高中不等式教案

第3章不等式復(fù)習(xí)教案。

教學(xué)設(shè)計(jì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
本章復(fù)習(xí)建議
本章為高中5個(gè)必修中的最后一章，我們?cè)谶@一章中重點(diǎn)探究了三種不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(組)及均值不等式，在了解了這三種不等式的實(shí)際背景的前提下，重點(diǎn)探究了不等式的應(yīng)用，那么如何復(fù)習(xí)好不等式這一章的內(nèi)容呢？總綱是復(fù)習(xí)不等式要結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想，以及分類討論思想，類比思想，換元思想等．
1．充分認(rèn)識(shí)不等式的地位與作用．不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是求解數(shù)學(xué)問題的主要工具，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，諸如集合問題、方程(組)的解的討論、函數(shù)性質(zhì)的確定、三角、數(shù)列、立體幾何中的最值問題等內(nèi)容，無一不與不等式有著密切聯(lián)系，它所涉及內(nèi)容的深度與廣度是其他章節(jié)無法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考熱點(diǎn)，必須加強(qiáng)對(duì)不等式的綜合復(fù)習(xí)與所學(xué)全章知識(shí)的整合．
2．加深對(duì)不等式性質(zhì)的理解．不等式的基本性質(zhì)在證明不等式和解不等式中有著廣泛的應(yīng)用，它又是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)之一，因此，它是高考試題的熱點(diǎn)，有時(shí)通過客觀題直接考查不等式的某個(gè)性質(zhì)，有時(shí)在解答題中的證明不等式或解不等式中，間接地考查不等式的性質(zhì)，高考試題也直接或間接考查均值不等式及其他重要不等式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)更是求函數(shù)定義域、值域、求參數(shù)的取值范圍等內(nèi)容的重要手段．在解不等式中往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等密切聯(lián)系，因此在復(fù)習(xí)中對(duì)不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論要徹底弄清．解題時(shí)由于忽略某些條件而造成的錯(cuò)誤屢見不鮮，如a＞b，c≠0?ac＞bc(忘了c＞0)，abcd?ac＞bd(忘了a、b、c、d∈R＋)等等．
3．加強(qiáng)等價(jià)變換在解不等式中的運(yùn)用．解不等式是通過等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為簡單不等式，從而得到解集．一定要注意變形是同解變形，即每一步變換必須既充分又必要．含參數(shù)的不等式或超越不等式必須進(jìn)行討論．在討論時(shí)常要用到邏輯劃分的思想進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行求解，再綜合得出答案．在確定劃分標(biāo)準(zhǔn)時(shí)應(yīng)本著“互斥、無漏、最簡”的原則，有的問題還可能進(jìn)行二次分類．另外一定要區(qū)分是“分類問題”的解集還是“分段問題”的解集．
4．注重在證明不等式中推理論證能力的提高．不等式的證明非常活躍，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合，是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，又是歷屆高考中的熱點(diǎn)問題．證明時(shí)不僅要用到不等式的性質(zhì)，還要用到不等式證明的技能、技巧，其中，均值不等式是證明不等式的主要依據(jù)．證明不等式的方法有很多，比如常用的有比較法(歸0、歸1)、分析法、綜合法等．
5．解不等式是高考中的常見題型，尤其是含參數(shù)的指、對(duì)數(shù)不等式解法及絕對(duì)值不等式．一是絕對(duì)值不等式因與數(shù)、式、方程、集合、函數(shù)、數(shù)列等發(fā)生聯(lián)系，在高考中頻繁出現(xiàn)．這類題目思考性強(qiáng)，靈活新穎，對(duì)分析能力要求較高，解題的基本思路是等價(jià)轉(zhuǎn)換，基本方法是化歸化簡．二是加強(qiáng)“三個(gè)二次結(jié)合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)簡稱“三個(gè)二次”，它們互相聯(lián)系，互相滲透，使這個(gè)“知識(shí)塊”的內(nèi)容異常豐富，是歷年高考命題的重點(diǎn)．求解時(shí)，常用到的基本知識(shí)有二次方程的實(shí)根分布、韋達(dá)定理、二次函數(shù)圖象及函數(shù)性質(zhì)等．很多學(xué)生往往因?yàn)檫@個(gè)知識(shí)塊的薄弱而阻礙了數(shù)學(xué)能力的提高．
6．不等式的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)．不等式的應(yīng)用主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是研究函數(shù)的性質(zhì)，如求函數(shù)定義域、值域、最大值、最小值、函數(shù)單調(diào)性等；二是方程與不等式解的討論；三是用線性規(guī)劃或均值不等式解決實(shí)際問題．對(duì)于第一個(gè)方面，要求學(xué)生運(yùn)算準(zhǔn)確．第二個(gè)方面，我們知道方程和不等式在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，函數(shù)與不等式在一定條件下也可以相互轉(zhuǎn)化．這種對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)是我們進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的基礎(chǔ)，使我們了解研究對(duì)象在運(yùn)動(dòng)過程中哪些是保持不變的規(guī)律和性質(zhì)，哪些是變化的規(guī)律和性質(zhì)．第三個(gè)方面，可以說在數(shù)學(xué)各章節(jié)中都存在著大量的數(shù)學(xué)模型，只要我們揭示這些模型的本質(zhì)規(guī)律，就一定能培養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)新能力，真正做到以不變應(yīng)萬變．
本章復(fù)習(xí)分為兩課時(shí)完成，第一課時(shí)側(cè)重三種不等式模型的復(fù)習(xí)，第二課時(shí)側(cè)重線性規(guī)劃的復(fù)習(xí)．
三維目標(biāo)
1．通過本章的綜合復(fù)習(xí)，理解并掌握不等式的性質(zhì)，理解不等關(guān)系、感受在日常生活中存在著大量的不等關(guān)系、了解不等式(組)的實(shí)際背景，能用不等式的基本性質(zhì)比較代數(shù)式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法，會(huì)用線性規(guī)劃解決實(shí)際生活中的常見問題；理解并掌握均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的應(yīng)用方法與技巧．
2．通過對(duì)一元二次不等式解法的復(fù)習(xí)，設(shè)計(jì)求解的程序框圖，深刻理解三個(gè)二次之間的關(guān)系．以二次函數(shù)為中心，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)把其余兩個(gè)聯(lián)系起來，構(gòu)成知識(shí)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；通過線性規(guī)劃的最優(yōu)解，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想、畫圖能力，滲透數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生建模能力和分析問題、解決問題的能力．
3．通過對(duì)全章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，通過富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度；同時(shí)感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙，感受數(shù)學(xué)的美麗生動(dòng)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并樹立辯證的科學(xué)世界觀．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：1.進(jìn)一步掌握三種不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(組)、均值不等式〕的概念、方法及應(yīng)用．
2．深化平面區(qū)域和線性規(guī)劃的意義及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等概念的理解，加深對(duì)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)．
3．掌握構(gòu)建均值不等式解決函數(shù)的最值問題，利用均值不等式解決實(shí)際問題．
教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)二次的靈活運(yùn)用；用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的建模問題；均值不等式解函數(shù)最值的正確運(yùn)用．
課時(shí)安排
2課時(shí)

