小學(xué)三角形教案

2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形全等之倍長中線講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)。

教案課件是老師不可缺少的課件，大家應(yīng)該要寫教案課件了。在寫好了教案課件計(jì)劃后，這樣接下來工作才會(huì)更上一層樓！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？以下是小編為大家收集的“2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形全等之倍長中線講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)”希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

三角形全等之倍長中線（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.填空
（1）三角形全等的判定有：
三邊分別___________的兩個(gè)三角形全等，即（____）；
兩邊和它們的_____分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；兩角和它們的_____分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；兩角和其中一個(gè)角的______分別相等的兩個(gè)三角形全等，即（____）；
斜邊和_______邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，即（____）．
（2）要證明兩條邊相等或者兩個(gè)角相等，可以考慮放在兩個(gè)三角形中證________；要證明兩個(gè)三角形全等需要準(zhǔn)備______組條件，這三組條件里面必須有______；然后依據(jù)判定進(jìn)行證明，其中AAA，SSA不能證明兩個(gè)三角形全等，請(qǐng)舉出對(duì)應(yīng)的反例．

2.想一想，證一證
已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，且O是AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)OC=OD時(shí)，求證：△AOC≌△BOD；
（2）當(dāng)AC∥BD時(shí)，求證：△AOC≌△BOD．

知識(shí)點(diǎn)睛
1.“三角形全等”輔助線：
見中線，要__________，________之后______________．
2.中點(diǎn)的思考方向：
①（類）倍長中線

延長AD到E，使DE=AD，延長MD到E，使DE=MD，
連接BE連接CE

②平行夾中點(diǎn)

延長FE交BC的延長線于點(diǎn)G
精講精練
1.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線．
（1）按要求作圖：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD；連接BE．
（2）求證：△ACD≌△EBD．
（3）求證：AB+AC2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．

2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求證：AB=AC．

3.如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB=AC．
求證：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．
求證：∠AEF=∠EAF．

5.如圖，在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長線于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，BG=CF．
求證：AD為△ABC的角平分線．

6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的長．

7.如圖，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，點(diǎn)E在CB的延長線上，過點(diǎn)E作EF⊥BE，且EF=BE．連接BF，F(xiàn)D，取FD的中點(diǎn)G，連接EG，CG．
求證：EG=CG且EG⊥CG．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.（1）相等，SSS；夾角，SAS；夾邊，ASA；對(duì)邊，AAS；
直角，HL
（2）全等，三，邊
2.（1）證明：如圖
∵O是AB的中點(diǎn)
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）證明：如圖
∵O是AB的中點(diǎn)
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（ASA）
精講精練
1.解：（1）如圖，
（2）證明：如圖，
∵AD為BC邊上的中線
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）證明：如圖，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2AD
在△ABE中，AB+BEAE
∴AB+AC2AD
（4）在△ABE中，
ABBEAEAB+BE
由（3）得AE=2AD，BE=AC
∵AC=3，AB=5
∴53AE5+3
∴22AD8
∴1AD4
2.證明：如圖，延長AD到E，使DE=AD，連接BE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC

3.證明：如圖，延長CD到F，使DF=CD，連接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中線
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中線
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE

4.證明：如圖，延長AD到M，使DM=AD，連接BM
∵D是BC邊的中點(diǎn)
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5.證明：如圖，延長FE到M，使EM=EF，連接BM
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD為△ABC的角平分線

6.解：如圖，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG
=52.7
=2.3
7.證明：如圖，延長EG交CD的延長線于點(diǎn)M
由題意，∠FEB=90°，∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵點(diǎn)G為FD的中點(diǎn)
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中
∴△FGE≌△DGM（AAS）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG

延伸閱讀

2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上全等三角形之輔助線講義隨堂測(cè)試習(xí)題（人教版）

教案課件是老師上課中很重要的一個(gè)課件，大家應(yīng)該要寫教案課件了。只有制定教案課件工作計(jì)劃，新的工作才會(huì)如魚得水！你們會(huì)寫適合教案課件的范文嗎？小編特地為您收集整理“2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上全等三角形之輔助線講義隨堂測(cè)試習(xí)題（人教版）”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

全等三角形之輔助線（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.為了解決幾何問題，在原圖的基礎(chǔ)上另外添加的直線或線段稱為輔助線．輔助線通常畫成________．
輔助線的原則：添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立_________和_________之間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會(huì)解的情況．
輔助線的作用：
①________________________________________________；
②________________________________________________．
添加輔助線的注意事項(xiàng)：明確目的，多次嘗試．

2.要證明邊相等（或角相等），可以考慮證明它們所在的三角形_________；要證全等，需要找____組條件．

精講精練
1.已知：如圖，AB=CD，AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=BD．
求證：∠ABO=∠DCO．

