一元二次方程高中教案

八年級數(shù)學下冊第二章《一元一次不等式與一元一次不等式組》知識點歸納（北師大版）。

八年級數(shù)學下冊第二章《一元一次不等式與一元一次不等式組》知識點歸納（北師大版）

第二章一元一次不等式和一元一次不等式組

一.不等關系

1.一般地,用符號“/span”(或“≤”),“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式

2.要區(qū)別方程與不等式:方程表示的是相等的關系;不等式表示的是不相等的關系.

3.準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學術語.

非負數(shù)大于等于0(≥0)，非正數(shù)小于等于0(≤0)

二.不等式的基本性質(zhì)

1.掌握不等式的基本性質(zhì):

(1)不等式的兩邊加上(或減)同一個整式,不等號的方向不變,即:如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c.

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即如果ab,并且c0,那么acbc,a/c=b/c.

(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即:如果ab,并且c0,那么ac

2.比較大小:(a、b分別表示兩個實數(shù)或整式)（工作總結(jié)之家 DG15.Com）

即：ab===a-b0a=b===a-b=0a===a-b0

2.比較大小:(a、b分別表示兩個實數(shù)或整式)

一般地:

如果ab,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么ab;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a那么a-b是負數(shù);反過來,如果a-b是負數(shù),那么a

即:ab===a-b0

a=b===a-b=0

a===a-b0

(由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.

三.不等式的解集:

1.能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.

2.不等式的解可以有無數(shù)多個,一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.

¤3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示:

用數(shù)軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向:

邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;

方向:大向右,小向左

四.一元一次不等式:

1.只含有一個未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的最高次數(shù)是1.像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以或除以一個負數(shù)時,不等號要改變方向.

3.解一元一次不等式的步驟:

去分母;去括號;移項;合并同類項;系數(shù)化為1(不等號的改變問題)

4.一元一次不等式基本情形為axb(或ax

當a0時,解為xb/a;當a0時,解為x

當a=0時,且b0,則x取一切實數(shù);當a=0時,且b≥0,則無解;此項為axb的解.

5.不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)

列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:

審:認真審題,找出題中的不等關系,要抓住題中的關鍵字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義;

設:設出適當?shù)奈粗獢?shù);列:根據(jù)題中的不等關系,列出不等式;

解:解出所列的不等式的解集;答:寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.

五.一元一次不等式組

1.定義:由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.

2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.

幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.

3.解一元一次不等式組的步驟:

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.

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八年級數(shù)學下冊《一元一次不等式和一元一次不等式組》知識點歸納北師大版

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八年級數(shù)學下冊《一元一次不等式和一元一次不等式組》知識點歸納北師大版

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、不等關系

1、一般地,用符號(或≤),(或≥)連接的式子叫做不等式.

2、要區(qū)別方程與不等式:方程表示的是相等的關系;不等式表示的是不相等的關系.

3、準確翻譯不等式,正確理解非負數(shù)、不小于等數(shù)學術語.

非負數(shù)===大于等于0(≥0)===0和正數(shù)===不小于0

非正數(shù)===小于等于0(≤0)===0和負數(shù)===不大于0

二、不等式的基本性質(zhì)

1、掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運用:

(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:

如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c.

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即

如果ab,并且c0,那么acbc,.

(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即:

如果ab,并且c0,那么ac

2、比較大小:(a、b分別表示兩個實數(shù)或整式)

一般地:

如果ab,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么ab;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a

即:

ab===a-b0

a=b===a-b=0

aa-b0

(由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.

三、不等式的解集:

1、能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.

2、不等式的解可以有無數(shù)多個,一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.

3、不等式的解集在數(shù)軸上的表示:

用數(shù)軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向:

①邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;

②方向:大向右,小向左

四、一元一次不等式:

1、只含有一個未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1.像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

2、解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以一個負數(shù)時,不等號要改變方向.

3、解一元一次不等式的步驟:

①去分母;

②去括號;

③移項;

④合并同類項;

⑤系數(shù)化為1(不等號的改變問題)

4、一元一次不等式基本情形為axb(或ax

①當a0時,解為;

②當a=0時,且b0,則x取一切實數(shù);

當a=0時,且b≥0,則無解;

③當a0時,解為;

5、不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)

列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:

①審:認真審題,找出題中的不等關系,要抓住題中的關鍵字眼,如大于、小于、不大于、不小于等含義;

②設:設出適當?shù)奈粗獢?shù);

③列:根據(jù)題中的不等關系,列出不等式;

④解:解出所列的不等式的解集;

⑤答:寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.