教學(xué)過程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(直接導(dǎo)入)通過我們的共同努力，我們學(xué)到了有關(guān)不等式更多的知識(shí)與方法，提高了我們解決實(shí)際問題的能力，認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的魅力；通過上節(jié)的課后作業(yè)——閱讀本章小結(jié)，你是怎樣對(duì)本章的知識(shí)方法進(jìn)行整合的？由此展開新課．
思路2.(問題導(dǎo)入)先讓學(xué)生結(jié)合本章小結(jié)，回憶我們是怎樣探究本章知識(shí)的？經(jīng)歷了怎樣的探究活動(dòng)？你能嘗試著自己畫出本章的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖嗎？根據(jù)學(xué)生回答和所畫的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，自然地引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1本章共研究了幾種不等式模型？不等式有哪些性質(zhì)？2怎樣求解一元二次不等式的解集？怎樣畫一元二次不等式的程序框圖？3均值不等式a＋b2≥ab的應(yīng)用條件是什么？主要用它來解決哪些問題？4“三個(gè)二次”是指哪三個(gè)？它們之間具有怎樣的關(guān)系？
活動(dòng)：教師讓學(xué)生充分回憶思考，并結(jié)合以上問題用多媒體課件與學(xué)生一起探究．本章共研究了三種不等式模型，它們分別是一元二次不等式、二元一次不等式(組)、均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．
由實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，我們推出了常用的不等式的4條性質(zhì)5個(gè)推論，教師可結(jié)合多媒體課件給出這些性質(zhì)．在這些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們接著探究了均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的代數(shù)及幾何意義，以及均值不等式在求最值、證明不等式方面的應(yīng)用．在溫故知新的基礎(chǔ)上，我們又探究了一元二次不等式的解法和明確了“三個(gè)二次”之間的關(guān)系，并用一個(gè)程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示了出來，為前面學(xué)過的算法找到了用武之地．對(duì)一元二次不等式的求解集問題，老師可借助多媒體給出以下表格讓學(xué)生填寫，加深對(duì)“三個(gè)二次”關(guān)系的理解.
Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象

ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a
x1＝x2＝－b2a
?
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集
由于本章是高中必修內(nèi)容的最后一章，通過對(duì)以上內(nèi)容的歸納整合，我們對(duì)不等式有了全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，也因此對(duì)高中必修內(nèi)容有了整體的理解．

應(yīng)用示例
例1已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x||x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝，(2)A∩BC，分別求出m的取值范圍．
活動(dòng)：本例可讓學(xué)生自己探究解決，或可讓兩名學(xué)生到黑板板演，教師針對(duì)出現(xiàn)的問題作點(diǎn)評(píng)．
解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，
欲使A∩C＝，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.
(2)欲使A∩BC，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，只需m－1≤1，m＋1≥2，即m≤2，m≥1，即1≤m≤2.
點(diǎn)評(píng)：本例體現(xiàn)了一元二次不等式與集合的交匯．
變式訓(xùn)練
設(shè)集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，則集合A∩Z中有__________個(gè)元素．
答案：6
解析：由(x－1)2＜3x＋7可得－1＜x＜6，結(jié)合題意可得A＝(－1,6)．

