高中等差數(shù)列的教案

數(shù)列的遞推公式（選學）教案。

教學設(shè)計
2．1.2數(shù)列的遞推公式(選學)
整體設(shè)計
教學分析
本節(jié)作為選學內(nèi)容，課標對遞推公式?jīng)]有明確要求．考慮到它在認識數(shù)列中的作用，教材把它單列一節(jié)作為選學．實際上，遞推公式作為數(shù)列的一種表示方法，有其獨特的作用，高考試卷中常常見到它的蹤影，因此，教學中還是把它作為必學內(nèi)容對待為好．
數(shù)列作為刻畫自然規(guī)律的基本數(shù)學模型，教材意圖是用函數(shù)的觀點和遞推的觀點理解數(shù)列．同上節(jié)一樣本節(jié)也是通過一些例子及章頭前言中的事例來引入遞推公式．并通過例題，讓學生明確數(shù)列的遞推公式應包括數(shù)列的首項和公式本身．沒有首項，就沒有遞推的基礎(chǔ)，沒有遞推公式則無法向后延續(xù)．讓學生體會，給出首項和遞推公式，就可唯一確定一個數(shù)列．
數(shù)列的遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法，它與數(shù)列的通項公式緊密相連，但作為開始認識數(shù)列，本節(jié)不宜過分拓展，加大難度，僅限于理解遞推公式的定義，并能用數(shù)列的首項和遞推公式寫出數(shù)列的后續(xù)各項即可．
三維目標
1．通過本節(jié)學習，理解數(shù)列遞推公式的意義，理解遞推公式與通項公式的異同．會根據(jù)數(shù)列的首項和遞推公式寫出數(shù)列的后續(xù)各項．
2．通過探究、交流、觀察、分析等教學方式，充分發(fā)揮學生的主體作用，并通過思考與討論本章章頭左圖中的說明，體會數(shù)學來源于生活．
3．通過對數(shù)列遞推公式的探究，培養(yǎng)學生動手試驗，大膽猜想的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的態(tài)度．
重點難點
教學重點：理解用遞推公式定義數(shù)列的方法；能用遞推公式和首項寫出數(shù)列的后續(xù)各項．
教學難點：利用數(shù)列的遞推公式和首項，猜想該數(shù)列的通項公式．
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖引入)讓學生觀察章頭圖中左圖兔子的繁殖情況．假設(shè)每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子發(fā)生死亡的情況，這樣每個月兔子的對數(shù)，依次可以排成一個數(shù)列，你能把這個數(shù)列的每一項(第一項除外)用前一項表示出來嗎？由此展開新課的探究．
思路2.(直接引入)我們知道數(shù)列1,2,3,4，…可用通項公式an＝n表示．容易發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列從第2項起的任一項都可用它的前一項表示出來，即an＝an－1＋1(n≥2)，這就是數(shù)列的另一種表示方法，也就是今天我們探究的主要內(nèi)容：遞推公式．由此展開探究．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)多媒體演示圖1，是工廠生產(chǎn)的鋼管堆放示意圖，你能寫出它的一個通項公式嗎？你能找出它的相鄰兩層之間的關(guān)系嗎？
(2)數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n.從第2項起，它的任一項與它相鄰的前一項有什么關(guān)系？章頭數(shù)列3，1coscoscos…從第2項起，它的任一項與它相鄰的前一項有什么關(guān)系呢？
(3)怎樣理解遞推公式？若已知數(shù)列an＝2an－1＋1，你能寫出這個數(shù)列嗎？為什么？
活動：教師用多媒體演示工廠生產(chǎn)的鋼管堆放示意圖．引導學生觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學模型．由學生合作探究，必要時教師給予點撥．
模型一：自上而下
第1層鋼管數(shù)為4，即1?4＝1＋3；
第2層鋼管數(shù)為5，即2?5＝2＋3；
第3層鋼管數(shù)為6，即3?6＝3＋3；
第4層鋼管數(shù)為7，即4?7＝4＋3；
第5層鋼管數(shù)為8，即5?8＝5＋3；
第6層鋼管數(shù)為9，即6?9＝6＋3；
第7層鋼管數(shù)為10，即7?10＝7＋3.
若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下層之間的關(guān)系
自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此類推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教師的引導點撥下，學生最終能得到以上兩種數(shù)學模型，教師適時給以點評．首先表揚學生的這種探究問題的精神，不怕困難敢于鉆研，而且推得兩個很重要的結(jié)論．對于推得的an＝n＋3，只要將n的具體值代入，我們就會很快地求出某一層的鋼管數(shù)．因為這一關(guān)系反映了每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律，這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很大方便，這是由特殊到一般的數(shù)學思想方法的運用，是非常正確和成功的．對于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同學就更值得表揚，因為這是我們沒有見過的，這就是創(chuàng)新，這就是聰明智慧的閃現(xiàn)．這個關(guān)系式說明：只要知道a1，則以后的每一項都等于它的前項加1，這樣就可以求出第二項，以此類推即可求出其他項．這就是我們今天要探究的一個重點內(nèi)容，也就是數(shù)列的另一種表示法，遞推公式法．我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式．遞推公式很重要，顯然教材上涉及的內(nèi)容不多，但在每年的高考卷上都有所體現(xiàn)，應引起注意．下一節(jié)要學習的等差數(shù)列就是最簡單的遞推數(shù)列．
引導學生給遞推公式這樣下定義：通過給出數(shù)列的第一項(或前若干項)，并給出數(shù)列的某一項與它的前一項(或前若干項)的關(guān)系式來表示數(shù)列，這種表示數(shù)列的式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．
注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89，遞推公式為a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握遞推公式的關(guān)鍵一點是把握其中的遞推關(guān)系，應特別注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系中前項和后項，或前、后幾項之間的關(guān)系．
有了以上探究活動，學生很容易探究出問題(2)(3)，至此，學生對數(shù)列的表示方法有了全面的理解，為數(shù)列的后續(xù)內(nèi)容的學習打下了堅實的基礎(chǔ)．
討論結(jié)果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
數(shù)列3，a1＝1，an＝cos(an－1)(n＝2,3,4，…)．
(3)遞推公式包括已知的第1項(或前幾項)才能寫出這個數(shù)列的后續(xù)各項．前者是遞推的基礎(chǔ)，后者是遞推的延續(xù)．因此僅知an＝2an－1＋1無法寫出這個數(shù)列的各項．
應用示例
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，寫出前5項，并猜想an.
活動：根據(jù)a1＝2及an＋1＝2an，學生很容易求出前5項，分別是2,4,8,16,32.由觀察可猜想an＝2n，這種解法在選擇題或填空題中是非常有效的，但若改為求an，這種解法則是不完整的．
由anan－1＝2，可得到以下解法：
anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝ana1＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
變式訓練
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
＋a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1
∴an＝2－4(n－1)．

