小學(xué)三年級數(shù)學(xué)教案

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)。

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)

一、知識點(diǎn)學(xué)習(xí)
1.圖形的旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。
注意：圖形旋轉(zhuǎn)后一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線就是旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置.
2.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等
（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等
（3）每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等.
（4）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度決定.
3.旋轉(zhuǎn)的要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度；
4.明白順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)
5.中心對陣
中心對稱定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果它能與另一個圖形重合,就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)成中心對稱.所有的中心對稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。
中心對稱的性質(zhì):
（1）中心對稱的兩個圖形是全等圖形
（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心且被對稱中心平分
（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱線段平行且相等
中心對稱與中心對稱圖形是兩個既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念
區(qū)別:中心對稱指兩個全等圖形的相互位置關(guān)系；中心對稱圖形指一個圖形本身成中心對稱。
聯(lián)系:如果將中心對稱圖形的兩個圖形看成一個整體,則它們是中心對稱圖形
如果將中心對稱圖形,把對稱的部分看成兩個圖形,則它們是關(guān)于中心對稱。
6.軸對稱
定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形（axialsymmetricfigure)，這條直線叫做對稱軸;這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱。比如說圓、正方形等。例如等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形和圓和正多邊形都是軸對稱圖形.有的軸對稱圖形有不止一條對稱軸,但軸對稱圖形最少有一條對稱軸.圓有無數(shù)條對稱軸，都是經(jīng)過圓心的直線。
要特別注意線段,有兩條對稱軸,一條是這條線段所在的直線,另一條是這條線段的中垂線.
性質(zhì)：
（1）對稱軸是一條直線。
（2）垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
（3）在軸對稱圖形中，對稱軸兩側(cè)的對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸兩側(cè)的距離相等。
（4）在軸對稱圖形中，沿對稱軸將它對折，左右兩邊完全重合。
（5）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線
（6）圖形對稱。
7.總結(jié)
軸對稱圖形一定要沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合，關(guān)鍵抓兩點(diǎn)：一是沿某直線折疊，二是兩部分互相重合；中心對稱圖形是圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，關(guān)鍵也是抓兩點(diǎn)：一是繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，二是與原圖形重合．實際區(qū)別時軸對稱圖形要像折紙一樣折疊能重合的是軸對稱圖形；中心對稱圖形只需把圖形倒置，觀察有無變化，沒變的是中心對稱圖形。
現(xiàn)將教材中常見的圖形歸類如下：
既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有：直線，線段，兩條相交直線，矩形，菱形，正方形，圓等。
只是軸對稱圖形的有：射線，角?等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形等。
只是中心對稱圖形的有：平行四邊形等；中心對稱的多邊形很多，如邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形。
既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形有：不等邊三角形，非等腰梯形等。
軸對稱圖形中心對稱圖形
有一條對稱軸——直線有一個對稱中心
圖形沿軸對折圖形繞這個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度對稱
對折部分與另一部分重合旋轉(zhuǎn)后與原圖重合