例2若正數(shù)x、y滿足6x＋5y＝36，求xy的最大值．
活動(dòng)：均值不等式的功能就是“和積互化”．通過此例，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶如何用均值不等式求最值．本例中把積化為和而和恰好為定值，應(yīng)聯(lián)想均值不等式．
解：∵x、y為正數(shù)，則6x、5y也是正數(shù)，∴6x＋5y2≥6x5y＝30xy，
當(dāng)且僅當(dāng)6x＝5y時(shí)，取“＝”．∵6x＋5y＝36，則30xy≤362，即xy≤545.∴xy的最大值為545.
點(diǎn)評(píng)：本例旨在說明均值不等式的應(yīng)用．事實(shí)上，∵6x＋5y＝36，∴y＝36－6x5.代入xy，得xy＝x15(36－6x)＝－65x2＋365x(x＞0)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)也很容易解出來，教師可在活動(dòng)前向?qū)W生說明．學(xué)生用均值不等式解完此題后，結(jié)合學(xué)生的板書，對(duì)出現(xiàn)的漏洞或錯(cuò)誤進(jìn)行一一點(diǎn)撥．
變式訓(xùn)練
已知2x＋3y＝2(x＞0，y＞0)，則xy的最小值是__________．
解法一：由x＞0，y＞0，得2＝2x＋3y≥22x3y.
∴xy≥6，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝1，即x＝2，y＝3時(shí)，xy取得最小值為6.
解法二：令2x＝2cos2θ，3y＝2sin2θ，θ∈(0，π2)，∴x＝22cos2θ，y＝32sin2θ.
∴xy＝64sin2θcos2θ＝6sin22θ.
∵sin22θ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝π4時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)x＝2，y＝3.∴xy的最小值是6.
解法三：由2x＋3y＝2，得y＝3x2x－2.∴xy＝3x22x－1(x＞1)．
令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.∴3x22x－1＝3t＋122t＝32(t＋1t＋2)≥32(2t1t＋2)＝6.
當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)等號(hào)成立，即x－1＝1，x＝2.∴xy有最小值6.
答案：6

例3不等式axx－1＜1的解集為{x|x＜1或x＞2}，求a.
活動(dòng)：本例不是一元二次不等式，但可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的形式來思考．訓(xùn)練學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．
解法一：將axx－1＜1化為a－1x＋1x－1＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0.
由已知，解集為{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，∴[(1－a)x－1](x－1)＞0.
∴(1－a)x－1＜0，x＞11－a.于是有11－a＝2.解得a＝12.
解法二：原不等式轉(zhuǎn)化為[(a－1)x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0.
依題意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的兩根為1和2，
∴11－a＝2，a－2a－1＝3，解得a＝12.
點(diǎn)評(píng)：本例是一道經(jīng)典題目，學(xué)生完成后，可讓他們互相交流一下解法，體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化的意義．
變式訓(xùn)練
若關(guān)于x的不等式x－ax＋1＞0的解集為(－∞，－1)∪(4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a＝__________.
答案：4

