高中不等式教案

高三 數(shù)學(xué) 不等式 會(huì)考復(fù)習(xí)。

不等式會(huì)考復(fù)習(xí)
知識(shí)提要
一、不等式性質(zhì)
3、同向不等式可相加，不可相減：且，則；
4、正項(xiàng)同向不等式可相乘，不可相除：，且，則；
5、乘法法則：,則；
6、開方法則：，則；
7、倒數(shù)不等式：，或時(shí)，有；
時(shí)，；
8、函數(shù)

重要不等式
1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
2、如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
3、若，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
4、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
5、
二、不等式證明
比較法(作差法、作商法)、分析法、綜合法(綜合法—由因?qū)Ч治龇ā止饕?；一般利用分析法分析思路，再用綜合法寫出證明過程)、反證法、換元法(三角換元)、放縮法、函數(shù)法(利用函數(shù)單調(diào)性)等
三、不等式解法
1、含絕對(duì)值不等式的解法：
(1)、
(2)、
(3)、
2、含多個(gè)絕對(duì)值的不等式：零點(diǎn)區(qū)間討論法
3、高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法
4、分式不等式：整式不等式
；
；
四、絕對(duì)值不等式和含參不等式
1、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理及推論定理:1、|a|-|b||a+b||a|+|b|
2、|a|-|b||a-b||a|+|b|
推論:|a1+a2+a3||a1|+|a2|+|a3|
2、含參不等式
針對(duì)參數(shù)進(jìn)行正確地分類；分類討論思想的運(yùn)用
典例解讀
1.設(shè)a＜0，-1＜b＜0，則a，ab，ab2三者的大小關(guān)系為_________

2.已知三個(gè)不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，則可組成___個(gè)正確的命題
3.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求的最小值

4.若恒成立.則常數(shù)a的取值范圍是___________

5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()
(A)充分而非必要條件(B)必要而非充分條件
(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件

6.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，則兩車到達(dá)B地的情況是()
(A)甲車先到達(dá)B地(B)乙車先到達(dá)B地
(C)同時(shí)到達(dá)(D)不能判定

7.方程的解集是()
(A)(-1，0)∪(3，+∞)(B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0)∪[3，+∞](D)(-∞，-1)∪[0，3]

8.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，對(duì)于a、b、c有以下結(jié)論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________

9.如果函數(shù)y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________

10.解不等式：
12.設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍

13.在某兩個(gè)正數(shù)x,y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a,使x,a,y成等比數(shù)列；若另插入兩個(gè)正數(shù)b,c,使x,b,c,y成等差數(shù)列，求證：(a+1)2≤(b+1)(c+1)

14.已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù),且f(2a2-3a+2)0的解集,求實(shí)數(shù)m,n
15.關(guān)于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0>

16.若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù)，且對(duì)一切x>0,y>0,滿足
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2)=1，解不等式

相關(guān)知識(shí)

高三數(shù)學(xué)不等式的證明教案15

6.3不等式的證明I
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1．理解不等式的性質(zhì)和證明;
2．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：
（1）比差法：步驟是：①作差；②分解因式或配方；③判斷差式符號(hào)；
（2）比商法：要證ab且b0，只須證1。
說明：①作差比較法證明不等式時(shí)，通常是進(jìn)行通分、因式分解或配方，利用各因式的符號(hào)或非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
②證冪、乘積的不等式時(shí)常用比商法，證對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用比差法。運(yùn)用比商法時(shí)必須確定兩式的符號(hào)；
2.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如均值不等式，常用不等式，函數(shù)單調(diào)性）作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式的方法。
3.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式,綜合法是分析法的逆過程
4．對(duì)較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法,或比較法加以證明。
5.要掌握證明不等式的常用方法，此外還要記住一些常用不等式的形式特點(diǎn),運(yùn)用條件,等號(hào)、不等號(hào)成立的條件等。
三、雙基題目練練手
1.設(shè)0＜x＜1，則a=x，b=1+x，c=中最大的一個(gè)是()
A.aB.bC.cD.不能確定
2.（2005春上海）若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.設(shè)（0，+∞），則三個(gè)數(shù)，，的值（）
A.都大于2B.都小于2
C.至少有一個(gè)不大于2D.至少有一個(gè)不小于2
4.對(duì)于滿足0≤≤4的實(shí)數(shù)，使恒成立的的取值范圍是．
5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.
6.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1,在靜水中的速度v2,則v1與v2的大小關(guān)系為____________.

