高中函數(shù)與方程教案

實際問題與反比例函數(shù)。

17．2實際問題與反比例函數(shù)（1）
一、教學目標
1．利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題
2．滲透數(shù)形結合思想，提高學生用函數(shù)觀點解決問題的能力
二、重點、難點
1．重點：利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題
2．難點：分析實際問題中的數(shù)量關系，正確寫出函數(shù)解析式
三、例題的意圖分析
教材第57頁的例1，數(shù)量關系比較簡單，學生根據(jù)基本公式很容易寫出函數(shù)關系式，此題實際上是利用了反比例函數(shù)的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。
教材第58頁的例2是一道利用反比例函數(shù)的定義和性質(zhì)來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數(shù)學問題的能力，掌握用函數(shù)觀點去分析和解決問題的思路。
補充例題一是為了鞏固反比例函數(shù)的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數(shù)形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題
四、課堂引入
寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發(fā)現(xiàn)前面有一處冰出現(xiàn)了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區(qū)。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？
五、例習題分析
例1．見教材第57頁
分析：（1）問首先要弄清此題中各數(shù)量間的關系，容積為104，底面積是S，深度為d，滿足基本公式：圓柱的體積＝底面積×高，由題意知S是函數(shù)，d是自變量，改寫后所得的函數(shù)關系式是反比例函數(shù)的形式，（2）問實際上是已知函數(shù)S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相反
例2．見教材第58頁
分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量＝工作速度×工作時間，由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關系，（2）問涉及了反比例函數(shù)的增減性，即當自變量t取最大值時，函數(shù)值v取最小值是多少？
例1．（補充）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示（千帕是一種壓強單位）
（1）寫出這個函數(shù)的解析式；
（2）當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？
（3）當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方米？
分析：題中已知變量P與V是反比例函數(shù)關系，并且圖象經(jīng)過點A，利用待定系數(shù)法可以求出P與V的解析式，得，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕時，是安全范圍。根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，P隨V的增大而減小，可先求出氣壓P＝144千帕時所對應的氣體體積，再分析出最后結果是不小于立方米

六、隨堂練習
1．京沈高速公路全長658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數(shù)關系式為
2．完成某項任務可獲得500元報酬，考慮由x人完成這項任務，試寫出人均報酬y（元）與人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關系式
3．一定質(zhì)量的氧氣，它的密度（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數(shù)，當V＝10時，＝1.43，（1）求與V的函數(shù)關系式；（2）求當V＝2時氧氣的密度
答案：＝，當V＝2時，＝7.15

七、課后練習
1．小林家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v（米/分），所需時間為t（分）
（1）則速度v與時間t之間有怎樣的函數(shù)關系？
（2）若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？
（2）如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？
答案：，v＝240，t＝12
2．學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤，現(xiàn)在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天
（1）則y與x之間有怎樣的函數(shù)關系？
（2）畫函數(shù)圖象
（3）若每天節(jié)約0.1噸，則這批煤能維持多少天？

課后反思：
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延伸閱讀

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知識點

1.反比例函數(shù)與幾何圖形、一次函數(shù)的綜合應用

反比例函數(shù)與幾何圖形、一次函數(shù)知識綜合起來應用可解決如下幾種問題：

(1)已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，求它們圖象的交點坐標，這類題目可通過列方程組來求解;

(2)判斷含有同一字母系數(shù)的一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一直角坐標系中的位置情況，可先由兩者中的某一圖象確定出字母系數(shù)的取值情況，再與另一圖象相對照解決;

(3)已知含有一次函數(shù)或反比例函數(shù)的信息，求一次函數(shù)或反比例函數(shù)的關系式;

(4)利用反比例函數(shù)的幾何意義求與面積有關的問題。解這類問題要注意抓住其中的“定點”或對應的值解題。兩種函數(shù)有時還會綜合到其他題目中，解決時要注意結合相關知識點。

2.反比例函數(shù)與物理問題的綜合應用

力學、電學等知識中存在著反比例函數(shù)，解決這類問題，要牢記物理公式。

(1)當電路中電壓一定時，電流與電阻成反比例關系;

(2)當做的功一定時，作用力與在力的方向上通過的距離成反比例關系;

(3)氣體質(zhì)量一定時，密度與體積成反比例關系;

(4)當壓力一定時，壓強與受力面積成反比例關系。

反比例函數(shù)

