cbcpp－abc＝p－bp－cpp－a
＝1p－ap－ap－bp－cp.所以tanA2＝1p－ap－ap－bp－cp.
同理，可得tanB2＝1p－bp－ap－bp－cp，
tanC2＝1p－cp－ap－bp－cp.
從上面的證明過(guò)程中，我們可以得到用三角形的三條邊表示半角的正弦和半角的余弦的公式：sinA2＝p－bp－cbc，cosA2＝pp－abc.
同理，可得sinB2＝p－ap－cac，sinC2＝p－ap－bab，
cosB2＝pp－bac，cosC2＝pp－cab.
2．用三角形的三邊表示它的內(nèi)角平分線
設(shè)在△ABC中(如圖)，已知三邊a、b、c，如果三個(gè)角A、B和C的平分線分別是ta、tb和tc，那么，用已知邊表示三條內(nèi)角平分線的公式是：ta＝2b＋cbcpp－a；tb＝2a＋cacpp－b；
tc＝2a＋babpp－c，其中p＝12(a＋b＋c)．
證明：設(shè)AD是角A的平分線，并且BD＝x，DC＝y(tǒng)，那么，在△ADC中，由余弦定理，得ta2＝b2＋y2－2bycosC，①
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得cb＝xy，所以c＋bb＝x＋yy.
因?yàn)閤＋y＝a，所以c＋bb＝ay.所以y＝abb＋c.②
將②代入①，得ta2＝b2＋(abb＋c)2－2b(abb＋c)cosC
＝b2b＋c2[b2＋c2＋2bc＋a2－2a(b＋c)cosC]．
因?yàn)閏osC＝a2＋b2－c22ab，
所以ta2＝b2b＋c2[a2＋b2＋c2＋2bc－2a(b＋c)a2＋b2－c22ab]
＝bcb＋c2(b2＋c2＋2bc－a2)＝bcb＋c2(a＋b＋c)(b＋c－a)
＝bcb＋c22p2(p－a)＝4b＋c2bcp(p－a)．
所以ta＝2b＋cbcpp－a.
同理，可得tb＝2a＋cacpp－b，tc＝2a＋babpp－c.
這就是已知三邊求三角形內(nèi)角平分線的公式．

3．用三角形的三邊來(lái)表示它的外接圓的半徑
設(shè)在△ABC中，已知三邊a、b、c，那么用已知邊表示外接圓半徑R的公式是
R＝abcpp－ap－bp－c.
證明：因?yàn)镽＝a2sinA，S＝12bcsinA，所以sinA＝2Sbc.
所以R＝a2sinA＝abc4S＝abcpp－ap－bp－c.
二、備選習(xí)題
1．在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a∶b∶c＝3∶3∶5，則2sinA－sinBsinC等于…()
A．－15B．－23C.35D．不是常數(shù)
2．△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是103，∠A＝60°，∠A的對(duì)邊為()
A．5B．6C．7D．8
3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，則AB→AC→等于()
A．－32B．－23C.23D.32
4．已知在△ABC中，∠B＝30°，b＝6，c＝63，則a＝__________，S△ABC＝__________.
5．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，則cosA＝__________.
6．對(duì)△ABC，有下面結(jié)論：①滿足sinA＝sinB的△ABC一定是等腰三角形；②滿足sinA＝cosB的△ABC一定是直角三角形；③滿足asinA＝bsinB＝c的△ABC一定是直角三角形．則上述結(jié)論正確命題的序號(hào)是__________．
7．在△ABC中，D在邊BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°，求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積．
8．在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bcosB＋ccosC＝acosA，試判斷△ABC的形狀．
參考答案：
1．C解析：設(shè)a＝3k，則b＝3k，c＝5k.∴2sinA－sinBsinC＝2a－bc＝2×3k－3k5k＝35.
2．C解析：∵a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，即b2＋c2＋2bc＝400－40a＋a2.
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc.
又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴b2＋c2－a2＝bc.
又∵S△ABC＝12bcsinA＝103，∴bc＝40.
將b2＋c2－a2＝bc和bc＝40，代入b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，得a＝7.
3．D解析：由余弦定理，得cosA＝AC2＋AB2－BC22ACAB＝4＋9－102×2×3＝14，
∴AB→AC→＝|AB→||AC→|cosA＝2×3×14＝32.
4．a(chǎn)＝6，S＝93或a＝12，S＝183解析：由正弦定理，得
bsinB＝csinC，∴sinC＝cbsinB＝32.∴∠C＝60°或∠C＝120°.
當(dāng)∠C＝60°時(shí)，則∠A＝90°，因此a＝12，S＝12acsinB＝183；
當(dāng)∠C＝120°時(shí)，則∠A＝30°，因此a＝6，S＝12acsinB＝93.
5.33解析：由正弦定理，得
(3b－c)cosA＝(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
∴3sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝33.
6．①③
7．解：如圖，在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴AD＝2sin60°＝3.
在△ACD中，AC2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150°＝7，
∴AC＝7.∴AB＝2cos60°＝1，S△ABC＝12×1×3×sin60°＝334.
8．解：∵bcosB＋ccosC＝acosA，
由正弦定理，得sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，
∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA.
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.
而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0.
∴2cosBcosC＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝π2或C＝π2，即△ABC是直角三角形．

