排列組合高中教案

第十三章排列組合與概率(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)。

第十三章排列組合與概率

一、基礎(chǔ)知識
1．加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。
3．排列與排列數(shù)：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，從n個不同元素中取出m個(m≤n)元素的所有排列個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,
注：一般地=1，0！=1，=n!。
4．N個不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!。
5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，即從n個不同元素中不計順序地取出m個構(gòu)成原集合的一個子集。從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用表示：
6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個數(shù)為。
[證明]將r個相同的小球裝入n個不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個裝法對應(yīng)B的唯一一個解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個盒子中球的個數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個空格中選n-1個，將球分n份，共有種。故定理得證。
推論1不定方程x1+x2+…+xn=r的非負整數(shù)解的個數(shù)為
推論2從n個不同元素中任取m個允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為
8．二項式定理：若n∈N+,則(a+b)n=.其中第r+1項Tr+1=叫二項式系數(shù)。
9．隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這個常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事件的概率，如果一次試驗中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)=
11.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生的概率為
p(A1+A2+…+An)=p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12．對立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個發(fā)生，則A，B叫對立事件，記A的對立事件為。由定義知p(A)+p()=1.
13．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。
14．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A1，A2，…，An相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率為p(A1A2…An)=p(A1)p(A2)…p(An).
15.獨立重復(fù)試驗:若n次重復(fù)試驗中,每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是獨立的.
16.獨立重復(fù)試驗的概率:如果在一次試驗中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中,這個事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=pk(1-p)n-k.
17．離散型隨機為量的分布列：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫隨機變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個隨機變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果隨機變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機變量叫離散型隨機變量。
一般地，設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡稱方差。叫隨機變量ξ的標準差。
18．二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)=,ξ的分布列為
ξ01…xi…N
p
…
…

此時稱ξ服從二項分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.幾何分布：在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所做試驗的次數(shù)ξ也是一個隨機變量，若在一次試驗中該事件發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p).
二、方法與例題
1．乘法原理。
例1有2n個人參加收發(fā)電報培訓(xùn)，每兩個人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式？
[解]將整個結(jié)對過程分n步，第一步，考慮其中任意一個人的配對者，有2n-1種選則；這一對結(jié)好后，再從余下的2n-2人中任意確定一個。第二步考慮他的配對者，有2n-3種選擇，……這樣一直進行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對，由乘法原理，不同的結(jié)對方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
2．加法原理。
例2圖13-1所示中沒有電流通過電流表，其原因僅因為電阻斷路的可能性共有幾種？
[解]斷路共分4類：1）一個電阻斷路，有1種可能，只能是R4；2）有2個電阻斷路，有-1=5種可能；3）3個電阻斷路，有=4種；4）有4個電阻斷路，有1種。從而一共有1+5+4+1=11種可能。
3．插空法。
例310個節(jié)目中有6個演唱4個舞蹈，要求每兩個舞蹈之間至少安排一個演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？
[解]先將6個演唱節(jié)目任意排成一列有種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個位置中選出4個安排舞蹈有種方法，故共有=604800種方式。
4．映射法。
例4如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？
[解]設(shè)S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若，令，則(a1,a2,a3)∈T,這樣就建立了從到T的映射，它顯然是單射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令，則，從而此映射也是滿射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120種。
5．貢獻法。
例5已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個數(shù)之和。
[解]設(shè)所求的和為x，因為A的每個元素a，含a的A的子集有29個，所以a對x的貢獻為29，又|A|=10。所以x=10×29.
[另解]A的k元子集共有個，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素個數(shù)之和為10×29。
6．容斥原理。
例6由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個？
[解]用I表示由1，2，3組成的n位數(shù)集合，則|I|=3n，用A1，A2，A3分別表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3組成的n位數(shù)的集合，則|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。
所以由容斥原理|A1A2A3|==3×2n-3.所以滿足條件的n位數(shù)有|I|-|A1A2A3|=3n-3×2n+3個。
7．遞推方法。
例7用1，2，3三個數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個這樣的n位數(shù)？
[解]設(shè)能構(gòu)造an個符合要求的n位數(shù)，則a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.當(dāng)n≥3時：1）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1；2）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是1，那么第二位只能是2或3，這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).這里數(shù)列{an}的特征方程為x2=2x+2，它的兩根為x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以
8．算兩次。
例8m,n,r∈N+，證明：①
[證明]從n位太太與m位先生中選出r位的方法有種；另一方面，從這n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有種，k=0,1,…,r。所以從這n+m人中選出r位的方法有種。綜合兩個方面，即得①式。
9．母函數(shù)。
例9一副三色牌共有32張，紅、黃、藍各10張，編號為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計算分值：每張編號為k的牌計為2k分，若它們的分值之和為2004，則稱這些牌為一個“好牌”組，求好牌組的個數(shù)。
[解]對于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)f(x)=(1+)2(1+)3…(1+)3的展開式中xn的系數(shù)（約定|x|1），由于f(x)=[(1+)(1+)…(1+)]3=3=3。
而0≤2004211，所以an等于的展開式中xn的系數(shù)，又由于==(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展開式中的系數(shù)為a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,從而，所求的“好牌”組的個數(shù)為a2004=10032=1006009.