18.4反比例函數(shù)（2）
知識技能目標
1.理解反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,利用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象,說出它的性質(zhì)；
2.利用反比例函數(shù)的圖象解決有關問題．
過程性目標
1.經(jīng)歷對反比例函數(shù)圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質(zhì)；
2.探索反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì),體會用數(shù)形結合思想解數(shù)學問題．

教學過程
一、創(chuàng)設情境
上節(jié)的練習中，我們畫出了問題1中函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它并不是直線．那么它是怎么樣的曲線呢？本節(jié)課，我們就來討論一般的反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象，探究它有什么性質(zhì)．
二、探究歸納
1.畫出函數(shù)的圖象．
分析畫出函數(shù)圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數(shù)中自變量x≠0．
解1．列表：這個函數(shù)中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數(shù)，列出x與y的對應值：
2.描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支．這兩個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象．

上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola)．
提問這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎？為什么？
學生試一試：畫出反比例函數(shù)的圖象（學生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟）．
學生討論、交流以下問題，并將討論、交流的結果回答問題．
1.這個函數(shù)的圖象在哪兩個象限？和函數(shù)的圖象有什么不同？
2.反比例函數(shù)(k≠0)的圖象在哪兩個象限內(nèi)？由什么確定？
3.聯(lián)系一次函數(shù)的性質(zhì)，你能否總結出反比例函數(shù)中隨著自變量x的增加，函數(shù)y將怎樣變化？有什么規(guī)律？
反比例函數(shù)有下列性質(zhì)：
(1)當k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；
(2)當k＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加．
注1．雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點；
2．雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱．
以上兩點性質(zhì)在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義？
在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮(zhèn)上的時間少．
在問題2中反映了在面積一定的情況下,飼養(yǎng)場的一邊越長,另一邊越小．

三、實踐應用
例1若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求m的值．
分析由反比例函數(shù)的定義可知：,又由于圖象在二、四象限，所以m＋1＜0，由這兩個條件可解出m的值．
解由題意，得解得．

例2已知反比例函數(shù)(k≠0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，求一次函數(shù)y＝kx－k的圖象經(jīng)過的象限．
分析由于反比例函數(shù)(k≠0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，因此k＜0，而一次函數(shù)y＝kx－k中，k＜0，可知，圖象過二、四象限，又－k＞0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方．
解因為反比例函數(shù)(k≠0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函數(shù)y＝kx－k的圖象經(jīng)過一、二、四象限．

例3已知反比例函數(shù)的圖象過點(1,－2)．
(1)求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
(2)若點A(－5,m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上？
分析(1)反比例函數(shù)的圖象過點(1,－2)，即當x＝1時，y＝－2．由待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式；再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數(shù)的圖象；
(2)由點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上．
解(1)設：反比例函數(shù)的解析式為：(k≠0)．
而反比例函數(shù)的圖象過點(1,－2)，即當x＝1時，y＝－2．
所以，k＝－2．
即反比例函數(shù)的解析式為：．
(2)點A(－5,m)在反比例函數(shù)圖象上，所以，
點A的坐標為．
點A關于x軸的對稱點不在這個圖象上；
點A關于y軸的對稱點不在這個圖象上；
點A關于原點的對稱點在這個圖象上；
例4已知函數(shù)為反比例函數(shù)．
(1)求m的值；
(2)它的圖象在第幾象限內(nèi)？在各象限內(nèi)，y隨x的增大如何變化？
(3)當－3≤x≤時，求此函數(shù)的最大值和最小值．
解(1)由反比例函數(shù)的定義可知：解得，m＝－2．
(2)因為－2＜0，所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
(3)因為在第個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，
所以當x＝時，y最大值＝；
當x＝－3時，y最小值＝．
所以當－3≤x≤時，此函數(shù)的最大值為8，最小值為．

例5一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米．
(1)寫出用高表示長的函數(shù)關系式；
(2)寫出自變量x的取值范圍；
(3)畫出函數(shù)的圖象．
解(1)因為100＝5xy,所以．
(2)x＞0．
(3)圖象如下：

說明由于自變量x＞0,所以畫出的反比例函數(shù)的圖象只是位于第一象限內(nèi)的一個分支．

四、交流反思
本節(jié)課學習了畫反比例函數(shù)的圖象和探討了反比例函數(shù)的性質(zhì)．
1.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(hyperbola)．
2.反比例函數(shù)有如下性質(zhì)：
(1)當k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；
(2)當k＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加．