例2(教材本節(jié)例1)
活動：本例由學生自己完成，并通過本例邊注中的提問，讓學生進一步體會數(shù)列兩種表示方法的特色，用遞推公式寫出數(shù)列的前幾項后，引導學生觀察、歸納并猜想該數(shù)列的通項公式，雖有一定難度，但學生應有這個能力．教師可引導學生分析，如果不代入a1的值，由依次計算的結(jié)果可能更容易看到an與n的函數(shù)關(guān)系：
a2＝a11－a1；a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1a1＝23－2n.
變式訓練
已知數(shù)列{an}的遞推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是這個數(shù)列中的第幾項？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由遞推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此數(shù)列的第7項．

例3(教材本節(jié)例2)
活動：本例為數(shù)列這一大節(jié)的最后一個教材例題，具有一定的綜合性，難度較大．要求學生有較堅實的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)和解題能力．這種解題的綜合能力，要努力去訓練，學生才能掌握．具體講解時，可把P1，P2，P3的坐標都寫出來讓學生觀察發(fā)現(xiàn)an與an＋1間的關(guān)系．
變式訓練
在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，則an等于()
A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln3，排除B.故選A.
方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，
∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，
…
a2－a1＝ln21，
將以上n－1個式子累加得
an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝ln(nn－1n－1n－2…21)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.

例4如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙所示的一連串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，記OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的長度所在的數(shù)列為{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．
甲
乙【dG15.com 工作總結(jié)之家】

