高中不等式教案

高二數(shù)學上冊《不等式的證明》教學設(shè)計。

高二數(shù)學上冊《不等式的證明》教學設(shè)計

課題

不等式的證明

課型

復習課

教者

教育教學目標

進一步加強對不等式知識的掌握與應用,增強知識認知水平與問題處理能力的提高,鞏固不等式的基本性質(zhì),基本證明思路,基本證明方法等知識儲備.

重點

加強知識的應用能力,鞏固不等式證明基本方法的掌握

難點

熟練掌握不等式證明的策略與技巧,重要不等式的靈活應用

關(guān)鍵

多練、多想、多分析、多積累

教學準備

幻燈片

教學步驟

教學內(nèi)容

時間

導言

知識回顧

例題講解

小結(jié)

我們已經(jīng)學習了不等式的證明，那么下面我們來看一下不等式證明應注意的問題?！覀儚膽⒁獾膯栴}中看得出想解決好不等式證明的問題，我們不僅應熟練地掌握不等式的性質(zhì)，基本方法和重要不等式，那么我們學習了哪些有關(guān)這方面的知識呢？下面就讓我們系統(tǒng)地復習一下，并應用這些用實際問題來鞏固一下知識的掌握與應用能力。

不等式的基本性質(zhì)（見幻燈片）

不等式的基本證明方法（見幻燈片）

重要不等式（見幻燈片）

例1：已知a、b、c、d、x、y∈R+且a2+b2=x2,c2+d2=y2,求證：xy≥ac+bd

例2：對任意正數(shù)m，求證：

+

≤

|a+b|

m+|a+b|

|a|

m+|a|

|b|

m+|b|

例3：設(shè)ac,bc,c0,求證：

√c(a-c)+

√c(b-c)

≤√ab

并確定等號成立的條件

例4：解方程：2x2+27/x4=9

例5：已知a、b為正常數(shù)，x、y為正實數(shù)，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值

板書設(shè)計

不等式的證明

基礎(chǔ)知識例題

相關(guān)知識

高二數(shù)學教案：《不等式的證明》教學設(shè)計（三）

高二數(shù)學教案：《不等式的證明》教學設(shè)計（三）

第四課時

教學目標

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實質(zhì)——執(zhí)果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.

教學重點 分析法

教學難點 分析法實質(zhì)的理解

教學方法 啟發(fā)引導式

教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評．

（學生活動）回答和思考教師提出的問題．

［問題1］我們已經(jīng)學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

設(shè)計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發(fā)學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節(jié)課學習內(nèi)容：用分析法證明不等式．

（二）新課講授

【嘗試探索、建立新知】

（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學生研究，并點評．幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．

（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導下嘗試探索，構(gòu)建新知．

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

［問題2］當我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時，說明了什么呢？

［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

［點評］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立．就是分析法的邏輯關(guān)系．

[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

設(shè)計意圖：對比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養(yǎng)學習創(chuàng)新意識．

【例題示范、學會應用】

（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構(gòu)思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．

（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

（證法二正確，證法一錯誤．錯誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤．）

設(shè)計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結(jié)論復雜的題目往往更是行之有效的．

2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識．

（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

（四）布置作業(yè)

（五）課后點評

教學過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導學生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學任務．總之，本節(jié)課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態(tài)．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

在安排本節(jié)課教學內(nèi)容時，按認識規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內(nèi)容，讓學生形成有序的知識結(jié)構(gòu)．

作業(yè)答案：

說明 許多數(shù)學結(jié)論是由實際問題抽象為數(shù)學問題后，通過數(shù)學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學結(jié)論還原為實際解釋也是一種數(shù)學運用，值得大家關(guān)注。

高二數(shù)學教案：《不等式的證明》教學設(shè)計（二）

高二數(shù)學教案：《不等式的證明》教學設(shè)計（二）

第二課時

教學目標

1．進一步熟練掌握比較法證明不等式；

2．了解作商比較法證明不等式；

3．提高學生解題時應變能力.

