高中三角函數教案

高三數學下冊《函數值域》知識點講解。

高三數學下冊《函數值域》知識點講解

(1)配方法:

若函數為一元二次函數，則可以用這種方法求值域，關鍵在于正確化成完全平方式。

(2)換元法：

常用代數或三角代換法，把所給函數代換成值域容易確定的另一函數，從而得到原函數值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均為常數且ac不等于0)的函數常用此法求解。

(3)判別式法：

若函數為分式結構，且分母中含有未知數x，則常用此法。通常去掉分母轉化為一元二次方程，再由判別式△0，確定y的范圍，即原函數的值域

(4)不等式法：

借助于重要不等式a+bab(a0)求函數的值域。用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件一正，二定，三相等。

(5)反函數法：

若原函數的值域不易直接求解，則可以考慮其反函數的定義域，根據互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的特點，確定原函數的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函數的值域，可采用反函數法，也可用分離常數法。

(6)單調性法：

首先確定函數的定義域，然后在根據其單調性求函數值域，常用到函數y=x+p/x(p0)的單調性：增區(qū)間為(-,-p)的左開右閉區(qū)間和(p,+)的左閉右開區(qū)間，減區(qū)間為(-p,0)和(0,p)

(7)數形結合法：

分析函數解析式表達的集合意義，根據其圖像特點確定值域。

注意：

(1)用換元法求值域時，認真分析換元后變量的范圍變化;用判別式法求函數值域時，一定要注意自變量x是否屬于R。

(2)用不等式法求函數值域時，需要認真分析其等號能否成立;利用單調性求函數值域時，準確找出其單調區(qū)間是關鍵。分段函數的值域應分段分析，再取并集。

(3)不管用哪種方法求函數值域，都一定要先確定其定義域，這是求函數的重要環(huán)節(jié)。

練習題：

例：已知f(x+1）=x2;+1，f(x+1）的定義域為[0，2]，求f(x）解析式和定義域

設x+1=t，則；x=t-1，那么用t表示自變量f的函數為：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=x2;+1中）

f(t)=f(x+1）=(t-1）2;+1

=t2;-2t+1+1

=2;-2t+2

所以，f(t)=t2;-2t+2，則f(x)=x2;-2x+2

或者用這樣的方法——更直觀：

令f(x+1）=x2;+1中的x=x-1，這樣就更直觀了，把x=x-1代入f(x+1）=x2;+1，那么：

f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）2;+1

=xsup2;-2x+1+1

=xsup2;-2x+2

所以，f(x)=x2;-2x+2

而f(x）與f(t）必須x與t的取值范圍相同，才是相同的函數，

由t=x+1，f(x+1）的定義域為[0，2]，可知道：t∈[1，3]

f(x)=x2;-2x+2的定義域為：x∈[1，3]

綜上所述，f(x)=x2;-2x+2（x∈[1，3]

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定義域

(高中函數定義)設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;

值域

名稱定義

函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函數單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數法(逆求法);(7)判別式法;(8)復合函數法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等

關于函數值域誤區(qū)

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

“范圍”與“值域”相同嗎?

“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念?！爸涤颉笔撬泻瘮抵档募?即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。

高三數學下冊《函數》知識點

俗話說，凡事預則立，不預則廢。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助教師緩解教學的壓力，提高教學質量。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？小編經過搜集和處理，為您提供高三數學下冊《函數》知識點，僅供參考，希望能為您提供參考！

高三數學下冊《函數》知識點

1.函數的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數);

(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性;

2.復合函數的有關問題

(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

3.函數圖像（或方程曲線的對稱性）

(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;

(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x=對稱;

4.函數的周期性

(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數;

(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;

(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域)；

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a0,a≠1,b0,n∈R+);

(2)logaN=(a0,a≠1,b0,b≠1);

(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;

(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);

8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

(1)A中元素必須都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

10.對于反函數，應掌握以下一些結論：

(1)定義域上的單調函數必有反函數;

(2)奇函數的反函數也是奇函數;

(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

(4)周期函數不存在反函數;

(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.處理二次函數的問題勿忘數形結合

二次函數在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系;

12.依據單調性

利用一次函數在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;

13.恒成立問題的處理方法

(1)分離參數法;

(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

練習題：

1．設集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()

A．{0}B．{0,2}

C．{－2,0}D．{－2,0,2}

解析M＝{x|x(x＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M∪N＝{－2,0,2}．

答案D

2．設f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A＝{－2,0,2}，則A∩B＝()

A．{0}B．{2}

C．{0,2}D．{－2,0}

解析依題意，得B＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．

答案C

3．f(x)是定義在R上的奇函數，f(－3)＝2，則下列各點在函數f(x)圖象上的是()

A．(3，－2)B．(3,2)

C．(－3，－2)D．(2，－3)

解析∵f(x)是奇函數，∴f(－3)＝－f(3)．

又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴點(3，－2)在函數f(x)的圖象上．

答案A

高三數學下冊《體積公式》知識點講解

一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，高中教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以讓學生更好的消化課堂內容，幫助授課經驗少的高中教師教學。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？以下是小編為大家收集的“高三數學下冊《體積公式》知識點講解”僅供您在工作和學習中參考。

高三數學下冊《體積公式》知識點講解

1.圓柱體

V=Sh=r2h

S為底面積，h為高，r為底圓半徑

2.長方體

V=abh

a、b、h分別表示長方體的長、寬、高

3.正方體

V=a3

a表示正方體的棱長

4.柱體

V=Sh

S為底面積，h為高

5.圓錐體

V=1/3Sh

S為底面積，h為高

6.球體

V=4/3r3

r代表球的半徑

練習題：

1.設函數g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=left{begin{array}{l}g(x)+x+4,xg(x),g(x)-x,x≥g(x).end{array}right.則f(x)的值域是()

A.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(1,+∞)B.[0,+∞)

C.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},+∞end{array}right)D.left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(2,+∞)

解析:令x0,解得x-1或x2.令x≥g(x),而x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.故函數f(x)=left{begin{array}{l}x2+x+2(x-1或x2),

x2-x-2(-1≤x≤2).end{array}right.當x-1或x2時,函數f(x)f(-1)=2;當-1≤x≤2時,函數fleft(begin{array}{l}frac{1}{2}end{array}right)≤f(x)≤f(-1),即-frac{9}{4}≤f(x)≤0.故函數f(x)的值域是left[begin{array}{l}-frac{9}{4},0end{array}right]∪(2,+∞).

答案:D

2.設f(x)=left{begin{array}{l}x2,|x|≥1,

x,|x|1.end{array}right.g(x)是二次函數,若f[g(x)]的值域為[0,+∞),則g(x)的值域是()

A.(-∞,-1]∪[1,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

C.[0,+∞)

D.[1,+∞)

解析:設t=g(x),則f[g(x)]=f(t),∴t=g(x)的值域即為f(t)的定義域.

畫出函數y=f(x)的圖象(如圖).

[TPTL19.TIF,BP]∵函數f[g(x)]值域為[0,+∞),

∴函數f(t)的值域為[0,+∞).

∵g(x)是二次函數,且g(x)的值域即為f(t)的定義域,

∴由圖象可知f(t)的定義域為[0,+∞),

即g(x)的值域為[0,+∞).

答案:C

高一數學上冊知識點整理：函數定義域函數值域

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高一數學上冊知識點整理：函數定義域函數值域

定義域
(高中函數定義)設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;
值域
名稱定義
函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合);(3)函數單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數法(逆求法);(7)判別式法;(8)復合函數法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等
關于函數值域誤區(qū)
定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話，那么求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值)，而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。