高中不等式教案

發(fā)表時間：2020-12-01

高考數(shù)學(xué)012文科數(shù)學(xué)回歸教材不等式。

新課標(biāo)——回歸教材
不等式
1、不等式的性質(zhì):
名稱不等式名稱不等式
對稱性(充要條件)
傳遞性

可加性(充要條件)
同向不等式可加性:
異向不等式可減性:
可乘性
同向正數(shù)不等式可乘性:
異向正數(shù)不等式可除性:

乘方法則
開方法則

倒數(shù)法則
常用結(jié)論(充要條件)JAB88.CoM

注:表中是等價(jià)關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù),其它的僅僅是證明不等式的依據(jù).
典例:1)對于實(shí)數(shù)中,給出下列命題:①;②;
③;④;⑤;
⑥;⑦;⑧.
其中正確的命題是②③⑥⑦⑧.
2)已知,,則的取值范圍是;
3)已知,且則的取值范圍是.
2、不等式大小比較的常用方法:
(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;
(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調(diào)性;
(7)尋找中間量或放縮法;(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)設(shè),比較的大小
答案:①當(dāng)時,(在時取“=”);
②當(dāng)時,(在時取“=”);
2)已知,試比較的大小.(答:)
3)設(shè),,,試比較的大小(答:);
4)比較1+與的大小.
答:當(dāng)或時,1+＞;
當(dāng)時,1+＜;當(dāng)時,1+＝
5)若,且,比較的大小.(答:)
3.利用重要不等式求函數(shù)最值:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”.
典例:1)下列命題中正確的是(B)
A.的最小值是2B.的最大值是
C.的最小值是2D.的最小值是;
2)若,則的最小值是;
3)已知,且,則的最小值為18;
變式①:已知,則的最小值為18;
②:已知,且,則的最大值為1;
③:已知,且,則的最小值為9;
4.常用不等式有:(1)當(dāng)時取=號)
(2)當(dāng)時取=號)
上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.
(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理:若,則(糖水的濃度問題).
典例:若,滿足,則的取值范圍是.
5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.
比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結(jié)論.)
常用的放縮技巧有:(右邊當(dāng)時成立)
典例:1)已知,求證:;
2)已知,求證:;
3)已知,且,求證:;
4)若是不全相等的正數(shù),求證:;
5)若,求證:;
6)求證:.
6.常系數(shù)一元二次不等式的解法:判別式－圖象法
步驟:(1)化一般形式:,其中;
(2)求根的情況:;
(3)由圖寫解集:考慮圖象得解.
典例:解不等式.(答:)
注:解一元二次不等式的過程實(shí)際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過程,從中我們不難看出“三個二次”關(guān)系是核心,即一元二次不等式解集定值端點(diǎn)(非正負(fù)無窮大)是對應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點(diǎn)).
典例:若關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.(答:)
7.簡單的一元高次不等式的解法:標(biāo)根法:
其步驟是:(1)分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正;
(2)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(奇穿偶回);
(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集.
典例:1)解不等式.(答:或);
2)不等式的解集是;
3)設(shè)函數(shù)、的定義域都是,且的解集為,的解集為,則不等式的解集為;
4)要使?jié)M足關(guān)于的不等式(解集非空)的每一個的值至少滿足不等式和中的一個,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母.
典例:1)解不等式(答:);
2)關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為.
注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.
9.絕對值不等式的解法:(了解)
(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)
典例:解不等式;(答:);
(3)利用絕對值的定義;(3)數(shù)形結(jié)合;
典例:解不等式;(答:)
(4)兩邊平方
典例:若不等式對恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
10、含參不等式的解法:通法是“定義域?yàn)榍疤?函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵．”
注意:①解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是…”.
②按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集.
典例:1)若,則的取值范圍是;
2)解不等式.
(答:時,;時,或;時,或)
含參數(shù)的一元二次不等式的解法:三級討論法.
一般地,設(shè)關(guān)于的含參數(shù)的一元二次形式的不等式為:.
(1)第一級討論:討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零;
(2)第二級討論:若時,先觀察其左邊能否因式分解,否則討論的符號;
(3)第三級討論:若時,先觀察兩根大小是否確定,否則討論兩根的大小.
注意:每一級的討論中,都有三種情況可能出現(xiàn),即“”,“=”,“”,應(yīng)做到不重不漏.
典例:1)解關(guān)于的不等式.
答:①當(dāng)時,;②當(dāng)時,;
③當(dāng)時,;④當(dāng)時,
⑤當(dāng)時,
2)解關(guān)于的不等式.
答:①當(dāng)時,;②當(dāng)時,
③當(dāng)時,;④當(dāng)時,;⑤當(dāng)時,
提醒:解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？
常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法.
1).恒成立問題★★★
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
典例:1)設(shè)實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時,的取值范圍是;
2)不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
3)若對滿足的所有都成立,則的取值范圍;
4)若不等式對于任意正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
5)若不等式對恒成立,則的取值范圍
2).能成立問題
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上;
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.
注意:若方程有解,則等價(jià)于
典例:1)已知在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍
2)已知函數(shù)的定義域?yàn)?
①若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答:)
②若方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答:)
3).恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價(jià)于不等式的解集為;
若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價(jià)于不等式的解集為.
12..簡單的線性規(guī)劃問題:
(1)二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域
①一般地,二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線;

