高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)直接證明與間接證明學(xué)案有答案。

學(xué)案38直接證明與間接證明
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程及特點.2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程及特點．
自主梳理
1．直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論________，這種證明方法叫做綜合法．
②框圖表示：PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQ(其中P表示已知條件，Q表示要證的結(jié)論)．
(2)分析法
①定義：從________________出發(fā)，逐步尋求使它成立的__________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)．這種證明的方法叫做分析法．
②框圖表示：QP1→P1P2→P2P3→…→得到一個明顯成立的條件.
2．間接證明
反證法：假設(shè)原命題__________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出________，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
自我檢測
1．分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的()
A．充分條件B．必要條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
2．(2011揭陽模擬)用反證法證明“如果ab，那么3a3b”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()
A.3a＝3bB.3a3b
C.3a＝3b且3a3bD.3a＝3b或3a3b
3．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()
A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b|
B．a(chǎn)2＋1a2≥a＋1a
C.a＋3－a＋1a＋2－a
D．|a－b|＋1a－b≥2
4．(2010廣東)在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算⊕和如下：
那么d(a⊕c)等于()
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
5．(2011東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、z∈R＋，a＝x＋1y，b＝y(tǒng)＋1z，c＝z＋1x，則a、b、c三數(shù)()
A．至少有一個不大于2B．都小于2
C．至少有一個不小于2D．都大于2
探究點一綜合法
例1已知a，b，c都是實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

變式遷移1設(shè)a，b，c0，證明：
a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.

探究點二分析法
例2(2011馬鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.

變式遷移2已知a0，求證：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.

探究點三反證法
例3若x，y都是正實數(shù)，且x＋y2，
求證：1＋xy2與1＋yx2中至少有一個成立．

變式遷移3若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋π2，b＝y(tǒng)2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求證：a，b，c中至少有一個大于0.

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)(2010上海改編)若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m.
(1)若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍．
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2abab.
多角度審題(1)本題屬新定義題，根據(jù)“遠(yuǎn)離”的含義列出不等式，然后加以求解．
(2)第(2)小題，實質(zhì)是證明不等式|a3＋b3－2abab||a2b＋ab2－2abab|成立．證明時注意提取公因式及配方法的運用．
【答題模板】
(1)解由題意得x2－1＞1，
即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]
由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－2或x＞2；由x2－1＜－1，得x∈.
綜上可知x的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[4分]
(2)證明由題意知即證a3＋b3－2abab＞a2b＋ab2－2abab成立．[6分]
∵a≠b，且a、b都為正數(shù)，
∴a3＋b3－2abab＝a32＋b32－2a3b3＝a3－b32＝(aa－bb)2，
a2b＋ab2－2abab＝aba＋b－2ab＝ab(a－b)2＝(ab－ba)2，[8分]
即證(aa－bb)2－(ab－ba)2＞0，
即證(aa－bb－ab＋ba)(aa－bb＋ab－ba)＞0，
需證a－ba＋ba－ba＋b＞0，[10分]
即證(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都為正數(shù)且a≠b，∴上式成立．故原命題成立．[12分]
【突破思維障礙】
1．準(zhǔn)確理解題意，提煉出相應(yīng)不等式是解決問題的關(guān)鍵．
2．代數(shù)式|a3＋b3－2abab|與|a2b＋ab2－2abab|中的絕對值符號去掉為后續(xù)等價變形提供了方便．
【易錯點剖析】
1．推理論證能力較差，絕對值符號不會去．
2．運用能力較差，不能有效地進行式子的等價變形或中間變形出錯．
1．綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后達到待證的結(jié)論．即由因?qū)Ч?br> 2．分析法是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實．即執(zhí)果索因，用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫，這樣比較有條理，叫分析綜合法．
3．用反證法證明問題的一般步驟：
(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論)
(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)
(3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立．(結(jié)論成立)
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設(shè)中正確的是()
A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)
B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)
C．假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)
D．假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)
2．(2011濟南模擬)a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2＋c2＝2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是()
A．a(chǎn)bcB．bca
C．bacD．a(chǎn)cb
3．設(shè)a、b、c∈(0，＋∞)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR0”是“P、Q、R同時大于零”的()
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件
4．(2010上海普陀2月統(tǒng)考)已知a、b是非零實數(shù)，且ab，則下列不等式中成立的是()
A.ba1B．a(chǎn)2b2
C．|a＋b||a－b|D.1ab21a2b
5．(2011廈門月考)如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形
D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011江蘇前黃高級中學(xué)模擬)某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|12.那么他的反設(shè)應(yīng)該是______________________________．
7．對于任意實數(shù)a，b定義運算a*b＝(a＋1)(b＋1)－1，給出以下結(jié)論：
①對于任意實數(shù)a，b，c，有a*(b＋c)＝(a*b)＋(a*c)；
②對于任意實數(shù)a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；
③對于任意實數(shù)a，有a*0＝a.則以上結(jié)論正確的是________．(寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號)
8．(2011揭陽模擬)已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
其中命題正確的是________(填序號)．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求證：|a|＋|b||a－b|≤2.

