小學數(shù)學的教案

高二數(shù)學離散型隨機變量的均值學案。

一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，作為教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“高二數(shù)學離散型隨機變量的均值學案”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

§離散型隨機變量的均值
一、知識要點
1.離散型隨機變量.
2.離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望.
3.幾種特殊的離散型隨機變量的數(shù)學期望.
①兩點分布；②二項分布；③超幾何分布.
二、典型例題
例1.高三（1）班的聯(lián)歡會上設計了一項游戲，在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同，某學生一次從中摸出5個球，其中紅球的個數(shù)為，求的數(shù)學期望.
例2.從批量較大的成品中隨機取出10件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格品概率為0.05，隨機變量表示這10件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望.

例3.某人射擊一發(fā)子彈的命中率為0.8，若他只有5顆子彈，若擊中目標，則不再射擊，否則繼續(xù)射擊至子彈打完，求他射擊次數(shù)的期望.

三、鞏固練習
1.設隨機變量的概率分布如下表，試求.
12345

2.假定1500件產(chǎn)品中有100件不合格品，從中抽取15件進行檢查，其中不合格品件數(shù)為，求的數(shù)學期望.

3.從甲、乙兩名射擊運動員中選擇一名參加比賽，現(xiàn)統(tǒng)計了這兩名運動員在訓練中命中環(huán)數(shù)的概率分布如下，問：哪名運動員的平均成績較好？
8910
8910
0.30.10.6
0.20.50.3

4.某商家有一臺電話交換機，其中有5個分機專供與顧客通話。設每個分機在1h內(nèi)平均占線20min，并且各個分機是否占線是相互獨立的，求任一時刻占線的分機數(shù)目的數(shù)學期望.

四、課堂小結
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.隨機變量的概率分布如下表所示
1234

且，則=，=.
2.已知隨機變量的分布列為
012

且，則=.
3.一個袋子中裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則其中含有紅球個數(shù)的數(shù)學期望為.
4.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球的命中率是0.7，則他罰球6次的總得分的均值是.
5.一個盒子中有10件產(chǎn)品，其中有2件是次品，現(xiàn)逐個抽取，取到次品則拋棄,直到取到正品為止，則被拋棄的次品數(shù)的均值=.
6.對某個數(shù)學題，甲解出的概率為，乙解出的概率為，兩人獨立解題，記為解出該題的人數(shù)，則=.
7.設籃球隊A與B進行比賽，若有一隊先勝3場，比賽宣告結束，假定A，B在每場比賽中獲勝的概率都是，求比賽場數(shù)的分布列和均值.

8.袋中有2個白球，3個黑球，從中任意摸一球，猜它是白球還是黑球，猜對得1分，猜錯不得分，從平均得分最大的角度，你猜什么顏色有利？說明理由.

9.某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：
78910
0.20.30.30.2
現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊所中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.
⑴求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；
⑵求的分布列；
⑶求的數(shù)學期望.

訂正欄：

擴展閱讀

2.3離散型隨機變量的均值與方差教案二（新人教A版選修2-3）

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師掌握上課時的教學節(jié)奏。關于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“2.3離散型隨機變量的均值與方差教案二（新人教A版選修2-3）”，僅供參考，希望能為您提供參考！

2．3離散型隨機變量的均值與方差
2．3．1離散型隨機變量的均值
教學目標：
知識與技能：了解離散型隨機變量的均值或期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望．
過程與方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），則Eξ=np”.能熟
練地應用它們求相應的離散型隨機變量的均值或期望。
情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文
價值。
教學重點：離散型隨機變量的均值或期望的概念
教學難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示
2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出
若是隨機變量，是常數(shù)，則也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）
5.分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列
6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P
…

稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．
8.離散型隨機變量的幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試驗的次數(shù)ξ也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量．“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么
（k＝0,1,2,…，）．于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：
ξ123…k…
P
…
…
稱這樣的隨機變量ξ服從幾何分布
記作g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
二、講解新課：
根據(jù)已知隨機變量的分布列，我們可以方便的得出隨機變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學習的離散型隨機變量的均值或期望
根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，
我們可以估計，在n次射擊中，預計大約有
次得4環(huán)；
次得5環(huán)；
…………
次得10環(huán)．
故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為
，
從而，預計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為
．
這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應的概率有關的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．
對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個（i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):
…．
1.均值或數(shù)學期望:一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱……為ξ的均值或數(shù)學期望，簡稱期望．
2.均值或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平
3.平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值
4.均值或期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機變量，則η也是隨機變量，它們的分布列為
ξx1x2…xn…
η
…
…
Pp1p2…pn…
于是……
＝……)……)
＝，
由此，我們得到了期望的一個性質(zhì):
5.若ξB（n,p），則Eξ=np
證明如下：
∵，
∴0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋．
故若ξ～B(n，p)，則np．
三、講解范例：
例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望
解：因為，
所以
例2.一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望
解：設學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，則~B（20,0.9）,,
由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5所以，他們在測驗中的成績的期望分別是：
例3.根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護設備，有以下3種方案：
方案1：運走設備，搬運費為3800元．
方案2：建保護圍墻，建設費為2000元．但圍墻只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水．
試比較哪一種方案好．
解：用X1、X2和X3分別表示三種方案的損失．
采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3800元，即
X1=3800.
采用第2種方案，遇到大洪水時，損失2000+60000=62000元；沒有大洪水時，損失2000元，即
同樣，采用第3種方案，有
于是，
EX1＝3800,
EX2＝62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)
=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600,
EX3=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)
=60000×0.01+10000×0.25=3100.
采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.
值得注意的是，上述結論是通過比較“平均損失”而得出的．一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使損失減到最?。捎诤樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的．
例4.隨機拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù)的期望
解：∵，
=3.5
例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望（結果保留三個有效數(shù)字）
解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗可以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：
（=1，2，…，10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：
12345678910
0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316
根據(jù)以上的概率分布，可得的期望
例6.隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)ξ的數(shù)學期望．
解：拋擲骰子所得點數(shù)ξ的概率分布為
ξ123456

所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
拋擲骰子所得點數(shù)ξ的數(shù)學期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量．設他所收租車費為η
(Ⅰ)求租車費η關于行車路程ξ的關系式；
(Ⅱ)若隨機變量ξ的分布列為
ξ15161718
P0.10.50.30.1
求所收租車費η的數(shù)學期望．
(Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?
解：(Ⅰ)依題意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；
(Ⅱ)
∵η=2ξ+2
∴2Eξ+2=34.8（元）
故所收租車費η的數(shù)學期望為34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15
所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘
四、課堂練習：
1.口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則（）
A．4；B．5；C．4.5；D．4.75
答案：C
2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求
⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學期望；
⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學期望；
⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學期望．
解：⑴因為，，所以
1×＋0×
⑵η的概率分布為
η012
P

所以0×＋1×＋2×＝1.4．
⑶ξ的概率分布為
ξ０１23
P

所以0×＋1×＋2×＝2.1.
3．設有m升水，其中含有大腸桿菌n個．今取水1升進行化驗，設其中含有大腸桿菌的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學期望．
分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k”發(fā)生，即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復實驗中事件A（在此升水中含一個大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求出P(ξ=k),進而可求Eξ.
解：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=．
∴P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．
∴ξ～B(n,)，故Eξ=n×=
五、小結：(1)離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；
(2)求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np
六、課后作業(yè)：P64-65練習1,2,3,4P69A組1,2,3
1.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是（用數(shù)字作答）
解：令取取黃球個數(shù)(=0、1、2)則的要布列為
012
p

于是E（）=0×+1×+2×=0.8
故知紅球個數(shù)的數(shù)學期望為1.2
2.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用表示得分數(shù)
①求的概率分布列
②求的數(shù)學期望
解：①依題意的取值為0、1、2、3、4
=0時，取2黑p(=0)=
=1時，取1黑1白p(=1)=
=2時，取2白或1紅1黑p(=2)=+
=3時，取1白1紅，概率p(=3)=
=4時，取2紅，概率p(=4)=
01234
p

∴分布列為

（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=
3.學校新進了三臺投影儀用于多媒體教學，為保證設備正常工作，事先進行獨立試驗，已知各設備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗中三臺投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學期望
解：設表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3）
表示第i臺儀器不出現(xiàn)故障，則：
p(=1)=p(A1)+p(A2)+p(A3)
=p1(1－p2)(1－p3)+p2(1－p1)(1－p3)+p3(1－p1)(1－p2)
=p1+p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p(=2)=p(A1A2)+p(A1)+p(A2A3)
=p1p2(1－p3)+p1p3(1－p2)+p2p3(1－p1)
=p1p2+p1p3+p2p3－3p1p2p3
p(=3)=p(A1A2A3)=p1p2p3
∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=p1+p2+p3
注：要充分運用分類討論的思想，分別求出三臺儀器中有一、二、三臺發(fā)生故障的概率后再求期望
4.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是1.2
解：從5個球中同時取出2個球，出現(xiàn)紅球的分布列為
012

5.、兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，隊隊員是，隊隊員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：
對陣隊員A隊隊員勝的概率B隊隊員勝的概率
A1對B1

A2對B2

A3對B3

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設隊，隊最后所得分分別為，
（1）求，的概率分布；（2）求，
解：（Ⅰ），的可能取值分別為3，2，1，0
根據(jù)題意知，所以
（Ⅱ）；
因為,所以
七、板書設計（略）
八、教學反思：
(1)離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平；
(2)求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟：
①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np。

