高中不等式教案

高三數(shù)學(xué)不等式的證明教案15。

6.3不等式的證明I
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1．理解不等式的性質(zhì)和證明;
2．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式。
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：
（1）比差法：步驟是：①作差；②分解因式或配方；③判斷差式符號(hào)；
（2）比商法：要證ab且b0，只須證1。
說(shuō)明：①作差比較法證明不等式時(shí)，通常是進(jìn)行通分、因式分解或配方，利用各因式的符號(hào)或非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
②證冪、乘積的不等式時(shí)常用比商法，證對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用比差法。運(yùn)用比商法時(shí)必須確定兩式的符號(hào)；
2.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（如均值不等式，常用不等式，函數(shù)單調(diào)性）作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式的方法。
3.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式,綜合法是分析法的逆過(guò)程
4．對(duì)較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法,或比較法加以證明。
5.要掌握證明不等式的常用方法，此外還要記住一些常用不等式的形式特點(diǎn),運(yùn)用條件,等號(hào)、不等號(hào)成立的條件等。
三、雙基題目練練手
1.設(shè)0＜x＜1，則a=x，b=1+x，c=中最大的一個(gè)是()
A.aB.bC.cD.不能確定
2.（2005春上海）若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.設(shè)（0，+∞），則三個(gè)數(shù)，，的值（）
A.都大于2B.都小于2
C.至少有一個(gè)不大于2D.至少有一個(gè)不小于2
4.對(duì)于滿足0≤≤4的實(shí)數(shù)，使恒成立的的取值范圍是．
5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.
6.船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回行駛一次的平均速度v1,在靜水中的速度v2,則v1與v2的大小關(guān)系為____________.

◆簡(jiǎn)答:1-3.CAD;4.;5.①②;
6.設(shè)甲、乙距離為s，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來(lái)回行駛一次的時(shí)間t=+=，平均速度v1==.
∵v1－v2=－v2=－＜0，
∴v1＜v2.答案：v1＜v2
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】（1）已知a,b∈R,求證:a2+b2+1ab+a
（2）設(shè)求證
證明：（1）p=a2+b2+1-ab-a
=
=
顯然p0∴得證

（2）證法一:左邊-右邊=
=
==∴原不等式成立。
證法二:左邊0，右邊0。
∴原不等式成立。
◆提煉方法:比較法.作差（或商）、變形、判斷三個(gè)步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過(guò)程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。
【例2】已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.
證明法一：（綜合法）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2＝0.
展開得ab+bc+ca=－，
∴ab+bc+ca≤0.
法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，
∵a+b+c=0，
故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，
即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，
亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．
而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，
∴原不等式成立.
證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.
∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2
＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．
∴ab+bc+ca≤0.

【例3】已知的三邊長(zhǎng)為且為正數(shù).求證:
證明一:分析法:要證
只需證
①
∵在ΔABC中,
∴①式成立,從而原不等式成立.
證明二:比較法:
證明二:因?yàn)闉榈娜呴L(zhǎng),所以
【例4】設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜.
（1）當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，證明x＜f（x）＜x1；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，求證x0＜.
證明：（1）令F（x）=f（x）－x，
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.
當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，由于x1＜x2，
∴（x－x1）（x－x2）＞0.
又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即x＜f（x）.
又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，
∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，
1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，
∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.
綜上，可知x＜f（x）＜x1.
（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2
對(duì)稱軸為x=x0=－=,()
法2:由題意知x0=－.
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，
∴x1+x2=－.
∴x0=－==.
又∵ax2＜1，∴x0＜=.
題目點(diǎn)評(píng):函數(shù)或數(shù)列中的不等式,是高考中的一大類題目,應(yīng)予以特別的關(guān)注,體會(huì)方法,積累經(jīng)驗(yàn).
【研討.欣賞】已知a＞1，m＞0，求證：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.
證法1：
取對(duì)數(shù)得：lg(a+m)－lgalg(a+2m)－lg(a+m)＞0①
又lgalog(a+m)即②
①×②得:
即loga（a+m）＞loga+m（a+2m）
(常見形式logn(n+1)log(n+1)(n+2))

