小學(xué)三角形教案

2018年八年級(jí)數(shù)學(xué)上第二章三角形課題等腰三角形的性質(zhì)學(xué)案新版湘教版。

課題等腰三角形的性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．通過動(dòng)手操作，理解等腰三角形的對(duì)稱性，掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能用于解決相關(guān)問題．
2．感受等腰三角形的對(duì)稱美，發(fā)展形象思維．
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】
掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】
等腰三角形性質(zhì)的證明．

行為提示：點(diǎn)燃激情，引發(fā)學(xué)生思考本節(jié)課學(xué)什么．

行為提示：認(rèn)真閱讀課本，獨(dú)立完成“自學(xué)互研”中的題目．在探究練習(xí)的指導(dǎo)下，自主的完成有關(guān)的練習(xí)，并在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從猜測(cè)到探索到理解知識(shí)．

方法指導(dǎo)：(1)利用三角形內(nèi)角和與外角靈活轉(zhuǎn)化角度．
(2)等腰三角形兩底角相等．

情景導(dǎo)入生成問題
知識(shí)回顧：
1．等腰三角形是有兩邊相等的三角形，其中相等的兩邊都叫作腰，另外一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰和底邊的夾角叫作底角．
2．線段是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)?jiān)诒咀由袭嫵鲆粭l線段的對(duì)稱軸．
自學(xué)互研生成能力
知識(shí)模塊一探究等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)
(一)合作探究
教材P61探究．
通過探究，我們得到等腰三角形的性質(zhì)：
等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線．
等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(通常簡(jiǎn)稱為“三線合一”)．
等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”)．
(二)自主學(xué)習(xí)
閱讀教材P62“動(dòng)腦筋”，可得到等邊三角形的性質(zhì)：
等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且都等于60°，有三條對(duì)稱軸．
知識(shí)模塊二等腰三角形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用
(一)自主學(xué)習(xí)
閱讀教材P62例1～P63“議一議”．
(二)合作探究
1．已知：如圖，AB＝AC，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝155°.求∠EDF的度數(shù)．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠B＋∠1＝∠EDF＋∠1＝90°.
∴∠B＝∠EDF＝∠C.
又∵∠C＝∠AFD－∠FDC＝155°－90°＝65°，
∴∠EDF＝65°.
2．如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△DCE，連接BD，交AC于點(diǎn)F.猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：AC⊥BD.
∵△DCE是由△ABC平移得到的，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCE，又∵△ABC是等邊三角形
∴DC＝AB＝BC，∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝∠ACD，又∵BC＝CD，
∴AC⊥BD.
行為提示：找出自己不明白的問題，先對(duì)學(xué)，再群學(xué)．充分在小組內(nèi)展示自己，對(duì)照答案，提出疑惑，小組內(nèi)討論解決．小組解決不了的問題，寫在各小組展示的黑板上，在小組展示的時(shí)候解決．
積極發(fā)表自己的不同看法和解法，大膽質(zhì)疑，認(rèn)真傾聽．做每一步運(yùn)算時(shí)都要自覺地注意有理有據(jù)．交流展示生成新知
1．將閱讀教材時(shí)“生成的問題”和通過“自主學(xué)習(xí)、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小組的小黑板上，并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑．
2．各小組由組長(zhǎng)統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生成新知”．
知識(shí)模塊一探究等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)
知識(shí)模塊二等腰三角形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用
課后反思查漏補(bǔ)缺
1．收獲：________________________________________________________________________
2．存在困惑：___________________________________________________________________

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等腰三角形

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等腰三角形的判定

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第十二講等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個(gè)三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，實(shí)際解題中的一個(gè)常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：
1．“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形．

例題求解
【例1】如圖，一個(gè)六邊形的6個(gè)內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1、9、9、5，那么這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是cm．
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥設(shè)法將六邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵．
注證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個(gè)三角形，則考慮證對(duì)應(yīng)的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個(gè)三角形兩邊，則考慮用等角對(duì)等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等量代換證明．
類似的，我們可以對(duì)證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié)．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化，向外補(bǔ)形與對(duì)內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式．
【例2】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有()
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【例3】如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會(huì)找到解題的不同方法．
【例4】如圖甲，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖乙中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)

