高中立體幾何教案

2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪備考立體幾何中的空間角問題復(fù)習(xí)。

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪備考立體幾何中的空間角問題復(fù)習(xí)”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

題型五立體幾何中的空間角問題
(推薦時間：30分鐘)
1.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

2．(2011湖南)如圖，在圓錐PO中，已知PO＝2，⊙O的直徑AB＝2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B—PA—C的余弦值．

答案
1．(1)證明設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，
則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，
D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．
因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，
所以F32a，32a，0.
AF→＝32a，32a，0，BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a,0，－a)．
因?yàn)锳F→＝12(BE→＋BC→)，AF平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)證明因?yàn)锳F→＝32a，32a，0，CD→＝(－a，3a,0)，ED→＝(0,0，－2a)，
故AF→CD→＝0，AF→ED→＝0，所以AF→⊥CD→，AF→⊥ED→.
所以AF→⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
(3)解設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)．由nBE→＝0，nBC→＝0，
可得x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，
取n＝(1，－3，2)．
又BF→＝32a，32a，－a，
設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ，
則sinθ＝|BF→n||BF→||n|＝2a2a22＝24.
所以直線BF和平面BCE所成角的正弦值為24.
2.方法一(1)證明如圖，連結(jié)OC，因?yàn)镺A＝OC，D是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，
所以AC⊥PO.
因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，
所以AC⊥平面POD，
而AC平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
(2)解在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
所以O(shè)H⊥平面PAC.
又PA平面PAC，所以PA⊥OH.
在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，
則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG，
故∠OGH為二面角B—PA—C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OAsin45°＝22.
在Rt△POD中，
OH＝POODPO2＋OD2＝2×222＋12＝105.
在Rt△POA中，
OG＝POOAPO2＋OA2＝2×12＋1＝63.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝10563＝155.
所以cos∠OGH＝1－sin2∠OGH＝1－1525＝105.
故二面角B—PA—C的余弦值為105.
方法二(1)證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
P(0,0，2)，D－12，12，0.
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一個法向量，則由n1OD→＝0，nOP→＝0，
得－12x1＋12y1＝0，2z1＝0.所以z1＝0，x1＝y(tǒng)1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一個法向量，則由n2PA→＝0，n2PC→＝0，
得－x2－2z2＝0，y2－2z2＝0.所以x2＝－2z2，y2＝2z2.取z2＝1，得n2＝(－2，2，1)．
因?yàn)閚1n2＝(1,1,0)(－2，2，1)＝0，所以n1⊥n2.
從而平面POD⊥平面PAC.
(2)解因?yàn)閥軸⊥平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一個法向量為n2＝(－2，2，1)．
設(shè)向量n2和n3的夾角為θ，則cosθ＝n2n3|n2||n3|＝25＝105.
由圖可知，二面角B—PA—C的平面角與θ相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值為105.
（活動范文吧 F236.cOM）

相關(guān)知識

2012屆高考數(shù)學(xué)備考立體幾何復(fù)習(xí)教案

專題四：立體幾何
階段質(zhì)量評估（四）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，總分60分）
1．如右圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正方形，俯視圖是一個直徑為的圓，那么這個幾何體的全面積為（）
A．B．
C．D．
2．下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖
有且僅有兩個視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④
3．如圖，設(shè)平面，垂足分別為，若增加一個條件，就能推出.
現(xiàn)有①②與所成的角相等;
③與在內(nèi)的射影在同一條直線上;④∥.
那么上述幾個條件中能成為增加條件的個數(shù)是（）
個個個個
4．已知直線和平面，則下列命題正確的是()
AB
CD
5．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
6．給定下列四個命題：
①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和另一個平面垂直；
③若一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中，為真命題的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
7．如圖，正四棱柱中，，則異面直線所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
8．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是()
A.B.
C.直線∥D.直線所成的角為45°
9．正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為（）
（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2
10．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（）
..∥截面
..異面直線與所成的角為
11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（）
A.B.
C.D.
12．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）
（A）平面
（B）
（C）平面
（D）異面直線與所成的角為

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，總分16分）
13．圖2中實(shí)線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是。
14．已知一圓錐的底面半徑與一球的半徑相等，且全面積也相等，則圓錐的母線與底面所成角的大小為．(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
15．如圖，在長方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點(diǎn)，作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．
16．已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

三、解答題（本大題共6小題，總分74分）
17．如圖，在長方體，點(diǎn)E在棱AB上移動，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為.
（1）求證：D1E⊥A1D；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角
。若存在，確定
點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.