(1)寫出數(shù)列的前4項；
(2)寫出數(shù)列{ln}的一個遞推關(guān)系式；
(3)求{ln}的通項公式；
(4)如果把圖中的三角形繼續(xù)作下去，那么OA9，OA2007的長度分別是多少？
活動：本例雖然題干看起來很繁雜，但難度并不大，可讓學生獨立探究解決，學生充分理解題意后會很快完成第(1)問，關(guān)于遞推公式，教師可點撥學生遞推公式的關(guān)鍵是遞推關(guān)系，也就是前項和后項的關(guān)系，這是遞推公式的核心所在．教師可借此進一步向?qū)W生點撥：①數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的．
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出通項公式．
解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.
(2)通過觀察圖形，可知：OAn＋1，OAn,1組成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.
∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝n.
(4)OA9＝l9＝3，OA2007＝2007＝3223.
點評：遞推關(guān)系在教材上的要求并不高，僅是明了遞推公式是數(shù)列的一種表示方法，并能根據(jù)給出的數(shù)列遞推公式寫出其中的幾項，對繁難復雜的遞推公式，如3項或2項以上的遞推公式不作要求．
知能訓練
1．若數(shù)列{an}前n項的值各異，且an＋8＝an對任意的n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{an}的前8項值的數(shù)列為()
A．{a2n＋1}B．{a3n＋1}C．{a4n＋1}D．{a6n＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，則數(shù)列{bn}的前4項依次是__________．
答案：
1．B解析：取k＝0,1,2，…，8驗證，周期為8.
2．前4項依次是12，23，35，58.
課堂小結(jié)
1．先由學生自己總結(jié)歸納本節(jié)課所學到的數(shù)學知識，即數(shù)列的簡單表示法：通項公式、列表法、圖象法、簡單的遞推公式法．探求和發(fā)展了數(shù)列的各項之間的關(guān)系及其規(guī)律，并用合適的表示法來表示這種規(guī)律．
2．教師強調(diào)，通過例題進一步明確了數(shù)列的圖象是一些離散的點，并通過實際例子探究出數(shù)列的遞推公式．由于教材內(nèi)容對此要求不高，因此我們在例題或習題的難度上作了嚴格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
作業(yè)
課本本節(jié)習題2—1A組7、8；習題2—1B組4，第5題選做．
設(shè)計感想
本教案設(shè)計遵循生活是源，數(shù)學是流的規(guī)律，對數(shù)學概念的探究都是在日常生活實例的背景下進行的．如遞推數(shù)列是通過工廠堆放的鋼管數(shù)呈現(xiàn)的．目的是讓學生感受到數(shù)學離不開生活，生活離不開數(shù)學．
本教案設(shè)計思路體現(xiàn)了新課程理念，遵循學生的認知規(guī)律，讓學生自主學習，經(jīng)歷數(shù)學活動，體驗數(shù)學過程，以活潑、清新、富于理性思維的內(nèi)容參與教學，拓展空間，激活思維．同時使學生借助遞推思想，有效提高學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，促進個性品質(zhì)的良好發(fā)展．
本教案設(shè)計力圖展示：教為主導，學為主體，思維訓練為主線的教學理念．數(shù)學課堂的最后呈現(xiàn)標準不是學生成為解題能手，成為聽話的乖綿羊，而是讓學生體會到數(shù)學的實用價值，一種文化價值．當你醉心于數(shù)學課堂時，數(shù)學課堂便呈現(xiàn)給你一種美景：那就是活生生的數(shù)學，那就是內(nèi)在神奇而奧妙，外在冷傲而絕美，由大自然抽象出來的自然科學的皇后——數(shù)學．
備課資料
一、探究求數(shù)列通項公式的方法
求通項公式是學習數(shù)列的一個難點，由于求通項公式時需用到多種數(shù)學思想方法，因此求解過程中往往方法多，靈活性大，技巧性強，為了學生課余時間進一步探究，現(xiàn)舉幾例，以供參考．
1．觀察法
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
【例1】已知數(shù)列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，寫出此數(shù)列的一個通項公式．
解：觀察數(shù)列前若干項可得通項公式為an＝(－1)n2n－32n.
2．公式法
已知數(shù)列的前n項和求通項時，通常用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個表達式．
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，求此數(shù)列的通項公式．
解：由條件可得Sn＝2n＋1－1，
當n＝1時，a1＝3，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.
3．累差迭加法
若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋f(n)的遞推式，其中f(n)又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用累差迭加法求通項．
【例3】已知數(shù)列6,9,14,21,30，…，求此數(shù)列的通項．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．連乘法
若數(shù)列{an}能寫成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，則可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n－2)，…，a2＝a1f(2)連乘求得通項公式．
【例4】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，Sn＝n＋1an2(n∈N)，求{an}的通項公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
兩式相減得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)．
于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若數(shù)列{an}滿足方程f(an)＝0時，可通過解方程的思想方法求得通項公式．
【例5】已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：由條件f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.
∴a2n＋2nan－1＝0.
又an＞0，∴an＝n2＋1－n.
6．迭代法
若數(shù)列{an}滿足an＝f(an－1)，則可通過迭代的方法求得通項公式．
二、備用習題
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2(n≥3)，則a5等于()
A.5512B.133C．4D．5
2．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＝－12an－1(n≥2，且n∈N*)，則a4等于…()
A．－1B.12C.1724D．－18
3．設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項公式an＝__________.
4．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝__________.
5．已知an＝n－98n－99(n∈N*)，則在數(shù)列{an}中的前30項中，最大項和最小項分別是__________．
6．一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多能上躍起三級，從地面上到最上一級，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？
參考答案：
1．A解析：a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.
2．D解析：a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.
3.1n解析：由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.
4.nn＋12＋1解析：由題意得，當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.當n＝1時，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.
5．a(chǎn)10，a9解析：an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，
當1≤n≤9時，99－98n－99＜0，an為遞減函數(shù)；
當n≥10時，99－98n－99＞0，an為遞減函數(shù)．
∴最大項為a10，最小項為a9.
6．解：這題是一道應用題，本題難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到．
爬一級梯子的方法只有一種．
爬一個二級梯子的方法有兩種，即一級一級爬是一種，還有一次爬二級，所以共有兩種．
若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種，
則an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
則得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，就可以求得a8＝81.