五、一元一次不等式與一次函數(shù)

六、一元一次不等式組

1、定義:由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.

2、一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.

幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.

3、解一元一次不等式組的步驟:

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.

兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實數(shù),且a

一元一次不等式解集圖示敘述語言表達

xb兩大取較大

xa兩小取小

a

無解在大小分離沒有解

(是空集)

一元一次不等式和一元一次不等式組導學案

做好教案課件是老師上好課的前提，是時候?qū)懡贪刚n件了。我們制定教案課件工作計劃，才能更好地安排接下來的工作！有沒有好的范文是適合教案課件？下面是由小編為大家整理的“一元一次不等式和一元一次不等式組導學案”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

第二章一元一次不等式和一元一次不等式組
2.1不等關系
學習準備
1．“不大于”指的是“”，通常用符號“”表示．
2．“不小于”指的是“”，通常用符號“”表示．
3．一般地，用符號“”或（“”），“”或（“”）連接的式子叫做不等式．
二.合作探究
1．下列不等關系一定正確的是（）
A．＞0B．－x2＜0C．（x+1）2≥0D．a(chǎn)2＞0
2．a(chǎn)、b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，
下列結(jié)論中正確的是（）
A．a(chǎn)＞0，b＜0B．a(chǎn)＜0，b＞0C．a(chǎn)b＞0D．以上均不對
3．（2007年安順市）如圖所示，對a，b，c三種物體的重量判斷不正確的是（）

A．a(chǎn)＜cB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＞cD．b＜c
4．（2012福建廈門）“x與y的和大于1”用不等式表示為____________；
5．（2013新疆烏魯木齊）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，娜娜得分要超過90分，設她答對了x道題，則根據(jù)題意可列不等式；
6．的最小值是，的最大值是，則；
2.2不等式的基本性質(zhì)
學習準備
1．不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都（或減去）同一個，
不等號的方向．
2．不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都（或除以）同一個，
不等號的方向．
3．不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都（或除以）同一個，
不等號的方向．
二.合作探究
1．（2012廣東廣州）已知，若是任意實數(shù)，則下列不等式中總是成立的是（）A．B．C．D．
2．（2013廣東）已知實數(shù)、，若，則下列結(jié)果正確的是（）
A．B．C．D．
3．（2013山東濟寧）已知，若，則的取值范圍是()
A．B．C.D.
4．若a＜0，則－____－
5．滿足－2x＞－12的非負整數(shù)有___________________．
6．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）0.3x＜－0.9（2）x＜x－4

2.3不等式的解集
一．學習準備
1．能使不等式成立的的值，叫做不等式的解．
2．一個含有未知數(shù)的不等式的，組成這個不等式的解集．
3.求的過程叫做解不等式，也就是將含有未知數(shù)的不等式化為“”或“”的形式，其變形依據(jù)是不等式的三條基本性質(zhì)．
4．不等式解集的表示方法：
（1）用不等式表示：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的解集是某個取值范圍，這個范圍可用一個最簡單的不等式或（或或）的形式表示出來．
（2）用數(shù)軸表示不等式解集的步驟依次是：畫數(shù)軸、定界點、定方向．其中，應當注意“定界點”和“定方向”兩點：若這個不等式的解集中含有這個邊界點的對應數(shù)值，則畫成實心圓點；若解集中不含有邊界點的對應數(shù)值，則畫成空心圓圈；方向也是相對邊界點而言的，大于邊界點對應的數(shù)值向右畫，小于邊界點對應的數(shù)值向左畫．
二.合作探究
1．在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是（）

ABCD
2．已知不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則不等式的解集是（）

A．B．C．D．
3．（2013四川成都）不等式的解集為_______________．
4．（2013重慶）不等式的解集是______．
5．（2013貴州安順）若關于的不等式可化為，則的取值
范圍是．
6．在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：
（1）x≥－3.5（2）－1≤x＜2