五、檢測反饋
1.在同一直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象：
(1)；(2)．
2.已知y是x的反比例函數(shù)，且當x＝3時，y＝8,求：
(1)y和x的函數(shù)關系式；
(2)當時，y的值；
(3)當x取何值時，?
3.若反比例函數(shù)的圖象在所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求n的值．
4.已知反比例函數(shù)經(jīng)過點A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若圖象上有兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜x2，試比較y1和y2的大小．

實際生活中的反比例函數(shù)2

數(shù)學：1.3《實際生活中的反比例函數(shù)》教案2(湘教版九年級下)
三維目標
一、知識與技能
1．能靈活列反比例函數(shù)表達式解決一些實際問題．
2．能綜合利用工程中工作量，工作效率，工作時間的關系及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識解決一些實際問題．
二、過程與方法
1．經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數(shù)的模型，進而解決問題的過程．
2．體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強應用意識，提高運用代數(shù)方法解決問題的能力．
三、情感態(tài)度與價值觀
1．積極參與交流，并積極發(fā)表意見．
2．體驗反比例函數(shù)是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段，認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具．
教學重點
掌握從實際問題中建構反比例函數(shù)模型．
教學難點
從實際問題中尋找變量之間的關系．關鍵是充分運用所學知識分析實際情況，建立函數(shù)模型，教學時注意分析過程，滲透數(shù)形結合的思想．
教具準備
多媒體課件(課本例2“碼頭卸貨”問題)
教學過程
一、創(chuàng)設問題情境，引入新課
活動1
某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x元與日銷售量y之間有如下關系：
x(元)3456
y(個)20151210
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描出實數(shù)對(x，y)的對應點；
(2)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式，并畫出圖象；
(3)設經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為W元，試求出w與x之間的函數(shù)關系式，若物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元／個，請你求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤?
設計意圖：
進一步展示現(xiàn)實生活中兩個變量之間的反比例函數(shù)關系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和強烈的求知欲．
師生行為：
學生親自動手操作，并在小組內(nèi)合作交流．
教師巡視學生小組討論的結果．
在此活動中，教師應重點關注：
①學生動手操作的能力；
③學生數(shù)形結合的意識；
③學生數(shù)學建模的意識；
④學生能否大膽說出自己的見解，傾聽別人的看法．
生：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描出了對應點(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下圖可猜測此函數(shù)為反比例函數(shù)圖象的一支，設y＝kx，把點(3，20)代人y＝kx，得k＝60．

