小學三角形教案

八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形12.1全等三角形學案新版新人教版。

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課題：12.1全等三角形
【學習目標】
1、了解全等形及全等三角形的概念；
2、理解全等三角形的性質；
3、在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺；
4、學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等三角形性質的過程中感受到數(shù)學的樂趣。
【學習重點】
探究全等三角形的性質
【學習難點】
掌握全等三角形的對應頂點、對應邊，對應角
【學習過程】
一、知識鏈接
復習舊知：
1、ΔABC中，∠A＝50，，∠B＝60，則∠C＝________。
2、如下圖，若ΔABC是由ΔABC平移得到的，且∠A＝70，∠B＝40，AB＝3，則
∠C＝______，AB＝_______。

二、自主學習
閱讀課本P31-P32，完成下列問題。
1、探究學習
探究1：觀察下列圖形，你能從中找出形狀、大小相同的圖形嗎？你能否舉出生活中一些相似的例子？
探究2：把一塊三角尺按在紙板上，畫下圖形，照圖形裁下來的紙板和三角尺的形狀、大小完全一樣嗎？把三角尺和裁得的紙板放在一起能夠完全重合嗎？從同一張底片沖洗出來的兩張尺寸相同的照片上的圖形，放在一起也能夠完全重合嗎？
通過動手操作得到結論：這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全_________。能夠完全重合的兩個圖形叫做__________。
能夠完全重合的兩個三角形叫做_______三角形。
探究3：
結論：
1、一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形_______。
“全等”用≌表示，讀作：___________。
2、記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如ΔABC與ΔDEF全等時，點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點，記作ΔABC≌ΔDEF。
3、把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應_____，重合的邊叫做對應____，重合的角叫做對應______。
（4）如上圖13.1-1中，ΔABC≌ΔDEF，則有AB___DE，BC_____EF，AC____DF，∠A___∠D，∠B___∠E，∠C___∠F，即全等三角形的對應邊________，對應角_________。

4、全等變換常見方式
變換方式圖形
對應點對應邊對應角
將ΔABC沿AB所在直線翻折1800，得ΔABD
將ΔABC沿射線BC方向平移，得ΔDEF
將ΔABC繞點C旋轉，得ΔEDC

三、鞏固練習題
基礎知識
1、判斷題
（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（）
（2）全等三角形的周長相等。（）
（3）面積相等的三角形是全等三角形。（）
（4）全等三角形的面積相等。（）
2、選擇題
（1）全等三角形是（）
A、三個角對應相等的三角形B、周長相等的三角形
C、面積相等的兩個三角形D、能夠完全重合的兩個三角形
（2）下列說法正確的個數(shù)是（）
①全等三角形的對應邊相等；②全等三角形的對應角相等；③全等三角形的周長相等；④全等三角形的面積相等
A、1B、2C、3D、4
3、如圖，ΔABE≌ΔACD，AB與AC，AD與AE是對應邊，∠A=43，∠B=30，求∠ADC的大小。

4、如圖所示，ΔABC繞著點B順時針旋轉90得到ΔDBE，且∠ABC＝90
（1）ΔABC和ΔDBE是否全等？若全等，請指出對應邊和對應角。
（2）直線AC、DE有怎樣的位置關系？

拓展提升
把四邊形紙片ABCD沿EF折疊，使點C落在四邊形ABCD內(nèi)部的點C處，如圖，試探究∠C與∠1＋∠2之間的數(shù)量關系。
四、知識歸納
1、能夠完全的兩個圖形叫做。
2、能夠完全重合的兩個叫做，重合的頂點叫做，重合的邊叫做，重合的角叫做。
3、全等三角形的性質：全等三角形的相等，對應角相等。

課后反思：____________________________________________________________
__________________________________________________________________
（實際課時）