10．組合數(shù)的性質(zhì)。
例10證明：是奇數(shù)(k≥1).
[證明]=令i=pi(1≤i≤k)，pi為奇數(shù)，則，它的分子、分母均為奇數(shù)，因是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)。
例11對n≥2,證明：
[證明]1）當(dāng)n=2時，22=642；2）假設(shè)n=k時，有2k4k,當(dāng)n=k+1時，因為
又4，所以2k+1.
所以結(jié)論對一切n≥2成立。
11．二項式定理的應(yīng)用。
例12若n∈N,n≥2，求證：
[證明]首先其次因為，所以2+得證。
例13證明：
[證明]首先，對于每個確定的k，等式左邊的每一項都是兩個組合數(shù)的乘積，其中是(1+x)n-k的展開式中xm-h的系數(shù)。是(1+y)k的展開式中yk的系數(shù)。從而就是(1+x)n-k(1+y)k的展開式中xm-hyh的系數(shù)。
于是，就是展開式中xm-hyh的系數(shù)。
另一方面，===(xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh項的系數(shù)恰為。
所以
12．概率問題的解法。
例14如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？
[解]把k件產(chǎn)品進行編號，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列作為基本事件，總數(shù)為(a+b)n（即所有的可能結(jié)果）。設(shè)事件A表示取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品，則事件A所包含的基本事件總數(shù)為akbn-k，故所求的概率為p(A)=
例15將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
[解]設(shè)每次拋硬幣正面朝上的概率為p，則擲5次恰好有k次正面朝上的概率為(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由題設(shè)，且0p1，化簡得，所以恰好有3次正面朝上的概率為
例16甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？
[解]（1）如果采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：A1—2：0（甲凈勝二局），A2—2：1（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）.p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)=×0.6×0.4×0.6=0.288.
因為A1與A2互斥，所以甲勝概率為p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：B1—3：0（甲凈勝3局），B2—3：1（前3局甲2勝1負，第四局甲勝），B3—3：2（前四局各勝2局，第五局甲勝）。因為B1，B2，B2互斥，所以甲勝概率為p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+×0.62×0.4×0.6+×0.62×0.42×0.6=0.68256.
由（1），（2）可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大。
例17有A，B兩個口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2。從A袋中取出1張卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片。求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望。
[解]（1）；（2）；（3）記ξ為取出的3張卡片的數(shù)字之積，則ξ的分布為
ξ0248
p

所以
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．三邊長均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有_________個。
2．在正2006邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對角線的條數(shù)為_________。
3．用1，2，3，…，9這九個數(shù)字可組成_________個數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)。
4．10個人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個人有_________種分組方法。
5．以長方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是_________。
6．今天是星期二，再過101000天是星期_________。
7．由展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_________項。
8．如果凸n邊形(n≥4)的任意三條對角線不共點，那么這些對角線在凸n邊形內(nèi)共有_________個交點。
9．袋中有a個黑球與b個白球，隨機地每次從中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率為_________。
10．一個箱子里有9張卡片，分別標號為1，2，…，9，從中任取2張，其中至少有一個為奇數(shù)的概率是_________。
11．某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開。他逐個試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_________。
12．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是_________。
13．a(chǎn),b,c,d,e五個人安排在一個圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_________種安排方式。
14．已知i,m,n是正整數(shù)，且1i≤m≤n。證明：（1）；（2）(1+m)n(1+n)m.
