魯教版高中地理教案

2018年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三第三章第1節(jié)第1課時(shí)隨機(jī)事件的概率教學(xué)案。

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第1課時(shí)隨機(jī)事件的概率
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P108～P112，回答下列問題．
(1)客觀世界中，有些事件的發(fā)生是偶然的，有些事件的發(fā)生是必然的，有些事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，若把這些事件分類，可分為哪幾類？
提示：根據(jù)這些事件可能發(fā)生與否，可將事件分為必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件．
(2)教材所做的拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，每個(gè)同學(xué)所得試驗(yàn)結(jié)果是否一致？
提示：不一致，因?yàn)檎娉线@個(gè)事件是隨機(jī)事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生．
(3)事件A發(fā)生的頻率fn(A)是不是不變的？事件A的概率P(A)是不是不變的？它們之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？
提示：頻率是變化的，而概率是不變的，頻率因試驗(yàn)的不同而不同，概率則不然，概率是頻率的穩(wěn)定值，是不隨著頻率的變化而變化的．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)事件的概念與分類
事件確定事件不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的必然事件隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機(jī)事件
(2)頻數(shù)與頻率
在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝nAn為事件A出現(xiàn)的頻率．
(3)概率
①含義：概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量．
②與頻率聯(lián)系：對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)．
[問題思考]
(1)事件的分類是確定的嗎？
提示：事件的分類是相對于條件來講的，在不同的條件下，必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件可以相互轉(zhuǎn)化．
(2)頻率和概率可以相等嗎？
提示：可以相等．但因?yàn)槊看螌?shí)驗(yàn)的頻率是多少是不固定，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
(3)頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系？
提示：
頻率概率
區(qū)別頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻繁程度，是隨機(jī)的概率是一個(gè)確定的值，它反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小
聯(lián)系頻率是概率的估計(jì)值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，
頻率會(huì)越來越接近概率