一、選擇題
1、下列圖形：①平行四邊形；②菱形；③圓；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦國旗上的五角星．這些圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）
A.、1種B、2種C、3種D、4種
2、下列圖案中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）
3、如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△
A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4、如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線
段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列
結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形
AOBO=6?3；⑤S△AOC+S△AOB=6+9．4
其中正確的結(jié)論是（）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
5、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC
在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時
AP1=2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時針
旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時
AP2=2?；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2
順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時
AP3=3?；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直
到點(diǎn)P2012為止，則AP2012等于（）A.2011?B.2012?C.2013?D.2014?
6、如圖，A（,1）B（1，）．將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)150°
得到△A′OB′，則此時點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）
A．（?，-1）B．（-2，0）
C。（-1，?）或（-2，0）D。（?，-1）或（-2，0）
7、如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°
到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，
則P′A：PB=（）
A．1：B．1：2C．：2D．1：
8、如圖，小紅做了一個實驗，將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)F順時
針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)A′B′C′D′E′F′的位置，所轉(zhuǎn)過的度數(shù)是
（）A．60°B．72°C．108°D．120
9、如圖，在方格紙中，△ABC經(jīng)過變換得到△DEF，正確的變
換是（）
A．把△ABC繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移2格
B．把△ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°
D．把△ABC向下平移5格，再繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)180°
10、如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原
點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，
∠C=120°，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A.(3,)B.(3,-)C.(,)D.(,-)
11、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．將
△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時點(diǎn)D在
AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為（）
A．30，2B．60，2C．60，3D．60，2
12、如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點(diǎn)E、F分別在AB、AD
上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相
交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形
BCDG=3CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF．4
其中正確的結(jié)論（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
二、填空題
13.如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，
AC=10，把上面一塊繞直角頂點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′
的位置，點(diǎn)C′在AC上，A′C′與AB相交于點(diǎn)D，則
C′D=________．
14、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′，使得點(diǎn)A′恰
好落在AB上，連接BB′，則BB′的長度為____________．
15、如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD．將△
BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC=10，
BD=9，則△AED的周長是_____________．
16、如圖，平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行
四邊形AB′C′D′（點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對
應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′與點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，則∠
C=___________度．
17、如圖，在△ABC．中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α
度，得到△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于點(diǎn)
D、F，下列結(jié)論：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正確的是__________（寫出正確結(jié)論的序號）．
18、如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積等于___________cm2．
19、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接AE、DE，△ADE的面積為3，則BC的長_________．
20、如圖，邊長為6的正方形ABCD繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EBGF，EF交CD于點(diǎn)H，則FH的長為________________．四邊形BEHC的面積為
___________________（結(jié)果保留根號）

相關(guān)知識

初二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納：圖形旋轉(zhuǎn)

初二數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納：圖形旋轉(zhuǎn)

一、知識點(diǎn)學(xué)習(xí)
1.圖形的旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。
注意：圖形旋轉(zhuǎn)后一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線就是旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置.
2.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等
（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等
（3）每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等.
（4）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度決定.
3.旋轉(zhuǎn)的要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度；
4.明白順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)
5.中心對陣
中心對稱定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果它能與另一個圖形重合,就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)成中心對稱.所有的中心對稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。
中心對稱的性質(zhì):
（1）中心對稱的兩個圖形是全等圖形
（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心且被對稱中心平分
（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱線段平行且相等
中心對稱與中心對稱圖形是兩個既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念
區(qū)別:中心對稱指兩個全等圖形的相互位置關(guān)系；中心對稱圖形指一個圖形本身成中心對稱。
聯(lián)系:如果將中心對稱圖形的兩個圖形看成一個整體,則它們是中心對稱圖形
如果將中心對稱圖形,把對稱的部分看成兩個圖形,則它們是關(guān)于中心對稱。
6.軸對稱
定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形（axialsymmetricfigure)，這條直線叫做對稱軸;這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱。比如說圓、正方形等。例如等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形和圓和正多邊形都是軸對稱圖形.有的軸對稱圖形有不止一條對稱軸,但軸對稱圖形最少有一條對稱軸.圓有無數(shù)條對稱軸，都是經(jīng)過圓心的直線。
要特別注意線段,有兩條對稱軸,一條是這條線段所在的直線,另一條是這條線段的中垂線.
性質(zhì)：
（1）對稱軸是一條直線。
（2）垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
（3）在軸對稱圖形中，對稱軸兩側(cè)的對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸兩側(cè)的距離相等。
（4）在軸對稱圖形中，沿對稱軸將它對折，左右兩邊完全重合。
（5）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線
（6）圖形對稱。
7.總結(jié)
軸對稱圖形一定要沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合，關(guān)鍵抓兩點(diǎn)：一是沿某直線折疊，二是兩部分互相重合；中心對稱圖形是圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，關(guān)鍵也是抓兩點(diǎn)：一是繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，二是與原圖形重合．實際區(qū)別時軸對稱圖形要像折紙一樣折疊能重合的是軸對稱圖形；中心對稱圖形只需把圖形倒置，觀察有無變化，沒變的是中心對稱圖形。
現(xiàn)將教材中常見的圖形歸類如下：
既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有：直線，線段，兩條相交直線，矩形，菱形，正方形，圓等。
只是軸對稱圖形的有：射線，角?等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形等。
只是中心對稱圖形的有：平行四邊形等；中心對稱的多邊形很多，如邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形。
既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形有：不等邊三角形，非等腰梯形等。
軸對稱圖形中心對稱圖形
有一條對稱軸——直線有一個對稱中心
圖形沿軸對折圖形繞這個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度對稱
對折部分與另一部分重合旋轉(zhuǎn)后與原圖重合