15.一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所得到的點數(shù)之和大于2n，則算過關(guān)。問：（1）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？（2）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數(shù)的均勻正方體）
四、高考水平訓(xùn)練題
1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，則這種n有__________個。
2．從{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3個不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，能組成過原點，且頂點在第一或第三象限的拋物線有___________條。
3．四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中任取4個不共面的點，有_________種取法。
4．三個人傳球，從甲開始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意一個，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有_________種。
5．一條鐵路原有m個車站（含起點，終點），新增加n個車站（n1），客運車票相應(yīng)地增加了58種，原有車站有_________個。
6．將二項式的展開式按降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項有_________個。
7．從1到9這九個自然數(shù)中任取兩個分別作為對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)，共可得到_________種不同的對數(shù)值。
8．二項式(x-2)5的展開式中系數(shù)最大的項為第_________項，系數(shù)最小的項為第_________項。
9．有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根被劃分成長度相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍三色之一涂色，可以有_________種顏色不同的圓棒？（顛倒后相同的算同一種）
10．在1，2，…，2006中隨機選取3個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是_________。
11．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，3，…，6的概率均為，連續(xù)擲6次，出現(xiàn)的點數(shù)之和為35的概率為_________。
12．某列火車有n節(jié)旅客車廂，進站后站臺上有m(m≥n)名旅客候車，每位旅客隨意選擇車廂上車，則每節(jié)車廂都有旅客上車的概率是_________。
13．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=）
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．若0abcd500，有_________個有序的四元數(shù)組（a,b,c,d）滿足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線傾斜角為銳角，這樣的直線條數(shù)是_________。
3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A滿足：（1）若i≠j，則f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，則f(i)+f(j)=7，這樣的映射的個數(shù)為_________。
4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性質(zhì)：對于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不構(gòu)成1，2，…，i的某個排列，這種排列的個數(shù)是_________。
5．骰子的六個面標有1，2，…，6這六個數(shù)字，相鄰兩個面上的數(shù)字之差的絕對值叫變差，變差的總和叫全變差V，則全變差V的最大值為_________，最小值為_________。
6．某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行50場，上述三名選手之間比賽場數(shù)為_________。
7．如果a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，則不同的四位數(shù)的個數(shù)為_________。
8．如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005，則an=_________。
9．求值：=_________。
10．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，…，6的概率均為，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點數(shù)之和是30的概率為_________。
11．將編號為1，2，…，9這九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球，設(shè)周圍上所有相鄰兩球的號碼之差的絕對值之和為S，求S達到最小值的放法的概率（注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認為是相同的放法）。
12．甲、乙兩人輪流向同一目標射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為p(0p1)，乙每次擊中的概率為q(0q1)，求甲、乙首先擊中的概率各是多少？
13．設(shè)m,n∈N,0m≤n，求證：…+
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．100張卡片上分別寫有數(shù)字1到100，一位魔術(shù)師把這100張卡片放入顏色分別是紅色、白色、藍色的三個盒子里，每個盒子里至少放入一張卡片。
一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，并從中各選取一張卡片，然后宣布這兩張卡片上的兩個數(shù)的和數(shù)，魔術(shù)師知道這個和數(shù)之后，便能夠指出哪一個是沒有被觀眾取出卡片的盒子。問：共有多少種放卡片的方法，使得這個魔術(shù)師總能夠成功？（如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子，兩種方法被認為是不同的）
2．設(shè)S={1,2,…,10}，A1，A2，…，Ak是S的k個子集合，滿足：（1）|Ai|=5,i=1,2,…,k;（2）|AiAj|≤2,1≤ij≤k，求k的最大值。
3．求從集合{1,2,…,n}中任取滿足下列條件的k個數(shù){j1,j2,…,jk}的組合數(shù)；（1）1≤j1j2…jk≤n；（2）jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m1為固定的正整數(shù)；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得≥m+1.
4.設(shè),其中S1，S2，…，Sm都是正整數(shù)且S1S2…Sm，求證組合數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)等于2m。
5．個不同的數(shù)隨機排成圖13-2所示的三角形陣，設(shè)Mk是從上往下第k行中的最大數(shù)，求M1M2…Mn的概率。
6．證明：

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第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識
定義1映射，對于任意兩個集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f:A→B為一個映射。
定義2單射，若f:A→B是一個映射且對任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對任意y∈B，都有一個x∈A使得f(x)=y，則稱f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為{x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個數(shù).