2.4一元一次不等式(一)
一．學習準備
1．不等式的左右兩邊都是，只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)
的，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式．
2．解方程的變形對于解不等式同樣適用．
3．解一元一次不等式的一般步驟是：①；②；③；
④；⑤．
二合作探究
1．關于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是負數(shù)，則a的取值范圍是（）
A．a(chǎn)＜－4B．a(chǎn)＞5C．a(chǎn)＞－5D．a(chǎn)＜－5
2．（2013甘肅白銀）不等式的正整數(shù)解是．
3．下面解不等式的過程是否正確，如不正確，請找出錯誤之處，并改正．
解不等式：＜判斷：
解：去分母，得＜①
去括號，得②
移項、合并，得5＜21③
因為x不存在，所以原不等式無解．④
4．（2013四川）解不等式，并把它的解集表示在數(shù)軸上．

5．當x為何值時，代數(shù)式的值分別滿足以下條件：
（1）是非負數(shù)；（2）不大于1。

6．若2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整數(shù)解是方程x－mx＝5的解，求代數(shù)式的值．

2.4一元一次不等式(二)
一．學習準備
1．不等式的左右兩邊都是，只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)
的，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步驟是：①；②；③；
④；⑤．
3．列一元一次不等式解決實際問題的一般步驟是：①；②；③；④；⑤．
二．合作探究
1．（2007年佛山市）小穎準備用21元錢買筆和筆記本．已知每支筆3元，每個筆記本2元，她買了4個筆記本，則她最多還可以買（）支筆．
A、1B、2C、3D、4
2．（2007年濰坊市）幼兒園把新購進的一批玩具分給小朋友．若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個小朋友分到玩具，但不足4件，這批玩具共有_____________件．
3．（2012陜西）小宏準備用50元錢買甲、乙兩種飲料共10瓶，已知甲飲料每瓶7元，乙飲料每瓶4元，則小紅最多能買瓶甲飲料。
4．（2013江蘇淮安）解下列不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

5．當x為何值時，代數(shù)式

6．（2013湖南益陽）“二廣”高速在益陽境內(nèi)的建設正在緊張地進行，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸。“益陽”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共有12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石．
（1）求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？
（2）隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少購買方案，請你一一寫出．

2.5一元一次不等式與一次函數(shù)(一)
一．學習準備
1．用圖象法解一元一次不等式：由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為或（、為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次不等式可以看作一次函數(shù)的值大于0（或小于0）時，求出相應的自變量的取值范圍：當時，表示直線在軸上方的部分；當時，表示直線在軸下方的部分，當時，表示直線與軸的交點．
2．例如：在一次函數(shù)y=2x－5中，
當y=0時，有方程；當y＞0時，有不等式；
當y＜0時，有不等式．
由此可見，一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間有密切關系，當函數(shù)值等于0時即為方程，當函數(shù)值大于或小于0時即為不等式．
二．合作探究
1．已知y1＝x－5，y2＝2x＋1．當y1＞y2時，x的取值范圍是（）
A．x＞5B．x＜C．x＜－6D．x＞－6
2．已知函數(shù)y=（m+2）x－3，要使函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是（）
A．m≥－2B．m－2C．m≤－2D．m－2
3．(2010龍巖)直線y=kx+b與兩坐標軸的交點如圖所示，當y0時，x的取值范圍是（）A．x2B．x2C．x－1D．x－1
4．如圖，某航空公司托運行李的費用與托運行李的重量的關系
為一次函數(shù)，由圖可知行李的重量只要不超過________千克，
就可以免費托運。
5．如圖，已知函數(shù)y＝3x＋b和y＝ax－3的圖象交于點P(－2，－5)，則根據(jù)圖象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________。
6．在同一坐標系中畫出一次函數(shù)y1＝－x＋1與y2＝2x－2的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）寫出直線y1＝－x＋1與y2＝2x－2的交點P的坐標．
（2）直接寫出：當x取何值時y1＞y2；y1＜y2