10．(12分)(2011寧波月考)已知a、b、c0，求證：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．

11．(14分)(2011寧波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于14.
學(xué)案38直接證明與間接證明
自主梳理
1．(1)①推理論證成立(2)①要證明的結(jié)論充分條件
2．不成立矛盾
自我檢測
1．A[由分析法的定義可知．]
2．D[因為3a3b的否定是3a≤3b，
即3a＝3b或3a3b.]
3．D[D選項成立時需得證a－b0.A中|a－b|＋|c－b|≥|(a－b)－(c－b)|＝|a－c|，B作差可證；
C移項平方可證．]
4．A[由所給的定義運算知a⊕c＝c，dc＝a.]
5．C[a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，
因此a、b、c至少有一個不小于2.]
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運用和對題設(shè)條件的運用．這里可從基本不等式相加的角度先證得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再進一步得出結(jié)論．
證明∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)
＝(a＋b＋c)2.
∴a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2；
∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)
≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，
∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．
∴原命題得證．
變式遷移1證明∵a，b，c0，根據(jù)基本不等式，
有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.
三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．
即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
例2解題導(dǎo)引當(dāng)所給的條件簡單，而所證的結(jié)論復(fù)雜，一般采用分析法．含有根號、對數(shù)符號、絕對值的不等式，若從題設(shè)不易推導(dǎo)時，可以考慮分析法．
證明要證lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，
只需證lga＋b2b＋c2c＋a2lg(abc)，
只需證a＋b2b＋c2c＋a2abc.(中間結(jié)果)
因為a，b，c是不全相等的正數(shù)，
則a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ca0.
且上述三式中的等號不全成立，
所以a＋b2b＋c2c＋a2abc.(中間結(jié)果)
所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.
變式遷移2證明要證a2＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要證a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
∵a0，故只要證a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，
即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4
≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，
從而只要證2a2＋1a2≥2a＋1a，
只要證4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，
即a2＋1a2≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立．
例3解題導(dǎo)引(1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．
(2)利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤．
證明假設(shè)1＋xy2和1＋yx2都不成立，
則有1＋xy≥2和1＋yx≥2同時成立，
因為x0且y0，
所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，
這與已知條件x＋y2相矛盾，
因此1＋xy2與1＋yx2中至少有一個成立．
變式遷移3證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.
∵a＝x2－2y＋π2，b＝y(tǒng)2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，
∴x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)≤0，①
又∵(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，π－30，
∴(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)0.②
①式與②式矛盾，∴假設(shè)不成立，即a，b，c中至少有一個大于0.
課后練習(xí)區(qū)
1．B
2．C[由a2＋c22ac2bc2acba，可排除A、D，令a＝2，c＝1，可得b＝52，可知C可能成立．]
3．C[必要性是顯然成立的，當(dāng)PQR0時，若P、Q、R不同時大于零，則其中兩個為負(fù)，一個為正，不妨設(shè)P0，Q0，R0，則Q＋R＝2c0，這與c0矛盾，即充分性也成立．]
4．D[ba1b－aa0a(a－b)0.
∵ab，∴a－b0.而a可能大于0，也可能小于0，
因此a(a－b)0不一定成立，即A不一定成立；
a2b2(a－b)(a＋b)0，∵a－b0，只有當(dāng)a＋b0時，a2b2成立，故B不一定成立；
|a＋b||a－b|(a＋b)2(a－b)2ab0，
而ab0也有可能，故C不一定成立；
由于1ab21a2ba－ba2b20(a－b)a2b20.
∵a，b非零，ab，∴上式一定成立，因此只有D正確．]
5．D[由條件知，△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，
由sinA2＝cosA1＝sinπ2－A1，sinB2＝cosB1＝sinπ2－B1，sinC2＝cosC1＝sinπ2－C1，得A2＝π2－A1，B2＝π2－B1，C2＝π2－C1，
那么，A2＋B2＋C2＝π2，
這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形．]
6．“x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)||x1－x2|，
則|f(x1)－f(x2)|≥12”
7．②③
解析按新定義，可以驗證a*(b＋c)≠(a*b)＋(a*c)；
所以①不成立；而a*(b*c)＝(a*b)*c成立，
a*0＝(a＋1)(0＋1)－1＝a.
所以正確的結(jié)論是②③.
8．①
解析
由三視圖知，在三棱錐S—ABC中，底面ABC為直角三角形且∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又SA⊥底面ABC，
∴BC⊥SA，由于SA∩AC＝A，
∴BC⊥平面SAC.
所以命題①正確．
由已知推證不出②③命題正確．故填①.
9．證明∵a⊥b，∴ab＝0.(2分)
要證|a|＋|b||a－b|≤2，只需證：|a|＋|b|≤2|a－b|，(4分)
平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2ab)，(8分)
只需證：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，(10分)
即(|a|－|b|)2≥0，顯然成立．故原不等式得證.(12分)
10．證明∵a2＋b2≥2ab，a、b、c0，
∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，(3分)
∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，
∴a3＋b3≥a2b＋ab2.(6分)
同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，
將三式相加得，
2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.(9分)
∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．
∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．(12分)
11．證明方法一假設(shè)三式同時大于14，
即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，(3分)
∵a、b、c∈(0,1)，
∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a164.
(8分)
又(1－a)a≤1－a＋a22＝14，(10分)
同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤164，(12分)
這與假設(shè)矛盾，故原命題正確．(14分)
方法二假設(shè)三式同時大于14，
∵0a1，∴1－a0，(2分)
1－a＋b2≥1－ab14＝12，(8分)
同理1－b＋c212，1－c＋a212，(10分)
三式相加得3232，這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，
∴原命題正確．(14分)