高二數(shù)學《隨機變量》教案

高二數(shù)學《隨機變量》教案

學習目標：

1、了解本章的學習的內(nèi)容以及學習思想方法2、能敘述隨機變量的定義

3、能說出隨機變量與函數(shù)的關系，4、能夠把一個隨機試驗結果用隨機變量表示

重點：能夠把一個隨機試驗結果用隨機變量表示

難點：隨機事件概念的透徹理解及對隨機變量引入目的的認識：

環(huán)節(jié)一：隨機變量的定義

1.通過生活中的一些隨機現(xiàn)象，能夠概括出隨機變量的定義

2能敘述隨機變量的定義

3能說出隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

一、閱讀課本33頁問題提出和分析理解，回答下列問題？

1、了解一個隨機現(xiàn)象的規(guī)律具體指的是什么？

2、分析理解中的兩個隨機現(xiàn)象的隨機試驗結果有什么不同？建立了什么樣的對應關系？

總結：

3、隨機變量

（1）定義：

這種對應稱為一個隨機變量。即隨機變量是從隨機試驗每一個可能的結果所組成的

到的映射。

（2）表示：隨機變量常用大寫字母.等表示.

（3）隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

函數(shù)隨機變量
自變量
因變量
因變量的范圍
相同點都是映射都是映射
環(huán)節(jié)二隨機變量的應用

1、能正確寫出隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結果2、能用隨機變量的描述隨機事件

例1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品。現(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，其中含有的次品數(shù)為隨機變量的學案.這是一個隨機現(xiàn)象。（1）寫成該隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結果；（2）試用隨機變量來描述上述結果。

變式：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，這是一個隨機現(xiàn)象。若Y表示取出的3件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，試用隨機變量描述上述結果

例2連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣兩次，用X表示這兩次正面朝上的次數(shù)，則X是一個隨機變

量，分別說明下列集合所代表的隨機事件：

（1）{X=0}（2）{X=1}

（3）{X2}（4）{X0}

變式：連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣三次，用X表示這三次正面朝上的次數(shù)，則X是一個隨機變量，X的可能取值是？并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.

練習：寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機變量的結果。

（1）從學?；丶乙?jīng)過5個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù)；

（2）一個袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現(xiàn)從中隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)；

小結（對標）

2.3離散型隨機變量的均值與方差教案一（新人教A版選修2-3）

2．3．2離散型隨機變量的方差
教學目標：
知識與技能：了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差。
過程與方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差。
情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文價值。
教學重點：離散型隨機變量的方差、標準差
教學難點：比較兩個隨機變量的期望與方差的大小，從而解決實際問題
教具準備：多媒體、實物投影儀。
教學設想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差。
授課類型：新授課
課時安排：2課時
教具：多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析：
數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，所以又常稱為隨機變量的平均數(shù)、均值．今天，我們將對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行研究．其實在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差.
回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念：設在一組數(shù)據(jù)，，…，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均值得差的平方分別是，，…，，那么＋＋…＋
叫做這組數(shù)據(jù)的方差
教學過程：
一、復習引入：
1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示
2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出
5.分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6.分布列的兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．
7.二項分布:ξ～B(n，p)，并記＝b(k；n，p)．
ξ01…k…n
P
…
…

8.幾何分布：g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
ξ123…k…
P
…
9.數(shù)學期望:一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱……為ξ的數(shù)學期望，簡稱期望．
10.數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平
11平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值
12.期望的一個性質(zhì):
13.若ξB（n,p），則Eξ=np
二、講解新課：
1.方差:對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望．
2.標準差:的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作．
3.方差的性質(zhì)：（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p)
4.其它：
⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
⑵隨機變量ξ的方差、標準差也是隨機變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；
⑶標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛
三、講解范例：
例1．隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上一面的點數(shù)的均值、方差和標準差.
解：拋擲散子所得點數(shù)X的分布列為
ξ123456

從而

例2．有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：
甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800
獲得相應職位的概率P10.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000
獲得相應職位的概率P20.40.30.20.1
根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？
解：根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得
EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1
=1400,
DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3
+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1
=40000;
EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,
DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.l
=160000.
因為EX1=EX2,DX1DX2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．