◆簡答:1-3.CAD;4.;5.①②;
6.設(shè)甲、乙距離為s，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時(shí)間t=+=，平均速度v1==.
∵v1－v2=－v2=－＜0，
∴v1＜v2.答案：v1＜v2
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】（1）已知a,b∈R,求證:a2+b2+1ab+a
（2）設(shè)求證
證明：（1）p=a2+b2+1-ab-a
=
=
顯然p0∴得證

（2）證法一:左邊-右邊=
=
==∴原不等式成立。
證法二:左邊0，右邊0。
∴原不等式成立。
◆提煉方法:比較法.作差（或商）、變形、判斷三個(gè)步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。
【例2】已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.
證明法一：（綜合法）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2＝0.
展開得ab+bc+ca=－，
∴ab+bc+ca≤0.
法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，
∵a+b+c=0，
故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，
即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，
亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．
而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，
∴原不等式成立.
證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.
∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2
＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．
∴ab+bc+ca≤0.

【例3】已知的三邊長為且為正數(shù).求證:
證明一:分析法:要證
只需證
①
∵在ΔABC中,
∴①式成立,從而原不等式成立.
證明二:比較法:
證明二:因?yàn)闉榈娜呴L,所以
【例4】設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜.
（1）當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，證明x＜f（x）＜x1；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，求證x0＜.
證明：（1）令F（x）=f（x）－x，
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.
當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，由于x1＜x2，
∴（x－x1）（x－x2）＞0.
又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即x＜f（x）.
又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，
∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，
1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，
∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.
綜上，可知x＜f（x）＜x1.
（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2
對(duì)稱軸為x=x0=－=,()
法2:由題意知x0=－.
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，
∴x1+x2=－.
∴x0=－==.
又∵ax2＜1，∴x0＜=.
題目點(diǎn)評(píng):函數(shù)或數(shù)列中的不等式,是高考中的一大類題目,應(yīng)予以特別的關(guān)注,體會(huì)方法,積累經(jīng)驗(yàn).
【研討.欣賞】已知a＞1，m＞0，求證：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.
證法1：
取對(duì)數(shù)得：lg(a+m)－lgalg(a+2m)－lg(a+m)＞0①
又lgalog(a+m)即②
①×②得:
即loga（a+m）＞loga+m（a+2m）
(常見形式logn(n+1)log(n+1)(n+2))

法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m）
=－
=
∵a＞1，m＞0，
∴l(xiāng)ga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）.
∴l(xiāng)galg（a+2m）＜［（）］2
=［］2＜［］2=lg2（a+m）.
∴＞0.
∴l(xiāng)oga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）.
提煉方法:1.綜合法,為什么想到用“”——感覺式子的結(jié)構(gòu)特征;
2.比較法.把對(duì)數(shù)的積用均值不等式化為對(duì)數(shù)的和是一步關(guān)鍵的決擇.
五．提煉總結(jié)以為師
1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.
步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號(hào).
對(duì)于積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號(hào).
2.對(duì)較復(fù)雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個(gè)條件(不等式)成立.
3.綜合法是最簡捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時(shí)也需要幾種方法綜合運(yùn)用.
4.要熟練掌握均值不等式、四種平均值之間的關(guān)系，記住一些常用的不等式，記住它們的形式特點(diǎn)、證明方法和內(nèi)在聯(lián)系。
同步練習(xí)6.3不等式的證明I
【選擇題】
1.設(shè)x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則()
A.x+y≤2+2B.x+y≥2+2
C.x+y≤（+1）2D.x+y≥（+1）2
2.若0ab且a+b=1，則四個(gè)數(shù)，b，2ab，a2+b2中最大的是()
A.B、bC、2abD、a2+b2
3.已知x0，f(x)=，則
A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3
4.已知，（a2），則A
A、pqB、pqC、p≥qD、p≤q
【填空題】
5.要使不等式≤對(duì)所有正數(shù)x，y都成立，則k的最小值是_____
6.給出下列不等式,其中正確不等式的序號(hào)是_______
；
，
◆練習(xí)簡答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)
【解答題】
7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求證：＞
(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

證明(1)法一.（作差比較法）
∵－=，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴＞0，即＞.
證法二：（分析法）
∵x、y、a、b∈R+，∴要證＞，
只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.
而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，
知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.
(2)(作差比較法)
因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即(a+b)3≤23．
又a+b0,∴a+b≤2.又∵∴ab≤1.
8．己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明:
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
9.設(shè)x0,y0且x≠y,求證
證明：由x0,y0且x≠y,要證明
只需即
只需
由條件,顯然成立.∴原不等式成立
10.求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.
證明：設(shè)S表示△ABC的面積，則
S=aha=bhb=absinC.
∴ha=bsinC，hb=asinC.
∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC
=（a－b）（1－sinC）.
∵C≠，∴1－sinC＞0.
∴（a－b）（1－sinC）＞0.
∴a+ha＞b+hb.
【探索題】已知x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,記u=xy+yz+zx,求證：
證明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx
==4,故。又
三式相加得
,兩邊加上得
∴u1,原不等式得證。

