高中三角函數(shù)的教案

兩角和與差的正切。

第3課時
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
1．掌握兩角和與差的正切公式及其推導(dǎo)方法。
2．通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。
3．能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。
教學(xué)重點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
能根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形
【自學(xué)評價】
1．兩角和與差的正、余弦公式
2．tan(a+b)公式的推導(dǎo)
∵cos(a+b)0
tan(a+b)=
當(dāng)cosacosb0時,分子分母同時除以cosacosb得：
以-b代b得：
其中都不等于
3．注意：
1°必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式tana，tanb，tan(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能用誘導(dǎo)公式.
2°注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.
4．請大家自行推導(dǎo)出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示
當(dāng)sinasinb0時,cot(a+b)=
同理，得：cot(a-b)=
【精典范例】
例1已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中090,90180.
【解】

例2求下列各式的值：
（1）
（2）tan17+tan28+tan17tan28
（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°
【解】

點(diǎn)評：可在△ABC中證明
例3已知求證tan=3tan(+).
【證】

例4已知tan和是方程的兩個根，證明：pq+1=0.
【證】
例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是鈍角，求+的值.
【解】

思維點(diǎn)拔：
兩角和與差的正弦及余弦公式,解題時要多觀察，勤思考，善于聯(lián)想，由例及類歸納解題方法，如適當(dāng)進(jìn)行角的變換，靈活應(yīng)用基本公式，特殊角函數(shù)的應(yīng)用等是三角恒等到變換中常用的方法和技能．
【追蹤訓(xùn)練一】
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cos（A＋B）的值為()
2.在△ABC中，若0＜tanAtanB＜1則
△ABＣ一定是()
A.等邊三角形B.直角三角形
Ｃ.銳角三角形Ｄ.鈍角三角形
3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，則∠B等于.
4.＝.
5.已知.

6.已知
（１）求；
（２）求的值（其中）．

【選修延伸】
例6已知A、B為銳角，證明的充要條件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
【證】

思維點(diǎn)拔：
可類似地證明以下命題：
(1)若α＋β＝，
則（1－tanα）（1－tanβ）＝2；
(2)若α＋β＝，
則（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；
(3)若α＋β＝，
則（1－tanα）（1－tanβ）＝2.
【追蹤訓(xùn)練二】
1.an67°30′－tan22°30′等于()
A.1B.Ｃ.2Ｄ.4
2.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值為(B)
A.－1B.1Ｃ.Ｄ.－
3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝.
4.＝
5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，則tan（α＋β）=
6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的兩根分別為tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值.

7.已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)為、，
求證：.
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
【師生互動】

相關(guān)推薦

兩角和與差的余弦

第三章三角恒等變換
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
1．本章利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換。
2．三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上。三角恒等變換公式反映了角的相加、相減、二倍角運(yùn)算引起三角函數(shù)值變化的規(guī)律，是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具。學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角恒等變換，有利于發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力。
3、三角恒等變換具有幾何和物理的應(yīng)用背景。以向量為橋梁將三角恒等變換的算式與直觀的幾何圖形相互溝通和轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角恒等變換，還能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會數(shù)學(xué)是一個有機(jī)聯(lián)系的整體，而不是各不相關(guān)的內(nèi)容的堆積。

知識結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)要求
1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用；
2.理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；
3.運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換，推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓(xùn)練，進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用。
3.1兩角和與差的三角函數(shù)
第1課時
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
學(xué)習(xí)要求
1、理解向量法推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式，并能初步運(yùn)用解決具體問題；
2、應(yīng)用公式，求三角函數(shù)值.
3．培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識.
【自學(xué)評價】
1．探究
反例：
問題：的關(guān)系？
解決思路：探討三角函數(shù)問題的最基本的工具是直角坐標(biāo)系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線
2．探究：在坐標(biāo)系中、角構(gòu)造+角
3．探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形
4．探究：寫出4個點(diǎn)的坐標(biāo)
，
，
，
5．計(jì)算，
=
=
6．探究由=導(dǎo)出公式
展開并整理得
所以
可記為
7．探究特征
①熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)；
②此公式對任意、都適用
③公式記號
8．探究cos()的公式
以代得：
公式記號
【精典范例】
例1計(jì)算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知條件中的角與所求角雖然不同，但它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范圍，分別求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角變換中，首先應(yīng)考慮角的變換,如何變換角？一定要根據(jù)題目的條件與結(jié)論來變，簡單地說就是“據(jù)果變形”，創(chuàng)造出使用三角公式的條件，以達(dá)到求值、化簡和證明的目的.常用的變換角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追蹤訓(xùn)練】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．計(jì)算：cos65cos115cos25sin115

4計(jì)算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知銳角,滿足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【選修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追蹤訓(xùn)練】：
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
1．滿足的一組的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，則的值為（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），則cos（α－π3）=。
4．化簡：
=。
5．利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

兩角和與差的正弦

俗話說，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，使高中教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？以下是小編為大家收集的“兩角和與差的正弦”歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第2課時
【學(xué)習(xí)要求】
1．掌握兩角和與差的正弦公式及其推導(dǎo)方法。
2．通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。
并運(yùn)用進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。
3．掌握誘導(dǎo)公式
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：由兩角和的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦公式
難點(diǎn)：進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形
【自學(xué)評價】
1．兩角和的正弦公式的推導(dǎo)
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，結(jié)構(gòu)解剖：正余余正符號同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2：已知，求的值.