例3．設隨機變量ξ的分布列為
ξ12…n
P
…

求Dξ
解：（略）,
例4．已知離散型隨機變量的概率分布為
1234567

P

離散型隨機變量的概率分布為
3．73．83．944．14．24．3
P

求這兩個隨機變量期望、均方差與標準差
解：；
；
；
=0.04,.
點評：本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中．
＝2，=0.02，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差
例5．甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平
解：
+（10-9）；
同理有
由上可知，，所以，在射擊之前，可以預測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．
點評：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時就通過=0.4和=0.8來比較和的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況
例6．A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：
A機床B機床
次品數(shù)ξ10123次品數(shù)ξ10123
概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10
問哪一臺機床加工質(zhì)量較好
解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它們的期望相同，再比較它們的方差
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2
×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1Dξ2故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.
四、課堂練習：
1.已知，則的值分別是（）
A．；B．；C．；D．
答案：1.D
2.一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望．
分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件．
解：設取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3
當ξ=0時，即第一次取得正品，試驗停止，則
P（ξ=0）=
當ξ=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則
P（ξ=1）=
當ξ=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則
P（ξ=2）=
當ξ=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P（ξ=3）=
所以，Eξ=
3.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ
分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξB（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算
解：因為商品數(shù)量相當大，抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，所以ξB（200，1%）因為Eξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4.設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4
分析：這是一道純數(shù)學問題．要求學生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法，關鍵還是掌握隨機變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結論
證明：因為ξ所有可能取的值為0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,
所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p
則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)
5.有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強度，指標如下：
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強度．在使用時要求鋼筋的抗拉強度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好
分析：兩個隨機變量ξA和ξB都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個不同的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不一定正確，需要通過計算來證明我們猜想的正確性
解：先比較ξA與ξB的期望值，因為
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因為
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξADξB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好
6.在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？
分析：這是同學們身邊常遇到的現(xiàn)實問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運彩票等等．一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費用
解：設一張彩票中獎額為隨機變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100依題
意，可得ξ的分布列為
ξ0525100
P

答：一張彩票的合理價格是0．2元．
五、小結：⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標準差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可．
⑵對于兩個隨機變量和，在和相等或很接近時，比較和
，可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要
六、課后作業(yè)：P69練習1,2,3P69A組4B組1,2
1.設～B(n、p)且E=12D=4，求n、p
解：由二次分布的期望與方差性質(zhì)可知E=npD=np（1－p）
∴∴
2.已知隨機變量服從二項分布即~B(6、)求b(2；6，)
解：p(=2)=c62()2()4
3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量和，已知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
123
pA0.10.6
123
p0.3b0.3

試分析甲、乙技術狀況
解：由0.1+0.6+a+1a=0.3
0.3+0.3+b=1a=0.4
∴E=2.3,E=2.0
D=0.81,D=0.6
七、板書設計（略）
八、教學反思：
⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：
①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；
④根據(jù)方差、標準差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可．
⑵對于兩個隨機變量和，在和相等或很接近時，比較和，可以確定哪個隨機變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實際，適合人們的需要

高二數(shù)學.1隨機變量及其概率分布學案

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為教師就要好好準備好一份教案課件。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助教師緩解教學的壓力，提高教學質(zhì)量。所以你在寫教案時要注意些什么呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“高二數(shù)學.1隨機變量及其概率分布學案”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

§2.1隨機變量及其概率分布
一、知識要點
1.隨機變量
2.隨機變量的概率分布：
⑴分布列：；
⑵分布表：
……

這里的滿足條件.
3.兩點分布
二、典型例題
例1.⑴擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，若用表示擲得正面的次數(shù)，則隨機變量的可能取值有哪些？
⑵一實驗箱中裝有標號為1，2，3，4，5的5只白鼠，若從中任取1只，記取到的白鼠的標號為，則隨機變量的可能取值有哪些？

例2.從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取1只球，用表示“取到的白球個數(shù)”即，求隨機變量的概率分布.

例3.同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩顆骰子中出現(xiàn)的較大點數(shù)的概率分布，并求大于2小于5的概率.

例4.將3個小球隨機地放入4個盒子中，盒子中球的最大個數(shù)記為，求⑴的分布列；⑵盒子中球的最大個數(shù)不是1的概率.
三、鞏固練習
1.設隨機變量的概率分布列為，則常數(shù)等于.
2.擲一枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)是一隨機變量，則的值為.
3.若離散型隨機變量的分布列見下表，則常數(shù)=.

4.設隨機變量的分布列為.
求：⑴；⑵；⑶.

四、課堂小結
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.設隨機變量的分布列為，則=.
2.把3個骰子全部擲出，設出現(xiàn)6點的骰子的個數(shù)為，則=.
3.設是一個隨機變量，其分布列為，則=.
4.設隨機變量的分布列為為常數(shù)，則
=.
5.在0—1分布中，設，則=.
6.已知隨機變量的概率分布如下：
－1－0.501.83
0.10.20.10.3

求：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.

7.袋中有5只乒乓球，編號為1至5，從袋中任取3只，若以表示取到的球中的最大號碼，試寫出的分布列.

8.設隨機變量只能取5，6，7，…，16這12個值，且取每個值的機會是均等的.試求:
⑴；⑵；⑶.