相關知識

八年級數(shù)學上冊第12章全等三角形學案新版新人教版

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課題：全等三角形復習課
【復習目標】
1、加深對全等形及全等三角形有關概念的理解和掌握.
2、歸納重點、要點、考點及易錯點知識的遷移.
3、通過不同題型的訓練、讓學生熟練運用三角形的判定定理及角平分線的性質定理、判定定理準確的解題和證題.
【復習過程】
一、課本概念、性質、定理等
1、全等形：
（1）定義：能夠完全的兩個圖形叫做全等形.
（2）性質、判定：形狀、相同的全等形。
2、全等三角形：能夠完全的兩個三角形叫做全等三角形，全等三角形中能夠重合的頂點叫做，重合的邊叫，重合的角叫.
3、全等三角形的性質:全等三角形的對應相等，對應角，面積
，周長。
4、判定三角形全等的方法：
1）定義法：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形（這種方法一般不用）。
2）常用判定定理有，，，，直角三角形的判定定理除，，，，還有
注意：
1）一般地，判定兩個三角形全等必須有三個元素、并且至少有一組邊對應相等。
2）判定兩個三角形全等時、要根據(jù)條件靈活選擇方法。
5、角的平分線
1）定義：把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.
2）角平分線的性質：角平分線上的點到的兩邊的相等。
如果一條射線是一個角的平分線，那么它把這個角分成兩個相等的角。
應用格式：
OP為AOB的平分線
AOP=BOP
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
點P在AOB的平分線上，且PDOA于D，PEOB于E，
PD=PE.
注意：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等有兩個前提條件:
點在角的平分線上過這點作角的兩邊的垂線。

6、角平分線的判定：
（1）如果一條射線的端點與角的頂點重合，且把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線是這個角的平分線.
應用格式：
AOP=BOP，
射線OP為AOB的平分線.
（2）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應用格式：
PCOA于C，PDOB于D，且PC=PD.
射線OP為AOP的平分線.
二、知識點歸納
1、全等三角形
（1）全等三角形的性質是以后證明線段相等或角相等的常用依據(jù)。
（2）全等三角形的對應邊上的中線、高線及對應角的平分線也相等。
（3）全等三角形的周長和面積相等。
2、常見的全等三角形的基本圖形有平移型、旋轉型和翻折型.
（1）平移型：
如圖、ABC向右平移，得到DEF，則ABCDEF
（2）旋轉型：
如圖，兩對三角形的全等屬于旋轉型、圖形的特點是：
圖1的旋轉中心為O點、有公共部分1；圖2的旋轉中心為O點，有一對對頂角1和2.

（3）翻轉型：
如圖、兩對三角形的全等屬于翻折型，其中圖1中有公共邊AB，圖2中有公共角A.

3、對判定三角形全等的方法的理解
（1）判定兩個三角形全等的條件中至少有一組邊對應相等，沒有對應邊相等就無法確定三角形的大小。
（2）要注意“兩邊夾角”和“兩角夾邊”的位置關系.
（3）在運用“AAS”時，要特別注意“S”對應的兩邊是一組對應角的對邊，否則就不一定全等。
（4）在判定兩個直角三角形全等時，不需要用“SSS”，只要有兩組對應邊分別相等即可。
當兩直角邊分別相等時用“SAS”（夾直角）
當斜邊和一條直角邊分別相等時用“HL”。
判定兩個直角三角形全等的方法有“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”,在實際證明中，可以根據(jù)條件靈活運用不同的方法，不要只拘泥于”HL”。
（5）有兩邊和一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等。
（6）有三個角分別相等的兩個三角形也不一定全等。
4、全等三角形的證題思路
證明兩個三角形全等，選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體已知條件而定.
（1）已知兩邊找夾角然后用SAS找另一邊然后用SSS
（2）已知一邊一角
邊為角的對邊時另找任一角然后用AAS。
邊為角的鄰邊時找夾角的另一邊然后用SAS或找夾邊的另一角然后用ASA或找這一邊的對角然后用AAS.
已知兩角找夾邊然后用ASA或找其中一角的對邊然后用AAS.
5、證明角相等常用的方法：
（1）對頂角相等.
（2）同角（或等角）的余角（或補角）相等.
（3）兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.
（4）角平分線的定義.
（5）等式性質.
（6）全等三角形的對應邊相等.
6、證明線段相當常用的方法
（1）中點的定義.
（2）全等三角形的對應邊相等.
（3）等式的性質.
7、證明一個幾何命題的步驟
（1）明確命題中的已知和求證.（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證.
（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.
三、基礎練習題
一）選擇題
1、下列說法：（1）形狀相同的兩個圖形是全等形（2）面積相等的兩個三角形是全等三角形（3）全等三角形的周長相等，面積相等(4)在ABC和DEF中，若A=D,B=E,C=F,AB=DE,BC=EF,AC=DF,則這兩個三角形的關系可記作ABC≌DEF.其中正確的有（）.
A、1個B、2個C、3個D、4個
2、下列說法中，正確的是（)
A．周長相等的銳角三角形都全等B．周長相等的直角三角形都全等
C．周長相等的鈍角三角形都全等D．周長相等的等腰直角三角形都全等
3、已知一個等腰三角形的兩邊長是8cm和3cm，則這個三角形的周長為（）
A、19cmB、14cmC、19cm或14cmD、11cm
4、如圖，已知△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列結論錯誤的是（）
A．∠1=∠2B．AD=CBC．∠D=∠BD．BC=AC
5、如圖，已知△ABC≌△BAD，點A，C的對應點分別為B，D，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=10cm，那么BD等于（）
A、10cmB、7cmC、5cmD、無法確定
6、如圖、在ABC中,AB=AC,AD平分BAC交BC于D,則下列說法:(
（1)ABD與ACD全等（2）AD是ABC中BC邊上的中線
（3）AD是ABC中BC邊上的高（4）B=C
7、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，若AB=6cm．則△DBE的周長是（）
A、6cmB、7cmC、8cmD、9cm
8、如圖，已知AB∥CD，O是∠BAC與∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE＝2，則AB與CD之間的距離為()．
A、2B、3C、4D、5
9、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，下列結論錯誤的是（）
A.BD+DE=BCB.DE平分∠ADBC.AD平分∠EDCD、DE+ACAD