【解】分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。
因為|PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當(dāng)x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因為x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域為[2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當(dāng)y1時，①式是關(guān)于x的方程有實根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當(dāng)y=1時，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域為[，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因為f(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定義域為（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因為x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個；若f為滿射，則f有_______個；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個交點。
4．函數(shù)y=f(x)的值域為[]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域為_______。
6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對稱。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_______。
2．設(shè)0≤a1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對任意非零實數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域為[-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域為________.
9．設(shè)f(x)=,
對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴格遞增；（2）對任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0,f(x)=xf；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對一切x0有定義，且滿足：（?。ゝ(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x,y,x+y∈[0,1]時，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當(dāng)x∈時，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

第十五章復(fù)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)

第十五章復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識
1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。
2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。
4．復(fù)數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復(fù)數(shù)實部和虛部分別對應(yīng)相等；（2）兩個復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。
9．復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.
10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。
11．實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac0時方程的根為
二、方法與例題
1．模的應(yīng)用。
例1求證：當(dāng)n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明]若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。
例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復(fù)數(shù)相等。
例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。
[解]若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ0無實根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為λ≠2。
3．三角形式的應(yīng)用。
例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個？
[解]由題設(shè)得
，所以n=4k+1.又因為0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。
4．二項式定理的應(yīng)用。
例5計算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)100==)+()i，比較實部和虛部，得=-250，=0。
5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。
[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復(fù)平面，則B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點A，M，N對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點為P，對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點P為定點。
例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點，求證：ABAD+BCAD≥ACBD。
[證明]用A，B，C，D表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時成立。不等式得證。
6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8ΔABC的頂點A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復(fù)數(shù)與三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以又因為|zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．復(fù)數(shù)與多項式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項式(c0≠0).
求證：一定存在一個復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[證明]記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.單位根的應(yīng)用。
例12證明：自⊙O上任意一點p到正多邊形A1A2…An各個頂點的距離的平方和為定值。
[證明]取此圓為單位圓，O為原點，射線OAn為實軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點A1對應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點A2A3…An對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點p對應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n-
=2n-命題得證。
10．復(fù)數(shù)與幾何。
例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點的等腰直角三角形。
[證明]以P為原點建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。
例14平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點同時表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則__________。
4．已知，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程-Λz=w的解為z=__________。
7.設(shè)0x1，則2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個虛根且，則__________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________條件。
10．已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數(shù)a的取值范圍。
12．復(fù)平面上定點Z0，動點Z1對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個動點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。
13．N個復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)w1,w2,…,wn滿足條件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h為已知實數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點p1,p2,…,pn都在一個焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．復(fù)數(shù)z和cosθ+isinθ對應(yīng)的點關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對稱，則z=__________。
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一個人在草原上漫步，開始時從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點，則n=__________。
4.若，則|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實數(shù)λ的最大值為__________。
6．已知點P為橢圓上任意一點，以O(shè)P為邊逆時針作正方形OPQR，則動點R的軌跡方程為__________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動點，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時針方向排列)。則點Q的軌跡方程為__________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為__________。
10．設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則+…+a3k-__________。
11.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復(fù)數(shù)z.
13.給定實數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2在復(fù)平面上對應(yīng)的三個點分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。
3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的不同點的個數(shù)是__________。
4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。
5．設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應(yīng)復(fù)平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=900，|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。
6．設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為__________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實部為零，z1的輻角主值為，則z2=__________。
9.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時，的值中有實數(shù)__________個。
10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足，且，，，則的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？
12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程的所有根都是不相等的實根（n∈N+）.
13.對于適合|z|≤1的每一個復(fù)數(shù)z，要使0|αz+β|2總能成立，試問：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足
其中S為實數(shù)且|S|≤2，求證：復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上。
2．求證：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復(fù)變量z的實系數(shù)多項式，且|p(i)|1，求證：存在實數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．運用復(fù)數(shù)證明：任給8個非零實數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個數(shù)a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個是非負數(shù)。
5．已知復(fù)數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：|z|=1.
6.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，求證：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

高中數(shù)學(xué)競賽標準教材(第十一章圓錐曲線)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)競賽標準教材(第十一章圓錐曲線)”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第十一章圓錐曲線

一、基礎(chǔ)知識
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡（其中定點不在定直線上），即
(0e1).
第三定義：在直角坐標平面內(nèi)給定兩圓c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。從原點出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點的軌跡即為橢圓。
2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標軸建立坐標系，由定義可求得它的標準方程，若焦點在x軸上，列標準方程為
(ab0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點在y軸上，列標準方程為
(ab0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓
，
a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(±a,0),(0,±b),(±c,0)；與左焦點對應(yīng)的準線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應(yīng)的準線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0e1.
橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。
4．橢圓的焦半徑公式：對于橢圓1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的兩焦點。若P(x,y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過焦點F2(c,0)傾斜角為θ的弦的長為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的點P的軌跡；
第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線
(a,b0),
a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(-a,0),(a,0).左、右焦點為F1(-c,0),F2(c,0)，對應(yīng)的左、右準線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）,F2(c,0)是它的兩個焦點。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P在右支上，則|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2)過焦點的傾斜角為θ的弦長是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫焦點，直線l叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)|KF|=p，則焦點F坐標為，準線方程為，標準方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0,y0)為拋物線上任一點，
1）焦半徑|PF|=；
2）過點P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過焦點傾斜角為θ的弦長為。
12．極坐標系，在平面內(nèi)取一個定點為極點記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標系，對于平面內(nèi)任意一點P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P，若0e1，則點P的軌跡為橢圓；若e1，則點P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問題。
例1已知定點A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P為橢圓上的動點，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時，求點P的坐標。
[解]見圖11-1，由題設(shè)a=5,b=4,c==3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點A在橢圓內(nèi)部，又點F坐標為（-3，0），過P作PQ垂直于左準線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點P坐標為
例2已知P，為雙曲線C：右支上兩點，延長線交右準線于K，PF1延長線交雙曲線于Q，（F1為右焦點）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明]記右準線為l，作PDl于D，于E，因為//PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問題。
例3已知一橢圓及焦點F，點A為橢圓上一動點，求線段FA中點P的軌跡方程。
[解法一]利用定義，以橢圓的中心為原點O，焦點所在的直線為x軸，建立直角坐標系，設(shè)橢圓方程：=1（ab0）.F坐標為(-c,0).設(shè)另一焦點為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點P的軌跡是以F，O為兩焦點的橢圓（因為a|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二]相關(guān)點法。設(shè)點P(x,y),A(x1,y1)，則，即x1=2x+c,y1=2y.又因為點A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點P的方程為。它表示中心為，焦點分別為F和O的橢圓。
例4長為a,b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點共圓，求此動圓圓心P的軌跡。
[解]設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點，A，B，C，D的坐標分別為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記O為原點，由圓冪定理知|OA||OB|=|OC||OD|，用坐標表示為，即
當(dāng)a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)ab時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)ab時，軌跡為焦點在y軸上的兩條等軸雙曲線。
例5在坐標平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l:x=3上移動，求三角形AOB的外心的軌跡方程。
[解]設(shè)∠xOB=θ,并且B在A的上方，則點A，B坐標分別為B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點公式知OB中點為M。
由外心性質(zhì)知再由得
×tanθ=-1。結(jié)合上式有
tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。
3．定值問題。
例6過雙曲線(a0,b0)的右焦點F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點，B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點，連結(jié)B1B交x軸于H點。求證：H的橫坐標為定值。
[證明]設(shè)點B，H，F(xiàn)的坐標分別為(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，則F1，B1，B2的坐標分別為(-c,0),(c,),(c,)，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在準線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點。
[證明]設(shè)，則，焦點為，所以，，，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因為，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點。
例8橢圓上有兩點A，B，滿足OAOB，O為原點，求證：為定值。
[證明]設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點A，B的坐標分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值問題。
例9設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且OAOB（O為原點），求|AB|的最大值與最小值。
[解]由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因為，且a2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值1；當(dāng)或時，|AB|取最大值。
例10設(shè)一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。
[解]設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動點。由題設(shè)圓心C坐標為，半徑|CA|=1，因為|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因為；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點B坐標為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t,則當(dāng)sinθ=時，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值范圍。
[解]拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因為P不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實根，所以，求得，即為所求。
例12若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時，求b的值。
[解]二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ0，得b；設(shè)兩交點為P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韋達定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時，|PQ|最大。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．A為半徑是R的定圓⊙O上一定點，B為⊙O上任一點，點P是A關(guān)于B的對稱點，則點P的軌跡是________.
2．一動點到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(0)，則動點的軌跡是________.
3．橢圓上有一點P，它到左準線的距離是10，它到右焦點的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點A（3，-1）平分，則l的方程為________.