思路點(diǎn)撥圖甲中有多對(duì)全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)．
注若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點(diǎn)有幾個(gè)?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點(diǎn)有幾個(gè)?請(qǐng)讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設(shè)條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構(gòu)造等腰三角形；(2)對(duì)內(nèi)作角平分線．
【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥CD．(武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥證明∠AMC=90°或應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，通過作輔助線將五邊形問題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問題是解本例的關(guān)鍵．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O點(diǎn)．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長(zhǎng)+△ENO的周長(zhǎng)－△FHO的周長(zhǎng)．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點(diǎn)，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有個(gè)．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值=．
（“五羊杯”競(jìng)賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于E點(diǎn)，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)(2002午天津市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于()
A．58°B．32°C．36°D．34°

6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是()
A．AC2ABB．AC＝2ABC．AC≤2ABD．AC2AB
(山東省競(jìng)賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，則其頂角等于()
A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形()
A．只有一個(gè)且為等腰三角形
B．至少有兩個(gè)且都為等腰三角形
C．只有一個(gè)但不是等腰三角形
D．至少有兩個(gè)，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系．
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(廣東省中考題)

10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．
11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD=BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為．(北京市競(jìng)賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A=．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC=，∠ADC=．(天津市競(jìng)賽題)
15．有一個(gè)等腰三角形紙片，若能從一個(gè)底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為度．(江蘇省競(jìng)賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有()
A．1個(gè)B．4個(gè)C．7個(gè)D．10個(gè)
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D＝（）
A．30°B．450°C．60°D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()

A．PA+PB+PCAB+ACB．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+ACD．PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定，與P點(diǎn)位置有關(guān)

19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一∠BDC，求證：AC=BD+DC．(天津市競(jìng)賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點(diǎn)，連接每?jī)牲c(diǎn)，使任意三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每?jī)牲c(diǎn)之間函線段長(zhǎng)只有兩個(gè)數(shù)值，則這四點(diǎn)的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(江蘇省競(jìng)賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長(zhǎng)均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一動(dòng)點(diǎn)，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動(dòng)時(shí)，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．

等腰三角形的性質(zhì)和判定

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識(shí)點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，又到了寫教案課件的時(shí)候了。只有規(guī)劃好教案課件計(jì)劃，就可以在接下來的工作有一個(gè)明確目標(biāo)！你們了解多少教案課件范文呢？以下是小編為大家精心整理的“等腰三角形的性質(zhì)和判定”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

§1.1等腰三角形的性質(zhì)和判定
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．能證明等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理；
2．了解分析的思考方法；
3．經(jīng)歷思考、猜想，并對(duì)操作活動(dòng)的合理性進(jìn)行證明的過程，不斷感受證明的必要性，感受合情推理和演繹推理都是人們正確認(rèn)識(shí)的事物的重要途徑．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：了解分析的思考方法；
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：合理添加輔助線。
學(xué)習(xí)過程：
一、回顧舊知：
文字命題的幾何證明一般步驟是：
①；②；③。
二、情境創(chuàng)設(shè)：
1、什么叫做等腰三角形？
2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？

3、上述性質(zhì)你是怎么得到的？你能否用從基本事實(shí)出發(fā)，對(duì)它們進(jìn)行證明？（不妨動(dòng)手操作做一做）
三、合作探究：
活動(dòng)一：1、證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

2、思考：由上面的證明過程，你能否得出“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”的結(jié)論？請(qǐng)用符號(hào)語言表示.

3、通過上面兩個(gè)問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質(zhì)定理.

定理：_______________________________________，（簡(jiǎn)稱：________________）

定理：_______________________________________，（簡(jiǎn)稱：________________）
活動(dòng)二：如何證明“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是正確的？
要求：（1）寫出它的逆命題：如果,那么。
（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進(jìn)行證明.

活動(dòng)三：
例：已知：如圖∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.
求證：AB＝AC

拓展：在下圖中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC嗎？為什么？

四、反饋檢測(cè)：
1．若等腰三角形的周長(zhǎng)為12，一邊長(zhǎng)為5，那么另兩邊長(zhǎng)分別為；
2．若等腰三角形有兩邊長(zhǎng)為2和5，那么周長(zhǎng)為；
3．若等腰三角形有一個(gè)角等于50°，那么另兩個(gè)角為；
4．若等腰三角形有一個(gè)角等于120°，那么另兩個(gè)角為；
五、總結(jié)反思：

六、布置作業(yè)：必做題：課本P8第1、2、4題;
選做題：課本P8第3題.
七、課外拓展：
已知：如圖，AB=AC．
（1）若CE=BD，求證：GE=GD；
（2）若CE=mBD（m為正數(shù)），試猜想GE與GD有何關(guān)系。
（只寫結(jié)論，不證明）．