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：有序數(shù)對

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：有序數(shù)對

有序數(shù)對:
通過像“九排七號”、“第一排第五列”這樣含有兩個數(shù)的詞來表示一個確定的位置，其中兩個數(shù)各自表示不同的含義，例如前邊的表示“排數(shù)”，后邊的表示“號數(shù)”。我們把這種有順序的兩個數(shù)A與B組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做（A,B），常用在平面直角坐標(biāo)系中。
平面上的點(diǎn)的坐標(biāo):
比如(1,2)就代表橫坐標(biāo)為1縱坐標(biāo)為2;而(2,1)就代表橫坐標(biāo)為2縱坐標(biāo)為1;
因為它們反過來表示的點(diǎn)不同所以是有序的。
利用有序數(shù)對，可以準(zhǔn)確的表達(dá)出一個位置。

典型例題

(1)市政府在廣場()方向上，距離是()米．
(2)工人文化宮在廣場()偏()度的方向上，距離是()米．
(3)電信大樓在廣場的()偏()度的方向上，距離是()米．
答案：正東
400
東
北40
500
北
西60
300
解析:（1）100×4=400（米），
則市政府在廣場正東方向上，距離是400米．
（2）100×5=500（米），
則工人文化宮在廣場東偏北40度的方向上，距離是500米．
（3）100×3=300（米），
則電信大樓在廣場的北偏西60度的方向上，距離是300米．
故答案為：（1）正東、400；（2）東、北40、500；
（3）北、西60、300．
1.在地圖上，上海在北京的南偏東約30°的方向上，那么北京一定在上海的北偏西約30°的方向上．______．
查看答案
2.下面的小學(xué)校園平面圖是長方形，請根據(jù)這個平面圖完成以下各題．

(1)．量一量，算一算．(測量圖上距離時取整厘米．)
①校園平面圖的長是______厘米，寬是______厘米．
②校園實際長______米，寬______米，占地面積是______平方米．
(2)．根據(jù)上面校園平面圖填一填并動手操作．
①教學(xué)樓在花壇的______面，校門在跑道的______面；校園的西北角有______．
②如果在校園的東北角建一個長25米，寬10米的食堂，請在校園平面圖上按比例畫出食堂的位置．
3.小紅在教室里的位置可以用電(4，6)表示，(4，6)表明小紅坐______列______行．
4.先寫出三角形各個頂點(diǎn)的位置，再畫出三角形向右平移6個單位后的圖形．

5.下面是某校集合時各個班級的位置。
5六年級三班六年級二班六年級一班五年級三班
4四年級二班四年級三班五年級一班五年級二班
3四年級一班三年級四班三年級三班三年級二班
2二年級一班二年級二班二年級三班三年級一班
1一年級一班一年級二班一年級三班一年級四班
1234
1．說一說各年級一班所在的位置，并用數(shù)對表示。
2．表示某班位置的數(shù)對是(x，4)，可能是哪個班？
3．表示某班位置的數(shù)對是(4，y)，可能是哪個班？
6.歡歡和樂樂在同一個班級，樂樂的座位在第3列，第4行，記作()；歡歡的位置在第6列，第8行，記作()。
7.如果用(1，4)表示E點(diǎn)的位置，請你在下面的方格圖里描出下列各點(diǎn)，并把新描的這幾個點(diǎn)順次連接成一個封閉圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

A(3，1)B(8，1)C(4，4)D(9，4)
8.下圖是8路公交車行車路線圖。

1．張宏從社區(qū)上車去圖書館，他先向()方向到公園，再向()方向到圖書館。
2．小亮乘8路公交車坐了3站在超市下車，他可能是從()站上車的。
9.

(1)用數(shù)對表示位置．學(xué)校(______，______)，花店(______，______)．
(2)在圖中找到下面場所的位置，標(biāo)出來．游泳館(3，3)，幼兒園(4，9)．
(3)明明家住在學(xué)校以西120米，再往南走160米處，他家的位置是(______，______)，在圖中標(biāo)出來．
10.