法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m）
=－
=
∵a＞1，m＞0，
∴l(xiāng)ga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）.
∴l(xiāng)galg（a+2m）＜［（）］2
=［］2＜［］2=lg2（a+m）.
∴＞0.
∴l(xiāng)oga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）.
提煉方法:1.綜合法,為什么想到用“”——感覺式子的結(jié)構(gòu)特征;
2.比較法.把對(duì)數(shù)的積用均值不等式化為對(duì)數(shù)的和是一步關(guān)鍵的決擇.
五．提煉總結(jié)以為師
1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.
步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號(hào).
對(duì)于積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號(hào).
2.對(duì)較復(fù)雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個(gè)條件(不等式)成立.
3.綜合法是最簡(jiǎn)捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時(shí)也需要幾種方法綜合運(yùn)用.
4.要熟練掌握均值不等式、四種平均值之間的關(guān)系，記住一些常用的不等式，記住它們的形式特點(diǎn)、證明方法和內(nèi)在聯(lián)系。
同步練習(xí)6.3不等式的證明I
【選擇題】
1.設(shè)x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則()
A.x+y≤2+2B.x+y≥2+2
C.x+y≤（+1）2D.x+y≥（+1）2
2.若0ab且a+b=1，則四個(gè)數(shù)，b，2ab，a2+b2中最大的是()
A.B、bC、2abD、a2+b2
3.已知x0，f(x)=，則
A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3
4.已知，（a2），則A
A、pqB、pqC、p≥qD、p≤q
【填空題】
5.要使不等式≤對(duì)所有正數(shù)x，y都成立，則k的最小值是_____
6.給出下列不等式,其中正確不等式的序號(hào)是_______
；
，
◆練習(xí)簡(jiǎn)答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)
【解答題】
7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求證：＞
(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

證明(1)法一.（作差比較法）
∵－=，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴＞0，即＞.
證法二：（分析法）
∵x、y、a、b∈R+，∴要證＞，
只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.
而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，
知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.
(2)(作差比較法)
因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即(a+b)3≤23．
又a+b0,∴a+b≤2.又∵∴ab≤1.
8．己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明:
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
9.設(shè)x0,y0且x≠y,求證
證明：由x0,y0且x≠y,要證明
只需即
只需
由條件,顯然成立.∴原不等式成立
10.求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.
證明：設(shè)S表示△ABC的面積，則
S=aha=bhb=absinC.
∴ha=bsinC，hb=asinC.
∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC
=（a－b）（1－sinC）.
∵C≠，∴1－sinC＞0.
∴（a－b）（1－sinC）＞0.
∴a+ha＞b+hb.
【探索題】已知x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,記u=xy+yz+zx,求證：
證明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx
==4,故。又
三式相加得
,兩邊加上得
∴u1,原不等式得證。

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不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過(guò)復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問(wèn)題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過(guò)證明不等式的過(guò)程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差
②變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)
注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來(lái)，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問(wèn)題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立
點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)?，所以，?br> 故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語(yǔ)言“m等于，和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號(hào)語(yǔ)言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中常考常新,是既考知識(shí)又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過(guò)程，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來(lái)表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問(wèn)題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問(wèn)題的方法，即我們常說(shuō)的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡(jiǎn)單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時(shí)的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí)，證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時(shí)，
故原命題成立
4．比較的大?。ㄆ渲?x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)糧食，他們共購(gòu)糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購(gòu)糧10000千克，乙每次購(gòu)糧10000元三次后統(tǒng)計(jì)，誰(shuí)購(gòu)的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購(gòu)糧的平均價(jià)格為，乙三次購(gòu)糧的平均價(jià)格為，因?yàn)?br> 所以乙購(gòu)的糧食價(jià)格低
說(shuō)明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來(lái)我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

高三 數(shù)學(xué) 不等式 會(huì)考復(fù)習(xí)