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解斜三角形

5.4解斜三角形

●知識(shí)梳理
1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）
2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：
（1）已知三邊，求三個(gè)角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.
特別提示
兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例.另外，解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”.
●點(diǎn)擊雙基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等邊三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長(zhǎng)，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.
解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.
剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論
（1）該題若用余弦定理如何解決?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.
（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識(shí)解決?
解：由題設(shè)a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延長(zhǎng)CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因?yàn)椤螧AC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.
【例2】已知銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.
剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.
（1）證明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.
評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2－c2），則∠C的度數(shù)是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，則=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B(niǎo)有兩值.
答案：C
培養(yǎng)能力
6.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面積的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，頂點(diǎn)A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動(dòng)，求的取值范圍.
解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范圍為［，］.
探究創(chuàng)新
9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過(guò)A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計(jì)算）
解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.
因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.
則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時(shí)，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時(shí)，“=”成立.
所以當(dāng)a=b==10時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20（+1），即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10km處，能使|AB|最短，最短距離為20（－1）.
●思悟小結(jié)
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.
5.用正（余）弦定理解三角形問(wèn)題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長(zhǎng).
6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ).
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高使用計(jì)算器的技能技巧和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.
拓展題例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+.
（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=.
評(píng)述：本題的第（1）問(wèn)是一道結(jié)論開(kāi)放型題，y的表達(dá)式的表面不對(duì)稱性顯示了問(wèn)題的有趣之處.第（2）問(wèn)實(shí)際上是一道常見(jiàn)題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀.
分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.
解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.

解三角形應(yīng)用舉例

2.3.4解三角形應(yīng)用舉例(第四課時(shí))
教學(xué)目標(biāo)：
(a)知識(shí)和技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題,掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用
(b)過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)，。
(c)情感與價(jià)值：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)
教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目
教學(xué)難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題
學(xué)法：正弦定理和余弦定理的運(yùn)用除了記住正確的公式之外，貴在活用，體會(huì)公式變形的技巧以及公式的常規(guī)變形方向，并進(jìn)一步推出新的三角形面積公式。同時(shí)解有關(guān)三角形的題目還要注意討論最終解是否符合規(guī)律，防止丟解或增解，養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣。
直角板、投影儀
教學(xué)設(shè)想：設(shè)置情境：師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?br> 生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA
師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB
師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？
生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解
1、新課講授
例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。
解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根據(jù)正弦定理，=c=
S=bcsinA=b
A=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5
S=3.16≈4.0(cm)
(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB==≈0.7697
sinB=≈≈0.6384應(yīng)用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？（你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？）
本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。
解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，
cosB==≈0.7532
sinB=0.6578應(yīng)用S=acsinB
S≈681270.6578≈2840.38(m)
答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m。
例3、在ABC中，求證：
（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明
證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k
顯然k0，所以左邊===右邊
（2）根據(jù)余弦定理的推論，
右邊=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊
變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S
提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，
（1）acosA=bcosB（2）sinC=
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”
（1）師：大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明。
生1：（余弦定理）得a=b
c=
根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,
A=B根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形
師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考，誰(shuí)的正確呢？
生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
2、歸納總結(jié)
利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

作業(yè)：1、如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：(1)AB的長(zhǎng)；(2)四邊形ABCD的面積。
略解：（1）因?yàn)锽CD=75，ACB=45，所以ACD=30，
又因?yàn)锽DC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，
所以AD=DC=。在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，
所以=，BD==
在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以得AB=
（1）S=ADBDsin75=同理，S=
所以四邊形ABCD的面積S=

解三角形及應(yīng)用舉例

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師在教學(xué)期間更好的掌握節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫(xiě)呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)三角變換與解三角形教案，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。