延伸閱讀

間接證明學(xué)案練習(xí)題

§2.2.2間接證明
一、知識點
1．間接證明的含義；
2．反證法論題的依據(jù)及證題步驟
二、典型例題
例1．求證：正弦函數(shù)沒有比2小的正周期

例2．證明：不是有理數(shù)

例3．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，
（1）證明命題：若，則。
（2）判斷（1）中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論。

三、課堂檢測
1．用反證法證明：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60o”時，應(yīng)假設(shè)_______________。
2．設(shè)則“”是“同時大于零”的___________條件。
3．設(shè)是異面直線，在上任取兩點A1、A2，在上任取兩點B1、B2，求證：A1B1與A2B2也是異面直線。
4．證明：正切函數(shù)沒有比小的正周期

四、課堂小結(jié)
五、課后反思

六、課后作業(yè)
1．證明：不是有理數(shù)。

2．證明：圓內(nèi)不是直徑的兩弦，不能互相平分。

3．證明：把54位同學(xué)分成若干小組，使每組至少有1人，且任意兩組的人數(shù)不相等，則至多分成9個小組。
4．求證：定義在實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有一個公共點。

5．證明：1，，3不可能是一個等差數(shù)列中的三項。

6．設(shè)，求證：3個數(shù)的值至少有一個不小于2.

7．設(shè)都是整數(shù)，且能被3整除，求證：和都能被3整除。

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案有答案

學(xué)案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算．
3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點.4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
自主梳理
1．指數(shù)冪的概念
(1)根式
如果一個數(shù)的n次方等于a(n1且n∈N*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，則x叫做________，其中n1且n∈N*.式子na叫做________，這里n叫做________，a叫做____________．
(2)根式的性質(zhì)
①當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時，a的n次方根用符號________表示．
②當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n次方根用符號________表示，負(fù)的n次方根用符號________表示．正負(fù)兩個n次方根可以合寫成________(a0)．
③(na)n＝____.
④當(dāng)n為偶數(shù)時，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.
⑤當(dāng)n為奇數(shù)時，nan＝____.
⑥負(fù)數(shù)沒有偶次方根．
⑦零的任何次方根都是零．
2．有理指數(shù)冪
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示
①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是
＝________(a0，m，n∈N*，n1)．
②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是
＝____________＝______________(a0，m，n∈N*，n1)．
③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．
(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①aras＝________(a0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)．
3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a10a1
圖象

定義域(1)________
值域(2)________
性質(zhì)(3)過定點________
(4)當(dāng)x0時，______；當(dāng)x0時，______(5)當(dāng)x0時，________；當(dāng)x0時，______
(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是______
自我檢測
1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()
①當(dāng)a0時，＝a3；
②nan＝|a|；
③函數(shù)y＝－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1.
A．0B．1C．2D．3
2．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()
A．a(chǎn)＝1或a＝2B．a(chǎn)＝1
C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)0且a≠1

3．如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)b1cd
B．a(chǎn)b1dc
C．ba1cd
D．ba1dc
4．若a1，b0，且ab＋a－b＝22，則ab－a－b的值等于()
A.6B．2或－2
C．－2D．2
5．(2011六安模擬)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()
A．a(chǎn)1，b0
B．a(chǎn)1，b0
C．0a1，b0
D．0a1，b0
探究點一有理指數(shù)冪的化簡與求值
例1已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，且ab，
求：(1)a－1＋b－1ab－1；÷3a－83a15.

變式遷移1化簡(a、b0)的結(jié)果是()
A.baB．a(chǎn)bC.abD．a(chǎn)2b
探究點二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
例2已知函數(shù)y＝(13)|x＋1|.
(1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)；
(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；
(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時有最值，并求出最值．

變式遷移2(2009山東)函數(shù)y＝ex＋e－xex－e－x的圖象大致為()
探究點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
例3如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

變式遷移3(2011龍巖月考)已知函數(shù)f(x)＝(12x－1＋12)x3.
(1)求f(x)的定義域；
(2)證明：f(－x)＝f(x)；
(3)證明：f(x)0.