10、如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠DAB=30°．有以下四個結論①AF⊥BC；ADG≌ACF；③O為BC的中點；④AG：DE=:4
其中正確結論的序號是（）
A、①B、①③C、③D、①③④

二、）填空題
1、如圖一、已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，則∠AEB=______度
2、如圖二,已知:AC和BD相交于O,1=2,3=4.則AC和BD的關系.
3、如圖三，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，則∠3=．
4、如圖一，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，若CD=4，則點D到AB的距離是______．
5、如圖二、OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA=2，則PQ的最小值為______，理論根據(jù)為____
6、在△ADB和△ADC中，有下列條件：①BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=CD；④∠ADB=∠ADC，BD=CD．能得出△ADB≌△ADC的序號是_________.
7、如圖一，把一張平行四邊形紙片ABCD沿BD對折，使點C落在E處，BE與AD相交于點O，若∠DBC=15°，則∠BOD=______．
8、如圖，ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你填加一個適當?shù)臈l件______，使△AEC≌△CDA．

三、）解答題、證明題
1、你能把下圖中的正方形分成下列圖形嗎？
(1)兩個全等的三角形；（2）四個全等的三角形
（3）兩個全等的長方形；（4）四個全等的正方形

2、如圖所示是小明制作的風箏，他根據(jù)DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．請你用所學知識給予證明

3、如圖，有三條公路兩兩相交于A、B、C處，現(xiàn)計劃修建一個加油站，要求到三條公路的距離相等，那么該如何選擇加油站的位置？請你在圖中確定加油站的位置P．

4、如圖,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于點F,BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關系,并說明理由．

5、如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連結BE，BE恰好平分∠ABC，試判斷AB、AD和BC的關系并證明．

6、已知：AC//BD，AE、BE分別平分CAB和DBA，CD過E點.
求證：AB=AC+BD

7、如圖、RtABD≌RtEBC,ABD=EBC=900，CE的延長線交AD于點F.
求證：ADEF

8、如圖、已知PA=PB,∠1+∠2=180°.
求證:OP平分∠AOB

9、如圖,在三角形ABC中,AB=AC,角A=90,D是AC上的一點,CE垂直BD于點E,且CE=BD,

求證：BD平分ABC

10、如圖，A、B、C三點在同一條直線上，AB=2BC，分別以AB，BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN，EC．
求證：FN=EC．

11、如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點F是CD的中點．
(1)求證：AF⊥CD．
(2)連接BE，還能得出哪些結論？請寫出3個（不要求證明）

12、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC．
求證：∠A+∠C=180°．

13、某校八（1）班學生到野外活動，為測量一池塘兩端A、B的距離，設計了如下兩種方案：
（a）如圖①，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，再連接AC、BC．并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的長即為A、B的距離；
（b）如圖②，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點，使CD=BC，接著過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為A、B的距離．
閱讀后回答下列間題：
（1）方案（a）是否可行？說明理由；
（2）方案（b）是否可行？說明理由．
（3）方案（b）中作BDAB，DEBD的目的是什么？若僅滿足ABD=BDE900，方案（b）是否可行？說明理由.