2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
求證：AB=CD且AD=BC．

3.已知：如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
求證：AF⊥CD．

4.已知：在△ABC中，∠B=∠C．求證：AB=AC．

5.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求證：BD=BE．

6.已知：如圖，在△ABD中，BC⊥AD于點(diǎn)C，E為BC上一點(diǎn)，AE=BD，EC=CD，延長AE交BD于點(diǎn)F．求證：AF⊥BD．

7.已知：如圖，BD，CE是△ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB．判斷線段AP和AQ的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.虛線．
已知，未知．
①把分散的條件轉(zhuǎn)為集中；
②把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形．
2.全等；3
精講精練
1.證明：如圖，連接AD
在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA（SSS）
∴∠ABO=∠DCO（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）
2.證明：如圖，連接AC
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=DA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
3.證明：如圖，連接AC，AD
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
∵F是CD的中點(diǎn)
∴CF=DF
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠CFA=∠DFA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
4.證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
5.證明：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中，
∴△ABF≌△CBF（AAS）
∴AB=CB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（ASA）
∴BD=BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
6.證明：如圖，
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD
7.解：AP=AQ且AP⊥AQ，理由如下：
如圖，∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BEQ=∠BDC=∠ADP=90°
∴∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°
∵∠3=∠4
∴∠1=∠2
在△ABP和△QCA中
∴△ABP≌△QCA（SAS）
∴AP=AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
∠P=∠5（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）
∵∠ADP=90°
∴∠P+∠PAD=90°
∴∠5+∠PAD=90°
即∠QAP=90°
∴AP=AQ且AP⊥AQ

八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形講義隨堂測(cè)試習(xí)題

尺規(guī)作圖（講義）
課前預(yù)習(xí)
1.尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，其中“尺”指沒有刻度的直尺，作用是作線；“規(guī)”指_________，作用是_______和_______．
2.讀一讀，背一背常見的幾何語言，并在旁邊畫一畫：
①連接AB；
②延長線段AB到點(diǎn)C，使BC=AB；
③延長線段AB交線段CD的延長線于點(diǎn)E；
④過點(diǎn)A作AB∥CD；
⑤過點(diǎn)A作AB⊥CD于點(diǎn)E．
知識(shí)點(diǎn)睛
1.基本作圖：
①作一條線段等于已知線段；
②作一個(gè)角等于已知角；
③作已知角的角平分線．
書寫作法時(shí)注意：________________，________________．
2.應(yīng)用作圖：
①______________________，設(shè)計(jì)作圖方案；
②調(diào)用__________________完成圖形．

精講精練
1.作一條線段等于已知線段．
已知：如圖，線段a．
求作：線段AB，使AB=a．
作法：（1）作射線AP；
（2）以_________為圓心，_______為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)B．
___________即為所求．

2.已知線段a，b（），作一條線段，使它等于2a-b．

3.作一個(gè)角等于已知角．
已知：如圖，∠ABC．
求作：∠DEF，使∠DEF=∠ABC．
作法：（1）作射線EF；
（2）以________為圓心，_______為半徑作弧，交BA
于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N；
（3）以____為圓心，____為半徑作弧，交EF于點(diǎn)P；
（4）____________，__________作弧，交前弧于點(diǎn)D；
（5）作射線ED．
∠DEF______________．
證明：如圖，連接________，________．
在___________和___________中，
∴____________________（）
∴____________________
4.作一個(gè)已知角的倍角．

5.過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線．
已知：如圖，A是直線MN外一點(diǎn)．
求作：直線AB，使AB∥MN．
6.已知兩邊及夾角作三角形．
已知：如圖，線段m，n，∠α．
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．

7.作已知角的角平分線．
已知：如圖，∠AOB．
求作：射線OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．
作法：（1）________________，__________________作弧，
交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；
（2）分別以______，______為圓心，______________為半徑作弧，兩弧在________________交于點(diǎn)P；
（3）_________________________．
______________________________．

8.作已知角的四等分線．
已知：如圖，∠AOB．
求作：射線OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．

9.為打造“宜居城市”，某市擬在新竣工的扇形廣場的內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉，要求音樂噴泉M在廣場的兩個(gè)入口P，Q的連線上（P，Q的位置如圖所示），且到廣場兩邊AB，AC的距離相等．請(qǐng)?jiān)陬}目給的原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．

10.請(qǐng)畫出草圖，解決下列問題：
（1）在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接BD，若AB=5，BC=3，則△ABD和△BCD的周長的差是____________．

（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，則∠AED和∠EDB的數(shù)量關(guān)系是________________________．

（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO與CO交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則DE_____BD+CE（選填“”、“”或“=”）．

（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，過點(diǎn)E作ED∥AC交BC于D，過D作DF∥CE交AB于F，則∠EDF和∠BDF的數(shù)量關(guān)系是_____________________．

（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD交BD延長線于點(diǎn)E，則∠ECD=_______．

（6）若等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線夾角為40°，則此等腰三角形的頂角為______________．