18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論.

19．如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，
是線段的中點(diǎn)。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。

20．如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，，M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，且滿足
（I）證明：
（II）當(dāng)取何值時，直線PN與平面ABC
所成的角最大？并求該角最大值的正切值；
（II）若平面PMN與平面ABC所成的二面角
為45°，試確定點(diǎn)P的位置。

21．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，和均為等邊三角形，．
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

22．如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)在斜邊上．
（I）求證：平面平面；
（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的大?。?br> （III）求與平面所成角的最大值．

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選A.。
2.【解析】選D.①三個都相同，②正視圖和側(cè)視圖相同，③三個視圖均不同，④正視圖和側(cè)視圖相同。
3.C
4.【解析】選B.對A，，
對C畫出圖形可知，對D，缺少條件。
5.C
6.D
7.D
8.D
9.【解析】選C.由于G是PB的中點(diǎn),故P－GAC的體積等于B－GAC的體積
在底面正六邊形ABCDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC

10.【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的.

11.【解析】選D.連與交于O點(diǎn),再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.
，，
.

12.【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。
二、填空題
13.【解析】向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，設(shè)長方體的高為x，則，所以，所以長方體的體積為3。
答案：3

14.
15.【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是.
答案：

16.【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點(diǎn)P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角
的平面角.根據(jù)題意得，由于對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)
Q，都有∠POQ≥45°，∴，設(shè)PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應(yīng)有
PCPH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。
若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°。
即二面角的范圍是。
答案：

三、解答題
17.【解析】（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）
（2）設(shè)AB=x，
點(diǎn)C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，
設(shè)平面D1EC的法向量，則
由題意得：
解得（舍去）

18.【解析】（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、
y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
設(shè)是平面BDE的一個法向量，
則由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，
又是平面DEC的一個法向量.
設(shè)二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為
（Ⅲ）∵∴
假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)，
則，
由
∴
即在棱PB上存在點(diǎn)F，PB，使得PB⊥平面DEF

19.【解析】（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點(diǎn)、，
∴又點(diǎn)，，∴
∴，且與不共線，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴為平面的法向量．
∵，，
∴為平面的法向量．
∴，
∴與的夾角為，即二面角的大小為．

20.解：（I）如圖，以AB，AC，AA1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則2分
從而
所以…………3分
（II）平面ABC的一個法向量為
則
（※）…………5分
而
由（※）式，當(dāng)…………6分
（III）平面ABC的一個法向量為
設(shè)平面PMN的一個法向量為
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
解得11分
故點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且…………12分

21.解法一：（I）證明：連結(jié)，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
，和為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）過作于連結(jié)，
平面，在平面上的射影為
為二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，
在中，，
而
點(diǎn)到平面的距離為．
解法二：（I）同解法一．

（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則
平面，平面的法向量
設(shè)平面的法向量，
由
設(shè)與夾角為，則
∴二面角的余弦值為．
（Ⅲ）解：設(shè)平面的法向量為又
設(shè)與夾角為，則
設(shè)到平面的距離為，
到平面的距離為．

22.【解析】解法一：
（I）由題意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
異面直線與所成角的大小為．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當(dāng)最小時，最大，
這時，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（III）同解法一

2012屆高考數(shù)學(xué)不等式第二輪備考復(fù)習(xí)