分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)x∈[－1,1]時f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．
【答題模板】
解(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱．
又因為f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．[3分]
(2)當(dāng)a1時，a2－10，
y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)．[5分]
當(dāng)0a1時，a2－10，
y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)．
故當(dāng)a0，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．[7分]
(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，
∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－11－a2a
＝－1.[10分]
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，
故b的取值范圍是(－∞，－1]．[12分]
【突破思維障礙】
本例第(2)(3)問是難點，討論f(x)的單調(diào)性對參數(shù)a如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一．
【易錯點剖析】
在(2)中，函數(shù)的單調(diào)性既與ax－a－x有關(guān)，還與aa2－1的符號有關(guān)，若沒考慮aa2－1的符號就會出錯，另外分類討論完，在表達單調(diào)性的結(jié)論時，要綜合討論分類的情況，如果沒有一個總結(jié)性的表達也要扣分，在表達時如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯誤的．
1．一般地，進行指數(shù)冪的運算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進行運算，便于用運算性質(zhì)進行乘、除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．
2．比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。?br> 3．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0cd1ab.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小；即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．函數(shù)y＝的值域是()
A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．[2，＋∞)
2．(2011金華月考)函數(shù)y＝xax|x|(0a1)的圖象的大致形狀是()
3．(2010重慶)函數(shù)f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于直線y＝x對稱
C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱
4．定義運算a?b＝aa≤b，bab，則函數(shù)f(x)＝1?2x的圖象是()

5．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a0，a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是()
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0，12)
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011嘉興月考)函數(shù)f(x)＝－x＋3a，x0，ax，x≥0(a0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是________．
7．(2010江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
8．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范圍．

10．(12分)(2010北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ3ax－4x的定義域為[0,1]．
(1)求a的值．
(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

11．(14分)(2011東莞模擬)函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y0恒成立，求a的取值范圍．

答案自主梳理
1．(1)a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)(2)①na②na－na±na③a⑤a2.(1)①nam②1nam③0(2)①ar＋s②ars③arbr3.(1)R(2)(0，＋∞)(3)(0,1)(4)y10y1(5)0y1y1(6)增函數(shù)(7)減函數(shù)
自我檢測
1．B[只有④正確．①中a0時，0，a30，所以≠a3；②中，n為奇數(shù)時且a0時，nan＝a；③中定義域為[2，73)∪(73，＋∞)．]
2．C[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．]
3．D[y軸左、右的圖象對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時針方向增大．所以cd1,1ab0.]
4．D[(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝4，
∵a1，b0，∴ab1,0a－b1，∴ab－a－b＝2.]
5．D[由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1；
函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.]
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引1.指數(shù)冪的化簡原則
(1)化負(fù)數(shù)指數(shù)為正指數(shù)；
(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；
(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)．
2．指數(shù)冪的化簡結(jié)果要求為
有關(guān)有理指數(shù)冪的化簡結(jié)果不要同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不要既有分母又含有負(fù)指冪，即盡量化成與題目表示形式一致且統(tǒng)一的最簡結(jié)果．
解∵a，b是方程的兩根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且ab，
故a＝19，b＝9，
(1)化去負(fù)指數(shù)后求解．
a－1＋b－1ab－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.
∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.
(2)原式＝÷()＝＝.
∵a＝19，
∴原式＝3.
變式遷移1C[原式＝
＝＝ab－1＝ab.]
例2解題導(dǎo)引在作函數(shù)圖象時，首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過平移、對稱或伸縮來完成．
解(1)方法一由函數(shù)解析式可得
y＝(13)|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x－1.