2.5一元一次不等式與一次函數(shù)(二)
一．學習準備
某學校計劃購買若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商場了解到同一型號電腦每臺報價均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場的優(yōu)惠條件是：第一臺按原價收費，其余每臺優(yōu)惠25%.乙商場的優(yōu)惠條件是：每臺優(yōu)惠20%.
（1）分別寫出兩家商場的收費與所買電腦臺數(shù)之間的關系式．
（2）什么情況下到甲商場購買更優(yōu)惠？
（3）什么情況下到乙商場購買更優(yōu)惠？
（4）什么情況下兩家商場的收費相同？
解：設要買x臺電腦，購買甲商場的電腦所需費用y1元，購買乙商場的電腦所需費用為y2元，由題意得：
（1）y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=；
y2=80%×6000x=；
（2）當y1＜y2時，有；解得，；
即當所購買電腦臺時，到甲商場購買更優(yōu)惠；
（3）當y1＞y2時，有；解得，；
即當所購買電腦臺時，到乙商場買更優(yōu)惠；
（4）當y1=y2時，即有；解得，；
即當所購買電腦為臺時，兩家商場的收費相同．
二．合作探究
1．某單位準備和一個體車主或一國營出租車公司中的一
家簽訂月租車合同，設汽車每月行駛x千米，個體車
主收費y1元，國營出租車公司收費為y2元，觀察下列
圖象可知（如圖），當x________時，選用個體車較合算．
2．某單位要制作一批宣偉材料，甲公司提出每份材料收費20元，另收3000元設計費；乙公司提出：每份材料收費30元，不收設計費．
(1)什么情況下選擇甲公司比較合算？(2)什么情況下選擇乙公司比較合算？
(3)什么情況下兩公司的收費相同？
解：設宣傳材料有x份，則選擇甲公司所需費用為y1元，選擇乙公司所需費用為y2元，由題意得：
（1）y1=；
y2=；
（2）當y1＜y2時，有；解得，；
（3）當y1＞y2時，有；解得，；
（4）當y1=y2時，即有；解得，；
所以，當材料份時，選擇甲公司比較合算．
當材料份時，選擇乙公司比較合算．
當材料份時，兩公司的收費相同．

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
●○教學目標
知識與技能
（1）運用問題的形式幫助學生整理全章的內(nèi)容,建立知識體系。
（2）在獨立思考的基礎上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
教學思考
通過問題情境的設立，使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
情感態(tài)度與價值觀
通過獨立思考獲取學習的成功體驗，通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
●○重點和難點
重點:對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
難點:建立起相關的知識體系。
●○課前準備
多媒體及課件
●○教學設計
教師活動學生活動
交代本節(jié)課的主要任務.
多媒體顯示本章的知識框架圖
以問題的形式引導學生思考本章內(nèi)容
結(jié)合本章的知識框架圖,統(tǒng)觀全章的知識內(nèi)容,積極思考并回答問題
問題1
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
小組交流有關不等式和等式基本性質(zhì)的知識點.
問題2
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
回答解一元一次方程的步驟
比較兩者之間的差異
問題3
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
問題4
說一說運用不等式解決實際問題的基本過程
回答教師提問
問題5
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關內(nèi)容.舉例說明三者之間的關系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關系,分別舉例說明.
課堂小結(jié)理解不等式的重要作用
結(jié)合本章知識框架圖,讓學生談本節(jié)課的收獲
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的想法.
回顧與思考2
●○教學目標
知識與技能
（1）在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
（2）發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考：
體會數(shù)學的應用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗，認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
●○重點和難點
重點:
對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
難點:建立起相關的知識體系。
●○課前準備多媒體及課件
●○教學設計
教師活動學生活動
引導學生寫出本章的知識框架圖不等式─→不等式基本性質(zhì)
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實際應用←──────學生回答問題

安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
1.解下列不等式,并把解集表示在數(shù)軸上
(1)2(－3＋X)＞3(X＋2)（2）
（3）（4）
（5）求不等式5(X－2)≤28＋2X的正整數(shù)解
2.已知函數(shù)Y=2X－4
(1)當X取何值時,Y＞0(2)當X取何值時,Y＝0(3)當X取何值時,Y＜0
3.某工人制造機器零件,如果每天比預定多做一件，那么8天所做零件超過100件；如果每天比預定少做一件，那么8天所做零件不到90件，這個工人預定每天做幾個零件？
課堂小結(jié)
布置作業(yè)