第4講不等式
(推薦時間：60分鐘)
一、填空題
1．(2011廣東改編)不等式2x2－x－10的解集是____________________．
2．(2011上海)不等式x＋1x≤3的解集為____________．
3．“a＋cb＋d”是“ab且cd”的________條件．
4．不等式x2－43|x|的解集是____________．
5．已知正數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則1x＋1y的最小值為________．
6．設(shè)命題甲：ax2＋2ax＋10的解集是實(shí)數(shù)集R；命題乙：0a1.則命題甲是命題乙成立的______________條件．
7．(2011浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．
8．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，則當(dāng)yx37時，實(shí)數(shù)x，y滿足的不等式組為____________．
9．設(shè)a＞b＞0，則a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．
10．若關(guān)于x的不等式(2x－1)2ax2的解集中整數(shù)恰好有3個，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
11．若不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈0，12恒成立，則a的最小值是________．
12．若a0，b0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是______(寫出所有正確命題的序號)．
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.
二、解答題
13．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)0的解集為A.
(1)求集合A；
(2)設(shè)集合B＝{x||x＋4|a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范圍．
14.如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．
(1)現(xiàn)有可圍36m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

15．已知函數(shù)f(x)＝13ax3－14x2＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)0.
答案
1．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2.x|x≥12或x0
3．必要不充分4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．226．必要不充分
7.2338.3x－7y0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0
9．410.259，491611．－5212．①③⑤
13．解(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a0，由f(x)0，
解得A＝－1a，0.
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，
因?yàn)榧螧是集合A的子集，
所以－1a≤－a－4，a－4≤0，
－2－5≤a≤－2＋5，a≤4，
解得0a≤－2＋5.
14．解設(shè)每間虎籠的長、寬分別為xm、ym．則s＝xy.
(1)由題意知：4x＋6y＝36，
∴2x＋3y＝18.
又2x＋3y≥26xy，
∴xy≤(2x＋3y)224＝18224＝272，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3時，s＝xy最大，
∴每間虎籠的長為4.5m，寬為3m時，每間虎籠面積最大．
(2)由題意知xy＝24，
4x＋6y≥224xy＝48，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝6y時，取得等號成立．
由4x＝6yxy＝24得x＝6，y＝4，
∴每間虎籠的長為6m，寬為4m時，
可使鋼筋網(wǎng)總長最?。?br> 15．解(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，
∵f′(x)＝ax2－12x＋c.
又f′(1)＝0，∴a＋c＝12.
∵f′(x)≥0在R上恒成立，
即ax2－12x＋c≥0恒成立，
∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，
顯然當(dāng)a＝0時，上式不恒成立．
∴a≠0，
∴a0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a0，a2－12a＋116≤0，即a0，(a－14)2≤0，
解得：a＝14，c＝14.
(2)∵a＝c＝14.
∴f′(x)＝14x2－12x＋14.
f′(x)＋h(x)0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－140，
即x2－(b＋12)x＋b20，
即(x－b)(x－12)0，
當(dāng)b12時，解集為(12，b)，
當(dāng)b12時，解集為(b，12)，
當(dāng)b＝12時，解集為.

2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪數(shù)列備考復(fù)習(xí)教案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪數(shù)列備考復(fù)習(xí)教案》，相信能對大家有所幫助。