例4為了保護(hù)環(huán)境，造福人類，某縣環(huán)保部門擬建一座底面積為200m2的長方體二級(jí)凈水處理池(如圖)，池深度一定，池的外壁建造單價(jià)為每平方米400元，中間一條隔墻建造單價(jià)為每平方米100元，池底建造單價(jià)為每平方米60元．一般情形下，凈水處理池的長設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的條件，可以先建立目標(biāo)函數(shù)，再求解．可讓學(xué)生獨(dú)立探究，必要時(shí)教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥．
解：設(shè)凈水池長為xm，則寬為200xm，高為hm，則總造價(jià)
f(x)＝400(2x＋2200x)h＋100200xh＋60×200＝800h(x＋225x)＋12000(x＞0)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝225x(x＞0)，即x＝15時(shí)上述不等式取到等號(hào)．故當(dāng)凈水池的長設(shè)計(jì)為15m時(shí)總造價(jià)最低．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)應(yīng)用問題的處理，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求最值的基本保證．用均值不等式創(chuàng)設(shè)不等量關(guān)系，也是經(jīng)常采用的方式方法，讓學(xué)生以后在解決有關(guān)最值問題時(shí)注意這條解題思路的靈活應(yīng)用．
知能訓(xùn)練
1．已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，則A∩B等于()
A．[－3，－2)∪(1,2]B．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C．(－3，－2]∪[1,2)D．(－∞，－3)∪(1,2]
2．已知a∈R，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2x－2a，設(shè)不等式f(x)＞0的解集為A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠?，求a的取值范圍．
3．已知關(guān)于x的不等式x＞ax2＋32的解集是{x|2＜x＜m}，求不等式ax2－(5a＋1)x＋ma＞0的解集．
4．解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
5．已知a、b、c、d∈R，求證：ac＋bd≤a2＋b2c2＋d2.
答案：
1．A解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．則A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．
2．解：由f(x)為二次函數(shù)，知a≠0.令f(x)＝0，
解得其兩根為x1＝1a－2＋1a2，x2＝1a＋2＋1a2.由此可知x1＜0，x2＞0.
(1)當(dāng)a＞0時(shí)，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．
A∩B≠?的充要條件是x2＜3，即1a＋2＋1a2＜3，解得a＞67.
(2)當(dāng)a＜0時(shí)，A＝{x|x1＜x＜x2}．
A∩B≠?的充要條件是x2＞1，即1a＋2＋1a2＞1，解得a＜－2.
綜上，使A∩B≠?成立的a的取值范圍為(－∞，－2)∪(67，＋∞)．
3．解：x＞ax2＋32?ax2－x＋32＜0,2＜x＜m?(x－2)(x－m)＜0?x2－(2＋m)x＋2m＜0.對(duì)照不等號(hào)方向及x2的系數(shù)可知a＞0且a1＝12＋m＝322m，解得a＝18，m＝36.
∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞0?18x2－(5×18＋1)x＋36×18＞0?x2－13x＋36＞0?(x－4)(x－9)＞0?x＜4或x＞9.
點(diǎn)評(píng)：條件中的不等式含參數(shù)a，而其解集中又含有參數(shù)m，似乎有較大難度．策略之一，求出原不等式的解集，與{x|2＜x＜m}比較；策略之二，抓住解集，即寫出解集為{x|2＜x＜m}的一元二次不等式，再與原不等式比較，若只求原不等式的解集，需討論．
4．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x－2＜0，解集為{x|x＜2}．
(2)當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x－2)(x－2a)＜0，這時(shí)兩根的大小順序?yàn)?＞2a，所以解集為{x|2a＜x＜2}．
(3)當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為(x－2)(x－2a)＞0，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩根的大小順序?yàn)?＜2a，所以原不等式的解集為{x|x＞2a或x＜2}；
②當(dāng)a＝1時(shí)，2＝2a，所以原不等式的解集為{x|x≠2且x∈R}；
③當(dāng)a＞1時(shí)，兩根的大小順序?yàn)?＞2a，解集為{x|x＞2或x＜2a}．
綜上所述，不等式的解集為a＝0時(shí)，{x|x＜2}，a＝1時(shí)，{x|x≠2}，a＜0時(shí)，{x|2a＜x＜2}，
0＜a＜1時(shí)，{x|x＞2a或x＜2}，a＞1時(shí)，{x|x＞2或x＜2a}．
點(diǎn)評(píng)：本例應(yīng)對(duì)字母a分類討論，分類的原則是不重、不漏．解完后教師引導(dǎo)學(xué)生思考本例的解法并注意書寫的規(guī)范性．
5．證明：∵(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2
＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(b2c2－2abcd＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2，
∴a2＋b2c2＋d2≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
點(diǎn)評(píng)：能否聯(lián)想到均值不等式ab≤a＋b2或其變形形式上來？關(guān)鍵是探究根號(hào)里面的(a2＋b2)(c2＋d2)的變形問題．
課堂小節(jié)
1．由學(xué)生回顧本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)、方法？解決了哪些問題？通過本節(jié)復(fù)習(xí)，你有哪些收獲？
2．通過本節(jié)復(fù)習(xí)，深化了“三個(gè)二次”之間的關(guān)系，加深了不等式基本性質(zhì)的理解，進(jìn)一步熟悉了數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法；熟悉了簡單不等式的證明思路，溝通了各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系．從更高的角度理解了相等和不等的關(guān)系，體會(huì)了數(shù)學(xué)來源于生活的道理，也認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)的系統(tǒng)美、嚴(yán)謹(jǐn)美與簡潔美．
作業(yè)
本章鞏固與提高A組3、4、7、8、9；B組6、7、8、9.
設(shè)計(jì)感想
1．本課時(shí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，從更高的角度對(duì)本章知識(shí)方法進(jìn)行整合．復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)或閱讀課本，把“發(fā)展為本”作為教學(xué)設(shè)計(jì)的中心，使各層次的學(xué)生在各個(gè)方面都有所提高，達(dá)到“溫故而知新”的目的．
2．本課時(shí)設(shè)計(jì)重視了學(xué)生的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，避免了學(xué)生只當(dāng)觀眾、聽眾．設(shè)計(jì)中體現(xiàn)把復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì)還給學(xué)生，充分讓學(xué)生在知識(shí)整合的基礎(chǔ)上，再發(fā)展、再創(chuàng)造．
3．本課時(shí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了復(fù)習(xí)中前后知識(shí)的聯(lián)系．注重了復(fù)習(xí)應(yīng)涉及哪些內(nèi)容？重難點(diǎn)是什么？與其前沿知識(shí)和后繼知識(shí)有哪些聯(lián)系？在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該注意什么等．針對(duì)這些情況，教師應(yīng)該做到心中有數(shù)，這樣，在復(fù)習(xí)過程中，才能夠做到步步到位，使學(xué)生在復(fù)習(xí)中不至于盲目無從．
(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)
第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上節(jié)課我們重點(diǎn)復(fù)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，一元二次不等式的解法及均值不等式的應(yīng)用．本節(jié)將重點(diǎn)對(duì)平面區(qū)域和線性規(guī)劃問題做一歸納整合，由此展開復(fù)習(xí)．
思路2.(直接引入)我們?cè)鴮?duì)平面區(qū)域，線性規(guī)劃問題進(jìn)行了探究，解決了我們?nèi)粘Ｉ钪杏嘘P(guān)資源的分配，人力、物力的合理利用等最優(yōu)問題．本節(jié)課我們將對(duì)這些內(nèi)容做進(jìn)一步的回顧與提高，進(jìn)一步提高線性規(guī)劃這一數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1在直角坐標(biāo)系中，怎樣用二元一次不等式組的解集表示平面上的區(qū)域？2確定二元一次不等式表示的區(qū)域的方法是什么？3利用線性規(guī)劃可解決哪些實(shí)際問題？滲透了哪些數(shù)學(xué)思想方法？4解線性規(guī)劃實(shí)際問題的方法步驟是什么？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶并思考以上問題．我們知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐標(biāo)系中的一條直線．這條直線把直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)分成了三部分：在直線ax＋by＋c＝0上或兩側(cè)．在直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＝0，兩側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)則滿足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.這樣，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax＋by＋c＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線；若畫不等式ax＋by＋c≥0表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線．
由于對(duì)在直線ax＋by＋c＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入ax＋by＋c，所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正負(fù)情況便可判斷ax＋by＋c＞0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)．
(此時(shí)，教師用投影儀給出下面的圖形歸納)
用二元一次不等式表示平面區(qū)域可分為如下四種情形：
平面區(qū)域

