高中拋物線教案

作拋物線的切線。

問題探索求作拋物線的切線
典例剖析
題型一平均變化率
例1：在曲線的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點（1＋Δ，2＋Δy）求
解：Δy=-(+1)=+2，=+2
評析：平均變化率
題型二拋物線的切線
例2.求拋物線y=f(x)=2-x在（1，1）點處的切線斜率
解：=3+2，令趨于0，則3+2趨于3.切線的斜率k=3,
評析：以上三種類型的問題中例1是平均變化率，而例2與例3都是瞬時變化率。瞬時變化率就是平均變化率在改變量趨于0時的極限值。
備選題
例3：曲線在點P的切線斜率為2,求點P的坐標.
解：設(shè)
則
點評：直線與拋物線相切,一般的解題方法是將直線方程代入拋物線方程消元,,利用求解.
點擊雙基
1.拋物線f(x)=x2－3x+1在點（1，－1）處的切線方程為（）
A．y=-x－1B．y=xC．y=－xD．y=x+1
解：=-1+,當x趨于0時,得切線斜率k=-1，切線方程為y+1=-1(x-1)，故選C

2.若拋物線y=+1的一條切線與直線y=2x-1平行，則切點坐標為（）
A．（1，1）B（1，2）C（2，5）D（3，10）
解：平均變化率==2x+,所以斜率k=2x=2,得
x=1,Y=1.故選A
3過點M（－1，0）作拋物線的切線，則切線方程為（）
（A）3x+y+3=0或（B）或
（C）（D）
解：設(shè)切點N（a,b）,則切線斜率k=2a+1===,得a=0或a=-2
切線斜率k=1或k=-3，故選A
4.已知曲線上有兩點A（2,0），B（-2,-8），則割線AB的斜率為
解：由斜率公式求得=2
5．已知曲線在點M處的瞬時變化率為-4，則點M的坐標是為＿＿＿
＿＿
解：，點M的坐標是（-1，3）
課外作業(yè)：
一．選擇題
1、若曲線
斜率（）
A．大于0B．小于0C．等于0D．符號不定
解：由切線方程得斜率為-10，故選B
2、已知曲線過點,則該曲線在該點處的切線方程為（）
A．B．C．D．
解：先將點代入得,然后求切線斜率，故選B
3、若曲線y=-+4x的一條切線與直線2x-y-5=0平行，則的方程為（）
A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+1=0D.2x+y-5=0
解：易得(x)=-2x+4,則-2x+4=2，得x=1；切點（1，3），切線斜率k=2;故選C
4、若曲線f(x)=的一條切線與直線垂直，則的方程為()
A．4x-y-4=0B．C．D．
解：易得(x)=2x，則2x=4,x=2；切點（2，4），切線斜率k=4，故選A，
5、已知直線與拋物線y=+a相切，則a=()
A.4B.-C.-D.
解;=2x+,(x)=2x=1,得x=.切點（，+a）
在切線上，a=-.故選B
6、曲線f(x)=在點（1，－5）處的切線斜率為()
A．k=3B．k=－3C．k=－4D．k=4
解：平均變化率==x-4.當x趨向0時，平均變化率
趨于-4，故選C
7、函數(shù)y＝x2＋1的圖象與直線y＝x相切，則＝()
A．B．C．D．1
解：把兩個解析式聯(lián)立得方程x2-x＋1=0,由=0即得＝，故選B
8、過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（）
（A）（B）（C）（D）
解：，設(shè)切點坐標為，則切線的斜率為2，且，于是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得
＝0或－4，故選D。
二．填空題：
9、設(shè)曲線在點（1，）處的切線與直線平行，則
解：，于是切線的斜率，∴有

10、曲線y=-3的一條切線的傾斜角為，則切點坐標為＿＿＿＿＿＿
解：=2x=tan=,x=,則切點坐標為（，）
11、設(shè)P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為
解：設(shè)切點的橫坐標為,且（為點P處切線的傾斜角），又∵，∴，∴
三解答題：
12.求拋物線y=f(x)=2-x在（1，1）點處的切線斜率.
解：=3+2，令趨于0，則3+2趨于3.切線的斜率k=3,
13、曲線在點P的切線斜率為2,求點P的坐標.
解：設(shè)
14、已知拋物線y=f(x)=+3與直線y=2x+2,求它們交點處的切線方程。
解由方程組得-2x+1=0解得x=1,y=4,,
交點坐標為（1，4）
又=+2.當趨于0時（+2.）趨于2.所以在點
（1，4）處的切線斜率K=2.所以切線方程為y-4=2(x-1)即y=2x+2
(不難發(fā)現(xiàn)對于-2x+1=0，因為=0，所以已知的直線y=2x+2,就是切線.)
思悟小結(jié)
曲線上一點P(u，f(u))處的切線方程
當割線PQ的斜率為趨于確定的數(shù)值時，就是曲線上點P處切線的斜率，則曲線上點P(u，f(u))處的切線方程為。