專題二：三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第二講三角變換與解三角形
【最新考綱透析】
1．會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。
2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。
3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角各的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
4．能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。
6．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：三角變換及求值
考情聚焦：1．利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值是高考必考內(nèi)容。
2．該類問(wèn)題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與新知識(shí)的交匯題。
3．該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題。
考向鏈接：1．在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí)，常用到如下變形
（1）；
（2）角的變換；
（3）。
2．利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值求角問(wèn)題，常見(jiàn)有以下三種類型：
（1）“給角求值”，即在不查表的前提下，通過(guò)三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；
（2）“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；
（3）“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域
解析：（Ⅰ）由題意得mn=sinA-2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤R,所以.當(dāng)時(shí)，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)有最小值-3
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
要點(diǎn)考向2：正、余弦定理的應(yīng)用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解決涉及三角形的問(wèn)題，在近3年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn)，預(yù)計(jì)將會(huì)成為今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
2．該類問(wèn)題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景，考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn)。
考向鏈接：1．在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它重要性：一是作為三角形問(wèn)題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問(wèn)題獲得解決的突破口。
2．在解三角形時(shí)，三角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問(wèn)題，應(yīng)盡量避免求正弦值。
例2：（2010遼寧高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且
（Ⅰ）求A的大??；
（Ⅱ）求的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值。
【思路點(diǎn)撥】（I）根據(jù)正統(tǒng)定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進(jìn)而求出最值
【規(guī)范解答】（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故當(dāng)B＝30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)角的正弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項(xiàng)要同時(shí)替換，反之，用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣，不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要點(diǎn)考向3：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦：1．有關(guān)解三角形及實(shí)際應(yīng)用在高考中有時(shí)出現(xiàn)。
2．該類問(wèn)題以實(shí)際問(wèn)題為背景，其建模后為解三角形問(wèn)題，與三角函數(shù)及三角變換等知識(shí)交匯。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，題目不會(huì)太難。
例3：（2010江蘇高考Ｔ１7）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)該小組已測(cè)得一組、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；
(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，-最大？
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】（1）分別利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【規(guī)范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的電視塔的高度H是124m。
（2）由題設(shè)知，得，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
故當(dāng)時(shí)，最大。
因?yàn)?，則，由的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，-最大。
故所求的是m。

【高考真題探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）計(jì)算的結(jié)果等于（）
A.B.C.D.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降冪公式，并進(jìn)行三角的化簡(jiǎn)求值。
【思路點(diǎn)撥】直接套用倍角公式的逆用公式，即降冪公式即可。
【規(guī)范解答】選B，。
【方法技巧】對(duì)于三角公式的學(xué)習(xí)，要注意靈活掌握其變形公式，才能進(jìn)行靈活的恒等變換。如倍角公式：，的逆用公式為“降冪公式”，即為，，在三角函數(shù)的恒等變形中，降冪公式的起著重要的作用。
2．（2010海南寧夏高考理科T16）在中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=DC,=120°，AD=2，若的面積為，則=.
【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應(yīng)用.
【思路點(diǎn)撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關(guān)系式求解.
【規(guī)范解答】設(shè)，則，由的面積為可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關(guān)系，利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關(guān)系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=()
（A）（B）（C）（D）
【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化。
【規(guī)范解答】選A，根據(jù)正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，則a=。
【命題立意】本題考查解三角形中的余弦定理。
【思路點(diǎn)撥】對(duì)利用余弦定理，通過(guò)解方程可解出。
【規(guī)范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時(shí)，用余弦定理比較好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式；變角，
【規(guī)范解答】（1）由，得
所以函數(shù)的最小正周期為
因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又
，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1
（Ⅱ）由（1）可知又因?yàn)?，所?br> 由，得從而
所以
6．（2010陜西高考理科Ｔ１7）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距
海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°
的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？
【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理，考查了解決三角形問(wèn)題的能力，屬于中檔題。
【思路點(diǎn)撥】解三角形
【規(guī)范解答】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題6分，總分36分）
1．（2010屆山東省實(shí)驗(yàn)高三一診（文））已知點(diǎn)在第四象限,則角的終邊在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若，則的值為()
A．B．C．D．
3．函數(shù)的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)：（1）最小正周期為π，（2）圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（3）在區(qū)間上是增函數(shù)，則y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010屆廣東高三六校聯(lián)考（理））如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在邊AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，則AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，總分18分）
7．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則的面積等于_____
8．若定義在區(qū)間上的函數(shù)對(duì)上的任意個(gè)值，，…，，總滿足≤，則稱為上的凸函數(shù)．已知函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”，則在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,則A=_______.
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．（本小題滿分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo).
12．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且
(Ⅰ)確定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面積為,求a＋b的值。
參考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】選A.依題意，畫(huà)出圖形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
過(guò)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，則
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的內(nèi)角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，最小值為
（2）令，得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足要求的對(duì)稱中心為
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是銳角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面積公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②變形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【備課資源】