【參考答案】
課前預(yù)習(xí)
1.圓規(guī)、度量、截取
2.略
知識(shí)點(diǎn)睛
1.點(diǎn)線取名稱，作弧說心徑
2.①畫出草圖
②基本作圖
精講精練
1.點(diǎn)A長線段AB圖略
2.略
3.作法：（1）作射線EF；
（2）以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交BA于點(diǎn)
M，交BC于點(diǎn)N；
（3）以點(diǎn)E為圓心，BM長為半徑作弧，交EF于點(diǎn)P；
（4）以點(diǎn)P為圓心，MN長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；
（5）作射線ED．
即為所求．
證明：連接MN，DP．
在和中
4.略
5.略
6.略
7.（1）以點(diǎn)為圓心任意長為半徑
（2）點(diǎn)M點(diǎn)N大于長內(nèi)部
（3）作射線OP
射線OP即為所求
8.略
9.略
10.（1）2（2）（3）=
（4）（5）15°（6）50°或130°

2017年八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形全等之類比探究講義隨堂測(cè)試習(xí)題(人教版)

三角形全等之類比探究（講義）
知識(shí)點(diǎn)睛
1.類比探究是一類共性條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形到一般情形（或由簡單情形到復(fù)雜情形）逐步深入，解決思想方法一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜合題為主．
2.解決類比探究問題的一般方法：
（1）根據(jù)題干條件，結(jié)合_______________先解決第一問；
（2）用解決_______的方法類比解決下一問，整體框架照搬．
整體框架照搬包括_________________，________________，_________________．
3.常見幾何特征及做法：
見中點(diǎn)，___________________________．
精講精練
1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE．
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE，AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．

2.如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角∠DCG的
平分線CF于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=EF（提示：在AB上截取BH=BE，連接HE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決）．
（2）如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？說明理由．
（3）如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”是否成立？說明理由．

3.以△ABC的邊AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AE，AC=AD，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．
（1）如圖1，在△ABC中，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
（2）如圖2，當(dāng)△ABC為一般三角形時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，并說明理由．
（3）如圖3，若以△ABC的邊AB，AC為直角邊向內(nèi)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，并說明理由．

4.（1）如圖1，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=
∠ADC=90°，則能得到如下兩個(gè)結(jié)論：
①DC=BC；②AD+AB=AC．請(qǐng)你證明結(jié)論②．
（2）如圖2，把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為“∠ABC+∠ADC=180°”，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，如果D在AM的反向延長線上，把（1）中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為“∠ABC=∠ADC”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接回答；若不成立，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

【參考答案】
知識(shí)點(diǎn)睛：
解決類比探究問題的一般方法：
（1）根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問；
（2）用解決第（1）問的方法類比解決下一問，整體框架照搬．
整體框架照搬包括照搬字母，照搬輔助線，照搬思路．
常見幾何特征及做法：
見中點(diǎn)，考慮倍長中線．
精講精練
1.證明：（1）如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE+DC
=AD+BE
（2）如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CBE+∠2=90°
∴∠1=∠CBE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE-DC
=AD-BE
（3）DE=BE-AD，理由如下：
如圖，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=DC-CE
=BE-AD
2.解：（1）AE=EF，理由如下：
如圖，在AB上截取BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
（2）AE=EF仍成立，理由如下：
如圖，在AB上截取BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
（3）AE=EF仍成立，理由如下：
如圖，延長BA到H，使BH=BE，連接HE．
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠H=45°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠1=45°
∴∠H=∠1
∵∠AEF=90°，∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°，∠AEB+∠2=90°
∴∠2=∠3
∵∠HAE+∠2=180°，∠CEF+∠3=180°
∴∠HAE=∠CEF
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
3.解：（1）DE=2AM，AM⊥DE，理由如下：
如圖，延長AM到F，使MF=AM，連接BF，延長MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖，延長AM到F，使MF=AM，連接BF，延長MA交DE于G．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
（3）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖，延長AM到F，使MF=AM，交DE于G，連接BF．
∴AF=2AM
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC，∠FBM=∠ACM
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED，∠BAF=∠AED
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠AED+∠EAF=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
4.（1）證明：如圖，在BN上截取BE=AD．
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°
在△CDA和△CBA中
∴△CDA≌△CBA(AAS)
∴DC=BC，AD=AB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE(SAS)
∴AC=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（2）成立，證明如下：
如圖，過C作CG⊥AM于G，CF⊥AN于F，在BN上截取BE=AD．
∵CG⊥AM，CF⊥AN
∴
∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°，CG=CF
∵∠ABC+∠ADC=180°
∠CDG+∠ADC=180°
∠ABC+∠EBC=180°
∴∠CDG=∠CBF，∠ADC=∠EBC
在△CGD和△CFB中
∴△CGD≌△CFB（AAS）
∴CD=CB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE（SAS）
∴CA=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
（3）①成立；②不成立，AD+AC=AB