先寫出三角形ABC各頂點(diǎn)的位置，再畫出三角形ABC向右平移8個單位后的圖形三角形ABC，并標(biāo)明所得圖形各項點(diǎn)的位置．

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：黃金分割數(shù)

八年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：黃金分割數(shù)

黃金分割數(shù)：
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。
黃金分割:
黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
黃金分割線:
黃金分割線是一種古老的數(shù)學(xué)方法。黃金分割的創(chuàng)始人是古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他在當(dāng)時十分有限的科學(xué)條件下大膽斷言：
一條線段的某一部分與另一部分之比，如果正好等于另一部分同整個線段的比即0.618，那么，這樣比例會給人一種美感。
后來，這一神奇的比例關(guān)系被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”。黃金分割線的神奇和魔力，在數(shù)學(xué)界上還沒有明確定論，但它屢屢在實際中發(fā)揮著意想不到的作用。
黃金分割線的最基本公式，是將1分割為0．618和0．382，它們有如下一些特點(diǎn)：
（1）數(shù)列中任一數(shù)字都是由前兩個數(shù)字之和構(gòu)成。
（2）前一數(shù)字與后一數(shù)字之比例，趨近于一固定常數(shù)，即0．618。
（3）后一數(shù)字與前一數(shù)字之比例，趨近于1．618。
（4）1．618與0．618互為倒數(shù)，其乘積則約等于1。
（5）任一數(shù)字如與前面第二個數(shù)字相比，其值趨近于2．618；如與后面第二個數(shù)字相比，其值則趨近于0．382。
理順下來，上列奇異數(shù)字組合除能反映黃金分割的兩個基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列兩組神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黃金分割點(diǎn):
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為(√5-1)/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個分割點(diǎn)就叫做黃金分割點(diǎn)（goldensectionratio通常用φ表示）這是一個十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計算就可以發(fā)現(xiàn)：(1-0.618)/0.618=0.6一條線段上有兩個黃金分割點(diǎn)。
無限不循環(huán)小數(shù)
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個值。
黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一個根）
黃金分割數(shù)前面的32位為：0.61803398874989484820458683436565
黃金分割三角形:
正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。
黃金分割三角形有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°（即2*sin(π/10)）。
將一個正五邊形的所有對角線連接起來，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金矩形:
若矩形的寬與長的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么這個矩形稱為黃金矩形（又稱根號矩形）。
黃金分割線:
由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線。
與數(shù)列的關(guān)系:
讓我們首先從一個數(shù)列開始，它的前面兩個數(shù)是：1、1，后面的每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”
斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。
但是當(dāng)我們繼續(xù)計算出后面更大的斐波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比的。
一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，中國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的。
分?jǐn)?shù)與根式:
有限段的黃金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=無限式
對等式右邊分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此類推，可得無窮連分?jǐn)?shù)：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
對等式進(jìn)行類似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
這樣一個簡潔的無窮連分式和無窮套根式給人以有序而無窮的印象，使人具有言而不喻的美感。
黃金分割法在攝影中的應(yīng)用：
一幅優(yōu)秀的攝影作品，不僅要有深刻的主題思想和內(nèi)容，同時還應(yīng)具備與內(nèi)容相一致的優(yōu)美形式和協(xié)調(diào)的構(gòu)圖。初學(xué)攝影，在取景時了解和掌握黃金分割法。對于提高作品美學(xué)價值很有幫助。
黃金分割法，就是把一條直線段分成兩部分，其中一部分對全部的比等于其余一部分對這一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例關(guān)系迸引美術(shù)設(shè)計和攝影構(gòu)圖，這種比例也稱黃金律。在攝影構(gòu)圖中，常使用的概略方法，就是在畫面上橫、豎各畫兩條與邊平行、等分的直線，將畫面分成9個相等的方塊，稱九宮圖。直線和橫線相交的4個點(diǎn)，稱黃金分割點(diǎn)。
根據(jù)經(jīng)驗，將主體景物安排在黃金分割點(diǎn)附近，能更好地發(fā)揮主體景物在圖面上的組織作用，有利于周圍景物的協(xié)調(diào)和聯(lián)系，容易引起美感，產(chǎn)生較好的視覺效果，使主體景物更加鮮明、突出。
另外，人們看圖片和書刊有個習(xí)慣，就是由左向右移動，視線經(jīng)過運(yùn)動，往往視點(diǎn)落于右側(cè)，所以在構(gòu)圖時把主要景物、醒目的形象安置在右邊，更能收到良好的效果。
初學(xué)攝影取景，可選選用“黃金分割法”的練習(xí)構(gòu)圖，經(jīng)過多次實踐，有了自己的經(jīng)驗和體會以后，就可根據(jù)實際情況自己進(jìn)行創(chuàng)作了。如果都千篇一律，生搬硬套這一種形式，也不可取，時間久了反而會束縛自己的創(chuàng)作思想，使拍出的照片四平八穩(wěn)，缺乏變化，貧乏無味，就談不上有什么藝術(shù)性。
用黃金分割法確定主體的位置，并沒有完成構(gòu)圖的整個過程，還應(yīng)注意安排必要的空間，考慮主體與陪體之間的呼應(yīng)，充分表達(dá)主題的思想內(nèi)容。同時，還要考慮影調(diào)，光線處理，色彩的表現(xiàn)等等。
為了提高基本功，還有很重要的一點(diǎn)，就是要認(rèn)真學(xué)習(xí)美學(xué)知識，加強(qiáng)美學(xué)修養(yǎng)，并通過拍攝實踐，不斷總結(jié)，積累經(jīng)驗，多拍出一些有較高藝術(shù)水平的照片來。
發(fā)現(xiàn)歷史：
由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。
公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。
中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。
到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對它的實際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0.618法，是由美國數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