擴展閱讀

等差數(shù)列求和公式的

俗話說，凡事預則立，不預則廢。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎(chǔ)，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“等差數(shù)列求和公式的”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

問題1：著名數(shù)學家高斯10歲時，曾解過一道題：1+2+3+…+100=?你們知道怎么解嗎？

問題2：1+2+3+…+n=?

在探求中有學生問：n是偶數(shù)還是奇數(shù)？教師反問：能否避免奇偶討論呢？并引導學生從問題1感悟問題的實質(zhì)：大小搭配，以求平衡

設(shè)=1+2+3+…+n,又有=+++…+1

=+++…+，得=

問題3：等差數(shù)列=？

學生容易從問題2中獲得方法（倒序相加法）。但遇到===…=呢？利用等差數(shù)列的定義容易理解這層等量關(guān)系，進一步的推廣可得重要結(jié)論：m+n=p+q

問題4：還有新的方法嗎？

（引導學生利用問題2的結(jié)論），經(jīng)過討論有學生有解法：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則=+（）+（）+…+[]

==（這里應用了問題2的結(jié)論）

問題5：==？

學生容易從問題4中得到聯(lián)想：==。顯然，這又是一個等差數(shù)列的求和公式。

等差數(shù)列的求和對初學數(shù)列求和的離學生的現(xiàn)有發(fā)展水平較遠，教師通過“弱化”的問題1和問題2將問題轉(zhuǎn)化到學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，由于學生的最近發(fā)展區(qū)是不斷變化的，學生解決了問題2，就說明學生的潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在新的現(xiàn)有發(fā)展水平基礎(chǔ)上教師提出了問題3，學生解決了問題3，他們潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上教師提出了問題4，這個案例的設(shè)計體現(xiàn)教師搭“腳手架”的作用不可低估,教師自始至終都應堅持“道而弗牽,強而弗抑,開而弗達”(《禮記·學記》),誘導學生自己探究數(shù)學結(jié)論,處理好“放”與“扶”的關(guān)系。

求數(shù)列中幾種類型的通項公式

求數(shù)列中幾種類型的通項公式
制作：高二數(shù)學組
一、由遞推關(guān)系求通項公式
（1）遞推式為=+及=（為常數(shù)）（可利用等差、等比數(shù)列來求）
例、⒈已知數(shù)列{}滿足=+2，且=1，求.
⒉已知數(shù)列{}滿足=，且=2，求.
（2）遞推式為=+，（需可求和）
例、已知數(shù)列{}滿足=+，=1，求.

練習已知數(shù)列{}中，=，且當時，求通項公式

(3)遞推式為=+（為常數(shù)）
例、已知數(shù)列{}滿足=3+2，且=1，求.
簡解：法一、由已知得=3+2，=3+2，相減得-=3（-）即數(shù)列
{-}是=3的等比數(shù)列，所以-=（-）且-=4，又=3+2，
代入可得=2-1
法二、由法一得{-}是=3的等比數(shù)列，則-=4，-=43，-=4，…，-=4.以上n-1式累加得-=4（1+3+++…+）=，所以可得=2-1
法三、由遞推式=3+2，得+1=3（+1）即數(shù)列{+1}是公比為3的等比數(shù)列，且首項為+1=2，所以+1=2，即=2-1
練習已知數(shù)列{}滿足=2-1，且=2，求.
（4）遞推式為=+（為常數(shù)）
例已知數(shù)列{}滿足=+，且=，求.
(提示：兩邊同時除以轉(zhuǎn)化為類型二來求)

練習已知數(shù)列{}滿足=2+，且=1，求.