2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題三數(shù)列（教師版）
【考綱解讀】
1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.等差（比）數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.
2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點(diǎn).
3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應(yīng)用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.
因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：
1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.
2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時，要及時總結(jié)歸納.
5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.
6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果.
7．?dāng)?shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識的應(yīng)用.
【要點(diǎn)梳理】
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法：為常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：.
2.證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法：(非零常數(shù))；（2）等差中項(xiàng)法：.
3.常用性質(zhì):(1)等差數(shù)列中,若,則;
(2)等比數(shù)列中,若,則.
4.求和:
(1)等差等比數(shù)列,用其前n項(xiàng)和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì).
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)1等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì)
在等差、等比數(shù)列中，已知五個元素或，中的任意三個，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時需抓住首項(xiàng)和公差（或公比）。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如
（1）等差數(shù)列中，若，則；等比數(shù)列中，若，則.
（2）等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。其中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列中（），成等比數(shù)列。其中是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）在等差數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng)也稱等差數(shù)列.
（4）在等差數(shù)列中，；.
在復(fù)習(xí)時，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
例1.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中，，則
.
【答案】74
【解析】，故
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì).
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的概念與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)2數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用
在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時，要對其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若且；我們可把各個差列出來進(jìn)行求和，可得到數(shù)列的通項(xiàng).
再看“逐商法”即且，可把各個商列出來求積。
另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題.
例2.（2011年高考四川卷文科9)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=()
（A）3×44（B）3×44+1
(C)44（D）44+1
【答案】A
【解析】由題意，得a2=3a1=3.當(dāng)n≥1時，an+1=3Sn(n≥1)①，所以an+2=3Sn+1②，
②-①得an+2=4an+1，故從第二項(xiàng)起數(shù)列等比數(shù)列，則a6=3×44.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查與的關(guān)系：，數(shù)列前n項(xiàng)和和通項(xiàng)是數(shù)列中兩個重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式時，一定要注意條件，求通項(xiàng)時一定要驗(yàn)證是否適合。解決含與的式子問題時，通常轉(zhuǎn)化為只含或者轉(zhuǎn)化為只的式子.
【備考提示】：遞推數(shù)列也是高考的內(nèi)容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點(diǎn).
練習(xí)2.（2011年高考遼寧卷文科5)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n，則公比為（）[Z
（A）2（B）4（C）8（D）16
【答案】B
【解析】設(shè)公比是q，根據(jù)題意a1a2=16①，a2a3=162②，②÷①，得q2=16.因?yàn)閍12q=160,a120，則q0，q=4.
考點(diǎn)3數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（），因此可以改寫為是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，.
例3.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.
【答案】
【解析】由題意：，
【答案】A
【解析】通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
考點(diǎn)4.數(shù)列求和
例4.(山東省濟(jì)南市2011年2月高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研理科20題)
已知為等比數(shù)列，；為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求.
【解析】（1）設(shè)的公比為,由,得所以
設(shè)的公差為，由得,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.
【備考提示】：熟練數(shù)列的求和方法等基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.
練習(xí)4.（2010年高考山東卷文科18）
已知等差數(shù)列滿足：，.的前n項(xiàng)和為.
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以?br> 考點(diǎn)5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)(),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（Ⅱ）記，，當(dāng)時，試比較與的大小.[
當(dāng)時，即；
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解決本類問題的關(guān)鍵.
練習(xí)5.(2011年高考天津卷文科20)
已知數(shù)列與滿足,,且.
（Ⅰ）求的值;
(Ⅱ)設(shè),,證明是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)為的前n項(xiàng)和,證明.
【解析】（Ⅰ）由,可得
,,
當(dāng)n=1時,由,得;
當(dāng)n=2時,可得.
(Ⅱ)證明:對任意,--------①
---------------②
②-①得:,即,于是,所以是等比數(shù)列.
(Ⅲ)證明:,由(Ⅱ)知,當(dāng)且時,
=2+3(2+)=2+,故對任意,,
由①得所以,,
因此,,于是,
故=,
所以.
【易錯專區(qū)】
問題：已知,求時,易忽視的情況
例.（2010年高考上海卷文科21）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).
【考題回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（）
（A）15(B)12(C)(D)
【答案】A
【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；
法二：，故.故選A.
2.（2011年高考江西卷文科5)設(shè){}為等差數(shù)列，公差d=-2，為其前n項(xiàng)和.若，則=（）