黃金分割數(shù)：
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。
黃金分割:
黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
黃金分割線:
黃金分割線是一種古老的數(shù)學(xué)方法。黃金分割的創(chuàng)始人是古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他在當(dāng)時十分有限的科學(xué)條件下大膽斷言：
一條線段的某一部分與另一部分之比，如果正好等于另一部分同整個線段的比即0.618，那么，這樣比例會給人一種美感。
后來，這一神奇的比例關(guān)系被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”。黃金分割線的神奇和魔力，在數(shù)學(xué)界上還沒有明確定論，但它屢屢在實際中發(fā)揮著意想不到的作用。
黃金分割線的最基本公式，是將1分割為0．618和0．382，它們有如下一些特點(diǎn)：
（1）數(shù)列中任一數(shù)字都是由前兩個數(shù)字之和構(gòu)成。
（2）前一數(shù)字與后一數(shù)字之比例，趨近于一固定常數(shù)，即0．618。
（3）后一數(shù)字與前一數(shù)字之比例，趨近于1．618。
（4）1．618與0．618互為倒數(shù)，其乘積則約等于1。
（5）任一數(shù)字如與前面第二個數(shù)字相比，其值趨近于2．618；如與后面第二個數(shù)字相比，其值則趨近于0．382。
理順下來，上列奇異數(shù)字組合除能反映黃金分割的兩個基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列兩組神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黃金分割點(diǎn):
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為(√5-1)/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個分割點(diǎn)就叫做黃金分割點(diǎn)（goldensectionratio通常用φ表示）這是一個十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計算就可以發(fā)現(xiàn)：(1-0.618)/0.618=0.6一條線段上有兩個黃金分割點(diǎn)。
無限不循環(huán)小數(shù)
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個值。
黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一個根）
黃金分割數(shù)前面的32位為：0.61803398874989484820458683436565
黃金分割三角形:
正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。
黃金分割三角形有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°（即2*sin(π/10)）。
將一個正五邊形的所有對角線連接起來，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金矩形:
若矩形的寬與長的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么這個矩形稱為黃金矩形（又稱根號矩形）。
黃金分割線:
由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線。
與數(shù)列的關(guān)系:
讓我們首先從一個數(shù)列開始，它的前面兩個數(shù)是：1、1，后面的每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”
斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。
但是當(dāng)我們繼續(xù)計算出后面更大的斐波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比的。
一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，中國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的。
分?jǐn)?shù)與根式:
有限段的黃金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=無限式
對等式右邊分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此類推，可得無窮連分?jǐn)?shù)：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
對等式進(jìn)行類似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
這樣一個簡潔的無窮連分式和無窮套根式給人以有序而無窮的印象，使人具有言而不喻的美感。