（5）遞推式為=
例在數(shù)列{}中，=2，=，求.

練習已知：=1，，求.

（6）遞推式為=(可先求倒數(shù)，轉(zhuǎn)化成數(shù)列{}來求)
例已知數(shù)列{}滿足=1，，求.

（7）其他例已知數(shù)列{}滿足：=1，，（）令。①求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列，并求；②求.

二、已知之間的關(guān)系來求通項公式
利用公式(n2)，注意首項.
例已知數(shù)列{}滿足=+1，求.

練習已知數(shù)列{}的前n項和為，滿足，其中＞1，求數(shù)列{}的通項公式。

三、已知和的關(guān)系求數(shù)列的通項公式
常用思路1.消，轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，再求（優(yōu)先考慮）；
2.消，轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，先求，再求。
利用公式(n2)，注意首項.
例已知數(shù)列{}的前n項和為，若對任意的，都有=2-3.
①求數(shù)列{}的首項及遞推關(guān)系式=；②求通項公式。

練習已知數(shù)列{}的前n項和為，滿足=，求.

遞推關(guān)系的求解

遞推關(guān)系的求解
一基本概念
定義：確定的數(shù)列稱為遞推數(shù)列。（為其的階）
二基本解法
（1）
（2）
（3）
常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系
將（2）稱為（1）的特征方程
若是（2）的重根，則（1）的個特解分別為個特解的線性組合就是（1）的通解。
設(shè)找到，使
令可得.從而為的根。
結(jié)論：，若有兩個不動點，則，這里。若只有一個不動點，則，這里
三常用思想：
1．不動點，特征根
2．無理化有理（取對數(shù)，化新數(shù)列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高階降低階
6．非線性化線性
7．非齊次化齊次
8．猜想試解

P103例6在正項數(shù)列中，求通項公式。
解對兩邊取對數(shù)，得
即
這說明數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則有
故
P104例8設(shè)數(shù)列滿足且
求證：是完全平方數(shù)。
證由式可得并代入式，得
兩式相減
由方程，得
那么
通解為
由,代入上式解出，得
因為為正偶數(shù)，所以，是完全平方數(shù).
P106例9數(shù)列中，.
解構(gòu)建數(shù)列.
故
化簡得
所以
數(shù)列是以2為首項，1/2為公比的等比數(shù)列.
所以

P107例10已知滿足，且，求.
解:是二階線性非齊次遞推數(shù)列，先設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為一階遞推關(guān)系，故條件變形為：
可見是常數(shù)列，逐次遞推得
即

P107例11設(shè)滿足，求.
解：，解方程,得
于是由定理10得，
則：
由已知可得，解得

P108例12已知滿足，，且，求.
解：，故
兩式相減得
即
則，
根據(jù)特征方程求解
.
P108例13設(shè)正數(shù)列滿足,求.
解：把遞推關(guān)系改寫為①
令，則①為②
對②兩邊取對數(shù)，得③
令，則③為
利用不動點性質(zhì)有即
故其中，
即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可知為常數(shù)數(shù)列，逆推上去，得，則，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可知.
P109例14數(shù)列定義為：，求證：對任意的自然數(shù)，，表示不超過的最大整數(shù)。
證明：遞推關(guān)系較為復雜，結(jié)論又未給出的表達式，不妨通過歸納法探索的表達式：
當時，，
當時，，
……………
由此可以猜想：.①
問題轉(zhuǎn)化為證明這一猜想，再證可被3整除?？闪?br> 當時，成立；假設(shè)當和時①式成立，則
時，由的遞推關(guān)系及
可證：，
又由，故為正整數(shù)，
為內(nèi)的純小數(shù)。
所以成立。
P110例15設(shè)滿足，且，求.
解：令，則
令且
所以利用不動點性質(zhì)，有
所以①，又，令，則，所以
把上述代入①可得，即，，故.