其圖象由兩部分組成：
一部分是：y＝(13)x(x≥0)――→向左平移1個單位
y＝(13)x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x0)――→向左平移1個單位y＝3x＋1(x－1)．
如圖所示．
方法二①由y＝(13)|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y＝(13)x的圖象，保留x≥0的部分，當(dāng)x0時，其圖象是將y＝(13)x(x≥0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y＝(13)|x|的圖象．
②將y＝(13)|x|向左移動1個單位，即可得y＝(13)|x＋1|的圖象，如圖所示．
(2)由圖象知函數(shù)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，在[－1，＋∞)上是減函數(shù)．
(3)由圖象知當(dāng)x＝－1時，有最大值1，無最小值．
變式遷移2A[y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，當(dāng)x0時，e2x－10，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－11且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．]
例3解題導(dǎo)引1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a0且a≠1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a1來研究．
2．指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過換元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)．
解設(shè)t＝ax，則y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
(1)當(dāng)a1時，t∈[a－1，a]，
∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，滿足a1；
(2)當(dāng)0a1時，t∈[a，a－1]，
∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，
解得a＝13，滿足0a1.
故所求a的值為3或13.
變式遷移3(1)解由2x－1≠0x≠0，
所以定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)證明f(x)＝(12x－1＋12)x3可化為f(x)＝2x＋122x－1x3，
則f(－x)＝2－x＋122－x－1(－x)3
＝2x＋122x－1x3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．
(3)證明當(dāng)x0時，2x1，x30，
所以(12x－1＋12)x30.
因為f(－x)＝f(x)，
所以當(dāng)x0時，f(x)＝f(－x)0.
綜上所述，f(x)0.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函數(shù)的值域為[1，＋∞)．]
2．D[函數(shù)的定義域為{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x0－ax，x0.當(dāng)x0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿足0a1，所以函數(shù)遞減；當(dāng)x0時，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)遞增．]
3．D[函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，
∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．]
4．A[當(dāng)x0時，02x1，此時f(x)＝2x；
當(dāng)x≥0時，2x≥1，此時f(x)＝1.
所以f(x)＝12x＝2xx0，1x≥0.]
5．D[方程|ax－1|＝2a有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與函數(shù)y＝2a有兩個不同交點，作出函數(shù)y＝|ax－1|的圖象，從圖象觀察可知只有02a1時，符合題意，即0a12.]
6．[13，1)
解析據(jù)單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：
0a1，3a≥a0，即13≤a1.
7．－1
解析設(shè)g(x)＝ex＋ae－x，則f(x)＝xg(x)是偶函數(shù)．
∴g(x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)．
∴g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，
∴a＝－1.
8.3
解析當(dāng)a1時，f(2)＝2，
∴a2－1＝2，a＝3，經(jīng)驗證符合題意；
當(dāng)0a1時，f(0)＝2，即1－1＝2，無解．
∴a＝3.
9．解(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………(2分)
從而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.
又由f(1)＝－f(－1)知
－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，
解得a＝2.經(jīng)檢驗a＝2適合題意，
∴所求a、b的值分別為2、1.……………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．…………………………………………(6分)
又因f(x)是奇函數(shù)，
從而不等式f(t2－2t)－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．……………………………………………………………………………(8分)
因為f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t－2t2＋k.
即對一切t∈R有3t2－2t－k0.
從而判別式Δ＝4＋12k0，解得k－13.………………………………………………(12分)
10．解方法一(1)由已知得3a＋2＝183a＝2a＝log32.…………………………(4分)
(2)此時g(x)＝λ2x－4x，
設(shè)0≤x1x2≤1，因為g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以g(x1)－g(x2)＝0恒成立，……………………………(8分)
即λ恒成立．由于＝2，所以，實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.
……………………………………………………………………………………………(12分)
方法二(1)由已知得3a＋2＝183a＝2a＝log32.
……………………………………………………………………………………………(4分)
(2)此時g(x)＝λ2x－4x，
因為g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以有g(shù)′(x)＝λln22x－ln44x＝2xln2(－22x＋λ)≤0成立，…………………………(8分)
所以只需要λ≤22x恒成立．所以實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.…………………………(12分)
11．解由題意得1＋2x＋4xa0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a－1＋2x4x在x∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)
又因為－1＋2x4x＝－(12)2x－(12)x，
設(shè)t＝(12)x，
∵x≤1，∴t≥12
且函數(shù)f(t)＝－t2－t＝－(t＋12)2＋14(t≥12)
在t＝12時，取到最大值．
∴(12)x＝12即x＝1時，－1＋2x4x的最大值為－34，………………………………………(12分)
∴a－34.…………………………………………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)橢圓學(xué)案帶答案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無論做什么事都有計劃和準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)橢圓學(xué)案帶答案”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

學(xué)案51橢圓

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)．
自主梳理
1．橢圓的概念
在平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做________．這兩定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：
(1)若________，則集合P為橢圓；
(2)若________，則集合P為線段；
(3)若________，則集合P為空集．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2＋y2b2＝1
(ab0)y2a2＋x2b2＝1
(ab0)
圖形

性
質(zhì)范圍－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點
頂點A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距|F1F2|＝2c
離心率e＝ca∈(0,1)

a，b，c
的關(guān)系c2＝a2－b2

自我檢測
1．已知△ABC的頂點B、C在橢圓x23＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011揭陽調(diào)研)“mn0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知橢圓x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦點在y軸上，則α的取值范圍是()
A.3π4，πB.π4，3π4
C.π2，πD.π2，3π4
4．橢圓x212＋y23＝1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011開封模擬)橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究點一橢圓的定義及應(yīng)用
例1(教材改編)一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程．
變式遷移1求過點A(2,0)且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．
探究點二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；
(2)經(jīng)過兩點A(0,2)和B12，3.

變式遷移2(1)已知橢圓過(3,0)，離心率e＝63，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(6，1)、P2(－3，－2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

探究點三橢圓的幾何性質(zhì)
例3(2011安陽模擬)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．

變式遷移3已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(ab0)的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，AB∥OM.
(1)求橢圓的離心率e；
(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍．
方程思想的應(yīng)用
例(12分)(2011北京朝陽區(qū)模擬)已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為12，且經(jīng)過點M(1，32)，過點P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B.
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在直線l，滿足PA→PB→＝PM→2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【答題模板】
解(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
由題意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為x24＋y23＝1.[4分]
(2)若存在直線l滿足條件，由題意可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，
設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)0.
整理得32(6k＋3)0，解得k－12.[7分]
又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，
且PA→PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4](1＋k2)＝4＋4k23＋4k2＝54，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直線l滿足條件，
其方程為y＝12x.[12分]
【突破思維障礙】
直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點問題、相交弦問題及其他綜合問題．反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實數(shù)解及實數(shù)解的個數(shù)的問題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時，要注意判別式大
于零這一隱含條件，它可以用來檢驗所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍．對直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進行求解，與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算往往更容易實現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過程中要格外重視．
1．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)．當(dāng)橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可設(shè)方程為x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，這種形式在解題中更簡便．
2．橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)等．第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變．
3．直線與橢圓的位置關(guān)系問題．它是高考的熱點，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識、線段的中點、弦長、垂直問題等，分析此類問題時，要充分利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011溫州模擬)若△ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為()
A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)
2．已知橢圓x210－m＋y2m－2＝1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011天門期末)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()
A．圓B．橢圓
C．雙曲線D．拋物線
5．橢圓x225＋y29＝1上一點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______________．
7．(2011唐山調(diào)研)橢圓x29＋y22＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________；∠F1PF2的大小為________．
8.
如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一點，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，則此橢圓的離心率是______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知方向向量為v＝(1，3)的直線l過點(0，－23)和橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦點，且橢圓的離心率為63.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若已知點D(3,0)，點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且DM→＝λDN→，求實數(shù)λ的取值范圍．
10．(12分)(2011煙臺模擬)橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是AB的中點，若|AB|＝22，OC的斜率為22，求橢圓的方程．