二元一次
不等式Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＞0，
C＜0)Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＞0，
C＜0)Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＜0，
C＜0)Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＜0，
C＜0)
說明對(duì)于二元一次不等式不帶等號(hào)時(shí)，其表示的平面區(qū)域，應(yīng)把邊界直線畫成虛線

本節(jié)課內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的好教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖等能力的好教材．通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步了解到線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財(cái)、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題．這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實(shí)際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．
簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：
(1)閱讀題意，尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域(即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域)；
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(設(shè)t＝0，畫出直線l0，觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解)；
(4)由實(shí)際問題的實(shí)際意義作答．
討論結(jié)果：(1)～(4)略．
應(yīng)用示例
例1畫出不等式組x＋y－6≥0，x－y≥0，y≤3，x＜5表示的平面區(qū)域．
活動(dòng)：為了讓全體學(xué)生都能準(zhǔn)確地畫出平面區(qū)域，教師可請(qǐng)兩名學(xué)生上黑板板演，然后對(duì)出現(xiàn)的問題作點(diǎn)評(píng)．
解：不等式x＋y－6≥0表示在直線x＋y－6＝0上及右上方的點(diǎn)的集合，x－y≥0表示在直線x－y＝0上及右下方的點(diǎn)的集合，y≤3表示在直線y＝3上及其下方的點(diǎn)的集合，x＜5表示直線x＝5左方的點(diǎn)的集合，所以不等式組x＋y－6≥0，x－y≥0，y≤3，x＜5表示的平面區(qū)域如圖所示．
點(diǎn)評(píng)：畫平面區(qū)域是學(xué)生易錯(cuò)的地方，也是用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟，一定讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握．
變式訓(xùn)練
已知實(shí)數(shù)x，y滿足x≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于()
A．7B．5C．4D．3
答案：B
解析：畫出x，y滿足的可行域，可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)z＝x－y取得最小值．故由y＝2x－1，x＋y＝m，解得x＝m＋13，y＝2m－13.代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1，解得m＝5.

例2某機(jī)械廠的車工分Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)等級(jí)，各級(jí)車工每人每天加工能力、成品合格率及日工資數(shù)如下表所示：

級(jí)別加工能力(個(gè)/人天)成品合格率(%)工資(元/天)
Ⅰ240975.6
Ⅱ16095.53.6

工廠要求每天至少加工配件2400個(gè)，車工每出一個(gè)廢品，工廠要損失2元，現(xiàn)有Ⅰ級(jí)車工8人，Ⅱ級(jí)車工12人，且工廠要求至少安排6名Ⅱ級(jí)車工，試問如何安排工作，使工廠每天支出的費(fèi)用最少．
活動(dòng)：學(xué)生對(duì)求解簡單線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用問題的步驟已經(jīng)是很熟悉，讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，有助于學(xué)生解題能力的鍛煉與培養(yǎng)．本例的關(guān)鍵是列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，再就是畫平面區(qū)域．
解：根據(jù)題意列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)．設(shè)需Ⅰ、Ⅱ級(jí)車工分別為x、y人．
線性約束條件：
97%240x＋95.5%160y≥2400，0≤x≤8，6≤y≤12，化簡即為29.1x＋19.1y≥300，0≤x≤8，6≤y≤12.
目標(biāo)函數(shù)為z＝[(1－97%)240x＋(1－95.5%)160y]×2＋5.6x＋3.6y，
化簡即為z＝20x＋18y.根據(jù)題意知即求目標(biāo)函數(shù)z的最小值．
畫出約束條件的可行域，如圖，根據(jù)圖知，點(diǎn)A(6,6.3)應(yīng)為既滿足題意，又使目標(biāo)函數(shù)最小．然而A點(diǎn)非整數(shù)點(diǎn)．故在點(diǎn)A上側(cè)作平行直線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最近，可知(6,7)為滿足題意的整數(shù)解．
此時(shí)zmin＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ級(jí)車工6人，Ⅱ級(jí)車工7人時(shí)，工廠每天支出費(fèi)用最少．
答：每天安排Ⅰ級(jí)車工6人，Ⅱ級(jí)車工7人，工廠每天支出費(fèi)用最少．
點(diǎn)評(píng)：通過本例的求解我們可以看出，處理簡單的線性規(guī)劃的實(shí)際問題，關(guān)鍵之處在于從題意中建立目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型．這樣解題時(shí)，將所有的約束條件羅列出來，弄清目標(biāo)函數(shù)與約束條件的區(qū)別，得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．
例3A、B兩個(gè)產(chǎn)地分別生產(chǎn)同一規(guī)格產(chǎn)品12千噸、8千噸，而D、E、F三地分別需要8千噸、6千噸、6千噸，每千噸的運(yùn)費(fèi)如下表所示：