所以y＝60x．
把點(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y與x的函數(shù)關系式為y＝60x．
生：(3)物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元／個，即x≤10，根據(jù)y＝60x在第一象限y隨x的增大而減小，所以
60y≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝(x－2)y＝(x－2)×60x＝60－120x
當x＝10時，W有最大值．
即當日銷售單價x定為10元時，才能獲得最大利潤．
師：同學們的分析都很好，除了能用數(shù)學模型刻畫現(xiàn)實問題外，還能用數(shù)學知識解釋生活中的問題．
下面我們再來看又一個生活中的問題．
二、講授新課
活動2
碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，把輪船裝載憲畢恰好用了8天時間．
(1)輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度v(單位：噸／天)與卸貨時間t(單位：天)之間有怎樣的函數(shù)關系?
(2)由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5日內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少要卸多少噸貨物?
設計意圖：
進一步分析實際情境，建立函數(shù)模型，并進一步明確數(shù)學問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學知識重新解釋是什么?可以看作什么?逐步形成考察實際問題的能力．在解決問題時，還應充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結合的思想．
師生行為：
學生先獨立思考，然后小組交流合作．
教師應鼓勵學生運用數(shù)形結合，用多種方法來思考問題，充分利用好方程，不等式，函數(shù)三者之間的關系，在此活動中，教師應重點關注：
①學生能否自己建構函數(shù)模型，
②學生能否將函數(shù)，方程、不等式的知識聯(lián)系起來；
③學生面對困難，有無克服困難的勇氣和戰(zhàn)勝困難的堅強意志．
師：從題設中，我們不難發(fā)現(xiàn)：v和t之間的函數(shù)關系，實際上是卸貨速度與卸貨時間之間的關系．根據(jù)卸貨速度＝貨物的總量÷卸貨時間，就可得到v和t的函數(shù)關系．但貨物的總量題中并未直接告訴，如何求得．
生：中告訴了我們碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，把輪船裝載完畢恰好用了8天時間，根據(jù)裝貨速度×裝貨時間＝貨物的總量，可以求出輪船裝載貨物的總量，即貨物的總量為30×8＝240噸．
師：很好!下面同學們就來自己完成．
生：解：(1)設輪船上的貨物總量為k噸，則根據(jù)已知條件有：k＝3×80＝240．
所以v與t的函數(shù)式為
v＝240t．
(2)由于遭到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5日內(nèi)卸載完畢，求平均每天至少卸多少噸貨物?即當t≤5時，v至少為多少呢?
由v＝240t得t＝240v，
t≤5，所以240v≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的貨物要在不超過5日內(nèi)卸載完畢，平均每天至少卻4.8噸貨物．
生：老師，我認為得出v與t的函數(shù)關系后，借助于圖象也可以完成第(2)問．
畫出v＝240t在第一象限內(nèi)的圖象(因為t＞O)．如下圖．
當t＝5時，代入v＝240t，得v＝48
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)．v＝240t在第一象限，v隨t的增大而減?。援?＜t≤5時，v≥48．即若貨物不超過5天內(nèi)卸完，則平均每天至少要卸貨48噸．
生：我認為還可以用方程來解．
把t＝5代入v＝240t，得
v＝2405＝48，
從結果可以看出，如果全部貨物恰好5天卸完，則平均每天要卸貨48噸．若貨物在不超過5天內(nèi)卸完，則平均每天至少要卸貨48噸．
師：同學們的思維非常敏捷，竟想出這么多的辦法來解決這個實際問題，太棒了!
我們不妨再來看一個題，肯定能做得更好!
三、鞏固提寓
活動3
一輛汽車往返于甲、乙兩地之間，如果汽車以50千米／時的平均速度從甲地出發(fā)，則經(jīng)過6小時可到達乙地．
(1)甲、乙兩地相距多少千米?
(2)如果汽車把速度提高到v(千米／時)那么從甲地到乙地所用時間t(小時)將怎樣變化?
(3)寫出t與v之間的函數(shù)關系式；
(4)因某種原因，這輛汽車需在5小時內(nèi)從甲地到達乙地，則此時汽車的平均速度至少應是多少?
(5)已知汽車的平均速度最大可達80千米／時，那么它從甲地到乙地最快需要多長時間?
設計意圖：
本題可以通過計算解決以上問題，也可以根據(jù)函數(shù)的圖象對問題進行解釋，通過兩種方法的比較，可以加深對這類問題的理解．
師生行為：
先由學生獨立完成，后在小組內(nèi)討論交流．
教師可巡視，對“學圍生”以適當?shù)膸椭?br> 解：(1)50×6＝300(千米)；
(2)t將減?。?br> (3)t＝300v；
(4)由題意可知300v≤5，
∴v≥60(千米／時)；
(5)t＝30080＝3.75小時
四、課時小結
本節(jié)課是繼續(xù)用函數(shù)的觀點處理實際問題，關鍵在于分析實際情境，建立函數(shù)模型，并進一步明確數(shù)學問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學知識重新解釋這是什么?可以看到什么?逐步形成考察實際問題的能力，在解決問題時不僅要充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結合的思想，也要注意函數(shù)不等式、方程之間的聯(lián)系．
板書設計

活動與探究
某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據(jù)對這種型號設備的跟蹤調(diào)查顯示，該設備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為[14(x－1)＋500]元．
(1)如果將該設備從開始投入使用到報廢共付的養(yǎng)護與維修費及購實該設備費用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗．請你將每天的平均損耗y(元)表示為使用天數(shù)x(天)的函數(shù)．
(2)按照此行業(yè)的技術和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問該設備投入使用多少天應當報廢?
注：在解本題時可能要用到以下兩個數(shù)學知識點(如果需要可以直接引用下述結論)．
A.對于任意正整數(shù)n，下列等式一定成立
l＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)2；
B．對于確定的正常數(shù)a，b以及在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的變量x，一定有ax＋xb≥
2axxb＝2ab成立．可以看出，2是ab一個常數(shù)，也就是說函數(shù)y＝ax＋xb有最小值2ab，而且當ax＝xb時，y取得最小值．
解：(1)設該設備投入使用x天，每天的平均損耗為：

(2)y＝500000x＋x8＋49978≥2×500000xx8＋49978＝99978
當且僅當50000x＝x8，即x＝2000時，取等號．