11．(14分)(2010福建)已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

學(xué)案51橢圓
自主梳理
1．橢圓焦點焦距(1)ac(2)a＝c(3)ac
自我檢測
1．C2.C3.D4.A5.B
課堂活動區(qū)
例1解如圖所示，設(shè)動圓的圓心為C，半徑為r.
則由圓相切的性質(zhì)知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴點C的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點的橢圓，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴動圓圓心的軌跡方程為
x225＋y216＝1.
變式遷移1解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：
(x＋2)2＋y2＝62，圓心B(－2,0)，r＝6.
設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，
動圓與已知圓的切點為C.
則|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6|AB|＝4.
∴點M的軌跡是以點B(－2,0)、A(2,0)為焦點、線段AB中點(0,0)為中心的橢圓．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求軌跡方程為x29＋y25＝1.
例2解題導(dǎo)引確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個定位條件(即確定焦點的位置)和兩個定形條件(即確定a，b的大小)．當(dāng)焦點的位置不確定時，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，或者不必考慮焦點位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．
解(1)若橢圓的焦點在x軸上，
設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)．
∵橢圓過點A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝32b，∴b＝1，∴方程為x29＋y2＝1.
若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)方程為y2a2＋x2b2＝1(ab0)．
∵橢圓過點A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝32b，
∴a＝9，∴方程為y281＋x29＝1.
綜上可知橢圓的方程為x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
(2)設(shè)經(jīng)過兩點A(0,2)，B12，3的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1，將A，B坐標(biāo)代入方程得4n＝114m＋3n＝1m＝1n＝14，∴所求橢圓方程為x2＋y24＝1.
變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，從而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29＋y23＝1.
當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29＋y227＝1.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
(2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．
∵橢圓經(jīng)過P1、P2點，∴P1、P2點坐標(biāo)適合橢圓方程，
則6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②
①②兩式聯(lián)立，解得m＝19，n＝13.
∴所求橢圓方程為x29＋y23＝1.
例3解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的關(guān)系．
(2)對△F1PF2的處理方法定義式的平方余弦定理面積公式
|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤m＋n22＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范圍是12，1.
(2)證明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)．
變式遷移3解(1)∵F1(－c,0)，則xM＝－c，yM＝b2a，
∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
(2)設(shè)|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
當(dāng)且僅當(dāng)r1＝r2時，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
課后練習(xí)區(qū)
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x236＋y29＝17.2120°8.53
9．解(1)∵直線l的方向向量為v＝(1，3)，
∴直線l的斜率為k＝3.
又∵直線l過點(0，－23)，
∴直線l的方程為y＋23＝3x.
∵ab，∴橢圓的焦點為直線l與x軸的交點．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴橢圓方程為x26＋y22＝1.(6分)
(2)若直線MN⊥y軸，則M、N是橢圓的左、右頂點，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN與y軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為x＝my＋3(m≠0)．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得(m2＋3)y2＋6my＋3＝0.
設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－360，∴m232.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，顯然λ0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.
∵m232，得2λ＋1λ10，即λ2－2λ＋10，λ2－10λ＋10，
解得5－26λ5＋26且λ≠1.
綜上所述，λ的取值范圍是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入橢圓方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程組ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4b－1a＋b＝4，(8分)
將b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求橢圓的方程是x23＋2y23＝1.(12分)
方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，
則|AB|＝k2＋1x1－x22＝24b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
設(shè)C(x，y)，則x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率為22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
∴橢圓方程為x23＋2y23＝1.(12分)
11．解方法一(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知其左焦點為F′(－2,0)．
從而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故橢圓C的方程為x216＋y212＝1.(5分)
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因為直線l與橢圓C有公共點，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直線OA與l的距離d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213[－43，43]，所以符合題意的直線l不存在．(14分)
方法二(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
從而a2＝16.(3分)
所以橢圓C的方程為x216＋y212＝1.(5分)
(2)同方法一．