(萬元)到D到E到F
從A456
從B524

怎樣確定調(diào)運(yùn)方案，使總的運(yùn)費(fèi)最少？
點(diǎn)評(píng)：本例表中的數(shù)據(jù)較多．可設(shè)從A運(yùn)到D為x，從A運(yùn)到E為y，則從A運(yùn)到F就可用x、y表示，即12－x－y，則B運(yùn)到D、E、F分別為8－x,6－y，x＋y－6.目標(biāo)函數(shù)為f＝－3x＋y＋100.
解：設(shè)從A運(yùn)到D為x，從A運(yùn)到E為y，則從A運(yùn)到F為12－x－y，B運(yùn)到D、E、F分別為8－x,6－y，x＋y－6.
約束條件為x≥0，y≥0，12－x－y≥0，8－x≥0，6－y≥0，x＋y－6≥0.目標(biāo)函數(shù)為f＝－3x＋y＋100.
可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分(包括邊界)．易知，當(dāng)x＝8，y＝0時(shí)，f最小，即運(yùn)費(fèi)最省．
故當(dāng)從A運(yùn)到D8千噸、從A運(yùn)到F4千噸、從B運(yùn)到E6千噸、從B運(yùn)到F2千噸時(shí)，總的運(yùn)費(fèi)最少．
點(diǎn)評(píng)：通過本例的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)多個(gè)數(shù)據(jù)的處理，進(jìn)一步明確線性規(guī)劃的應(yīng)用性．
變式訓(xùn)練
行駛中的汽車在剎車時(shí)，由于慣性作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下來，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列關(guān)系：y＝nx100＋x2400(n為常數(shù)，n∈N)．做兩次剎車試驗(yàn)，有數(shù)據(jù)如圖，其中5＜y1＜7,13＜y2＜15.
(1)求出n的值；
(2)要求剎車距離不超過18.4m，則行駛的最大速度應(yīng)為多少？
解：(1)將x1＝40，x2＝70分別代入y＝nx100＋x2400，有y1＝25n＋4，y2＝710n＋494.
依題意，有525n＋47，13710n＋49415(n∈N)．解得n＝3.
(2)y＝3x100＋x2400≤18.4，解得x≤80，即最大行駛速度為80km/h.
知能訓(xùn)練
1．實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組y≥0，x－y≥0，2x－y－2≥0，則ω＝y(tǒng)－1x＋1的取值范圍是()
A．[－1，13]B．[－12，13]
C．[－12，＋∞)D．[－12，1)
2．如圖所示，在約束條件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是()
A．[7,8]B．[7,15]C．[6,8]D．[6,15]
3．購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少要兩張，如果小明帶有10元錢，問有多少種買法？
答案：
1.
D解析：設(shè)點(diǎn)D(x，y)在圖中陰影部分內(nèi)，如圖．ω＝y(tǒng)－1x＋1，即動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)A(－1,1)連線的斜率．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，ω取得最小值，由y＝0，2x－y－2＝0，得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．∴ω＝－12.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在x－y＝0上，且x→＋∞時(shí)，ω趨向于最大值，即經(jīng)過A點(diǎn)，斜率為ω的直線與x－y＝0平行．∴ω∈[－12，1)．
2．A解析：由題意知要求在約束條件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的取值范圍，作出如圖所示目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)的可行域．
由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2，
∴當(dāng)x＋y＝3時(shí)，在B點(diǎn)處z取最大值；隨著x＋y＝3的上移，z的最大值也隨著增大．當(dāng)平移經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，z的最大值達(dá)到最大，且B(1,2)，C(0,4)．
∴當(dāng)3≤s≤5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是[7,8]．
3．解：設(shè)8角郵票可買x張，2元郵票可買y張，根據(jù)題意有8x＋20y≤100，x≥2，y≥2，x、y∈N.
不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，而在該區(qū)域內(nèi)，x、y都是不小于2的整數(shù)，這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為11，所以小明有11種購買方法，分別是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
課堂小節(jié)
1．由學(xué)生回顧本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容？通過對(duì)這些內(nèi)容的復(fù)習(xí)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？
2．本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)了平面區(qū)域和線性規(guī)劃問題，明確了用線性規(guī)劃的方法解決的兩種重要問題．線性規(guī)劃實(shí)質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合的一種體現(xiàn)，即將最值問題直觀、簡便地尋找出來，是一種較為簡捷地求最值的方法．進(jìn)一步熟悉了利用線性規(guī)劃解決問題的步驟．還結(jié)合一道線性規(guī)劃題目，探究了利用新視角解決問題的方法，打破了思維定式，今后要注意這方面的思維訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．
作業(yè)
1．本章鞏固與提高A組14、15；B組14、15.
2．本章自測(cè)與評(píng)估．
設(shè)計(jì)感想
1．本課時(shí)設(shè)計(jì)注重了教師的靈活操作．在復(fù)習(xí)時(shí)，采取提問、討論、練習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)的形成過程及內(nèi)在聯(lián)系．用表格、圖示、文字的方法串成線、連成片，建立起合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生記憶，而不是簡單的重復(fù)．
2．本課時(shí)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生的層次，關(guān)注了學(xué)習(xí)要求上的分層．讓學(xué)習(xí)較差層次的學(xué)生多回答一些概念識(shí)記性提問，要求學(xué)會(huì)做一些基礎(chǔ)題目．讓學(xué)習(xí)中等層次的學(xué)生，多回答一些需認(rèn)真思索的提問，會(huì)做一些難度適中的綜合練習(xí)．讓學(xué)習(xí)較好層次的學(xué)生，多回答一些智力運(yùn)用性的提問，會(huì)運(yùn)用知識(shí)解決一些難度較大的綜合性題目．
3．本課時(shí)設(shè)計(jì)注意了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．學(xué)生的能力最終體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用上．在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更加注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)，把數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)知識(shí)、技能融為一體，不斷提高學(xué)生的思維能力、解題能力及聯(lián)系實(shí)際的能力．