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識(shí)點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差
②變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)
注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度?。?br> （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立
點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)?，所以，?br> 故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號(hào)語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識(shí)又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評(píng)：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時(shí)的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí)，證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時(shí)，
故原命題成立
4．比較的大?。ㄆ渲?x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購進(jìn)糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計(jì)，誰購的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價(jià)格為，乙三次購糧的平均價(jià)格為，因?yàn)?br> 所以乙購的糧食價(jià)格低
說明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

超越不等式

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是小編精心為您整理的“超越不等式”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

超越不等式
一,理論知識(shí)匯總
（一），分式不等式
1，注意通分合并
2，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化
f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)0f(x)g(x)0

f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0

例:解關(guān)于x的不等式ax-1x+10.
解原不等式等價(jià)于(ax-1)(x+1)0
（1）當(dāng)a=0時(shí),原不等式為-(x+1)0解得x-1;
（2）當(dāng)a0時(shí),得1a0解得x-1或x1a
（3）當(dāng)a0時(shí),原不等式可化為(x-1a)(x+1)0
①若a=-1時(shí),不等式無解;②若a-1時(shí),1a-1,解得-1x1a;
③若-1a0時(shí),1a-1解得1ax-1
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí),解集為(-∞,-1);當(dāng)a0時(shí),解集為(-∞,-1)∪(1a,+∞);
當(dāng)a=-1時(shí),解集為;當(dāng)a-1時(shí),解集為(-1,1a);當(dāng)-1a0時(shí),解集為(1a,-1).
（二），高次不等式
方法:先因式分解,再使用穿線法.
注意:(1)因式分解后,整理成每個(gè)因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.
(2)恒正因式,可直接去掉.
(3)穿線法的使用對(duì)象及使用方法
使用對(duì)象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.
使用方法:
①在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根,使等號(hào)成立的根,標(biāo)為實(shí)點(diǎn),等號(hào)不成立的根要標(biāo)虛點(diǎn).
②自右向左自上而下穿線,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).
③數(shù)軸上方曲線對(duì)應(yīng)區(qū)域使“”成立,下方曲線對(duì)應(yīng)區(qū)域使“”成立.
例:解不等式x2-4x+13x2-7x+2≤1
解:變形為(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0
根據(jù)穿線法如圖

不等式解集為:{xx13或12≤x≤1或x2}.
（三）指數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.?
a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);
0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x).
（四）對(duì)數(shù)不等式?
通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.
a1時(shí),logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;
0a1時(shí),logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).
（五）三角不等式?
①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函數(shù)y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)圖，得出滿足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.?
②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用單位圓求解之外，
還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求解程序如下：?
在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的圖像，先得出滿足條件x∈的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.?
③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的結(jié)論可用:?
tanx≥a的解集是:.
tanx≤b的解集是:.
a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.
練習(xí)：
1.不等式的解集是()?
?A.(,1)∪(1,10)B.(,1)∪(2,10)C.(,10)D.(1,+∞)
2.已知不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?A.aB.a?C.0aD.a1?
3.不等式解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?
4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?
?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?
5.若α∈(0,),則不等式的解集是()?
?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)
6.設(shè)A={x|lg(x-1)},B={x|≤lg(x-1)},則A∪B等于()?
?A.R?B.(1,+∞)?C.(1,)?D.(1,)
7.不等式1的解集為()?
?A.(0,)B.(,+∞)?C.(,1)?D.(0,)∪(1,+∞)
8.不等式的解集為()?
?A.(3,+∞)?B.(1,5)?C.(1,4)∪(4,5)?D.(3,4)∪(4,5)
9.若不等式x2-logmx0在(0,)范圍內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.?B.?C.?D.
10.不等式5x-3的解集是.
11.當(dāng)0a1時(shí),不等式:的解集為.
12.不等式sinx≤-的解集為.
13.不等式tan(x-)≥的解集為.
14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2≤1
15.解下列指數(shù)不等式:?
(1);(2)|2x-3|+4x-30.

16.解對(duì)數(shù)不等式:logx5-2logx3.?