4.3 傳密碼的破譯（選學）

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，大家在仔細規(guī)劃教案課件。必須要寫好了教案課件計劃，才能促進我們的工作進一步發(fā)展！那么到底適合教案課件的范文有哪些？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“4.3 傳密碼的破譯（選學）”，僅供參考，大家一起來看看吧。

第3節(jié)傳密碼的破譯（選學）

一、教學目標

1.說出遺傳密碼的閱讀方式。

2.說出遺傳密碼的破譯過程。

二、教學重點和難點

1.教學重點

遺傳密碼的破譯過程。

2.教學難點

尼倫伯格和馬太設(shè)計的蛋白質(zhì)體外合成實驗。

三、教學策略

本節(jié)內(nèi)容屬于選學，可用1課時，由教師根據(jù)實際情況靈活安排。本節(jié)的主要內(nèi)容是遺傳密碼的破譯過程，是對本章第1節(jié)的重要補充。學生在第1節(jié)中已經(jīng)學習了遺傳密碼，但并不了解遺傳密碼是如何破譯的，本節(jié)引導學生認識遺傳密碼的破譯過程，使學生通過這一研究過程學習其中蘊含的科學研究方法。

1.采用類比的學習方法，使復雜的問題更容易理解。

遺傳密碼對于學生而言是比較深奧的，教師可以從教材問題探討欄目提供的莫爾斯密碼入手，切入本節(jié)內(nèi)容?？死锟说膶嶒瀸嶋H上是相當復雜的，對于其實驗結(jié)果的分析，教學中可以采用與英文句子類比的方法來幫助學生分析理解，使復雜的問題更容易為學生接受。

2.以分析尼倫伯格和馬太實驗的設(shè)計思路為突破口，初步理解遺傳密碼的破譯方法。

對尼倫伯格和馬太實驗的理解是本節(jié)教學難點。尼倫伯格和馬太設(shè)計實驗的思路與克里克的完全不同。他們的思路跳出了生物體的限制，通過生物化學手段，他們成功地建立了體外蛋白質(zhì)合成系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)了一個特定的遺傳密碼所對應的特定的氨基酸，可謂山重水復疑無路，柳暗花明又一村。

教材中安排了蛋白質(zhì)體外合成的實驗示意圖，意在幫助學生理解這個實驗的設(shè)計思路。作為示意圖，它只畫出了4種氨基酸。實際實驗中，測試的是組成蛋白質(zhì)的20種氨基酸。在這20種氨基酸中，只有加入了苯丙氨酸的試管才出現(xiàn)多聚苯丙氨酸的肽鏈。教材中的旁欄思考題意在讓學生學會科學實驗中對照組的設(shè)置。只有對照設(shè)置正確，實驗結(jié)果才無懈可擊。

在這個實驗中，加入的多聚尿嘧啶核苷酸實際上起到了mRNA的作用，再結(jié)合克里克得出的3個堿基決定1個氨基酸的實驗結(jié)論，苯丙氨酸對應的密碼子就應是UUU。同理，如果分別加入多聚腺嘌呤核苷酸(polyA)、多聚胞嘧啶核苷酸(polyC)、多聚鳥嘌呤核苷酸(polyG)，在蛋白質(zhì)體外合成系統(tǒng)中分別出現(xiàn)了多聚賴氨酸、多聚脯氨酸和多聚甘氨酸，則可推出與賴氨酸對應的密碼子應是AAA，與脯氨酸對應的密碼子應是CCC，與甘氨酸對應的密碼子應是GGG。對學有余力的學生，教師還可以作進一步的引導：以上介紹的是單核苷酸重復序列(polyU、polyA、polyC、polyG)作模板(mRNA)得到的結(jié)果，如果以多核苷酸的重復序列作模板，其結(jié)果又是怎樣呢？例如，以CUCUCUCU(polyCU)作模板，會得到什么結(jié)果呢？具體分析參見參考資料部分。

四、答案和提示

（一）問題探討

1.翻譯成英文是：Wherearegeneslocated

(二)思考與討論

1.當圖中DNA的第三個堿基（T）發(fā)生改變時，如果密碼是非重疊的，將影響1個氨基酸；如果密碼是重疊的，將影響3個氨基酸。

2.提示：先寫出改變后的堿基序列，再按照非重疊閱讀的方式和重疊閱讀的方式分別寫出其對應的氨基酸序列，分別與原序列編碼的氨基酸序列進行比較就可得出答案。

（三）旁欄思考題

1.細胞中原有的mRNA會作為合成蛋白質(zhì)的模板干擾實驗結(jié)果，細胞中原有的DNA可能作為mRNA合成的模板，而新合成的mRNA也會干擾實驗結(jié)果，因此需要除去細胞提取液中的DNA和mRNA。