不等式會(huì)考復(fù)習(xí)
知識(shí)提要
一、不等式性質(zhì)
3、同向不等式可相加，不可相減：且，則；
4、正項(xiàng)同向不等式可相乘，不可相除：，且，則；
5、乘法法則：,則；
6、開方法則：，則；
7、倒數(shù)不等式：，或時(shí)，有；
時(shí)，；
8、函數(shù)

重要不等式
1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
2、如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
3、若，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
4、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
5、
二、不等式證明
比較法(作差法、作商法)、分析法、綜合法(綜合法—由因?qū)Ч?，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用綜合法寫出證明過(guò)程)、反證法、換元法(三角換元)、放縮法、函數(shù)法(利用函數(shù)單調(diào)性)等
三、不等式解法
1、含絕對(duì)值不等式的解法：
(1)、
(2)、
(3)、
2、含多個(gè)絕對(duì)值的不等式：零點(diǎn)區(qū)間討論法
3、高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法
4、分式不等式：整式不等式
；
；
四、絕對(duì)值不等式和含參不等式
1、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理及推論定理:1、|a|-|b||a+b||a|+|b|
2、|a|-|b||a-b||a|+|b|
推論:|a1+a2+a3||a1|+|a2|+|a3|
2、含參不等式
針對(duì)參數(shù)進(jìn)行正確地分類；分類討論思想的運(yùn)用
典例解讀
1.設(shè)a＜0，-1＜b＜0，則a，ab，ab2三者的大小關(guān)系為_________

2.已知三個(gè)不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，則可組成___個(gè)正確的命題
3.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求的最小值

4.若恒成立.則常數(shù)a的取值范圍是___________

5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()
(A)充分而非必要條件(B)必要而非充分條件
(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件

6.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達(dá)B地的情況是()
(A)甲車先到達(dá)B地(B)乙車先到達(dá)B地
(C)同時(shí)到達(dá)(D)不能判定

7.方程的解集是()
(A)(-1，0)∪(3，+∞)(B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0)∪[3，+∞](D)(-∞，-1)∪[0，3]

8.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，對(duì)于a、b、c有以下結(jié)論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________

9.如果函數(shù)y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________

10.解不等式：
12.設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍

13.在某兩個(gè)正數(shù)x,y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a,使x,a,y成等比數(shù)列；若另插入兩個(gè)正數(shù)b,c,使x,b,c,y成等差數(shù)列，求證：(a+1)2≤(b+1)(c+1)

14.已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù),且f(2a2-3a+2)0的解集,求實(shí)數(shù)m,n
15.關(guān)于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0>

16.若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù)，且對(duì)一切x>0,y>0,滿足
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2)=1，解不等式

高三數(shù)學(xué)不等式的性質(zhì)教案14

第六章不等式總覽
知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)
6.1不等式的性質(zhì)
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
掌握不等式的性質(zhì)及其證明，能正確使用這些性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.比較原理：
兩實(shí)數(shù)之間有且只有以下三個(gè)大小關(guān)系之一：ab;ab;a=b；
；；．
以此可以比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小，——作差比較法．
或作商比較：a0時(shí),；a0時(shí),.
2．不等式的性質(zhì)：
（1）對(duì)稱性:，
證明：（比較法）
（2）傳遞性:，
（3）可加性:.
移項(xiàng)法則:
推論：同向不等式可加.
（4）可乘性:，
推論1：同向(正)可乘:
證明：（綜合法）
推論2：可乘方(正):
(5)可開方(正):
證明：（反證法）
不等式的性質(zhì)有五個(gè)定理,三個(gè)推論,一個(gè)比較原理,是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運(yùn)用，要弄清每一個(gè)條件和結(jié)論，學(xué)會(huì)對(duì)不等式進(jìn)行條件的放寬和加強(qiáng)
三、雙基題目練練手
1.(2006春上海)若，則下列不等式成立的是()
A..B..C..D..
2.(2004北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）
A．B．C．D．
3.對(duì)于實(shí)數(shù)，下命題正確的是()
A.若ab,則.B.若,則.
C.若,則.D.若ab0,dc0,則
4.（2004春北京）已知三個(gè)不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實(shí)數(shù)），用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是
A.0B.1C.2D.3
5.(2004遼寧)對(duì)于，給出下列四個(gè)不等式
①②
③④
其中成立的是_________