17.解關(guān)于x的不等式:

18.解不等式:

高三數(shù)學(xué)不等式的證明教學(xué)設(shè)計(jì)16

6.4不等式的證明II
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.掌握反證法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法的一些策略技巧；
2.了解換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造法，了解不等式證明方法的多樣性和靈活性.提高分析問題,解決問題的能力.
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.反證法：正難則反.否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論正確。
2.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,利用不等式的傳遞性證明不等式.
常用的放縮手法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，絕對(duì)值不等式,a2≥0等;
④若ab0,m0,則.
3.換元法：換元的目的是減少不等式中的變量，或者化繁為簡.常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.換元法必須注意新變?cè)娜≈捣秶?
4.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程或幾何圖形,利用相關(guān)知識(shí)來證明不等式；
5.數(shù)學(xué)歸納法法:證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式
6.利用函數(shù)的單調(diào)性.利用單調(diào)函數(shù)中自變量大小與函數(shù)值之間的聯(lián)系.要特別重視這種方法,因?yàn)楦呖贾谐０巡坏仁骄C合在函數(shù)、數(shù)列或其它數(shù)學(xué)問題之中。
三、雙基題目練練手
1.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是()
A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能確定
2.設(shè)M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小關(guān)系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能確定
3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+對(duì)任意n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.［－2，）B.（－2，）
C.［－3，）D.（－3，）
4.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.
5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）
6.記S=，則S與1的大小關(guān)系是_________
簡答:1-3.BAA;3.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a＜2－，2－為增函數(shù)，
∴a＜2－=.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，－a＜2+，a＞－2－.
而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A
4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］
≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S1
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù)。
也可用分析法、綜合法，反證法，實(shí)質(zhì)與比較法相同。
證法二：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
證法三：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立
點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法四：（判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)椋?，?br> 故
◆溫馨提示:注意體驗(yàn)不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.
【例2】（1）設(shè)，且，求證：；
（2）設(shè)，且，求證：
【證明】（1）設(shè)
則，
=。
（2）設(shè)，
∵，∴。
于是。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求證：－1＜.
證法一：要證－1＜，
即證a＜（+1）n.
令a－1=t＞0，則a=t+1.
也就是證t+1＜（1+）n.
∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，
即－1＜成立.
證法二：設(shè)a=xn，x＞1.
于是只要證＞x－1，
即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和
=1+x+…+xn-1n.
∴＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);
（3）若求證：
解:（1）對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識(shí)又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值.
【研討.欣賞】數(shù)列｛an｝滿足a1=1且an+1=（n≥1）?
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x對(duì)x＞0成立，證明：an＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．?
證明:（1）①當(dāng)n=2時(shí)，a2=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=≥2．這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．?
根據(jù)①、②可知：ak≥2對(duì)所有n≥2成立．?
（2）由遞推公式及（1）的結(jié)論有?
an+1=≤，（n≥1）?
兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得
lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．?
故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．?
上式從1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤++…++++…+
=1－++…=1－+1＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．?

五．提煉總結(jié)以為師
1．高考中一般不出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以，除掌握常用的三種方法外，還需了解其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.
2．總結(jié)所學(xué)不等式證明的方法：

同步練習(xí)6.4不等式的證明II
【選擇題】
1.若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是()
A.a2＜b2B.ab＜b2
C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，則()
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知＜＜，則()
A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b
4.(2005江西）已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式下列五個(gè)關(guān)系式：
①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b
其中不可能成立的關(guān)系式有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【填空題】
5.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.則P=loga（ax＋ay）與Q=loga2＋的大小關(guān)系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式對(duì)n∈N+都成立，則實(shí)數(shù)M的取值范圍是__________。
簡答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.
∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.
∴l(xiāng)oga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即PQ;
6.記,則,
最大.M1
【解答題】
7．已知，求證：都屬于。
【證明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈。同理可證x∈，z∈。

8.設(shè)，且，求證：
因?yàn)?，?br> 所以，所以a，b為方程（1）的二實(shí)根
而，故方程（1）有均大于c的二不等實(shí)根。
記，則
解得。
法2:由已知得c0,否則,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,與已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,
9.若a0,b0，且=1,
求證：(I)a＋b≥4;
(II)對(duì)于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
證明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II)當(dāng)n=1時(shí),左式＝0，右式＝0，∴n=1時(shí)成立.
假設(shè)n=k時(shí)成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
則當(dāng)n=k＋1時(shí)，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥22k＋1＋422k－42k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1時(shí)命題成立.歸納原理知,不等式對(duì)一切n∈N*都成立
10.已知a、b為正數(shù)，求證：
（1）若+1＞，則對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立；
（2）若對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.
分析：對(duì)帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.
證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.
∵+1＞（b＞0），
∴（+1）2＞b.從而ax+＞b
（2）∵ax+＞b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1時(shí)，［ax+］min＞b，
而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）=，即x=1+＞1時(shí)取等號(hào).
故［ax+］min=（+1）2.
則（+1）2＞b，即+1＞.
評(píng)述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.

【探索題】（2005湖北）已知不等式,其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b0，都有
解：（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)
即
于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，
∵
證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式
（i）當(dāng)n=3時(shí)，由
知不等式成立.
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即
則
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
則有
故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有