2.作為對照實驗的試管中，所有成分都與實驗組的試管相同，但是不加入多聚尿嘧啶核苷酸。

（四）練習

基礎(chǔ)題

1.D。

2.提示：可以從密碼間有無分隔符、長度是否固定、閱讀方式是否重疊、密碼所采用的符號等多方面進行比較。

拓展題

克里克通過研究堿基的改變對蛋白質(zhì)合成的影響推斷遺傳密碼的性質(zhì)，這種方法不需要理解蛋白質(zhì)合成的過程，就能推斷出密碼子的總體特征，但是證據(jù)相對間接，并且工作量大。尼倫伯格通過建立蛋白質(zhì)體外合成系統(tǒng)，直接破解了遺傳密碼的對應規(guī)則，這種方法快速、直接，但是這種方法的建立需要首先了解細胞中蛋白質(zhì)合成所需要的條件。

五、參考資料

1.遺傳密碼的特點

不間斷性mRNA的三聯(lián)體密碼是連續(xù)排列的，相鄰密碼之間無核苷酸間隔。所以，若在某基因編碼區(qū)的DNA序列或其mRNA中間插入或刪除1～2個核苷酸，則其后的三聯(lián)體組合方式都會改變，不能合成正常的蛋白質(zhì)，這樣的突變亦稱移碼突變，對微生物常有致死作用。

不重疊性對于特定的三聯(lián)體密碼而言，其中的每個核苷酸都具有不重疊性。例如，如果RNA分子UCAGACUGC的密碼解讀順序為：UCA、GAC、UGC，則它不可以同時解讀為UCA、CAG、AGA、GAC等。不重疊性使密碼解讀簡單而準確無誤。并且，當一個核苷酸被異常核苷酸取代時，不會在肽鏈中影響到多個氨基酸。不過，在大腸桿菌噬菌體基因組中，確有部分遺傳密碼是重疊使用的，這可以看做一種例外現(xiàn)象。

簡并性絕大多數(shù)氨基酸具有2個以上不同的密碼子，這一現(xiàn)象稱做簡并性，編碼相同氨基酸的密碼子稱同義密碼子。由于簡并性，某些DNA堿基變化不會引起相應蛋白質(zhì)的氨基酸序列改變，這對維持物種的穩(wěn)定性有重要意義。

通用性除線粒體的個別密碼外，生物界通用一套遺傳密碼，細菌、動物和植物等不同物種之間，蛋白質(zhì)合成機制及其mRNA都是可以互換的。例如，真核生物的基因可以在原核生物中表達，反之亦然。

起始碼與終止碼UAG、UAA、UGA為終止碼，它們不為任何氨基酸編碼，而代表蛋白質(zhì)翻譯的終止。AUG是甲硫氨酸的密碼，同時又是起始密碼。

2.遺傳密碼的破譯

早期有關(guān)基因功能的研究工作，如一個基因一個酶的假說，明確了基因的堿基順序，規(guī)定了其蛋白質(zhì)產(chǎn)物的氨基酸數(shù)目與排列順序。破譯遺傳密碼實際上就是要找到基因中DNA分子的堿基順序與它編碼的蛋白質(zhì)氨基酸順序的對應關(guān)系：幾個堿基決定一個氨基酸？哪幾個堿基決定哪種氨基酸？

要判斷哪個三聯(lián)體密碼決定哪種氨基酸，首先需要一種人工合成RNA分子的方法和一個能夠在體外合成蛋白質(zhì)的實驗系統(tǒng)，這樣，在試管中加入已知序列的RNA，再通過分析新合成的蛋白質(zhì)產(chǎn)物的氨基酸排列順序就可以推斷密碼子和氨基酸的對應關(guān)系。

1955年，科學家發(fā)現(xiàn)一種被稱為多聚核苷酸磷酸化酶的生物大分子，它能在試管中催化合成RNA，而不需要DNA模板。1961年，尼倫伯格和馬太利用大腸桿菌的破碎細胞溶液，建立了一種利用人工合成的RNA，在試管里合成多肽鏈的實驗系統(tǒng)，其中含有核糖體等合成蛋白質(zhì)所需的各種成分。當尼倫伯格把人工合成的全部由尿嘧啶組成的RNA加入蛋白質(zhì)體外合成系統(tǒng)后，得到的新合成的蛋白質(zhì)只含苯丙氨酸，結(jié)果說明UUU是編碼苯丙氨酸的密碼子。這是第一個被破譯的三聯(lián)體密碼。