擴展閱讀

拋物線及其標準方程教案

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為高中教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《拋物線及其標準方程教案》，僅供參考，歡迎大家閱讀。

雙曲線、拋物線的參數(shù)方程學案

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是由小編為大家整理的“雙曲線、拋物線的參數(shù)方程學案”，希望對您的工作和生活有所幫助。

第05課時
2、2、2雙曲線、拋物線的參數(shù)方程
學習目標
了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式，會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。
學習過程
一、學前準備
復習：復習拋物線的標準方程的四種形式，并填空：
（1）表示頂點在，
焦點在的拋物線；
（2）表示頂點在，
焦點在的拋物線。

二、新課導學
◆探究新知（預習教材P12～P16，找出疑惑之處）
1、類比橢圓參數(shù)方程的建立，若給出一個三角公式，你能寫出雙曲線
的參數(shù)方程嗎？

2、如圖，設(shè)拋物線的普通方程為,為拋物線上除頂點外的任一點，以
射線為終邊的角記作，則，①
由和①解出得到：
（t為參數(shù)）
你能否根據(jù)本題的解題過程寫出拋物線的四種不同形式方程對應(yīng)的參數(shù)方程？并說出參數(shù)表示的意義。

◆應(yīng)用示例
例1．如圖，是直角坐標原點，A，B是拋物線上異于頂點的兩動點，且，求點A、B在什么位置時，的面積最?。孔钚≈凳嵌嗌伲?br> 解：

◆反饋練習
1．求過P（0，1）到雙曲線的最小距離.
解：

三、總結(jié)提升
◆本節(jié)小結(jié)
1．本節(jié)學習了哪些內(nèi)容？
答：1.了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式.
2.會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。
學習評價
一、自我評價
你完成本節(jié)導學案的情況為（）
A．很好B．較好C．一般D．較差
課后作業(yè)
1、下列參數(shù)方程中，表示焦點在軸，實軸長為2的等軸雙曲線的是（）
A、
B、
C、
D、
2、已知拋物線，則它的焦點坐標為（）
A、B、
C、D、

3、對下列參數(shù)方程表示的圖形說法正確的是（）
①
②
A、①是直線、②是橢圓
B、①是拋物線、②是橢圓或圓
C、①是拋物線的一部分、②是橢圓
D、①是拋物線的一部分、②是橢圓或圓

4.設(shè)P為等軸雙曲線上的一點，為兩個焦點，證明.

5、經(jīng)過拋物線的頂點O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點M的軌跡的參數(shù)方程。

拋物線及其標準方程

2.3.1拋物線及其標準方程
一、教學目標
1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會推導拋物線的標準方程
2.能夠利用給定條件求拋物線的標準方程
3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動，培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數(shù)學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數(shù)學觀。并進一步感受坐標法及數(shù)形結(jié)合的思想
二、教學重點
拋物線的定義及標準方程
三、教學難點
拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導（關(guān)鍵是坐標系方案的選擇）
四、教學過程
（一）復習舊知
在初中，我們學習過了二次函數(shù)，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線
例如：（1），（2）的圖象（展示兩個函數(shù)圖象）：
（二）講授新課
1.課題引入
在實際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？
這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題§2.4.1拋物線及其標準方程）
2.拋物線的定義
信息技術(shù)應(yīng)用（課堂中展示畫圖過程）
先看一個實驗：
如圖：點F是定點，是不經(jīng)過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂直平分線交MH于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？（學生觀察畫圖過程，并討論）
可以發(fā)現(xiàn)，點M隨著H運動的過程中，始終有|MH|=|MF|,即點M與定點F和定直線的距離相等。（也可以用幾何畫板度量|MH|，|MF|的值）
（定義引入）：
我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線（不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.（板書）
思考？若F在上呢？（學生思考、討論、畫圖）
此時退化為過F點且與直線垂直的一條直線.
3.拋物線的標準方程
從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點滿足到焦點F的距離與到準線的距離相等。那么動點的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？
要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標系.
問題設(shè)焦點F到準線的距離為，你認為應(yīng)該如何選擇坐標系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標系的方案，求拋物線的方程.
（引導學生分組討論，回答，并不斷補充常見的幾種建系方法，叫學生應(yīng)用投影儀展示計算結(jié)果）
123