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案有答案

第六章數(shù)列
學(xué)案28數(shù)列的概念與簡單表示法
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
自主梳理
1．?dāng)?shù)列的定義
按________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個數(shù)列的項；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項．
2．通項公式：
如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式．但并非每個數(shù)列都有通項公式，也并非都是唯一的．
3．?dāng)?shù)列常用表示法有：_________、________、________.
4．?dāng)?shù)列的分類：
數(shù)列按項數(shù)來分，分為____________、__________；按項的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________．遞增數(shù)列an＋1______an；遞減數(shù)列an＋1______an；常數(shù)列an＋1______an.
5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系：
已知Sn，則an＝，n＝1，，n≥2.
自我檢測
1．(2011汕頭月考)設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項到第幾項的和最大()
A．10B．11
C．10或11D．12
2．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()
A．－165B．－33C．－30D．－21
3．(2011龍巖月考)已知數(shù)列－1，85，－157，249，…按此規(guī)律，則這個數(shù)列的通項公式是()
A．a(chǎn)n＝(－1)nn2＋n2n＋1
B．a(chǎn)n＝(－1)nnn＋32n＋1
C．a(chǎn)n＝(－1)nn＋12－12n＋1
D．a(chǎn)n＝(－1)nnn＋22n＋3
4．下列對數(shù)列的理解：
①數(shù)列可以看成一個定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函數(shù)；
②數(shù)列的項數(shù)是有限的；
③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；
④數(shù)列的通項公式是唯一的．
其中說法正確的序號是()
A．①②③B．②③④
C．①③D．①②③④
5．(2011湖南長郡中學(xué)月考)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，則該數(shù)列的通項an＝______.
探究點一由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項
例1寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)：
(1)23，415，635，863，1099，…；
(2)12，－2，92，－8，252，….

變式遷移1寫出下列數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，2，92，8，252，…；
(3)2，5，22，11，…；(4)1,0,1,0，….

探究點二由遞推公式求數(shù)列的通項
例2根據(jù)下列條件，寫出該數(shù)列的通項公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1(n≥2)．

變式遷移2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式．
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；
(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n.

探究點三由an與Sn的關(guān)系求an
例3已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式．

變式遷移3(2011杭州月考)(1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式．
(2)已知在正項數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和且2Sn＝an＋1，求an.

函數(shù)思想的應(yīng)用
例(12分)已知數(shù)列{an}的通項an＝(n＋1)1011n(n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由．
【答題模板】
解方法一令n＋11011n≥n1011n－1n＋11011n≥n＋21011n＋1[4分]
10n＋10≥11n11n＋11≥10n＋20n≤10n≥9，∴n＝9或n＝10時，an最大，[10分]
即數(shù)列{an}有最大項，此時n＝9或n＝10.[12分]
方法二∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n
＝1011n9－n11，[2分]
當(dāng)n9時，an＋1－an0，即an＋1an；
當(dāng)n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n9時，an＋1－an0，即an＋1an.[8分]
故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，[10分]
∴數(shù)列{an}中有最大項，為第9、10項．[12分]
【突破思維障礙】
有關(guān)數(shù)列的最大項、最小項，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項時也可用an滿足an≥an＋1an≥an－1；若求最小項，則用an滿足an≤an－1an≤an＋1.
數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值．
【易錯點剖析】
本題解題過程中易出現(xiàn)只解出a9這一項，而忽視了a9＝a10，從而導(dǎo)致漏解．
1．?dāng)?shù)列的遞推公式是研究的項與項之間的關(guān)系，而通項公式則是研究的項an與項數(shù)n的關(guān)系．
2．求數(shù)列的通項公式是本節(jié)的重點，主要掌握三種方法：(1)由數(shù)列的前幾項歸納出一個通項公式，關(guān)鍵是善于觀察；
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn與數(shù)列{an}的通項公式an的關(guān)系，要注意驗證能否統(tǒng)一到一個式子中；
(3)由遞推公式求通項公式，常用方法有累加、累乘．
3．本節(jié)易錯點是利用Sn求an時，忘記討論n＝1的情況．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為()
A．15B．16C．49D．64
2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n3n＋1，那么這個數(shù)列是()
A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列
C．?dāng)[動數(shù)列D．常數(shù)列
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于()
A．4B．2C．1D．－2
4．(2011煙臺模擬)數(shù)列{an}中，若an＋1＝an2an＋1，a1＝1，則a6等于()
A．13B.113C．11D.111
5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為()
A．5B.72C.92D.132
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝2an0≤an12，2an－112≤an1，若a1＝67，則a2010的值為________．
7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項an＝__________________.
8．(2011安慶月考)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：
1
23
456
78910
1112131415
………………
根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是____________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)寫出下列各數(shù)列的一個通項公式．
(1)112，223，334，445，…；
(2)－1，32，－13，34，－15，36.

10．(12分)由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式：
(1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)；
(2)a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2)；
(3)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)．

11．(14分)(2009安徽)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝a2nbn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1cn.