14、如圖，將△ABC繞其頂點A順時針旋轉30゜后，得到△AEF．
（1）△ABC與△AEF的關系如何？
（2）求∠EAB的度數(shù)；
（3）△ABC繞其頂點A順時針旋轉多少度時，旋轉后的△AEF的頂點F和△ABC的頂點C和A在同一直線上？

15、如圖、在ABC中，BAC=900，AB=AC，若MN是經(jīng)過點A的直線,BDMN于D，CEMN于E.
(1)求證：BD=AE.
(2)若將MN繞點A旋轉，使MN與BC相交于點O，其他條件都不變，BD與AE還相等嗎？為什么？
(3)對于條件（2）BD、CE與DE有何關系？

16、如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E．
（1）求證：BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞點A旋轉到圖2位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關系如何，請證明；
（3）若直線AE繞點A旋轉到圖3時（BD＞CE），其余條件不變，BD與DE，CE的關系怎樣？請直接寫出結果，不須證明．
（4）根據(jù)以上的討論，請用簡捷的語言表述BD與DE，CE的關系．

八年級數(shù)學上12.1全等三角形（人教版）

12.1全等三角形

【教學目標】
1.了解全等形和全等三角形的概念，能夠找出全等三角形的對應元素，掌握全等三角形的性質.
2.在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺，在運用全等三角形性質的過程中感受數(shù)學活動的樂趣.
【重點難點】
重點：全等三角形的概念、性質及對應元素的確定.
難點：全等三角形對應元素的識別.

┃教學過程設計┃
教學過程設計意圖
一、創(chuàng)設情境，導入新課
欣賞一組圖片，提出問題1.
圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)
問題1：你能從圖中找出形狀和大小都相同的圖形嗎？其中一個圖形是由另一個圖形如何變化而來？它們能夠完全重合嗎？你能再舉出一些類似的例子嗎？
學生討論分析，教師引導.
舉例：學生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；學生手中的小量角器；由同一張底片洗出的尺寸相同的照片；兩本數(shù)學書等.用貼近學生生活的圖案激發(fā)學生探究的興趣，體驗數(shù)學來源于生活.
二、師生互動，探究新知
1.由圖(1)(2)(4)形成全等形的概念：形狀相同、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.
2.由圖(3)(4)形成全等三角形的概念，多媒體投影相關概念及全等三角形的符號表示.
3.多媒體演示三種全等變換(平移、翻折、旋轉)并提出問題：平移、翻折、旋轉前后的兩個三角形全等嗎？
4.學生小組活動：多媒體投影要求：①請你用事先準備好的三角形紙板通過平移、翻折、旋轉等操作得到你認為美麗的圖形；②在練習本上畫出這些圖形，標上字母，并在小組內(nèi)交流；③指出這些圖形中的對應頂點、對應邊、對應角.
5.多媒體展示學生可能得到的圖形(如圖).
合作交流：尋找對應元素有什么方法和規(guī)律嗎？學生思考交流后，師生共同歸納、板書.
問題2：全等三角形的對應邊、對應角有什么數(shù)量關系？
板書：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.1.通過動畫演示全等變換的過程及學生動手實踐，讓學生形成直觀感覺，培養(yǎng)學生動態(tài)研究幾何圖形的意識，在操作實踐的過程中建立對應的概念，體會重合即全等，重合即對應這個本質規(guī)律；2.熟悉本章常見圖形，為今后全等三角形的證明和計算奠定基礎；3.培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力和初步辨析圖形的能力.
三、運用新知，解決問題
如圖，△EFG≌△NMH，EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm.
(1)試寫出這兩個三角形的對應邊、對應角；
(2)求線段NM及HG的長度；
(3)觀察圖形中對應線段的數(shù)量或位置關系，試提出一個正確的結論并證明.進一步鞏固全等三角形及其對應元素的概念，使學生在動腦、動手實踐的過程中理解全等三角形的性質.
四、課堂小結，提煉觀點
本節(jié)課學了哪些主要內(nèi)容？你有哪些收獲？怎樣尋找全等三角形的對應邊、對應角？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
教材第33、34頁第1、2、5、6題.

┃教學過程設計┃
【板書設計】
全等三角形
1.全等三角形的有關概念例題
2.全等三角形的性質反思小結
3.尋找對應元素的方法作業(yè)
【教學反思】
1.本節(jié)課充分應用多媒體進行教學，促使學生從感性認識上升為理性認識.
2.課堂上重視學生的主體參與，學生是學習的主體，因此本節(jié)課從概念的形成、發(fā)展、應用等每個環(huán)節(jié)，都力求通過學生的動手實踐、動腦思考、自主參與、合作探究來完成.