1966年，又有科學家發(fā)明了一種新的RNA合成方法，通過這種方法合成的RNA可以是以2個、3個或4個堿基為單位的重復序列，如AGUAGUAGUAGUAGUAGUAGU等，用它們作模板合成的蛋白質(zhì)的氨基酸序列同樣是有規(guī)律重復的。如果用UGUGUGUGUGUGUGUGUG作模板，得到的新合成的蛋白質(zhì)是由半胱氨酸和纈氨酸交替連接而成，則可以肯定UGU是半胱氨酸的密碼子，而GUG是纈氨酸的密碼子。利用這種方法破譯的密碼很多，其中包括終止密碼UGA、UAG和UAA。

1964年，尼倫伯格等找到了另外一種高效破譯遺傳密碼的方法。他們首先在體外合成全部64種三核苷酸分子（即長度為3個堿基的RNA，如AGC、UCC、UGA等等），同時制備20種氨基酸混合溶液，每種混合溶液中分別含有一種用14C作放射性標記的氨基酸和其他19種氨基酸。然后，向各混合溶液添加tRNA分子，使各種氨基酸分別與各自的tRNA分子結(jié)合，在溶液中形成各種氨酰tRNA，如甘氨酸－tRNA、賴氨酸－tRNA等。實驗時，取某一種三核苷酸分子（如CGU）和核糖體混合，再向其中分別加入上述氨基酸混合溶液。如果CGU是某種氨基酸的密碼子，它便會和帶有這種氨基酸的氨酰tRNA分子以及核糖體結(jié)合形成體積稍大的復合體。當使用硝酸纖維膜過濾反應溶液時，只有含核糖體的復合體可以留在膜上，而其他的氨酰tRNA分子將被沖洗掉。從20種反應體系中找出有放射性的硝酸纖維膜，根據(jù)該體系所標記的是哪一種氨基酸，便可知道CGU所對應的氨基酸種類了。利用這種方法破譯的密碼子約有50個。

3.重疊基因

長期以來，人們一直認為同一段DNA序列內(nèi)不可能存在著重疊的基因。因為，如果存在這種2個基因彼此重疊的情況，那么在第一個基因上發(fā)生的突變，就往往會使第二個基因也伴隨著發(fā)生突變。但是，隨著DNA核苷酸序列測定技術(shù)的發(fā)展，人們已經(jīng)在一些噬菌體和動物病毒中發(fā)現(xiàn)，不同基因的核苷酸序列有時是可以共用的。我們稱這樣的兩個基因為重疊基因（overlappinggenes）。已知大腸桿菌X174噬菌體單鏈DNA共有5387個核苷酸。如果使用單一的讀碼結(jié)構(gòu)，那么它最多只能編碼1795個氨基酸。按每個氨基酸的平均相對分子質(zhì)量為110計算，該噬菌體所合成的全部蛋白質(zhì)的總分子量最多是197000道爾頓?？蓪嶋H測定發(fā)現(xiàn)，X174噬菌體所編碼的11種蛋白質(zhì)總分子量竟為262000道爾頓。1977年，英國分子生物學家桑格領(lǐng)導的研究小組，在測定X174噬菌體DNA的核苷酸序列時發(fā)現(xiàn)，它的同一部分DNA能夠編碼兩種不同的蛋白質(zhì)，從而證明了重疊基因的存在。

自我檢測的答案和提示

一、概念檢測

填表題

DNA雙鏈

1

C

G

T

2

G

C

A

mRNA

G

C

A

tRNA

C

G

U

氨基酸

丙氨酸（密碼子為GCA）

選擇題

1.D。

2.D。

3.A。

4.C。

識圖作答題

（1）氫鍵斷裂；解旋酶；能量。

（2）ACUGAA；轉(zhuǎn)錄。

（3）2。

（4）堿基互補配對。

畫概念圖

二、知識遷移

核糖體、tRNA和mRNA的結(jié)合都是蛋白質(zhì)的合成所不可缺少的?？股赝ㄟ^干擾細菌核糖體的形成，或阻止tRNA與mRNA的結(jié)合，來干擾細菌蛋白質(zhì)的合成，抑制細菌的生長。因此，抗生素可用于治療因細菌感染而引起的疾病。

三、技能應用

1.提示：可以通過查閱密碼子表，寫出每個氨基酸可能對應的堿基編碼。

2.這種方法只能推測出可能的堿基序列，而不能寫出確定的堿基序列。這種方法簡便、快捷，不需要實驗。

3.推測不能代替用測序儀進行的基因測序。因為推測只能得出幾種可能的堿基序列，而不能得到確定的堿基序列。

四、思維拓展

1.C。

2.提示：此題旨在引導學生搜集生物科學史的資料，通過科學發(fā)現(xiàn)的過程認識理論推導和實驗論證在科學發(fā)現(xiàn)中的作用。