高中三角函數(shù)的教案

角和與差的正弦公式。

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，教師要準備好教案，這是教師需要精心準備的。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。你知道怎么寫具體的教案內(nèi)容嗎？為滿足您的需求，小編特地編輯了“角和與差的正弦公式”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

延伸閱讀

兩角和與差的正弦

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，使高中教師有一個簡單易懂的教學思路。您知道高中教案應該要怎么下筆嗎？以下是小編為大家收集的“兩角和與差的正弦”歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第2課時
【學習要求】
1．掌握兩角和與差的正弦公式及其推導方法。
2．通過公式的推導，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。
并運用進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。
3．掌握誘導公式
重點難點
重點：由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式
難點：進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形
【自學評價】
1．兩角和的正弦公式的推導
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，結(jié)構(gòu)解剖：正余余正符號同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2：已知，求的值.

例3已知sin(+)=,sin()=求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα:tanβ的值.
【解】

思維點拔：
由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式，并進而推得兩角和的正弦公式，并運用進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。
【追蹤訓練一】：
1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，則cosC的值為（）
（A）（B）
（C）（D）
2.已知，，，，求sin(+)的值.
3.已知sin+sin=，求cos+cos的范圍.
4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.
4．已知sin+sin=
①cos+cos=②求cos()
【解】

【選修延伸】
例5化簡.
【解】

思維點拔：
我們得到一組有用的公式：
⑴sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2)sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追蹤訓練二】：
1．化簡
2．求證：cosx+sinx=cos(x).
3.求證：cosa+sina＝2sin(+a).

學生質(zhì)疑
教師釋疑
4.已知，求函數(shù)的值域.
5.求的值.

兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)導學案

第三章第二節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)（一）
3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)
斗雞中學高一數(shù)學備課組設計人：強彩紅評審人：張博
【學習目標】
1.利用兩角差的余弦三角函數(shù)公式推導兩角和與差的其它三角公式
2.初步理解兩角和與差的正弦、余弦公式的結(jié)構(gòu)及功能
3.能熟練利用公式解決簡單的化簡、求值問題.
【學習重點】
兩角和與差的正弦、余弦三角函數(shù)公式的推導
【學習難點】
能熟練利用公式解決簡單的化簡、求值問題.
【學習方法】
閱讀課本，獨立完成導學案
【學習過程】
一、自主學習
1.兩角和與差的余弦
2.兩角和與差的余弦公式是cos(+)=
3.cos()=，其中，為
2.兩角和與差的正弦
兩角和與差的正弦sin(+)

sin()=其中，為

3.
4.
5.
二、公式推導

sin(+)=sincos+cossin,sin()=sincoscossin.

證明:在兩角和的余弦公式中,利用誘導公式,可得到
sin(+)===sincos+cossin,

即sin(+)=sincos+cossin.
用代替上面公式中的,可得到sin(-)=sincos(-)+cossin(-),

三．活用公式

例1．計算：(1)cos65cos115cos25sin115
;
(2)cos70cos20+sin110sin20.

例2.已知sin=，cos=均為銳角，求cos()的值.

例3.（1）已知均為銳角且，求的值

（2）已知均為銳角，且，，求的值

三、鞏固公式
1.下列關(guān)系式中一定成立的是（）
A.B.
C.D.
2.的值為（）
A.B.C.D.
3..
3.，，則
4.
5.已知，且，求的值
四、歸納整理
1.本節(jié)課所學的知識內(nèi)容有哪些？
2.本節(jié)課學習過程中，還有哪些不明白的地方，請?zhí)岢鰜怼?br> 3.通過本節(jié)課的學習，你有那些收獲呢？
五、課后鞏固練習
1.已知，，求的值

2.已知，且，求的值

《兩角和與差的余弦公式》學案

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《兩角和與差的余弦公式》學案”，僅供參考，希望能為您提供參考！

《兩角和與差的余弦公式》學案

【學習目標】
1.了解兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景；
2.熟悉用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式的過程，通過對比，體會向量法的優(yōu)越性；
3.把握兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點，熟記公式，并能靈活運用.
【重點難點】
用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式
【預習指導】
1.左圖是我校桅桿標志，你有什么辦法可以知道其高度：
（1）；
（2）；

（3）如果有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明

（4）桅桿底部外側(cè)正在施工，有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明
2.閱讀課本P124_126,想想學好這節(jié)課該做好哪些知識準備：
（1）如何在單位圓中定義三角函數(shù)？如何用角表示終邊上點的坐標？
（2）三角函數(shù)線的意義？
（3）向量的夾角的定義及求法？
（4）向量的投影的定義？回顧一下我們是如何用投影證明向量的數(shù)量積的分配律？
【典型例題】
例1.利用兩角和與差的余弦公式求.
變式：利用兩角和與差的余弦公式推導下列誘導公式

例2.已知是第四象限的角，求的值.

變式：已知是第二象限角，求的值.

例3.已知均為銳角，且，求的值.