例3已知sin(+)=,sin()=求的值.
【解】

例4（1）已知，
求tanα:tanβ的值.
【解】

思維點(diǎn)拔：
由兩角和的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦公式，并進(jìn)而推得兩角和的正弦公式，并運(yùn)用進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。
【追蹤訓(xùn)練一】：
1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，則cosC的值為（）
（A）（B）
（C）（D）
2.已知，，，，求sin(+)的值.
3.已知sin+sin=，求cos+cos的范圍.
4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.
4．已知sin+sin=
①cos+cos=②求cos()
【解】

【選修延伸】
例5化簡.
【解】

思維點(diǎn)拔：
我們得到一組有用的公式：
⑴sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2)sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3)asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追蹤訓(xùn)練二】：
1．化簡
2．求證：cosx+sinx=cos(x).
3.求證：cosa+sina＝2sin(+a).

學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
4.已知，求函數(shù)的值域.
5.求的值.

《兩角和與差的余弦公式》學(xué)案

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，作為教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《兩角和與差的余弦公式》學(xué)案”，僅供參考，希望能為您提供參考！

《兩角和與差的余弦公式》學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景；
2.熟悉用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，通過對比，體會向量法的優(yōu)越性；
3.把握兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，熟記公式，并能靈活運(yùn)用.
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式
【預(yù)習(xí)指導(dǎo)】
1.左圖是我校桅桿標(biāo)志，你有什么辦法可以知道其高度：
（1）；
（2）；

（3）如果有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明

（4）桅桿底部外側(cè)正在施工，有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明
2.閱讀課本P124_126,想想學(xué)好這節(jié)課該做好哪些知識準(zhǔn)備：
（1）如何在單位圓中定義三角函數(shù)？如何用角表示終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)？
（2）三角函數(shù)線的意義？
（3）向量的夾角的定義及求法？
（4）向量的投影的定義？回顧一下我們是如何用投影證明向量的數(shù)量積的分配律？
【典型例題】
例1.利用兩角和與差的余弦公式求.
變式：利用兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)下列誘導(dǎo)公式

例2.已知是第四象限的角，求的值.

變式：已知是第二象限角，求的值.

例3.已知均為銳角，且，求的值.

變式：

【當(dāng)堂檢測】
1.求值：

2．
3.化簡

4.已知是銳角求
【課下拓展】
1.已知均為銳角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式嗎？

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學(xué)案

學(xué)案21兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.會用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用．
自主梳理
1．(1)兩角和與差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)兩角和與差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)兩角和與差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)
其變形為：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
2．輔助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝ba，角φ稱為輔助角．
自我檢測
1．(2010福建)計(jì)算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于()
A.12B.33C.22D.32
2．已知cosα－π6＋sinα＝435，則sinα＋7π6的值是()
A．－235B.235C．－45D.45
3．函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()
A.π2B．πC．2πD．4π
4．(2011臺州月考)設(shè)0≤α2π，若sinα3cosα，則α的取值范圍是()
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
5．(2011廣州模擬)已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，3)，則|a＋b|的最大值為()
A．1B.3C．3D．9
探究點(diǎn)一給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值)
例1求值：
(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]2sin280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．

變式遷移1求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；
(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．

探究點(diǎn)二給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值)
例2已知0βπ4α3π4，cosπ4－α＝35，
sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

變式遷移2(2011廣州模擬)已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．

探究點(diǎn)三給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值)
例3已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．