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2012年文科數(shù)學(xué)回歸教材3導(dǎo)數(shù)教學(xué)資料

新課標(biāo)——回歸教材
導(dǎo)數(shù)
1.導(dǎo)數(shù)的背景:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度.
典例:一物體的運(yùn)動方程是,其中的單位是米,的單位是秒,那么物體在時的瞬時速度為5米/秒.
2.導(dǎo)函數(shù)的概念:如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),對于開區(qū)間內(nèi)的每一個,都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù),這樣在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù),這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作,簡稱導(dǎo)數(shù).
3.求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的改變量;(2)求平均變化率;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù).
4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是,相應(yīng)地切線的方程是.
特別提醒:(1)在求曲線的切線方程時,要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線,還是過某點(diǎn)的切線:曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條,而過某點(diǎn)的切線不一定只有一條,即使此點(diǎn)在曲線上也不一定只有一條;(2)在求過某一點(diǎn)的切線方程時,要首先判斷此點(diǎn)是在曲線上,還是不在曲線上,只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線上時,此點(diǎn)處的切線的斜率才是.
典例:(1)在曲線上移動,在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則;
(2)直線是曲線的一條切線,則實(shí)數(shù)的值為－3或1;
(3)若函數(shù)(為常數(shù))圖象上處的切線與的夾角為,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;(數(shù)形結(jié)合,可知切線的傾斜角只能為0或900(舍去))
(4)曲線在點(diǎn)處的切線方程是;
(5)已知函數(shù),又的圖象與軸交于.
①求的值;②求過點(diǎn)的曲線的切線方程（答:①1;②或）.
5.導(dǎo)數(shù)的公式、法則:
(1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即（為常數(shù)）;
(2),與此有關(guān)的常用結(jié)論:;
(3)
(4);;
典例:(1)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,則;
(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為;
(3)若對任意,,則是.
6.多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性:(1)多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性:
①若,則為增函數(shù);若,則為減函數(shù);若恒成立,則為常數(shù)函數(shù);若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,反之等號不成立;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,反之等號不成立.
典例:(1)函數(shù),當(dāng)時,的單調(diào)性是增函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增,且方程的根都在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是;
(4)已知,,設(shè),試問是否存在實(shí)數(shù),使在上是減函數(shù),并且在上是增函數(shù)？（答:）
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求;(2)求方程的根,設(shè)根為;(3)將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間,再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號,由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性.
典例:設(shè)函數(shù)在處有極值,且,求的單調(diào)區(qū)間.（答:遞增區(qū)間（－1,1）,遞減區(qū)間）
7、函數(shù)的極值:
(1)定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義,如果對附近所有的點(diǎn),都有,就說是函數(shù)的一個極大值.記作＝,如果對附近所有的點(diǎn),都有,就說是函數(shù)的一個極小值.記作＝.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
(2)求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟:（i）求導(dǎo)數(shù);（ii）求方程的根;（iii）檢查在方程的根的左右的符號:“左正右負(fù)”在處取極大值;“左負(fù)右正”在處取極小值.
特別提醒:(1)是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不僅是＝0,＝0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件.(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定要既考慮,又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化,否則條件沒有用完,這一點(diǎn)一定要切記！
典例:(1)函數(shù)的極值點(diǎn)是(C)
A、極大值點(diǎn)B、極大值點(diǎn)C、極小值點(diǎn)D、極小值點(diǎn);
(2)函數(shù)處有極小值10,則a+b的值為－7;
(3)已知在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù),那么b＋c有最大值.
特別小結(jié):三次函數(shù)的極值情況.
記其導(dǎo)函數(shù)的判別式為,其圖象對稱軸為.則
(1)若時,三次函數(shù)無極值,
①當(dāng)時,,在定義域上遞增;②當(dāng)時,,在定義域上遞減.
(2)若時,記的兩根為,則三次函數(shù)有極值,且
①當(dāng)時,(簡稱為左大右小);
②當(dāng)時,(簡稱為左小右大);
綜上,三次函數(shù)有極值的充要條件為.
(3)三次函數(shù)都有對稱中心,其坐標(biāo)為.
典例:已知函數(shù)有極值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;
8.函數(shù)的最大值和最小值:
(1)定義:函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”;函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”.
(2)求函數(shù)在[]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值（極大值或極小值）;(2)將的各極值與,比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.
典例:(1)函數(shù)在[0,3]上的最大值、最小值分別是;
(2)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.
（答:高為1.2米時,容積最大為）
特別注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時,要注意列表！
(2)要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值),研究函數(shù)的性態(tài),數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題.
典例:(1)是的導(dǎo)函數(shù),的圖象如下圖所示,則的圖象只可能是(D)

(2)圖形M(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及
高為2和3的兩個矩形所構(gòu)成，函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖形
M介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數(shù)
S(a)的圖象大致是(C)