7．ΔABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上，點A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線BC的斜率為________.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點（1，1）對稱的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個焦點，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a)；（iii）半圓上有相異兩點M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過點A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點P1和P2，求線段P1P2的中點的軌跡方程。
四、高考水平測試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標準方程是_________.
2．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若A，B在拋物線準線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線上任一點，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________.
4．橢圓的中心在原點，離心率，一條準線方程為x=11，橢圓上有一點M橫坐標為-1，M到此準線異側(cè)的焦點F1的距離為_________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個公共點的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則m的范圍是_________.
8．過雙曲線的左焦點，且被雙曲線截得線段長為6的直線有_________條.
9．過坐標原點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點F，則直線l的傾斜角為_________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a1)的一個頂點C（0，1）為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個.
11．求橢圓上任一點的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點和中心，對于過點F的橢圓的任意弦AB，點O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點在原點O，C2的焦點是C1的左焦點F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個不同的交點。
（2）問：是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在平面直角坐標系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.
2．設(shè)O為拋物線的頂點，F(xiàn)為焦點，且PQ為過F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_________.
3．給定橢圓，如果存在過左焦點F的直線交橢圓于P，Q兩點，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(ab0)的左、右焦點，P為雙曲線上的動點，過F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_________.
5．ΔABC一邊的兩頂點坐標為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點T坐標為(t,0)(t∈R+),則|AT|的最小值為_________.
6．長為l(l1)的線段AB的兩端點在拋物線y=x2上滑動，則線段AB的中點M到x軸的最短距離等于_________.
7．已知拋物線y2=2px及定點A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個交點分別為M1，M2，當(dāng)M變動時，直線M1M2恒過一個定點，此定點坐標為_________.
8．已知點P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_________.
9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過左、右焦點F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點分別為D，E，直線DB與直線CE交于點P，當(dāng)點A在橢圓上變動時，試求點P的軌跡。
10．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個公共點P。（1）求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當(dāng)0a時，試求ΔOAP面積的最大值（用a表示）。
11．已知直線l過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線的方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G，求證：∠GAC=∠EAC。
2．求證：在坐標平面上不存在一條具有奇數(shù)個頂點，每段長都為1的閉折線，它的每個頂點坐標都是有理數(shù)。
3．以B0和B1為焦點的橢圓與ΔAB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延長線上任取點P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長線于P1；B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1，交AB0的延長線于。求證：（1）點與點P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圓。
4．在坐標平面內(nèi)，從原點出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間的夾角）α(α∈[0,π],α≠)射出的質(zhì)點，在重力的作用下運動軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個拋物線族，若兩條拋物線在同一個交點處的切線互相垂直，則稱這個交點為正交點。證明：此拋物線族的所有正交點的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變量取值范圍）。
5．直角ΔABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點，AD交內(nèi)切圓于P點。若CPBP，求證：PD=AE+AP。
6．已知BCCD，點A為BD中點，點Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點R，使BR=2RQ，CQ上找一點S，使QS=RQ，求證：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．圓。設(shè)AO交圓于另一點是A關(guān)于的對稱點。則因為AB，所以P在以為直徑的圓上。
2．圓或橢圓。設(shè)給定直線為y=±kx(k0),P(x,y)為軌跡上任一點，則。化簡為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時，表示橢圓；當(dāng)k=1時，表示圓。
3．12．由題設(shè)a=10,b=6,c=8，從而P到左焦點距離為10e=10×=8,所以P到右焦點的距離為20-8=12。
4．-2k2或k5.由(|k|-2)(5-k)0解得k5或-2k2.
5.設(shè)兩條焦半徑分別為m,n，則因為|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則兩式相減得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由，得。故方程y+1=(x-3).
7.-4.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則=0，所以y1+y2=-8，故直線BC的斜率為
8．=1。由漸近線交點為雙曲線中心，解方程組得中心為(2,1)，又準線為，知其實軸平行于y軸，設(shè)其方程為=1。其漸近線方程為=0。所以y-1=(x-1).由題設(shè)，將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點，其標準方程為=1。由平移公式平移后準線為，再結(jié)合，解得a2=9，b2=16，故雙曲線為=1。
9．2．曲線y2=ax關(guān)于點（1，1）的對稱曲線為(2-y)2=a(2-x),
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,從而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。設(shè)P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。因，所以，所以即2t≤2.