注意：1.標準方程必須出來，此表格在黑板上板書。
2.若出現(xiàn)比較復雜建系方案，可以以引入的字母參數(shù)較多為由，先排除計算
3.強調(diào)P的意義。
4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解為坐標的點到拋物線的焦點的距離與到準線的距離相等，即方程的解為坐標的點都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程.
（選擇標準方程）
師：觀察4（3）個建系方案及其對應(yīng)的方程，你認為哪種建系方案使方程更簡單？
（學生選擇，說明1.對稱軸2.焦點3.方程無常數(shù)項，頂點在原點）
推導過程：取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=—.
設(shè)動點M（x,y），由拋物線定義得：
化簡得y2=2px(p＞0)
師：我們把方程叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點坐標是，準線方程是。
師：在建立橢圓、雙曲線的標準方程的過程中，選擇不同的坐標系得到了不同形式的標準方程，對于拋物線，當我們選擇如圖三種建立坐標系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標準方程：
（學生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計算三種情況，一起填充表格）
圖形標準方程焦點坐標準線方程

y2=2px(p＞0)
（,0）

x=—

y2=—2px(p＞0)
（—,0）

x=

x2=2py(p＞0)
（0,）

y=—

x2=—2py(p＞0)
（0,—）

y=

(三)例題講解
例1（1）已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程,
（2）已知拋物線的焦點是，求它的標準方程.
解：（1）∵拋物線方程為y2=6x
∴p=3，則焦點坐標是（，0），準線方程是x=—.
（2）∵焦點在y軸的負半軸上，且=2，∴p=4
則所求拋物線的標準方程是：x2=—8y.
變式訓練1：
(1)已知拋物線的準線方程是x=—，求它的標準方程.
(2)已知拋物線的標準方程是2y2+5x=0,求它的焦點坐標和準線方程.
解(1)∵焦點是F（0，3），∴拋物線開口向上，且=3，則p=6
∴所求拋物線方程是x2=12y
(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=[高考學習網(wǎng)XK]
則焦點坐標是F(—,0)，準線方程是x=
例2點M與點F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.
解：如右圖所示，設(shè)點M的坐標為（x,y)
由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點的拋物線.
∵=4，∴p=8
因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y2=16x.
變式訓練2：
在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A（3，2）的距離之和最小.
解：如下圖所示，設(shè)拋物線的點P到準線的距離為|PQ|
由拋物線定義可知：|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
顯然當P、Q、A三點共線時，|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2)，可設(shè)P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故點P的坐標為（2，2）.
(四)小結(jié)
1、拋物線的定義；
2、拋物線的四種標準方程；
3、注意拋物線的標準方程中的字母P的幾何意義.
(五)課后練習

《拋物線的簡單性質(zhì)》導學案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編特地為大家精心收集和整理了“《拋物線的簡單性質(zhì)》導學案”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

2.2拋物線的簡單性質(zhì)
授課
時間第周星期第節(jié)課型講授新課主備課人張梅
學習
目標依據(jù)拋物線圖形及標準方程，概括出拋物線的簡單性質(zhì).掌握性質(zhì)與圖形的對應(yīng)關(guān)系，能依據(jù)性質(zhì)畫拋物線簡圖
重點難點重點是由圖形和方程觀察概括出性質(zhì)，離心率的意義及轉(zhuǎn)化是難點
學習
過程
與方
法自主學習
【回顧】拋物線的標準方程有：
閱讀課本P74至75例5前，回答：標準方程中
①拋物線關(guān)于對稱，其對稱軸叫作拋物線的軸，拋物線只有對稱軸
②拋物線的范圍為
③拋物線的頂點
④拋物線的離心率是指，即e=
⑤拋物線的通徑

2．閱讀例5，完成表格：
拋物線方程焦點頂點

精講互動：
⑴閱讀P75《思考交流》自主完成

⑵自主完成課本P75練習

達標訓練：
⑴拋物線上到直線的距離最小的點的坐標是（）

⑵拋物線的頂點是橢圓的中心，而焦點是橢圓的左焦點，求拋物線的方程

布置1求頂點在原點，對稱軸是坐標軸，焦點在直線上的拋物線方程
2過拋物線的焦點F作垂直于軸的直線，交拋物線于A、B兩點，求以F為圓心，AB為直徑的圓的方程

學習小結(jié)/教學
反思