A.18B.20C.22D.24
【答案】B
【解析】.
3.(2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：，且=1．那么=（）
A．1B．9C.10D．55
【答案】A
【解析】因?yàn)?所以令,可得;令,可得;同理可得,,,
,所以=,故選A.
4.(2011年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且.若則，，則()
（A）0（B）3（C）8（D）11
【答案】B
【解析】由已知知由疊加法.
5．（2010年高考全國Ⅰ卷文科4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=（）
(A)(B)7(C)6(D)
【答案】A
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以.
6．（2010年高考全國卷Ⅱ文科6）如果等差數(shù)列中，++=12，那么++…+=（）
（A）14(B)21(C)28(D)35
【答案】C
【解析】∵，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5題）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是高.（）
【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B
9．（2009年高考湖南卷文科第3題）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于()
A．13B．35C．49D．63
【答案】C
【解析】故選C.
或由,
所以故選C.
10.（2009年高考福建卷理科第3題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=6，=4，則公差d等于()
A．1BC.-2D3
【答案】C
【解析】∵且.故選C
11．（2009年高考江西卷理科第8題）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于以3為周期,故
故選A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）
A.1升B.升C.升D.升
【答案】D
【解析】設(shè)9節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1,a2,……a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得：，所以選B.
13.(2011年高考湖南卷理科12)設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則.
【答案】25
【解析】因?yàn)?，，所以，則.故填25
14.(2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則.
【答案】10
【解析】由題得.
【解析】則
于是令得，則，時遞增，令得，則，時遞減，故是最大項(xiàng)，即.
17.（2011年高考江西卷文科21)(本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數(shù)列，滿足，
若數(shù)列唯一，求的值；
（2）是否存在兩個等比數(shù)列，使得成公差為
的等差數(shù)列？若存在，求的通項(xiàng)公式；若存在，說明理由．
【解析】（1）要唯一，當(dāng)公比時，由且，
，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根）
，此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。
當(dāng)公比時，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，唯一，此時由，可推得符合
綜上：。
（2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得：
要使該式成立，則=或此時數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列.
18.（2011年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為,則,由，可得，解得
,從而.
（II）由（I）可知,所以,由Sk=-35，可得,
即,解得或,又,故.
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（I）求第n年初M的價值的表達(dá)式；
（II）設(shè)若大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．
【解析】（I）當(dāng)時，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列．
因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又
所以須在第9年初對M更新．
20.（2011年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知﹛﹜是以為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，為它的前項(xiàng)和.
（Ⅰ）當(dāng)成等差數(shù)列時，求q的值；
(Ⅱ)當(dāng)，，成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)也成等差數(shù)列.
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，解得，因?yàn)椋剩?br> 當(dāng)時，，由成等差數(shù)列得，得，即，.
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小題滿分14分）
在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記，證明.
【解析】（I）證明：由題設(shè)可知，，，，，.從而，所以，，成等比數(shù)列.
（II）解：由題設(shè)可得
所以
.
由，得，從而.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，?br> （III）證明：由（II）可知，，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)。
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小題共13分）
已知為等差數(shù)列，且，。
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和公式
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實(shí)數(shù)數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
（2）當(dāng)為何值時，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和．
【解析】證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則．
用反證法證明這些都是無理數(shù)．
假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且，
故．，與矛盾，
所以都是無理數(shù)，即數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
方法二：因?yàn)?，?dāng)?shù)媚┪粩?shù)字是3,4,8,9時，的末位數(shù)字是3和7，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時不是有理數(shù)，因這種有無窮多，故這種無理項(xiàng)也有無窮多．
（2）要使為整數(shù)，由可知：同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有或當(dāng)時，有又必為偶數(shù)，所以滿足
即時，為整數(shù)；同理有
也滿足
即時，為整數(shù)；顯然和是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng)和時，為整數(shù)；由有，
由有．
設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為，則
．
24.(2010年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足+15=0.
（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解：由題意知S6==-3,
A6=S6-S5=-8所以解得a1=7,所以S6=-3,a1=7
(Ⅱ)解：因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為()
（A）15(B)16(C)49（D）64
【答案】A
【解析】.
3．（2010年高考山東卷文科7）設(shè)是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的()
（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，解得又，所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比數(shù)列中，，，，則
A．B．C．D．
5．（2010年高考遼寧卷文科3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則公比()
（A）3（B）4（C）5（D）6
【答案】B
【解析】兩式相減得，，.

