高中不等式教案
發(fā)表時間：2020-12-01不等式教案。
1、(、)。2、(、,)(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。
3、若、、且,則(真分?jǐn)?shù)的分子分母加上同一個正數(shù),值變大)。
4、若、、且,則。
5、。
6、一個重要的均值不等式鏈:設(shè),則有(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。
7、若已知條件中含有或隱含著或這一信息,常?？梢栽O(shè)用這種和式增量法來證明不等式、求值、或比較大小。
8、不等式證明常用的放縮方法:
(1);
(2)。
七、解析幾何:
1、兩條平行直線和之間的距離為。
2、直線過定點,且點在圓內(nèi),則與圓必相交。
過圓內(nèi)一點的弦長,以直徑為最大,垂直于(為圓心)的弦為最小。
3、直線在軸、軸上的截距相等包含有直線過原點這一特殊情況。
4、直線過定點時,根據(jù)情況有時可設(shè)其方程為(時直線)應(yīng)用點斜式解題,應(yīng)檢驗直線斜率不存在的情況。
5、已知圓的方程是和點,若點是圓上的點,則方程表示過點的圓的切線方程;若點在圓外,則方程表示過點向圓所作的兩條切線的切點所在的直線方程(又稱切點弦方程)。
6、過圓上一點的圓的切線方程是:
。
7、圓和相交于、兩點,則直線為這兩圓的根軸,其方程為(即為公共弦所在的直線方程。利用此法,可以推導(dǎo)圓的切點弦方程)。
8、已知一個圓的直徑端點是、,則圓的方程是:
。
9、給一定點和橢圓:,、分別為左右焦點,有如下性質(zhì):
(1)若點在橢圓上,則,(由橢圓第二定義推出);
(2)若點在橢圓上,過這一點的橢圓的切線方程則可表示為:;
(3)若點在橢圓外,則這一點對應(yīng)的橢圓的切點弦可表示為:;
(4)若點在橢圓內(nèi),則這一點對應(yīng)的橢圓的極線可表示為:;
補(bǔ)充:直線與橢圓相切的充要條件是:
。
10、三種圓錐曲線的通徑(通徑是最短的焦點弦):
(1)橢圓的通徑長為;
(2)雙曲線的通徑長為;
(3)拋物線的通徑長為。
11、雙曲線的焦半徑公式:點為雙曲線上任意一點,、分別為左右焦點
(1)若在右支上,則,;
(2)若在左支上,則,。
12、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點在軸或軸上)的統(tǒng)一形式為(),雙曲線的漸近線方程為,也可記作。
13、過拋物線的焦點且傾斜角為的弦,時,最短弦長為,即為拋物線的通徑。
14、圓錐曲線中幾條特殊的垂直弦和定點弦:
(1)過拋物線的頂點作兩條互相垂直的弦,則弦過定點;
(2)過拋物線的頂點作兩條互相垂直的弦,點分別為的中點,則直線過定點;
(3)過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦,則弦過定點;
(4)過橢圓的中心作兩條相互垂直的弦,則原點到弦AB的距離為定值:,且(此時弦AB最短),(此時弦AB最長);
(5)過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的弦,則弦MN過定點:;
(6)過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的弦,點分別為的中點,則直線MN過定點:;
(7)過雙曲線的中心作兩條相互垂直的弦,則原點到弦AB的距離為定值:;
15、過拋物線上一點的焦半徑;若、是過焦點弦的端點,,則:
(1),;
(2);
(3)(為直線與軸的夾角);
(4)若、在準(zhǔn)線上的射影分別為、,則;
(5)以焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,切點為的中點;
(6)以焦半徑為直徑的圓與軸相切;
(7)以為直徑的圓與焦點弦相切,切點為焦點F;
16、過拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點作拋物線的兩條切線,則切點弦長等于該拋物線的通徑。過拋物線的對稱軸上任意一點作拋物線的切線,切點分別為、,則直線過定點。
17、由拋物線焦點發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線上一點反射后,反射光線平行拋物線的軸。
18、若雙曲線的兩條漸近線方程分別為,則對應(yīng)雙曲線方程可設(shè)為為為參數(shù))。
19、等軸雙曲線的離心率;雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長。
20、若一直線被雙曲線及兩條漸近線所截,則夾在雙曲線與漸近線間的線段長相等。
21、點與圓錐曲線的位置關(guān)系:
(1)若點在拋物線內(nèi)部,則。
若點在拋物線外部,則;
(2)若點在內(nèi)部,則。
若點在外部,則;
(3)雙曲線內(nèi)的點(指點在雙曲線弧內(nèi)),滿足;
雙曲線外的點(指點在雙曲線弧外),滿足。
22、若直線與二次曲線交于、兩點,則由:
,知直線與二次曲線相交所截得的弦長:
其中(涉及直線與二次曲線相交的位置關(guān)系應(yīng)注意,還需要注意圓錐曲線本身的范圍。若求弦所在直線的斜率常用點差法)。
23、中心在原點的橢圓、雙曲線方程(焦點位置不定)可設(shè)為(其中且時為橢圓,時為雙曲線)。
24、圓錐曲線的參數(shù)方程:
(1)橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù));
(2)雙曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));
(3)拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。
25、若為橢圓上任一點,、為焦點,為短軸的一個端點,則(證明用到橢圓定義、余弦定理)。
26、與直線平行的直線系方程為(參數(shù));
與直線垂直的直線系方程為(為參數(shù))。
27、共離心率的橢圓系方程為(為參數(shù))。橢圓的離心率越接近1,橢圓越扁;橢圓的離心率越接近于0,橢圓就接近于圓?？梢愿爬?橢圓的離心率越大,橢圓越扁。
28、共漸近線的雙曲線系方程為(為參數(shù))。
29、設(shè)是橢圓上的任意一點(不在長軸上),、為左右焦點,則稱為焦點三角形,,,,該三角形有如下性質(zhì):
(1)離心率:;
(2)面積:;
(3)旁切球:左右兩個旁切球的球心都在直線上;
(4)設(shè)其內(nèi)心為,連接PI并延長交長軸于點M,則有:;
(5)當(dāng)且僅當(dāng)點P在短軸端點時,最大,也最大。
30、設(shè)是雙曲線上的任意一點(不在實軸上),、為左右焦點,,則的面積為。
31、橢圓內(nèi)接三角形,四邊形的面積最大問題
(1)橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值為:(當(dāng)且僅當(dāng)三角形的重心為橢圓的中心);
(2)橢圓內(nèi)接四邊形面積的最大值為:(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形的對角線為橢圓的一對共軛直徑)
32、設(shè)M,N為橢圓上關(guān)于原點中心對稱的兩點,P為橢圓上異于M,N的任意一點,則。(雙曲線中為:)
33、已知兩點、及直線
(1)若點、在直線的同側(cè),則。
(2)若點、在直線的異側(cè),則。
34、已知點、及直線,點關(guān)于直線的對稱點為,則有其中
35、在線性規(guī)劃中,
(1)對形如型的目標(biāo)函數(shù),可變形為,看做直線在軸上的截距,問題轉(zhuǎn)化為求縱截距范圍或
(2)對形如型的目標(biāo)函數(shù),變形為的形式,將問題轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點與點連線斜率的倍的范圍;