答案自主梳理
1．一定順序排列每一個數(shù)定義域為N*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…n
2.第n項n用一個公式3.解析法(通項公式或遞推公式)列表法圖象法4.有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列＝5.S1Sn－Sn－1
自我檢測
1．C2.C3.C4.C
5.1n
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，要使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求；
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結(jié)論不一定可靠，在解答題中一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
解(1)原數(shù)列為222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，
∴an＝2n(2n)2－1＝2n4n2－1.
(2)原數(shù)列為12，－42，92，－162，252，…，
∴an＝(－1)n＋1n22.
變式遷移1解(1)∵a1＝3＝21＋1，
a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，
∴an＝2n＋1.
(2)將數(shù)列中各項統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù)，得
12，42，92，162，252，…，
觀察知，各項的分子是對應(yīng)項數(shù)的平方，
∴數(shù)列通項公式是an＝n22.
(3)將數(shù)列各項統(tǒng)一成f(n)的形式得
2，5，8，11，…；
觀察知，數(shù)列各項的被開方數(shù)逐個增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項公式是an＝3n－1.
(4)從奇數(shù)項，偶數(shù)項角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數(shù)列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對應(yīng)項相加之和的一半組成的數(shù)列，也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點值來調(diào)整表示．
所以an＝1，n＝1，3，5，…，0，n＝2，4，6，…，
或an＝1＋(－1)n＋12(n∈N*)，
或an＝sinnπ2或an＝sin2nπ2(n∈N*)，
或an＝cosn－12π(n∈N*)．
例2解題導(dǎo)引利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，一般有以下三種方法：
(1)累加法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an＋1與an的差的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的差的關(guān)系式，然后把這n－1個式子相加，整理求出數(shù)列的通項公式．
(2)累積法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項an＋1與an的商的一個關(guān)系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的商的關(guān)系式，然后把這n－1個式子相乘，整理求出數(shù)列的通項公式．
(3)構(gòu)造法：根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式，進行變形整理，構(gòu)造出一個新的等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項公式求解．
解(1)當(dāng)n＝1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
將其相加，
得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．
∴an＝a1＋(1＋n－1)(n－1)2＝2＋n(n－1)2.
(2)方法一an＝anan－1an－1an－2…a3a2a2a1a1
＝12n－112n－2…122121
＝121＋2＋…＋(n－1)＝12n(n－1)2，
∴an＝12n(n－1)2.
方法二由2n－1an＝an－1，
得an＝12n－1an－1.
∴an＝12n－1an－1
＝12n－112n－2an－2
＝12n－112n－2…121a1
＝12(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝12n(n－1)2
變式遷移2解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an＋1＋1an＋1＝3，
∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，
∴an＋1＝23n－1，∴an＝23n－1－1.
(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴an＋1an＝n＋1.
∴anan－1＝n，an－1an－2＝n－1，
……
a3a2＝3，
a2a1＝2，
a1＝1.
累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
故an＝n！.
(3)∵an＋1＝an＋ln1＋1n，
∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n.
∴an－an－1＝lnnn－1，
an－1－an－2＝lnn－1n－2，
……
a2－a1＝ln21，
累加可得，an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1
＝lnn.
又a1＝2，∴an＝lnn＋2.
例3解題導(dǎo)引an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當(dāng)a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時，則需統(tǒng)一“合寫”．當(dāng)a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時，則通項公式應(yīng)分段表示，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
解當(dāng)n＝1時，
a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；
又n＝1時，an＝4×1－5＝－1≠a1，
∴an＝0，n＝1，4n－5，n≥2.
變式遷移3解(1)a1＝S1＝3＋b，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1.
當(dāng)b＝－1時，a1適合此等式；
當(dāng)b≠－1時，a1不適合此等式．
∴當(dāng)b＝－1時，an＝23n－1；
當(dāng)b≠－1時，an＝3＋b(n＝1)23n－1(n≥2).
(2)由2Sn＝an＋1，得Sn＝an＋122，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a1＋122，得a1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝an＋122－an－1＋122，
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵數(shù)列{an}各項為正，∴an＋an－10.
∴an－an－1－2＝0.
∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
課后練習(xí)區(qū)
1．A2.A3.A4.D5.B
6.377.2(n＝1)2n－1(n≥2，n∈N*)8.n2－n＋62
9．解(1)∵a1＝1＋12，a2＝2＋23，a3＝3＋34，…，
∴an＝n＋nn＋1(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分)
(2)∵a1＝－2－11，a2＝2＋12，a3＝－2－13，
a4＝2＋14，…，
∴an＝(－1)n2＋(－1)nn(n∈N*)．………………………………………………………(12分)
10．解(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2.
將上述各式等號兩邊累加得，
an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，
即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n(n＋1)2，
故an＝n(n＋1)2.……………………………………………………………………………(4分)
(2)由題意得，anan－1＝n－1n，an－1an－2＝n－2n－1，…，a3a2＝23，a2a1＝12.
將上述各式累乘得，ana1＝1n，故an＝1n.……………………………………………………(8分)
(3)由an＝2an－1＋1，
得an＋1＝2(an－1＋1)，
又a1＋1＝2≠0，所以an＋1an－1＋1＝2，
即數(shù)列{an＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分)
11．(1)解a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)
對于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合，
∴{an}的通項公式an＝4n.………………………………………………………………(3分)
將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分)
(求bn方法一)對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，
Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
∴bn＝12bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分)
(求bn方法二)對于n≥2，由Tn＝2－bn得
Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝12(Tn－1－2)，
Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，
Tn＝2－21－n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
b1＝1也適合．……………………………………………………………………………(6分)
綜上，{bn}的通項公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分)
(2)證明方法一由cn＝a2nbn＝n225－n，………………………………………………(10分)
得cn＋1cn＝121＋1n2.………………………………………………………………………(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，1＋1n≤432，
∴cn＋1cn12(2)2＝1，又cn＝n225－n0，
即cn＋1cn.………………………………………………………………………………(14分)
方法二由cn＝a2nbn＝n225－n，
得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]
＝24－n[－(n－1)2＋2]．…………………………………………………………………(13分)
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1－cn0，即cn＋1cn.…………………………………………(14分)