全等三角形

第十講全等三角形
全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發(fā)點，運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題．
利用全等三角形證明問題，關鍵在于從復雜的圖形中找到一對基礎的三角形，這對基礎的三角形從實質上來說，是由三角形全等判定定理中的一對三角形變位而來，也可能是由幾對三角形組成，其間的關系互相傳遞，應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：
例題求解
【例1】如圖，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，給出下列結論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正確的結論是(把你認為所有正確結論的序號填上)．(廣州市中考題)
思路點撥對一個復雜的圖形，先找出比較明顯的一對全等三角形，并發(fā)現(xiàn)有用的條件，進而判斷推出其他三角形全等．
注兩個三角形的全等是指兩個圖形之間的一種‘對應”關系，“對應’兩字，有“相當”、“相應”的含意，對應關系是按一定標準的一對一的關系，“互相重合”是判斷其對應部分的標準．
實際遇到的圖形，兩個全等三角形并不重合在一起，但其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻拆、旋轉等方法得到，這種改變位置，不改變形狀大小的圖形變動叫三角形的全等變換．
【例2】在△ABC中，AC＝5，中線AD＝4，則邊AB的取值范圍是()
A．1AB9B．3AB13C．5AB13D．9AB13
(連云港市中考題)
思路點撥線段AC、AD、AB不是同一個三角形的三條邊，通過中線倍長將分散的條件加以集中．
【例3】如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP＝AC，點Q在CE上，CQ=AB
求證：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江蘇省競賽題)

思路點撥(1)證明對應的兩個三角形全等；(2)在(1)的基礎上，證明∠PAQ=90°
【例4】若兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應相等，試判斷這兩個三角形的第三邊所對的角之間的關系，并說明理由．
(“五羊杯”競賽題改編題)
思路點撥運用全等三角形的判定和性質，探討兩角之間的關系，解題的關鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．
注有時圖中并沒有直接的全等三角形，，需要通過作輔助線構造全等三角形，完成恰當添輔助線的任務，我們的思堆要經(jīng)歷一個觀察、聯(lián)想、構造的過程．
邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個條件使之組合可得到關于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假，課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩類元素．
【例5】如圖，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，將∠ABC、∠DAB分別對折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點E，你能獲得哪些結論?
思路點撥折痕前后重合的部分是全等的，從線段關系、角的關系、面積關系等不同方面進行探索，以獲得更多的結論．
注例5融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑．
善于在復雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構造基本的全等三角形是解題的關鍵，需要注的是，通常面臨以下情況時，我們才考慮構造全等三角形：
(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結論需要全等三角形；
(2)從題設條件無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構造全等三角形．

學力訓練
1．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C邊上的高，且AB=A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件(只需要填寫一個你
認為適當?shù)臈l件)．(黑龍江省中考題)

2．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列4個論斷：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，請以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出一個真命題(用序號○○○→○的形式寫出)．(海南省中考題)
3．如圖，把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形，例如圖1．請在下圖中，沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形．

4．如圖，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，則∠DOE的度數(shù)是．

5．如圖，已知OA=OB，OC=OD，下列結論中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③連OE，則OE平分∠O，正確的是()
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，則DE的長等于()
A．DCB．BCC．ABD．AE+AC(2003年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，AE∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有()對
A．5B．6C．7D．8
8．如圖，把△ABC繞點C順時針旋轉35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度數(shù)．(貴州省中考題)
9．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下4個論斷：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3個論斷為題設，填人下面的“已知”欄中，一個論斷為結論，填人下面的“求證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．
已知：
求證：
(荊州市中考題)
10．如圖，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M，
求證：∠M=（∠ACB－∠B）．(天津市競賽題)

11．在△ABC中，高AD和BE交于H點，且BH＝AC，則∠ABC＝．

12．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED．
(河南省競賽題)
13．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于點F，給出3個論斷：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一個論斷為結論，其余兩個論斷為條件，可作出3個命題，其中正確命題的個數(shù)是．
(武漢市選拔賽試題)
14．如圖，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB=．

15．如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，則（m+n）與(b+c)大小關系是()
A．m+nb+cB．m+nb+cC．m+n=b+cD．不能確定
16．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，ABAD，下列結論中正確的是()A．AB－ADCB－CDB．AB－AD＝CB—CD
C．AB—ADCB—CDD．AB－AD與CB—CD的大小關系不確定．
(江蘇省競賽題)
17．考查下列命題()
(1)全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等；
(2)兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對應相等的兩個三角形全等；
(3)兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對應相等的兩個三角形全等；
(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對應相等的兩個三角形全等．
其中正確命題的個數(shù)有()
A．4個B．3個C．2個D．1個
18．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度數(shù)．(上海市競賽題)
19．如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論．
20．如圖，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDC的面積．
(江蘇省競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AF+CD．
(武漢市選拔賽試題)

22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求證：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上問中，若將條件改為AB＝A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°，
結論是否成立?為什么?