(3)對形如型的目標(biāo)函數(shù),可化為的形式,將問題化歸為求可行域內(nèi)的點到直線距離的倍的最值。
36、在圓錐曲線中,求形如(是圓錐曲線內(nèi)的一點,是圓錐曲線的一個焦點)的最值問題時,可利用圓錐曲線的第二定義將轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上的點到準(zhǔn)線的距離。
有關(guān)線段和差關(guān)系的計算,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的第一定義。
37、凡是動點到圓上動點之間距離的最值,必過圓心時才能取得,應(yīng)先求動點到圓心的最值,再加上或減去半徑
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超越不等式
一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編精心為您整理的“超越不等式”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
超越不等式
一,理論知識匯總
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等價轉(zhuǎn)化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0
f(x)g(x)0f(x)g(x)0
f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0
f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0
例:解關(guān)于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等價于(ax-1)(x+1)0
（1）當(dāng)a=0時,原不等式為-(x+1)0解得x-1;
（2）當(dāng)a0時,得1a0解得x-1或x1a
（3）當(dāng)a0時,原不等式可化為(x-1a)(x+1)0
①若a=-1時,不等式無解;②若a-1時,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0時,1a-1解得1ax-1
綜上所述：當(dāng)a=0時,解集為(-∞,-1);當(dāng)a0時,解集為(-∞,-1)∪(1a,+∞);
當(dāng)a=-1時,解集為;當(dāng)a-1時,解集為(-1,1a);當(dāng)-1a0時,解集為(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿線法.
注意:(1)因式分解后,整理成每個因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿線法的使用對象及使用方法
使用對象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根,使等號成立的根,標(biāo)為實點,等號不成立的根要標(biāo)虛點.
②自右向左自上而下穿線,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③數(shù)軸上方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立,下方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:變形為(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根據(jù)穿線法如圖
不等式解集為:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.?
a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）對數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.
a1時,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1時,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函數(shù)y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)圖，得出滿足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用單位圓求解之外，
還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的圖像，先得出滿足條件x∈的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的結(jié)論可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
練習(xí)：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),則不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.設(shè)A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},則A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集為()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集為()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范圍內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.當(dāng)0a1時,不等式:的解集為.
12.不等式sinx≤-的解集為.
13.不等式tan(x-)≥的解集為.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指數(shù)不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.
16.解對數(shù)不等式:logx5-2logx3.?
17.解關(guān)于x的不等式:
18.解不等式:
不等式與不等關(guān)系
一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“不等式與不等關(guān)系”，僅供參考，歡迎大家閱讀。
§3.1不等式與不等關(guān)系（第2課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識與技能：掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
2．過程與方法：通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；
3．情態(tài)與價值：通過講練結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理能力.
【學(xué)習(xí)重點】掌握不等式的性質(zhì)和利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式；
【學(xué)習(xí)難點】利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式。
一．知識歸納
1.性質(zhì)：
2.請試著對上式的（6），（7）,(8)進(jìn)行證明。
二．典例分析.