11.解：由對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限，由題設(shè)|F1F2|2=4=4c2，又根據(jù)橢圓與雙曲線定義
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
從而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直線AB為x軸，AT的中垂線為y軸建立直角坐標系，則由定義知M，N兩點既在拋物線y2=4ax上，又在圓[x-(a+r)]2+y2=r2上，兩方程聯(lián)立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，設(shè)點M，N坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得證。
13．解：若直線l垂直于x軸，因其過點A(2,1)，根據(jù)對稱性，P1P2的中點為（2，0）。
若l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k.①
將①代入雙曲線方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.②
這里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)0,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根，由韋達定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=④
設(shè)P1P2的中點P坐標(x,y)，由中點公式及③，④得
消去k得
點（2，0）滿足此方程，故這就是點P的軌跡方程。
高考水平測試題
1．由橢圓方程得焦點為，設(shè)雙曲線方程，漸近線為由題設(shè)，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。見圖1，由定義得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，設(shè)F1為左焦點，F(xiàn)2為右焦點，M為PF1中點，則|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以兩圓外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時，同理得兩圓內(nèi)切。
4．與F1對應(yīng)的另一條準線為x=-11，因|MF1|與M到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①
若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，則直線與橢圓僅有一個公共點，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個公共點。
6．y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m)2=4(x-m)，焦點為它在直線y=2(x-1)上。
7．1≤m5。直線過定點(0,1)，所以0≤1.又因為焦點在x軸上，所以5m,所以1≤m5。
8．3．雙曲線實軸長為6，通徑為4，故線段端點在異支上一條，在同支上有二條，一共有三條。
9．或。設(shè)直線l:y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韋達定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以傾斜角為或
10．3．首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè)A，B分別位于y軸左、右兩側(cè)，設(shè)CA斜率為k(k0)，CA的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由題設(shè)，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對于①，當(dāng)1a時，①無解；當(dāng)時，k=1；當(dāng)a時，①有兩個不等實根，故最多有3個。
11．解設(shè)焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上任一點為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，則4c2=(2a)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),再將|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ為減函數(shù)，故0
當(dāng)2b2a2即時，，arccos，sinθ為增函數(shù)，sinθ取最大值；當(dāng)2b2≤a2時，arccos,θ∈[0,π]，則sinθ最大值為1。
12．解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不為0，設(shè)為k，直線AB方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程并化簡得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①
則x1,x2為方程①的兩根，由韋達定理得
②
③
因為y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O點在以AB為直徑的圓內(nèi)，等價0，即k2(a2c2-b4)-a2b20對任意k∈R成立，等價于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0e≤
若斜率不存在，問題等價于即，綜上
13．解（1）由雙曲線方程得，所以F1(,0)，拋物線焦點到準線的距離，拋物線
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a20，所以方程②必有兩個不同實根，設(shè)為x1,x2,由韋達定理得x1x2=-a20，所以②必有一個負根設(shè)為x1,把x1代入①得y2=,所以（因為x1≠0），所以C1，C2總有兩個不同交點。
（2）設(shè)過F1(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因為Δ=48m2a2+48a20，設(shè)y1,y2分別為A，B的縱坐標，則y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2||OF1|=aa，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時，SΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時，SΔAOB→+∞，無最大值。所以存在過F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．m5.由已知得，說明(x,y)到定點（0,-1）與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù)，由橢圓定義1，所以m5.
2.因為b=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。設(shè)點P坐標為(r1cosθ,r1sinθ),點Q坐標為(-r2sinθ,r2cosθ)，因為P，Q在橢圓上，可得，RtΔOPQ斜邊上的高為≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1.
4.以O(shè)為圓心，a為半徑的圓。延長F1M交PF2延長線于N，則F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]時|AT|min=,t1時|AT|min=|t-2|.由題設(shè)kABkAC=-,設(shè)A(x,y)，則(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因為|x|≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時取x=2t,|AT|取最小值。當(dāng)t1時，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.設(shè)點M(x0,y0)，直線AB傾斜角為θ，并設(shè)A(x0-),B(x0+),因為A，B在拋物線上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因為l21，所以函數(shù)f(x)=.在（0，1]在遞減，
所以。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時，距離取最小值
7．設(shè)，由A，M，M1共線得y1=，同理B，M，M2共線得，設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點，則y1y2=y(y1+y2)-2px，將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y=時上式恒成立，即定點為
8．。由題設(shè)且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解設(shè)A(2cosθ,),B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，這里α≠β，則過A，B的直線為lAB：，由于直線AB過點F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2,故，即。又lBD:(x+2)=，同理得。lCE:(x-2)=
(x-2).