6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，，的由大到小的順序是____________.
練習(xí)簡(jiǎn)答:1-4.CCCD;5.②與④;6.特殊值法,答案：＞＞＞
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a2，b≤2a，c＝b-2a，
求c的取值范圍．?
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴b-4-2a=．
∴c的取值范圍是：c≤0．?
【例2】設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(－2)的取值范圍
解：由已知1≤a－b≤2,①,2≤a+b≤4②
若將f(－2)=4a－2b用a－b與a+b,表示，則問(wèn)題得解
設(shè)4a－2b=m(a－b)+n(a+b),(m,n為待定系數(shù))
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得得：m=3,n=1
由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(－2)≤10,
另法：由得
∴f(－2)=4a－2b=3f(－1)+f(1)……
◆特別提醒:常見錯(cuò)解:由①②解出a和b的范圍,再湊出4a－2b的范圍.錯(cuò)誤的原因是a和b不同時(shí)接近端點(diǎn)值,可借且于線性規(guī)劃知識(shí)解釋.
【例3】(1)設(shè)A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當(dāng)x∈R+，n∈N時(shí)，比較A與B的大小.
(2)設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.
解:(1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）
=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］
=x－n（x－1）（x2n－1－1）.
由x∈R+，x－n＞0，得
當(dāng)x≥1時(shí)，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
當(dāng)x＜1時(shí)，x－1＜0，x2n－1＜0，即
x－1與x2n－1－1同號(hào).∴A－B≥0.∴A≥B.
(2)∵0＜x＜1，所以
①當(dāng)3a＞1，即a＞時(shí)，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］
=－3log3a（1－x2）.
∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.
②當(dāng)0＜3a＜1，即0＜a＜時(shí)，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.
綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.
◆提煉方法：(1)作差分解因式、配方或利用單調(diào)性,分類判斷差式的符號(hào).
【例4】已知函數(shù)，，試比較與的大小．
解作差—
=
當(dāng)時(shí)，得
=。
（2）當(dāng)時(shí)，,所以
①當(dāng)時(shí)，
得
=。
②當(dāng)時(shí)，得
③當(dāng)時(shí)，得
綜上所述：當(dāng)或時(shí)
=。
當(dāng)且時(shí)
。
當(dāng)且時(shí)
。

【研討.欣賞】已知abc，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2
（1）證明：－；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
解：（1）abc，a+b+c=0,
∴
且a0，
∴1，
(2)(方法1)a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根為1，
不妨設(shè)x1=1,則由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2=0(3ca+b+c=0)，∴x2=－1
∴x12－x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=－，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－x1x2==1，
∴
∴x12－x1x2+x22=x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
五．提煉總結(jié)以為師
1.熟練掌握準(zhǔn)確運(yùn)用不等式的性質(zhì)。
2.比較兩數(shù)大小，一般用作差法。步驟：作差---變形(分解因式或配方)---判斷符號(hào)
3.對(duì)于含參問(wèn)題的大小比較要注意分類討論.

同步練習(xí)6.1不等式的性質(zhì)
【選擇題】
1.(2006浙江)“”是“”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不允分也不必要條件
2．（2006江西）若,則不等式等價(jià)于（）
A.B.
C.D.
3.(2004湖北)若，則下列不等式①；②③；
④中，正確的不等式有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4.“不等式a3+b3+c3≥3abc”成立的充要條件是()
A.a+b+c≥0B.a+b+c≥0,3abc≥0
C.a0,b0,c0D.a≥0,b≥0,c≥0
【填空題】
5.已知a＞2，b＞2，則a+b與ab的大小關(guān)系是__________.
6.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=則A、B、C、D按從小到大的順序排列起來(lái)是____________.
簡(jiǎn)答.提示：1-4.ADBA;4.a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,=a+b+c≥0
5.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.
6.取特殊值a=－，計(jì)算可得A=，B=，C=，D=.
∴D＜B＜A＜C.
【解答題】
7.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，試確定a,b,c的大小關(guān)系.

解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a-)2+0,∴ba，從而c≥ba.?

8.已知函數(shù)f(x)=x3+x證明:
(1)f(x)是增函數(shù);
(2)若a,b,c∈R,且,a+b0,b+c0,c+a0,則f(a)+f(b)+f(c)0.
證明:(1)設(shè)x1x2
f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)①
當(dāng)x1,x2同號(hào)時(shí),①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]0
當(dāng)x1,x2異號(hào)時(shí),①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]0
綜上有f(x1)f(x2),故f(x)是增函數(shù).
(2)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).又a+b0即a-b
∴f(a)f(-b)=－f(b),即f(a)+f(b)0.
同理,f(b)+f(c)0,f(a)+f(c)0.
三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]0,所以f(a)+f(b)+f(c)0成立.
9.在等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝中，a1＝b10，a3＝b30，a1≠a3.試比較下面兩組數(shù)的大小.
(1)a2與b2.
(2)(2)a5與b5.
解:設(shè)an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依題意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1,
∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a(q-1)2，
∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,
∴a2-b2＝a１(q-1)20,∴a2b2.
(2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)20,∴a5b5.?

10.1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.
解：（1+logx3）－2logx2=logx.
當(dāng)或
即0＜x＜1或x＞時(shí)，
有l(wèi)ogx＞0，1+logx3＞2logx2.
當(dāng)①或②時(shí)，logx＜0.
解①得無(wú)解，解②得1＜x＜，
即當(dāng)1＜x＜時(shí)，有l(wèi)ogx＜0，
1+logx3＜2logx2.
當(dāng)x=1，即x=時(shí)，有l(wèi)ogx=0.
∴1+logx3=2logx2.
綜上所述，當(dāng)0＜x＜1或x＞時(shí)，1+logx3＞2logx2；
當(dāng)1＜x＜時(shí)，1+logx3＜2logx2；
當(dāng)x=時(shí)，1+logx3=2logx2.
【探索題】x、y是正實(shí)數(shù),記
A(x,y)=,B(x,y)=
(1)證明:A(x,y)≤B(x,y)
(2)是否存在常數(shù)C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?證明你的結(jié)論.
證明:(1)B(x,y)－A(x,y)=
∴A(x,y)≤B(x,y).
(2)鑒于二式中關(guān)于x,y的輪換對(duì)稱性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=
下證A(x,y)≤≤B(x,y)
同理.
所以,存在正常數(shù)C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.
(2)法2:(放縮法)

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（三）

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（三）

第四課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.

教學(xué)重點(diǎn) 分析法

教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解

教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)活動(dòng)

（一）導(dǎo)入新課

（教師活動(dòng)）教師提出問(wèn)題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng)．

（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問(wèn)題．

［問(wèn)題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式．

（二）新課講授

【嘗試探索、建立新知】

（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問(wèn)題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng)．幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系．投影分析法證明不等式的概念．

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知．

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

［問(wèn)題1］我們能不能用同樣的思考問(wèn)題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

［問(wèn)題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說(shuō)明了什么呢？

［問(wèn)題3］說(shuō)明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立．就是分析法的邏輯關(guān)系．

[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究．建立新的知識(shí)；分析法證明不等式．培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí)．

【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問(wèn)題．

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問(wèn)題，與教師一道完成問(wèn)題的論證．

（證法二正確，證法一錯(cuò)誤．錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤．）

設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的．

2．用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

（三）小結(jié)

（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式．應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用．理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面．有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過(guò)程．

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．

（四）布置作業(yè)

（五）課后點(diǎn)評(píng)

教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問(wèn)題解決．一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

作業(yè)答案：

說(shuō)明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過(guò)來(lái)，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。