例1、已知求證：
例2、已知求的取值范圍
例3、比較下列兩個代數(shù)式值或者實數(shù)的大小。
（1）與（2）與
三．課堂檢測
1.若a,b是任意實數(shù)，且ab,則（）
A．B．C．D．
2.設(shè),則下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若則的值為（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符號不能確定
4.設(shè)，則a與b的大小關(guān)系是（）
AabBabCa=bD與x的值有關(guān)
5.若2a3,-4b-3,則的取值范圍是，的取值范圍是.
6.當(dāng)時，給出以下三個結(jié)論：①②③其中正確命題的序號是。
7.若則中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范圍
不等式
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？以下是小編收集整理的“不等式”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。
第三章不等式第一教時
教材：不等式、不等式的綜合性質(zhì)
目的：首先讓學(xué)生掌握不等式的一個等價關(guān)系，了解并會證明不等式的基本性質(zhì)ⅠⅡ。
過程：
一、引入新課
1．世界上所有的事物不等是絕對的，相等是相對的。
2．過去我們已經(jīng)接觸過許多不等式從而提出課題
二、幾個與不等式有關(guān)的名稱（例略）
1．“同向不等式與異向不等式”
2．“絕對不等式與矛盾不等式”
三、不等式的一個等價關(guān)系（充要條件）
1．從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)談起
2．應(yīng)用：例一比較與的大小
解：（取差）
∴
例二已知0,比較與的大小
解：（取差）
∵∴從而
小結(jié)：步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論
例三比較大小1．和
解：∵
∵
∴
2．和
解：（取差）∵
∴當(dāng)時；當(dāng)時=；當(dāng)時
3．設(shè)且，比較與的大小
解：∴
當(dāng)時≤；當(dāng)時≥
四、不等式的性質(zhì)
1．性質(zhì)1：如果，那么；如果，那么（對稱性）
證：∵∴由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)
2．性質(zhì)2：如果，那么（傳遞性）
證：∵，∴，
∵兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)∴
∴
由對稱性、性質(zhì)2可以表示為如果且那么
五、小結(jié)：1．不等式的概念2．一個充要條件
3．性質(zhì)1、2
補(bǔ)充題：1．若，比較與的大小
解：=……=∴≥
2．比較2sin與sin2的大小(02)
略解：2sinsin2=2sin(1cos)
當(dāng)(0,)時2sin(1cos)≥02sin≥sin2
當(dāng)(,2)時2sin(1cos)02sinsin2
3．設(shè)且比較與的大小
解：
當(dāng)時∴
當(dāng)時∴
∴總有
不等關(guān)系與不等式教案
教學(xué)設(shè)計
3．1.1不等關(guān)系與不等式
整體設(shè)計
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大?。?br>
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用．對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程．即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望．根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小．
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系．要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識．
三維目標(biāo)
1．在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系．
2．會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍．
3．通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美．
重點難點
教學(xué)重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍．
教學(xué)難點：準(zhǔn)確比較兩個代數(shù)式的大?。?br>
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課．
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系．這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著．這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個關(guān)系？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同．不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過不等式來體現(xiàn)的．
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系．在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容．
實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA＜xB.教師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖如下圖．
實例3：若一個數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零．
實例4：兩點之間線段最短．
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
實例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系．那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個實例用不等式表示出來．實例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實例3，若用x表示一個非負(fù)數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下圖．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以．
實例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的．但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論．
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大．
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三種關(guān)系中有且僅有一種關(guān)系成立．用邏輯用語表達(dá)為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法．
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
變式訓(xùn)練
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．隨x值變化而變化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大?。?br>
解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.從而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)．
(1)a＋b2與21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4與4a3(a－b)．
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定．本例可由學(xué)生獨立完成，但要點撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時取等號)，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓(xùn)練
已知x＞y，且y≠0，比較xy與1的大?。?br>
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
當(dāng)y＜0時，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
當(dāng)y＞0時，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
點評：當(dāng)字母y取不同范圍的值時，差xy－1的正負(fù)情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積．但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好．試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．
活動：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法．
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a＜b，m＞0，則a＋mb＋m＞ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則()
A．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不確定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各項都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.
知能訓(xùn)練
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為()
A．3B．2C．1D．0
2．比較2x2＋5x＋9與x2＋5x＋6的大小．
答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因為2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
課堂小結(jié)
1．教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識體系中．
2．教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方．鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究．
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3；習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計感想
1．本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化．經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動地照搬一種實驗?zāi)Ｊ剑鞣N教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動．也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法．針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥．
2．本節(jié)設(shè)計注重了難度控制．不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點．作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響．
3．本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線．采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化．變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
備課資料
備用習(xí)題
1．比較(x－3)2與(x－2)(x－4)的大?。?br>
2．試判斷下列各對整式的大小：(1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求證：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。?br>
5．設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，試比較aabb與abba的大?。?br>
參考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．證明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
當(dāng)a＞b＞0時，ab＞1，a－b＞0，
則(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
當(dāng)b＞a＞0時，0＜ab＜1，a－b＜0.
則(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb＞abba.