(設(shè)計(jì)者：鄭吉星)

備課資料
一、備用例題
【例1】已知0＜x＜13，求函數(shù)y＝x(1－3x)的最大值．
活動(dòng)一：原函數(shù)式可化為y＝－3x2＋x，利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值．
解法一：(利用二次函數(shù)法可獲得求解)(解略)
活動(dòng)二：挖掘隱含條件，∵3x＋1－3x＝1為定值，且0＜x＜13，則1－3x＞0；可用均值不等式．
解法二：∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴y＝x(1－3x)＝133x(1－3x)≤13(3x＋1－3x2)2＝112，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝16時(shí)，ymax＝112.
【例2】求y＝sinx＋5sinx的最小值，x∈(0，π)．
錯(cuò)解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.∴y＝sinx＋5sinx≥25.∴ymin＝25.
錯(cuò)因：y＝25的充要條件是sinx＝5sinx，即sin2x＝5，這是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.又y＝sinx＋5sinx＝sinx＋1sinx＋4sinx≥2＋4sinx，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1sinx，即sinx＝1時(shí)，取“＝”．而此時(shí)4sinx也有最小值4，
∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，ymin＝6.
【例3】已知正數(shù)x、y滿足2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．
錯(cuò)解：∵1＝2x＋y≥22xy，∴xy≤122，即1xy≥22.
∴1x＋1y≥21xy≥222＝42，即1x＋1y的最小值為42.
錯(cuò)因：過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“＝”過渡，而這兩次取“＝”的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)．
正解一：∵2x＋y＝1，∴1x＋1y＝(2x＋y)(1x＋1y)＝2＋2xy＋yx＋1≥3＋22，當(dāng)且僅當(dāng)yx＝2xy，即y＝2x時(shí)，取“＝”．
而y＝2x2x＋y＝1?x＝12＋2，y＝22＋2，即此時(shí)ymin＝3＋22.
正解二：∵1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy(以下同解一)．
小結(jié)：用均值不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)最值存在的充要條件，特別地，如果多次運(yùn)用均值不等式求最值，則要考慮多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的諸條件是否相容．
【例4】已知正數(shù)x、y滿足xy＝x＋y＋3，試求xy、x＋y的范圍．
解法一：由x＞0，y＞0，則xy＝x＋y＋3xy－3＝x＋y≥2xy，即(xy)2－2xy＋3≥0.
解得xy≤－1(舍去)或xy≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)且xy＝x＋y＋3，即x＝y(tǒng)＝3時(shí)取“＝”，故xy的取值范圍是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤(x＋y2)2(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)且xy＝x＋y＋3，即x＝y(tǒng)＝3時(shí)取“＝”，故x＋y的取值范圍是[6，＋∞)．
解法二：由x＞0，y＞0，xy＝x＋y＋3?(x－1)y＝x＋3，知x≠1，則y＝x＋3x－1.
由y＞0?x＋3x－1＞0?x＞1，則
xy＝xx＋3x－1＝x2＋3xx－1＝x－12＋5x－1＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋5≥2x－14x－1＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3時(shí)取“＝”，故xy的取值范圍是[9，＋∞)．
x＋y＝x＋x＋3x－1＝x＋x－1＋4x－1＝x＋4x－1＋1＝(x－1)＋4x－1＋2
≥2x－14x－1＋2＝6.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3時(shí)取“＝”，故x＋y的取值范圍是[6，＋∞)．
點(diǎn)評(píng)：解法一具有普遍性，而且簡潔實(shí)用，易于掌握，解法二要求掌握構(gòu)造的技巧．
總之，利用均值不等式求最值的方法多樣，而且變化多端，要掌握常見的變形技巧，掌握常見題型的求解方法，加強(qiáng)訓(xùn)練、多多體會(huì)，才能達(dá)到舉一反三的目的．
【例5】用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，
(1)求a關(guān)于h的解析式；
(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)．
解：(1)設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得
a2＋412h′a＝2，h2＋14a2＝h′2，消去h′，解得a＝1h2＋1(a＞0)．
(2)由V＝13a2h＝h3h2＋1(h＞0)，
得V＝13h＋1h，而h＋1h≥2h1h＝2.
所以V≤16，當(dāng)且僅當(dāng)h＝1h，即h＝1時(shí)取等號(hào)；
故當(dāng)h＝1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為16立方米．
二、不等式的證明方法探究
1．配方法
把一個(gè)不是完全平方形式的多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)配成完全平方，然后利用一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)的這個(gè)特殊的性質(zhì)來證明某些式子是大于或等于零的．
2．判別式法
通過對(duì)所證不等式的觀察、分析，構(gòu)造出二次方程，然后利用二次方程的判別式，從而使不等式得證．
3．比較法
為了證明A＞B，可轉(zhuǎn)化為證明A－B＞0，或者當(dāng)B＞0時(shí)轉(zhuǎn)化為證明AB＞1.
4．放縮法
為了證明A＜B，可設(shè)法證明A＜C，且C＜B.有時(shí)也可考慮證明加強(qiáng)命題．
5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題．
6．構(gòu)造法
構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，使要證的命題比較直觀地反映出來．
7．輔助函數(shù)法
函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它與不等式有密切的聯(lián)系．
通過構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去證明該不等式．通常我們可以利用以下一些函數(shù)的性質(zhì)：
(1)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，則y≥0?Δ≤0；(2)三角函數(shù)的有界性；(3)函數(shù)的單調(diào)性；(4)函數(shù)的凸性；(5)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
8．換元法
通過添設(shè)輔助元素，使原來不等式變成與新的變量有關(guān)的不等式．
應(yīng)用換元法，可把字母多化成字母少，可把紊亂的不等式化成簡單的、條理清晰的不等式．
常用的換元方法有三角換元和均值換元．
(1)三角換元
x2＋y2＝r2(r＞0)x＝rcosα，y＝rsinα(0≤α＜2π)；x2＋y2≤a2x＝rcosα，y＝rsinα(0≤α＜2π，r≤|a|)；x2－y2＝r2(r＞0)x＝rsecα，y＝rtanα(0≤α＜2π)．
(2)均值換元
x＋y＝ax＝a2－ε，y＝a2＋ε；x＋y＋z＝ax＝a3＋α，y＝a3＋β，α＋β＋γ＝0.z＝a3＋γ
另外，在證明的過程中還經(jīng)常使用整體換元，即用一個(gè)變量代替一個(gè)整式．
9．逐步調(diào)整法
在證明不等式的過程中，對(duì)某一個(gè)函數(shù)式的某些變?cè)M(jìn)行調(diào)整(變大或變小)，觀察其值的變化，從中發(fā)現(xiàn)函數(shù)式的最值．