變式遷移3(2011岳陽模擬)若sinA＝55，sinB＝1010，且A、B均為鈍角，求A＋B的值．

轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
【答題模板】
解(1)∵|a－b|＝255，∴a2－2ab＋b2＝45.[2分]
又∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，
ab＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，[4分]
故cos(α－β)＝a2＋b2－452＝2－452＝35.[6分]
(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]
又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213.[9分]
故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝45×1213＋35×－513＝3365.[12分]
【突破思維障礙】
本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個等式條件|a－b|＝255，必須從這個等式出發(fā)，利用向量知識化簡再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求，即將α變?yōu)?α－β)＋β.
【易錯點(diǎn)剖析】
|a－b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯點(diǎn)，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號也是易錯點(diǎn)．
1．轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，冪的升降變換等等．
2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯(lián)系和適用條件．
3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．
4．基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)，化為同次冪，化為比例式，化為常數(shù)．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011佛山模擬)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，則cosα＋2π3等于()
A．－45B．－35C.35D.45
2．已知cosα＋π6－sinα＝233，則sinα－7π6的值是()
A．－233B.233C．－23D.23
3．(2011寧波月考)已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，則sinα＋4π3等于()
A．－34B．－14C.34D.14
4．函數(shù)y＝sinx＋cosx圖象的一條對稱軸方程是()
A．x＝5π4B．x＝3π4
C．x＝－π4D．x＝－π2
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，則C的大小為()
A.π6B.56π
C.π6或56πD.π3或23π
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010重慶)如圖，
圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在C上)且半徑相等．設(shè)第i段弧所對的圓心角為αi(i＝1,2,3)，則cosα13cosα2＋α33－
sinα13sinα2＋α33＝________.
7．設(shè)sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，則tan(α－β)＝________.
8．(2011惠州月考)已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的兩根，且α、β∈－π2，π2，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513.求sinα；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．

10．(12分)(2010四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－
sinαsinβ；②由C(α＋β)推導(dǎo)兩角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
（2）已知△ABC的面積S=，AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

11．(14分)(2011濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.
(1)若函數(shù)f(x)＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．

答案自主梳理
1．(1)cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
(2)sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ
(3)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.aa2＋b2ba2＋b2
自我檢測
1．A2.C3.B4.C5.C
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式．如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用．
解(1)原式
＝2sin50°＋sin10°1＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋sin10°cos10°＋3sin10°cos10°2sin80°
＝2sin50°＋2sin10°12cos10°＋32sin10°cos10°2cos10°
＝2sin50°＋2sin10°sin40°cos10°2cos10°
＝2sin60°cos10°2cos10°＝22sin60°
＝22×32＝6.
(2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.
變式遷移1解(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝3.
例2解題導(dǎo)引對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分類討論．應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學(xué)會拆角、拼角等技巧．
解cosπ4－α＝sinπ4＋α＝35，
∵0βπ4α3π4，
∴π2π4＋απ，3π43π4＋βπ.
∴cosπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－45，
cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213.
∴sin[π＋(α＋β)]＝sinπ4＋α＋3π4＋β
＝sinπ4＋αcos3π4＋β＋cosπ4＋αsin3π4＋β
＝35×－1213－45×513＝－5665.
∴sin(α＋β)＝5665.
變式遷移2解(1)由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，
即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.
(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β
＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ
＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β
＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ
＝－13－121＋13×12＝17.
例3解題導(dǎo)引(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵循以下原則：
①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；
②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0，π2，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為－π2，π2，選正弦較好．
(2)解這類問題的一般步驟：
①求角的某一個三角函數(shù)值；
②確定角的范圍；
③根據(jù)角的范圍寫出所求的角．
解(1)∵tanα2＝12，
∴sinα＝sin2α2＝2sinα2cosα2
＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.
(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.
又0απ2βπ，∴0β－απ.
由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝7210×35＋210×45＝25250＝22.
由π2βπ得β＝34π.
(或求cosβ＝－22，得β＝34π)
變式遷移3解∵A、B均為鈍角且sinA＝55，sinB＝1010，
∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，
cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－255×－31010－55×1010＝22.①
又∵π2Aπ，π2Bπ，
∴πA＋B2π.②
由①②，知A＋B＝7π4.
課后練習(xí)區(qū)
1．D2.D3.B4.A5.A
6．－127.－2118.3－23π
9．解(1)∵β∈π2，π，cosβ＝－513，
∴sinβ＝1213.…………………………………………………………………………(2分)
又∵0απ2，π2βπ，
∴π2α＋β3π2，又sin(α＋β)＝3365，
∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β
＝－1－33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)
∴sinα＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ
＝3365－513－－56651213＝35.…………………………………………………………(6分)
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)
∵α，β∈(0，π)，tanα＝131，tanβ＝－170，
∴0απ4，π2βπ，
∴－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)
10．(1)
①證明如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于點(diǎn)P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點(diǎn)P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點(diǎn)P4.
則P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P1P3|＝|P2P4|及兩點(diǎn)間的距離公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展開并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………………………………………(4分)
②解由①易得，cosπ2－α＝sinα，
sinπ2－α＝cosα.
sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β
＝cosπ2－α＋－β
＝cosπ2－αcos(－β)－sinπ2－αsin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.……………………………………………………(7分)
(2)解由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c.
則S＝12bcsinA＝12，
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA，……………………………………………………………(9分)
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010，
由cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
……………………………………………………………………………………………(11分)
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依題設(shè)得f(x)＝2cos2x＋3sin2x
＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1.
由2sin2x＋π6＋1＝1－3，
得sin2x＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)
∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6.
∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.………………………………………………………………(6分)
(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，
即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，
得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．……………………………………(10分)
列表：
x0π6
π3
π2
2π3
5π6
π
y2320－102
描點(diǎn)連線，得函數(shù)圖象如圖所示：
…………………………………………………………………………………………(14分)