兩直線方程聯(lián)立，得P點坐標為，消去得點P(x,y)在橢圓上（除去點(-2,0),(2,0)）.
10.解（1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：
10．Δ=0，得，此時xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a-a2a即0a1時適合；20。f(a)f(-a)0，當(dāng)且僅當(dāng)-ama時適合；30。f(-a)=0得m=a，此時xp=a-2a2，當(dāng)且僅當(dāng)-aa-2a2a即0a1時適合。令f(a)=0得m=-a，此時xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，從而m≠-a.綜上當(dāng)0a1時，或-am≤a；當(dāng)a≥1時，-ama.
(2)ΔOAP的面積因為0a,故當(dāng)-am≤a時，0-a2+,由唯一性得xp=-a2+.當(dāng)m=a時，xp取最小值。由于xp0，從而時取值最大，此時，故；當(dāng)時，xp=-a2，yp=,此時以下比較與的大小。令，得，故當(dāng)0a≤時，，此時；當(dāng)時，有，此時
11．解：設(shè)A，B關(guān)于l的對稱點分別為A1(x2,y2),B1(x1,y1)，則AA1中點在l上，
所以y2=k(x2-1)①
又lAA1,所以
②
由①，②得
同理，由BB1中點在l上，且lBB1,解得
設(shè)拋物線方程為y2=2px，將A1，B1坐標代入并消去p得k2-k-1=0.
所以，由題設(shè)k0，所以，從而
所以直線l的方程為，拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．以A為原點，直線AC為x軸，建立直角坐標系，設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，則直線DF的方程為
①
直線BC的方程為②
c×①-f×②得
(c-f)x+③
③表示一條直線，它過原點，也過DF與BC的交點G，因而③就是直線AG的方程。
同理
，直線AE的方程為
(c-f)x+④
③，④的斜率互為相反數(shù)，所以∠GAC=∠EAC。
2．證明假設(shè)這樣的閉折線存在，不妨設(shè)坐標原點是其中一個頂點，記它為A0，其他頂點坐標為：，…，，其中都是既約分數(shù)，并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同，則記p≡q，否則記p≠q，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時，由，得，因為a1,b1互質(zhì)，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，從而不可能都是偶數(shù)（否則b1也是偶數(shù)，與互質(zhì)矛盾）；不可能都是奇數(shù)，因為兩個奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
這里是既約分數(shù)，因為每一段的長為1，所以=1，與k=1情況類似：a≡c,d≡b≡1，又因為，分數(shù)既約，所以bm是bbm-1的一個因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，結(jié)論成立，于是在頂點數(shù)n+1為奇數(shù)時，an+1+cn+1≠a0+c0，故折線不可能是閉的。
3．證明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延長線上，有B0P0=B0，從而可知點與點P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0，圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點P0。
（2）現(xiàn)分別過點P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點T。又過點Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點R1和S1，連接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圓。
4．證明引理：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明：設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.①
又
故①可化簡成(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②
因為②只有一個實根，所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點，則它是由線y=xtanx2與y=xtanx2的交點，則兩條切線的斜率分別為（由引理）
又由題設(shè)k1k2=-1，所以
③
又因為P(x0,y0)在兩條拋物線上，所以代入③式得
（※）
又因為tanα1,tanα2是方程t2-t+=0的兩根，所以
tanα1+tanα2=④
tanα1tanα2=。⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．證明以C為原點，CB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設(shè)∠ADC=θ，|PD|=r.各點坐標分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為，即x1x+x0cotθy-x1x0=0,因為lAB與圓相切，可得x1=x0x1cotθ-x1x0|，約去x1,再兩邊平方得
，所以x1.①
又因為點P在圓上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化簡得r=2x1sin.②
要證DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.③
又因為，所以
因為=(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.④
把②代入④化簡得
⑤
由①得x0=x1
代入⑤并約去x1,化簡得4sin22-3sin2=0，因為sin2≠0，所以sin2=，又因為sin==cos，所以sin-cos0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．證明設(shè)BC=d，CD=b，BD=c，則AC=CQ=，取BC中點M，則AMBC，以M為原點，直線BC為x軸建立直角坐標系，則各點坐標分別為，，，，，因為，所以點，所以
因為0∠DRC，0∠ASQπ，所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化簡得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，顯然成立。所以命題得證。

第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)