6．（2010年高考廣東卷文科4）已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，
且與的等差中項(xiàng)為，則S5=w()
A．35B．33C．31D．29
7．（2010年高考重慶卷文科2）在等差數(shù)列中，，則的值為()
（A）5（B）6
（C）8（D）10
【答案】A
【解析】由角標(biāo)性質(zhì)得，所以=5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比數(shù)列{}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則()
A.B.C.D
【答案】C
二．填空題：
13．（2009年高考北京卷文科第10題）若數(shù)列滿足：，則
；前8項(xiàng)的和.（用數(shù)字作答）
【答案】255
【解析】，
易知.
14．（2010年高考遼寧卷文科14）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則。
【答案】15
【解析】由,解得，
15．(浙江省溫州市2011年高三第一次適應(yīng)性測試?yán)砜?已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，集合，從中選出4個不同的數(shù)，使這4個數(shù)成等比數(shù)列，這樣得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有．
【答案】
【解析】以公比為的等比數(shù)列有…共組；
以公比為的等比數(shù)列有…共組；
以公比為的等比數(shù)列有共組.
再考慮公比分別為的情形，可得得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有個.
三．解答題：
17.（2009年高考山東卷理科第20題）（本小題滿分12分）
等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(理科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記,證明：對任意的，不等式成立
【解析】(Ⅰ)由題意知:,
當(dāng)時,,
由于且所以當(dāng)時,{}是以為公比的等比數(shù)列,
又,,即解得.
(理科)(Ⅱ)∵,∴當(dāng)時,,
又當(dāng)時,,適合上式,∴,,
∴,
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式:
證明:(1)當(dāng)時,左邊=右邊,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,即,
則當(dāng)時,
不等式左邊=
所以當(dāng)時,不等式也成立,
綜上(1)(2)可知:當(dāng)時,不等式恒成立,
所以對任意的,不等式成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,所以=,
,
+,
兩式相減得:
,
故=.
（Ⅱ）因?yàn)?，?0分
所以
．…14分
19．（天津市南開中學(xué)2011年3月高三月考文科）已知數(shù)列的前以項(xiàng)和為且對于任意的恒有設(shè)
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和
(3)若證明：
【解析】(1)當(dāng)n=l時，得
當(dāng)時，兩式相減得：
是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由為正項(xiàng)數(shù)列，所以也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而所以數(shù)列遞減，
所以…12分
另證：由
所以
20．(天津市紅橋區(qū)2011屆高三一模文科)（本題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：。
【解析】（1）由,
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，公差
從而
從而
21.(山東省濟(jì)南市2011年2月高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研文科)
已知{an}是遞增的等差數(shù)列，滿足a2a4=3,a1+a5=4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}對n∈N*均有成立，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
22.(山東省青島市2011年3月高考第一次模擬理科)已知數(shù)列滿足，且，為的前項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)如果對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)對任意,都有，所以
則成等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為…………2分
所以，…………4分
(Ⅱ)因?yàn)?br> 所以…………6分
因?yàn)椴坏仁?，化簡得對任意恒成立………?分
設(shè)，則…………8分
當(dāng),,為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng),,為單調(diào)遞增數(shù)列
,所以,時,取得最大值…………11分
所以,要使對任意恒成立，…………12分

2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪備考復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪備考復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

題型九函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題
(推薦時間：30分鐘)
1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在點(diǎn)x0處取得極小值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,0)，(2,0)，如圖所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的極大值．
2．已知函數(shù)f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)討論關(guān)于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的個數(shù)．
答案
1．解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)觀察圖象，我們可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)0，此時f(x)為增函數(shù)；
當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)0，此時f(x)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)0，此時f(x)為增函數(shù)，
因此在x＝2處函數(shù)取得極小值．
結(jié)合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再結(jié)合f′(x)的圖象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根分別為1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a即2b＝－9a，c＝6a.
聯(lián)立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1處函數(shù)取得極大值，
∴f(x)極大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞

f′(x)－0＋
f(x)?
極小值?

所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)當(dāng)x∈0，1e時，f(x)單調(diào)遞減且f(x)的取值范圍是－1e，0；
當(dāng)x∈1e，＋∞時，f(x)單調(diào)遞增且f(x)的取值范圍是－1e，＋∞，
下面討論f(x)－m＝0的解，
當(dāng)m－1e時，原方程無解；
當(dāng)m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
當(dāng)－1em0時，原方程有兩解．