(3)方程的實(shí)根的個數(shù)為1;
(4)已知函數(shù),拋物線,當(dāng)時,函數(shù)的圖象在拋物線的上方,求的取值范圍（答:）.
(5)求證:(構(gòu)造函數(shù)法)

高三數(shù)學(xué) 不等式會考復(fù)習(xí)

不等式會考復(fù)習(xí)
知識提要
一、不等式性質(zhì)
3、同向不等式可相加，不可相減：且，則；
4、正項(xiàng)同向不等式可相乘，不可相除：，且，則；
5、乘法法則：,則；
6、開方法則：，則；
7、倒數(shù)不等式：，或時，有；
時，；
8、函數(shù)

重要不等式
1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）
2、如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）
3、若，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）
4、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）
5、
二、不等式證明
比較法(作差法、作商法)、分析法、綜合法(綜合法—由因?qū)Ч?，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用綜合法寫出證明過程)、反證法、換元法(三角換元)、放縮法、函數(shù)法(利用函數(shù)單調(diào)性)等
三、不等式解法
1、含絕對值不等式的解法：
(1)、
(2)、
(3)、
2、含多個絕對值的不等式：零點(diǎn)區(qū)間討論法
3、高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法
4、分式不等式：整式不等式
；
；
四、絕對值不等式和含參不等式
1、含絕對值不等式的性質(zhì)定理及推論定理:1、|a|-|b||a+b||a|+|b|
2、|a|-|b||a-b||a|+|b|
推論:|a1+a2+a3||a1|+|a2|+|a3|
2、含參不等式
針對參數(shù)進(jìn)行正確地分類；分類討論思想的運(yùn)用
典例解讀
1.設(shè)a＜0，-1＜b＜0，則a，ab，ab2三者的大小關(guān)系為_________

2.已知三個不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中兩個作條件，余下一個作結(jié)論，則可組成___個正確的命題
3.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求的最小值

4.若恒成立.則常數(shù)a的取值范圍是___________

5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()
(A)充分而非必要條件(B)必要而非充分條件
(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件

6.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時間的速度為a，另一半時間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達(dá)B地的情況是()
(A)甲車先到達(dá)B地(B)乙車先到達(dá)B地
(C)同時到達(dá)(D)不能判定

7.方程的解集是()
(A)(-1，0)∪(3，+∞)(B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0)∪[3，+∞](D)(-∞，-1)∪[0，3]

8.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，對于a、b、c有以下結(jié)論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正確結(jié)論的序號是__________

9.如果函數(shù)y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________

10.解不等式：
12.設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍

13.在某兩個正數(shù)x,y之間，若插入一個正數(shù)a,使x,a,y成等比數(shù)列；若另插入兩個正數(shù)b,c,使x,b,c,y成等差數(shù)列，求證：(a+1)2≤(b+1)(c+1)

14.已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù),且f(2a2-3a+2)0的解集,求實(shí)數(shù)m,n
15.關(guān)于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0>

16.若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù)，且對一切x>0,y>0,滿足
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2)=1，解不等式

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差
②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度?。?br> （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立
點(diǎn)評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)?，所以，?br> 故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個，當(dāng)時，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個”翻譯為符號語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時，證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時，
故原命題成立
4．比較的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購進(jìn)糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計(jì)，誰購的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價(jià)格為，乙三次購糧的平均價(jià)格為，因?yàn)?br> 所以乙購的糧食價(jià)格低
說明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

超越不等式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編精心為您整理的“超越不等式”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

超越不等式
一,理論知識匯總
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解關(guān)于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等價(jià)于(ax-1)(x+1)0
（1）當(dāng)a=0時,原不等式為-(x+1)0解得x-1;
（2）當(dāng)a0時,得1a0解得x-1或x1a
（3）當(dāng)a0時,原不等式可化為(x-1a)(x+1)0
①若a=-1時,不等式無解;②若a-1時,1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0時,1a-1解得1ax-1
綜上所述：當(dāng)a=0時,解集為(-∞,-1);當(dāng)a0時,解集為(-∞,-1)∪(1a,+∞);
當(dāng)a=-1時,解集為;當(dāng)a-1時,解集為(-1,1a);當(dāng)-1a0時,解集為(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿線法.
注意:(1)因式分解后,整理成每個因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿線法的使用對象及使用方法
使用對象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根,使等號成立的根,標(biāo)為實(shí)點(diǎn),等號不成立的根要標(biāo)虛點(diǎn).
②自右向左自上而下穿線,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③數(shù)軸上方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立,下方曲線對應(yīng)區(qū)域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:變形為(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根據(jù)穿線法如圖

不等式解集為:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.?
a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）對數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.
a1時,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1時,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函數(shù)y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)圖，得出滿足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用單位圓求解之外，
還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時作出兩個函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的圖像，先得出滿足條件x∈的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的結(jié)論可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
練習(xí)：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),則不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.設(shè)A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},則A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集為()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集為()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范圍內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.當(dāng)0a1時,不等式:的解集為.
12.不等式sinx≤-的解集為.
13.不等式tan(x-)≥的解集為.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指數(shù)不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.