擴(kuò)展閱讀

不等式教案

(2)對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù),變形為的形式,將問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的倍的范圍;
(3)對(duì)形如型的目標(biāo)函數(shù),可化為的形式,將問題化歸為求可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的倍的最值。
36、在圓錐曲線中,求形如(是圓錐曲線內(nèi)的一點(diǎn),是圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn))的最值問題時(shí),可利用圓錐曲線的第二定義將轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。
有關(guān)線段和差關(guān)系的計(jì)算,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的第一定義。
37、凡是動(dòng)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)之間距離的最值,必過圓心時(shí)才能取得,應(yīng)先求動(dòng)點(diǎn)到圓心的最值,再加上或減去半徑

不等式的證實(shí)3

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計(jì)劃和準(zhǔn)備，作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。所以你在寫教案時(shí)要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“不等式的證實(shí)3”，僅供參考，希望能為您提供參考！

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識(shí)點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差
②變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)
注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立
點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)?，所以，?br> 故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號(hào)語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識(shí)又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時(shí)的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí)，證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時(shí)，
故原命題成立
4．比較的大?。ㄆ渲?x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購進(jìn)糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計(jì)，誰購的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價(jià)格為，乙三次購糧的平均價(jià)格為，因?yàn)?br> 所以乙購的糧食價(jià)格低
說明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

超越不等式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編精心為您整理的“超越不等式”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

超越不等式
一,理論知識(shí)匯總
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解關(guān)于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等價(jià)于(ax-1)(x+1)0
（1）當(dāng)a=0時(shí),原不等式為-(x+1)0解得x-1;
（2）當(dāng)a0時(shí),得1a0解得x-1或x1a
（3）當(dāng)a0時(shí),原不等式可化為(x-1a)(x+1)0
①若a=-1時(shí),不等式無解;②若a-1時(shí),1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0時(shí),1a-1解得1ax-1
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí),解集為(-∞,-1);當(dāng)a0時(shí),解集為(-∞,-1)∪(1a,+∞);
當(dāng)a=-1時(shí),解集為;當(dāng)a-1時(shí),解集為(-1,1a);當(dāng)-1a0時(shí),解集為(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿線法.
注意:(1)因式分解后,整理成每個(gè)因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿線法的使用對(duì)象及使用方法
使用對(duì)象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根,使等號(hào)成立的根,標(biāo)為實(shí)點(diǎn),等號(hào)不成立的根要標(biāo)虛點(diǎn).
②自右向左自上而下穿線,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③數(shù)軸上方曲線對(duì)應(yīng)區(qū)域使“”成立,下方曲線對(duì)應(yīng)區(qū)域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:變形為(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根據(jù)穿線法如圖

不等式解集為:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.?
a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）對(duì)數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.
a1時(shí),logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1時(shí),logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函數(shù)y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)圖，得出滿足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用單位圓求解之外，
還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的圖像，先得出滿足條件x∈的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的結(jié)論可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
練習(xí)：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),則不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.設(shè)A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},則A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集為()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集為()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范圍內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.當(dāng)0a1時(shí),不等式:的解集為.
12.不等式sinx≤-的解集為.
13.不等式tan(x-)≥的解集為.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指數(shù)不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解對(duì)數(shù)不等式:logx5-2logx3.?

17.解關(guān)于x的不等式:

18.解不等式: