高中不等式教案

高三數(shù)學不等式的性質(zhì)教案14。

第六章不等式總覽
知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡
6.1不等式的性質(zhì)
一、明確復習目標
掌握不等式的性質(zhì)及其證明，能正確使用這些性質(zhì)解決一些簡單問題
二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡
1.比較原理：
兩實數(shù)之間有且只有以下三個大小關(guān)系之一：ab;ab;a=b；
；；．
以此可以比較兩個數(shù)（式）的大小，——作差比較法．
或作商比較：a0時,；a0時,.
2．不等式的性質(zhì)：
（1）對稱性:，
證明：（比較法）
（2）傳遞性:，
（3）可加性:.
移項法則:
推論：同向不等式可加.
（4）可乘性:，
推論1：同向(正)可乘:
證明：（綜合法）
推論2：可乘方(正):
(5)可開方(正):
證明：（反證法）
不等式的性質(zhì)有五個定理,三個推論,一個比較原理,是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學會對不等式進行條件的放寬和加強
三、雙基題目練練手
1.(2006春上海)若，則下列不等式成立的是()
A..B..C..D..
2.(2004北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項中不一定成立的是（）
A．B．C．D．
3.對于實數(shù)，下命題正確的是()
A.若ab,則.B.若,則.
C.若,則.D.若ab0,dc0,則
4.（2004春北京）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是
A.0B.1C.2D.3
5.(2004遼寧)對于，給出下列四個不等式
①②
③④
其中成立的是_________

6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，，的由大到小的順序是____________.
練習簡答:1-4.CCCD;5.②與④;6.特殊值法,答案：＞＞＞
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a2，b≤2a，c＝b-2a，
求c的取值范圍．?
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴b-4-2a=．
∴c的取值范圍是：c≤0．?
【例2】設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(－2)的取值范圍
解：由已知1≤a－b≤2,①,2≤a+b≤4②
若將f(－2)=4a－2b用a－b與a+b,表示，則問題得解
設(shè)4a－2b=m(a－b)+n(a+b),(m,n為待定系數(shù))
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得得：m=3,n=1
由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(－2)≤10,
另法：由得
∴f(－2)=4a－2b=3f(－1)+f(1)……
◆特別提醒:常見錯解:由①②解出a和b的范圍,再湊出4a－2b的范圍.錯誤的原因是a和b不同時接近端點值,可借且于線性規(guī)劃知識解釋.
【例3】(1)設(shè)A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當x∈R+，n∈N時，比較A與B的大小.
(2)設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.
解:(1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）
=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］
=x－n（x－1）（x2n－1－1）.
由x∈R+，x－n＞0，得
當x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
當x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即
x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B.
(2)∵0＜x＜1，所以
①當3a＞1，即a＞時，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］
=－3log3a（1－x2）.
∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.
②當0＜3a＜1，即0＜a＜時，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.
綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.
◆提煉方法：(1)作差分解因式、配方或利用單調(diào)性,分類判斷差式的符號.
【例4】已知函數(shù)，，試比較與的大?。?br> 解作差—
=
當時，得
=。
（2）當時，,所以
①當時，
得
=。
②當時，得
③當時，得
綜上所述：當或時
=。
當且時
。
當且時
。

【研討.欣賞】已知abc，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的兩個實根為x1，x2
（1）證明：－；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
解：（1）abc，a+b+c=0,
∴
且a0，
∴1，
(2)(方法1)a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根為1，
不妨設(shè)x1=1,則由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2=0(3ca+b+c=0)，∴x2=－1
∴x12－x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=－，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－x1x2==1，
∴
∴x12－x1x2+x22=x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
五．提煉總結(jié)以為師
1.熟練掌握準確運用不等式的性質(zhì)。
2.比較兩數(shù)大小，一般用作差法。步驟：作差---變形(分解因式或配方)---判斷符號
3.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.

同步練習6.1不等式的性質(zhì)
【選擇題】
1.(2006浙江)“”是“”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不允分也不必要條件
2．（2006江西）若,則不等式等價于（）
A.B.
C.D.
3.(2004湖北)若，則下列不等式①；②③；
④中，正確的不等式有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4.“不等式a3+b3+c3≥3abc”成立的充要條件是()
A.a+b+c≥0B.a+b+c≥0,3abc≥0
C.a0,b0,c0D.a≥0,b≥0,c≥0
【填空題】
5.已知a＞2，b＞2，則a+b與ab的大小關(guān)系是__________.
6.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=則A、B、C、D按從小到大的順序排列起來是____________.
簡答.提示：1-4.ADBA;4.a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,=a+b+c≥0
5.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.
6.取特殊值a=－，計算可得A=，B=，C=，D=.
∴D＜B＜A＜C.
【解答題】
7.設(shè)實數(shù)a,b,c滿足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，試確定a,b,c的大小關(guān)系.

解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a-)2+0,∴ba，從而c≥ba.?

8.已知函數(shù)f(x)=x3+x證明:
(1)f(x)是增函數(shù);
(2)若a,b,c∈R,且,a+b0,b+c0,c+a0,則f(a)+f(b)+f(c)0.
證明:(1)設(shè)x1x2
f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)①
當x1,x2同號時,①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]0
當x1,x2異號時,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]0
綜上有f(x1)f(x2),故f(x)是增函數(shù).
(2)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).又a+b0即a-b
∴f(a)f(-b)=－f(b),即f(a)+f(b)0.
同理,f(b)+f(c)0,f(a)+f(c)0.
三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]0,所以f(a)+f(b)+f(c)0成立.
9.在等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝中，a1＝b10，a3＝b30，a1≠a3.試比較下面兩組數(shù)的大小.
(1)a2與b2.
(2)(2)a5與b5.
解:設(shè)an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依題意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1,
∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a(q-1)2，
∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,
∴a2-b2＝a１(q-1)20,∴a2b2.
(2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)20,∴a5b5.?

10.1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.
解：（1+logx3）－2logx2=logx.
當或
即0＜x＜1或x＞時，
有l(wèi)ogx＞0，1+logx3＞2logx2.
當①或②時，logx＜0.
解①得無解，解②得1＜x＜，
即當1＜x＜時，有l(wèi)ogx＜0，
1+logx3＜2logx2.
當x=1，即x=時，有l(wèi)ogx=0.
∴1+logx3=2logx2.
綜上所述，當0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2；
當1＜x＜時，1+logx3＜2logx2；
當x=時，1+logx3=2logx2.
【探索題】x、y是正實數(shù),記
A(x,y)=,B(x,y)=
(1)證明:A(x,y)≤B(x,y)
(2)是否存在常數(shù)C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?證明你的結(jié)論.
證明:(1)B(x,y)－A(x,y)=
∴A(x,y)≤B(x,y).
(2)鑒于二式中關(guān)于x,y的輪換對稱性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=
下證A(x,y)≤≤B(x,y)
同理.
所以,存在正常數(shù)C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.
(2)法2:(放縮法)

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不等式的性質(zhì)教案

教學設(shè)計
3．1.2不等式的性質(zhì)
整體設(shè)計
教學分析
本節(jié)將在初中學習的不等式的三條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納整理不等式的其他性質(zhì)，這是進一步學習不等式的基礎(chǔ)．要求學生掌握不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用這些基本性質(zhì)證明簡單不等式，進而更深層地從理性角度建立不等觀念．對不等式的基本性質(zhì)，教師應指導學生用數(shù)學的觀點與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析量與量之間的比較過程．
基本性質(zhì)2、3、4在初中是由實例驗證，在高中里要進行邏輯證明．教學中教師一定要認識到對學生進行邏輯訓練的必要性，注意啟發(fā)學生要求證明的欲望．
在中學數(shù)學中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與中學數(shù)學幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，因此，不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點、重點，有時也是難點．為此，在進行本節(jié)教學時，教材中基本性質(zhì)的推論可由學生自己證明，課后的練習A、B要求學生全做．
三維目標
1．通過對初中三條基本性質(zhì)的回憶，以及上節(jié)學習的知識，證明不等式的基本性質(zhì)和推論．
2．在了解不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用它們來證明一些簡單的不等式．
3．通過本節(jié)的學習，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度．體會數(shù)學的結(jié)構(gòu)美和系統(tǒng)美，激發(fā)學生學習數(shù)學更大的熱情．
重點難點
教學重點：理解并證明不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用基本性質(zhì)證明一些簡單的不等式．
教學難點：不等式基本性質(zhì)的靈活應用．
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(復習導入)讓學生回憶并敘述初中所學的不等式的三條基本性質(zhì)，即不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．讓學生根據(jù)上一節(jié)的學習將上面的文字語言用不等式表示出來，并進一步探究，由此而展開新課．
思路2.(類比導入)等式具有許多性質(zhì)，其中有：在等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，所得的仍是等式．我們自然會聯(lián)想到，不等式是否也會有此同樣的性質(zhì)呢？學生會進一步探究驗證這個聯(lián)想，由此而展開新課．
推進新課
新知探究
提出問題
1怎樣比較兩個實數(shù)或代數(shù)式的大??？2初中都學過不等式的哪些基本性質(zhì)？你能給出證明嗎？3不等式有哪些基本性質(zhì)和推論？這些性質(zhì)有哪些作用？
活動：教師引導學生一起回憶等式的性質(zhì)：等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，所得到的仍是等式．利用這些性質(zhì)，我們可以對等式進行化簡、變形或證明．那么不等式會不會也有類似的性質(zhì)呢？也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以(除數(shù)不為零)同一個數(shù)，結(jié)果會不會不變呢？為此教師引導學生回憶上節(jié)課學過的實數(shù)的基本性質(zhì)(或用多媒體展示)，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)，要比較兩個實數(shù)的大小，可以考察這兩個實數(shù)的差．這是我們研究不等關(guān)系的一個出發(fā)點．
從實數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以證明下列常用的不等式性質(zhì)：
性質(zhì)1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b?b＜a.這種性質(zhì)稱為不等式的對稱性．
性質(zhì)2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c?a＞c.這種性質(zhì)稱為不等式的傳遞性．
性質(zhì)3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向．
由此得到推論1，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊．這個推論稱為不等式的移項法則．
推論2，如果a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.
這類不等號方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，這個推論可以推廣為更一般的結(jié)論．
性質(zhì)4，如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc.
推論1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推論2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推論3，如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N＋，n＞1)．
以上這些不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)．其中性質(zhì)1是不等式的對稱性；性質(zhì)2是不等式的傳遞性；性質(zhì)3表明不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向，由此可得不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊；性質(zhì)4表明，不等式兩邊允許用非零數(shù)(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號，這點與等式的性質(zhì)不同；性質(zhì)4的推論1說明兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘；性質(zhì)4的推論2說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以乘方；性質(zhì)4的推論3說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以開方．
對以上性質(zhì)的邏輯證明，教師可與學生一起完成.5個推論可由學生自己完成，教師給予適當點撥．這是訓練學生邏輯推理能力的極佳機會，不可錯過．
討論結(jié)果：
(1)(2)略．
(3)4條性質(zhì)，5個推論．
應用示例
例1(教材本節(jié)例題)
活動：本節(jié)教材上共安排了這一個例題，含3個小題，都是不等式性質(zhì)的簡單應用，教師不可忽視本例的訓練，過高估計了學生邏輯推理的書寫能力．實踐證明，學生往往推理不嚴密．教學時應指導學生根據(jù)不等式的性質(zhì)的條件和結(jié)論，強調(diào)推理要有理有據(jù)，嚴謹細致，條理清晰．
點評：應用不等式性質(zhì)對已知不等式進行變形，從而得出要證的不等式，是證明不等式的常用方法之一.
變式訓練
已知a＞b＞0，c＜0，求證：ca＞cb.
證明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.
于是a1ab＞b1ab，即1b＞1a.
由c＜0，得ca＞cb.

例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范圍．
活動：教師引導學生回憶本題的背景，這類問題是學習三角函數(shù)內(nèi)容時經(jīng)常遇到的，由于當時所學知識所限，往往容易出錯．這里我們在已知的基礎(chǔ)上，運用不等式的基本性質(zhì)得出所要得到的結(jié)果．
解：∵－π2≤α＜β≤π2，
∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.
上面兩式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.
∵－π4＜β2≤π4，
∴－π4≤－β2＜π4.
∴－π2≤α－β2＜π2.
又知α＜β，∴α－β2＜0.
故－π2≤α－β2＜0.
點評：在三角函數(shù)化簡求值中，角的范圍的確定往往成為正確解題的關(guān)鍵.
變式訓練
已知函數(shù)f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正負都有可能
答案：B
解析：由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性質(zhì)3推論2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.

3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：ea－c＞eb－d.
活動：教師引導學生觀察結(jié)論，由于e＜0，因此即證1a－c＜1b－d，引導學生作差，利用本節(jié)所學的不等式基本性質(zhì)．
證明：c＜d＜0?－c－d0ab0?a－c＞b－d＞0?1a－c1b－de0ea－c＞eb－d.
點評：本例是靈活運用不等式的性質(zhì)．證明時一定要推理有據(jù)，思路條理清晰.
變式訓練
若1a＜1b＜0，則下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正確的不等式有()
A．0個B．1個C．2個D．3個
答案：B
解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，則①正確，②錯誤，③錯誤.

知能訓練
1．若a、b、c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()

A.1a＜1bB．a(chǎn)2＞b2
C.ac2＋1＞bc2＋1D．a(chǎn)|c|＞b|c|
2．若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是()
A.ba＞b＋1a＋1B．a(chǎn)＋1a＞b＋1b
C．a(chǎn)＋1b＞b＋1aD.2a＋ba＋2b＞ab
3．有以下四個條件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使1a＜1b成立的有__________個條件．
答案：
1．C解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均錯．
2．C解法一：由a＞b＞00＜1a＜1ba＋1b＞b＋1a.
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.
3．3解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.
②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.
③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.
④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.
課堂小結(jié)
1．教師與學生共同完成本節(jié)的小結(jié)．從實數(shù)的基本性質(zhì)與三條基本性質(zhì)的回顧，到所有性質(zhì)的推得，推論的證明，以及例題的探究、變式訓練等．真正溫故知新，將本節(jié)課所學內(nèi)容納入已有的知識體系．
2．教師進一步強調(diào)代數(shù)邏輯推理的方法要領(lǐng)，指出利用不等式的性質(zhì)時容易忽略的地方，以及證明不等式時需要注意的問題．
作業(yè)
習題3—1A組4、5；習題3—1B組4.
設(shè)計感想
1．本節(jié)設(shè)計更加關(guān)注學生的發(fā)展．通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗，并從理性的角度去思考，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣．
2．本節(jié)設(shè)計注重學生的探究活動．學生在學習過程中，通過對問題的探究思考、體驗認識、廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和積極主動的學習品質(zhì)，從而提高學習質(zhì)量．
3．本節(jié)設(shè)計注重了學生個性品質(zhì)的發(fā)展．通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探索精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應用性，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學推理的嚴謹美，從而激發(fā)學生強烈的探究興趣．
備課資料
備用習題
1．如果a、b、c、d是任意實數(shù)，則()
A．a(chǎn)＞b，c＝dac＞bdB.ac＞bca＞b
C．a(chǎn)3＞b3，ab＞01a＜1bD．a(chǎn)2＞b2，ab＞01a＜1b
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)＞b＞－b＞－aB．a(chǎn)＞－b＞－a＞b
C．a(chǎn)＞－b＞b＞－aD．a(chǎn)＞b＞－a＞－b
3．已知－1＜a＜b＜0，則下面不等式中正確的是()
A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2
C.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a2
4．設(shè)a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()
A．b－a＞0B．a(chǎn)3＋b3＜0
C．a(chǎn)2－b2＜0D．b＋a＞0
5．若α、β滿足－π2＜α＜β＜π2，則α－β的取值范圍是()
A．－π＜α－β＜πB．－π＜α－β＜0
C．－π2＜α－β＜π2D．－π2＜α－β＜0
6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，則x－y的取值范圍為__________，xy的取值范圍為__________．
7．已知a＜b，c＞d，求證：c－a＞d－b.
8．已知x＞y＞z＞0，求證：yx－y＞zx－z.
參考答案：
1．CA項中，當c、d為負數(shù)時，ac＜bd，A錯；B項中，當c為負數(shù)時，a＜b，B錯；C項中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C項正確；D項中，若a、b均為負數(shù)時，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D錯．
2．C由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b為正，－a，b為負，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.
3．D由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.
4．D利用賦值法：不妨令a＝1，b＝0，則排除A，B，C.
5．B由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞(－π2)－π2＝－π，
即－π＜α－β＜0.
6．(27,56)(2011，3)∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈(2884，3360)．
∴xy∈(6033，8428)，
即2011＜xy＜3.
7．證明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
8．證明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.
又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.
又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②
由①②得yx－y＞zx－z.

不等式的性質(zhì)2

不等式的性質(zhì)（2）

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，作為高中教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助高中教師提前熟悉所教學的內(nèi)容。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供不等式的性質(zhì)（2），相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

課題：不等式的性質(zhì)（2）

教學目的：

1理解同向不等式，異向不等式概念；

2理解不等式的性質(zhì)定理1—3及其證明；

3理解證明不等式的邏輯推理方法．

4通過對不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學生靈活應變的解題能力和思考問題嚴謹周密的習慣

教學重點：掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論，注意每個定理的條件

教學難點：1理解定理1、定理2的證明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的證明這兩個定理證明的依據(jù)是實數(shù)大小的比較與實數(shù)運算的符號法則

2定理3的推論，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法則的依據(jù)但兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能得出一般結(jié)論

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學方法:

引導啟發(fā)結(jié)合法——即在教師引導下，由學生利用已學過的有關(guān)知識，順利完成定理的證明過程及定理的簡單應用

教學過程：

一、復習引入：

1．判斷兩個實數(shù)大小的充要條件是：

2．(1)如果甲的年齡大于乙的年齡，那么乙的年齡小于甲的年齡嗎?為什么?

(2)如果甲的個子比乙高，乙的個子比丙高，那么甲的個子比丙高嗎?為什么?

從而引出不等式的性質(zhì)及其證明方法．

二、講解新課：

1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式例如：ab，cd，是異向不等式

2．不等式的性質(zhì)：

定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(對稱性)

即：abba；baab

證明：∵ab∴a-b0

由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，得-(a-b)0

即b-a0∴ba(定理的后半部分略)．

點評：可能個別學生認為定理l沒有必要證明，那么問題：若ab，則和誰大？根據(jù)學生的錯誤來說明證明的必要性“實數(shù)a、b的大小”與“a-b與零的關(guān)系”是證明不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)，本定理也稱不等式的對稱性．

定理2：如果ab，且bc，那么ac．(傳遞性)

即ab，bcac

證明：∵ab，bc∴a-b0，b-c0

根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

(a-b)+(b-c)0即a-c0

∴ac

根據(jù)定理l，定理2還可以表示為：cb，baca

點評：這是不等式的傳遞性、這種傳遞性可以推廣到n個的情形．

定理3：如果ab，那么a+cb+c．

即aba+cb+c

證明：∵ab，∴a-b0，

∴(a+c)-(b+c)0即a+cb+c

點評：(1)定理3的逆命題也成立；

(2)利用定理3可以得出：如果a+bc，那么ac-b，也就是說，不等式中任何一項改變符號后，可以把它從—邊移到另一邊．

推論：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法則)

即ab，cda+cb+d．

證法一：

a+cb+d

證法二：

a+cb+d

點評：（1）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

（2）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，不能作出一般的結(jié)論；

三、講解范例：

例已知ab，cd，求證：a-cb-d．(相減法則)

分析：思路一：證明“a－c＞b－d”，實際是根據(jù)已知條件比較a－c與b－d的大小，所以以實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，直接運用實數(shù)運算的符號法則來確定差的符號，最后達到證題目的

證法一：∵a＞b，c＜d

∵a－b＞0，d－c＞0

∴（a－c）－（b－d）

＝（a－b）＋（d－c）＞0(兩個正數(shù)的和仍為正數(shù))

故a－c＞b－d

思路二：我們已熟悉不等式的性質(zhì)中的定理1～定理3及推論，所以運用不等式的性質(zhì)，加以變形，最后達到證明目的

證法二：∵c＜d∴－c＞－d

又∵a＞b

∴a＋（－c）＞b＋（－d）

∴a－c＞b－d

四、課堂練習：

1判斷下列命題的真假，并說明理由：

(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；

(2)如果a＞b，那么＞

分析：從不等式性質(zhì)定理找依據(jù)，與性質(zhì)定理相違的為假，與定理相符的為真

答案：(1)真因為推理符號定理3

(2)假由不等式的基本性質(zhì)2，3(初中)可知，當c＜0時，＜即不等式兩邊同乘以一個數(shù)，必須明確這個數(shù)的正負

2回答下列問題：

（1)如果a＞b，c＞d，能否斷定a＋c與b＋d誰大誰小?舉例說明；

(2)如果a＞b，c＞d，能否斷定a－2c與b－2d誰大誰小?舉例說明

答案：(1)不能斷定例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８2－1＞1－0８異向不等式作加法沒定論

(2)不能斷定例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定a＝８＞1＝b時a－2c＝６＞b＋2＝3而a＝2＞1＝b時a－2c＝0＜b＋2＝3

3求證：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；

(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b

證明：(1)

(2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b

4已和a＞b＞c＞d＞0，且，求證：a＋d＞b＋c

證明：∵

∴

∴（a－b）d＝（c－d）b

又∵a＞b＞c＞d＞0

∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1

∴＞1

∴a－b＞c－d即a＋d＞b＋c

評述：此題中，不等式性質(zhì)和比例定理聯(lián)合使用，使式子形與形之間的轉(zhuǎn)換更迅速這道題不僅有不等式性質(zhì)應用的信息，更有比例的信息，因此這道題既要重視性質(zhì)的運用技巧，也要重視比例定理的應用技巧

五、小結(jié)：本節(jié)課我們學習了不等式的性質(zhì)定理1～定理3及其推論，理解不等式性質(zhì)的反對稱性(a＞bb＜a＝、傳遞性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法則（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并記住這些性質(zhì)的條件，尤其是字母的符號及不等式的方向，要搞清楚這些性質(zhì)的主要用途及其證明的基本方法

六、課后作業(yè)：

1．如果，求不等式同時成立的條件．

解：

2．已知，求證：

證：∵∴

又∵∴0∴

∵且

∴

3．已知比較與的大?。?/p>

解：-

當時∵即

∴∴

當時∵即

∴∴

4．如果求證：

證：∵∴∴

∵∴∴

七、板書設(shè)計（略）

八、課后記：

不等式的性質(zhì)3

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，作為高中教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師能夠井然有序的進行教學。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《不等式的性質(zhì)3》，希望能為您提供更多的參考。