變式：

【當堂檢測】
1.求值：

2．
3.化簡

4.已知是銳角求
【課下拓展】
1.已知均為銳角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式嗎？

高考數(shù)學（理科）一輪復習兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學案

學案21兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
導學目標：1.會用向量數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應用．
自主梳理
1．(1)兩角和與差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)兩角和與差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)兩角和與差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其變形為：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
2．輔助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝ba，角φ稱為輔助角．
自我檢測
1．(2010福建)計算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于()
A.12B.33C.22D.32
2．已知cosα－π6＋sinα＝435，則sinα＋7π6的值是()
A．－235B.235C．－45D.45
3．函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011臺州月考)設0≤α2π，若sinα3cosα，則α的取值范圍是()
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
5．(2011廣州模擬)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，則|a＋b|的最大值為()
A．1B.3C．3D．9
探究點一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值)
例1求值：
(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．

變式遷移1求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．

探究點二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)
例2已知0βπ4α3π4，cosπ4－α＝35，
sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

變式遷移2(2011廣州模擬)已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．

探究點三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)
例3已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．

變式遷移3(2011岳陽模擬)若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均為鈍角，求A＋B的值．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用
例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
【答題模板】
解(1)∵|a－b|＝255，∴a2－2ab＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，
ab＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]
(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213.[9分]
故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]
【突破思維障礙】
本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個等式條件|a－b|＝255，必須從這個等式出發(fā)，利用向量知識化簡再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求，即將α變?yōu)?α－β)＋β.
【易錯點剖析】
|a－b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯點，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號也是易錯點．
1．轉(zhuǎn)化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，冪的升降變換等等．
2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件．
3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．
4．基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)，化為同次冪，化為比例式，化為常數(shù)．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011佛山模擬)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，則cosα＋2π3等于()
A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cosα＋π6－sinα＝233，則sinα－7π6的值是()
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011寧波月考)已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，則sinα＋4π3等于()
A．－34B．－14C.34D.14
4．函數(shù)y＝sinx＋cosx圖象的一條對稱軸方程是()
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，則C的大小為()
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010重慶)如圖，
圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P(點P不在C上)且半徑相等．設第i段弧所對的圓心角為αi(i＝1,2,3)，則cosα13cosα2＋α33－
sinα13sinα2＋α33＝________.
7．設sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，則tan(α－β)＝________.
8．(2011惠州月考)已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的兩根，且α、β∈－π2，π2，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．

10．(12分)(2010四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－
sinαsinβ；②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面積S=，AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

11．(14分)(2011濟南模擬)設函數(shù)f(x)＝ab，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.
(1)若函數(shù)f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標系中畫出y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．

答案自主梳理
1．(1)cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
(2)sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ
(3)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.aa2＋b2ba2＋b2
自我檢測
1．A2.C3.B4.C5.C
課堂活動區(qū)
例1解題導引在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式．如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用．
解(1)原式
＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋sin10°cos10°＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°2cos10°
＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°2cos10°
＝2sin60°cos10°2cos10°＝22sin60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
變式遷移1解(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2解題導引對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應分類討論．應注意公式的靈活運用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學會拆角、拼角等技巧．
解cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，
∵0βπ4α3π4，
∴π2π4＋απ，3π43π4＋βπ.
∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，
cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β
＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β
＝35×－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
變式遷移2解(1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，
即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.
(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β
＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β
＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ
＝－13－121＋13×12＝17.
例3解題導引(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵循以下原則：
①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；
②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0，π2，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為－π2，π2，選正弦較好．
(2)解這類問題的一般步驟：
①求角的某一個三角函數(shù)值；
②確定角的范圍；
③根據(jù)角的范圍寫出所求的角．
解(1)∵tanα2＝12，
∴sinα＝sin2α2＝2sinα2cosα2
＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.
(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.
又0απ2βπ，∴0β－απ.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2βπ得β＝34π.
(或求cosβ＝－22，得β＝34π)
變式遷移3解∵A、B均為鈍角且sinA＝55，sinB＝1010，
∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－255×－31010－55×1010＝22.①
又∵π2Aπ，π2Bπ，
∴πA＋B2π.②
由①②，知A＋B＝7π4.
課后練習區(qū)
1．D2.D3.B4.A5.A
6．－127.－2118.3－23π
9．解(1)∵β∈π2，π，cosβ＝－513，
∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0απ2，π2βπ，
∴π2α＋β3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β
＝－1－33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝3365－513－－56651213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tanα＝131，tanβ＝－170，
∴0απ4，π2βπ，
∴－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①證明如圖，在直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4.
則P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及兩點間的距離公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展開并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………………………………………(4分)
②解由①易得，cosπ2－α＝sinα，
sinπ2－α＝cosα.
sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α＋－β
＝cosπ2－αcos(－β)－sinπ2－αsin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.……………………………………………………(7分)
(2)解由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c.
則S＝12bcsinA＝12，
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………(9分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010，
由cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11分)
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依題設得f(x)＝2cos2x＋3sin2x
＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1.
由2sin2x＋π6＋1＝1－3，
得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，
得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
x0π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y2320－102
描點連線，得函數(shù)圖象如圖所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)