教學重點 比較法的應用

教學難點 常見解題技巧

教學方法 啟發(fā)引導式

教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評．

（學生活動）思考問題，回答．

［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？

3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）

設(shè)計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節(jié)課學習的內(nèi)容．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評．

（學生活動）嘗試解決問題．

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實際問題．要培養(yǎng)自己學數(shù)學，用數(shù)學的良好品質(zhì)．

設(shè)計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養(yǎng)學生應用知識解決實際問題的能力．

【課堂練習】

設(shè)計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．

1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

3．會用分類討論的方法確定差式的符號．

4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識及數(shù)學思想與方法．

（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題．

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數(shù)學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力．

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領(lǐng)會化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學思想方法．

（四）布置作業(yè)

3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設(shè)計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯(lián)系實際，用數(shù)學解決實際問題，提高應用數(shù)學的能力．

（五）課后點評

1．教學評價、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，通過啟發(fā)誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調(diào)節(jié)教學活動．

2．教學措施的設(shè)計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用．例題設(shè)計目的在于突出重點，突破難點，學會應用．

第三課時

教學目標

1.掌握綜合法證明不等式；

2.熟練掌握已學的重要不等式；

3.增強學生的邏輯推理能力.

教學重點 綜合法

教學難點 不等式性質(zhì)的綜合運用

教學方法 啟發(fā)引導式

教學活動

（－）導入新課

（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評．

（學生活動）完成練習．

［字幕］

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復習不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識點歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差
②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號
注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度?。?br> （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．
數(shù)學歸納法法證明不等式將在數(shù)學歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數(shù)學關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實質(zhì)上是化學問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當且僅當時，取等號）
證法二：（分析法）
因為顯然成立，所以原不等式成立
點評：分析法是基本的數(shù)學方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當且僅當t=0時，等號成立
點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因為，所以，即
故
例3設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個，當時，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個”翻譯為符號語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進行降次分項變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓練價值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點
2在不等式證明中還要注意數(shù)學方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法等，還要注意一些數(shù)學技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常用差值比較法當欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學問題的一種重要的數(shù)學思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習慣上用“”來表達分析法是數(shù)學解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度
學生練習
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點評：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運用基本不等式，也是用比較法證不等式時的一種常用手段
3己知函數(shù)，當滿足時，證明：對于任意實數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當時，
故原命題成立
4．比較的大?。ㄆ渲?x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價格購進糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計，誰購的糧食平均價低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價格為，乙三次購糧的平均價格為，因為
所以乙購的糧食價格低
說明“各次的糧食價格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價格用式子表示出來我們應該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進行變換

課前后備注

高三數(shù)學不等式的證明教學設(shè)計16

6.4不等式的證明II
一、明確復習目標
1.掌握反證法、數(shù)學歸納法和放縮法的一些策略技巧；
2.了解換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造法，了解不等式證明方法的多樣性和靈活性.提高分析問題,解決問題的能力.
二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡
1.反證法：正難則反.否定結(jié)論，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論正確。
2.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小,利用不等式的傳遞性證明不等式.
常用的放縮手法有：
①添加或舍去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，絕對值不等式,a2≥0等;
④若ab0,m0,則.
3.換元法：換元的目的是減少不等式中的變量，或者化繁為簡.常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.換元法必須注意新變元的取值范圍.
4.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程或幾何圖形,利用相關(guān)知識來證明不等式；
5.數(shù)學歸納法法:證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式
6.利用函數(shù)的單調(diào)性.利用單調(diào)函數(shù)中自變量大小與函數(shù)值之間的聯(lián)系.要特別重視這種方法,因為高考中常把不等式綜合在函數(shù)、數(shù)列或其它數(shù)學問題之中。
三、雙基題目練練手
1.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是()
A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能確定
2.設(shè)M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小關(guān)系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能確定
3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()
A.［－2，）B.（－2，）
C.［－3，）D.（－3，）
4.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.
5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）
6.記S=，則S與1的大小關(guān)系是_________
簡答:1-3.BAA;3.當n為正偶數(shù)時，a＜2－，2－為增函數(shù)，
∴a＜2－=.當n為正奇數(shù)時，－a＜2+，a＞－2－.
而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A
4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］
≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S1
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù)。
也可用分析法、綜合法，反證法，實質(zhì)與比較法相同。
證法二：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
證法三：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當且僅當t=0時，等號成立
點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法四：（判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因為，所以，即
故
◆溫馨提示:注意體驗不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.
【例2】（1）設(shè)，且，求證：；
（2）設(shè)，且，求證：
【證明】（1）設(shè)
則，
=。
（2）設(shè)，
∵，∴。
于是。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求證：－1＜.
證法一：要證－1＜，
即證a＜（+1）n.
令a－1=t＞0，則a=t+1.
也就是證t+1＜（1+）n.
∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，
即－1＜成立.
證法二：設(shè)a=xn，x＞1.
于是只要證＞x－1，
即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項和
=1+x+…+xn-1n.
∴＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進行降次分項變形,得,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴

點評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓練價值.
【研討.欣賞】數(shù)列｛an｝滿足a1=1且an+1=（n≥1）?
（1）用數(shù)學歸納法證明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：an＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．?
證明:（1）①當n=2時，a2=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當n=k（k≥2）時不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=≥2．這就是說，當n=k+1時不等式成立．?
根據(jù)①、②可知：ak≥2對所有n≥2成立．?
（2）由遞推公式及（1）的結(jié)論有?
an+1=≤，（n≥1）?
兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得
lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．?
故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．?
上式從1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤++…++++…+
=1－++…=1－+1＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．?

五．提煉總結(jié)以為師
1．高考中一般不出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以，除掌握常用的三種方法外，還需了解其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學歸納法等.
2．總結(jié)所學不等式證明的方法：

同步練習6.4不等式的證明II
【選擇題】
1.若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是()
A.a2＜b2B.ab＜b2
C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，則()
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知＜＜，則()
A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b
4.(2005江西）已知實數(shù)a、b滿足等式下列五個關(guān)系式：
①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b
其中不可能成立的關(guān)系式有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【填空題】
5.設(shè)實數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.則P=loga（ax＋ay）與Q=loga2＋的大小關(guān)系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式對n∈N+都成立，則實數(shù)M的取值范圍是__________。
簡答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.
∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.
∴l(xiāng)oga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即PQ;
6.記,則,
最大.M1
【解答題】
7．已知，求證：都屬于。
【證明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈。同理可證x∈，z∈。

8.設(shè)，且，求證：
因為，而
所以，所以a，b為方程（1）的二實根
而，故方程（1）有均大于c的二不等實根。
記，則
解得。
法2:由已知得c0,否則,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,與已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,
9.若a0,b0，且=1,
求證：(I)a＋b≥4;
(II)對于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
證明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II)當n=1時,左式＝0，右式＝0，∴n=1時成立.
假設(shè)n=k時成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
則當n=k＋1時，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥22k＋1＋422k－42k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1時命題成立.歸納原理知,不等式對一切n∈N*都成立
10.已知a、b為正數(shù)，求證：
（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立；
（2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.
分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.
證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.
∵+1＞（b＞0），
∴（+1）2＞b.從而ax+＞b
（2）∵ax+＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b，
而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
當且僅當a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.
故［ax+］min=（+1）2.
則（+1）2＞b，即+1＞.
評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.

【探索題】（2005湖北）已知不等式,其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）試確定一個正整數(shù)N，使得當時，對任意b0，都有
解：（Ⅰ）證法1：∵當
即
于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當n≥3時有，
∵
證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學歸納法證不等式
（i）當n=3時，由
知不等式成立.
（ii）假設(shè)當n=k（k≥3）時，不等式成立，即
則
即當n=k+1時，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
則有
故取N=1024，可使當nN時，都有