[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：
(1)事件的分類：；
(2)概率的含義：；
(3)概率與頻率的聯(lián)系：.
觀察下列幾幅圖片：
事件一：常溫下石頭在一天內(nèi)能被風(fēng)化．
事件二：木柴燃燒產(chǎn)生熱量．
事件三：射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次中十環(huán)．
[思考]以上三個(gè)事件一定發(fā)生嗎？
名師指津：事件一在常溫下不可能發(fā)生，是不可能事件；事件二一定發(fā)生，是必然事件；事件三可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件．
?講一講
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：
(1)中國體操運(yùn)動(dòng)員將在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得全能冠軍．
(2)出租車司機(jī)小李駕車通過幾個(gè)十字路口都將遇到綠燈．
(3)若x∈R，則x2＋1≥1.
(4)擲一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.
[嘗試解答]由題意知(1)(2)中事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件；(3)中事件一定會(huì)發(fā)生，是必然事件；由于骰子朝上面的數(shù)字最小是1，兩次朝上面的數(shù)字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能發(fā)生，是不可能事件．
判斷事件類型的步驟
要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．
?練一練
1．(2016西南師大附中檢測)下列事件：①一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)紅球，從中任取一球是紅球；②擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤巴西足球隊(duì)會(huì)在下屆世界杯足球賽中奪得冠軍，其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
解析：選B在所給條件下，①是必然事件；②是隨機(jī)事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是隨機(jī)事件.
小明拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次．
[思考1]你能計(jì)算出正面朝上的頻率嗎？
提示：正面朝上的頻率為0.48.
[思考2]拋擲一枚硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？
提示：正面朝上的概率為0.5.
[思考3]隨機(jī)事件的頻率與概率之間有什么關(guān)系？
名師指津：辨析頻率與概率：
(1)頻率本身是隨機(jī)的，是一個(gè)變量，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件發(fā)生的頻率可能會(huì)不同．比如，全班每個(gè)人都做了10次拋擲硬幣的試驗(yàn)，但得到正面朝上的頻率可以是不同的．
(2)概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)．比如，如果一枚硬幣是質(zhì)地均勻的，則拋擲硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，與做多少次試驗(yàn)無關(guān)．
(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近于概率，在實(shí)際問題中，通常事件發(fā)生的概率未知，常用頻率作為它的估計(jì)值．
?講一講
2．某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行飛碟射擊訓(xùn)練，七次訓(xùn)練的成績記錄如下：
射擊次數(shù)n100120150100150160150
擊中飛碟數(shù)nA819512081119127121
(1)求各次擊中飛碟的頻率．(保留三位小數(shù))
(2)該射擊運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為多少？
[嘗試解答](1)計(jì)算nAn得各次擊中飛碟的頻率依次約為0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于這些頻率非常地接近0.800，且在它附近擺動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為0.800.
利用頻率估計(jì)概率的步驟
(1)依次計(jì)算各個(gè)頻率值；
(2)觀察各個(gè)頻率值的穩(wěn)定值即為概率的估計(jì)值，有時(shí)也可用各個(gè)頻率的中位數(shù)來作為概率的估計(jì)值．
?練一練
2．國家乒乓球比賽的用球有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，下面是有關(guān)部門對某乒乓球生產(chǎn)企業(yè)某批次產(chǎn)品的抽樣檢測，結(jié)果如表所示：
抽取球數(shù)目5010020050010002000
優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902
優(yōu)等品頻率
(1)計(jì)算表中優(yōu)等品的各個(gè)頻率．
(2)從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)乒乓球，質(zhì)量檢測為優(yōu)等品的概率約是多少？
解：(1)如下表
抽取球數(shù)目5010020050010002000
優(yōu)等品數(shù)目45921944709541902
優(yōu)等品頻率0.90.920.970.940.9540.951
(2)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可以認(rèn)為從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)乒乓球，質(zhì)量檢測為優(yōu)等品的概率約是0.95.
?講一講
3．某人做試驗(yàn)，從一個(gè)裝有標(biāo)號為1,2,3,4的小球的盒子中，無放回地取兩個(gè)小球，每次取一個(gè)，先取的小球的標(biāo)號為x，后取的小球的標(biāo)號為y，這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x，y)．
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的所有結(jié)果；
(2)寫出“第一次取出的小球上的標(biāo)號為2”這一事件．
[思路點(diǎn)撥]根據(jù)日常生活的經(jīng)驗(yàn)按一定的順序逐個(gè)列出全部結(jié)果．
[嘗試解答](1)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2,3,4；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1,3,4；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1,2,4；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝1,2,3.
因此，這個(gè)試驗(yàn)的所有結(jié)果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)記“第一次取出的小球上的標(biāo)號為2”為事件A，則A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
列舉試驗(yàn)所有可能結(jié)果的方法
(1)結(jié)果是相對于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)中的條件；
(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫樹形圖、列表等方法解決．
?練一練
3．袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球，分別寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的條件和結(jié)果．
(1)從中任取1球；
(2)從中任取2球．
解：(1)條件為：從袋中任取1球．結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種．
(2)條件為：從袋中任取2球．若記(紅，白)表示一次試驗(yàn)中，取出的是紅球與白球，結(jié)果為：(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．
——————————————[課堂歸納感悟提升]———————————————
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解概率的含義，了解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，難點(diǎn)是能列出一些簡單試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．
2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法
(1)會(huì)判斷事件的類型，見講1.
(2)掌握利用頻率估計(jì)概率的步驟，見講2.
(3)會(huì)列舉試驗(yàn)所有結(jié)果的方法，見講3.
3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：
(1)混淆頻率與概率概念，如講2.
(2)列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，如講3.
課下能力提升(十五)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1事件的分類
1．下列事件中，是隨機(jī)事件的有()
①在一條公路上，交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過300輛；
②若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)；
③發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)；
④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品．
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
解析：選C當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1一定為整數(shù)，是必然事件，其余3個(gè)為隨機(jī)事件．
2．從12個(gè)同類產(chǎn)品(其中10個(gè)是正品，2個(gè)是次品)中任意抽取3個(gè)的必然事件是()
A．3個(gè)都是正品B．至少有1個(gè)是次品
C．3個(gè)都是次品D．至少有1個(gè)是正品
解析：選D任意抽取3件的可能情況是：3個(gè)正品；2個(gè)正品1個(gè)次品；1個(gè)正品2個(gè)次品．由于只有2個(gè)次品，不會(huì)有3個(gè)次品的情況.3種可能的結(jié)果中，都至少有1個(gè)正品，所以至少有1個(gè)是正品是必然發(fā)生的，即必然事件應(yīng)該是“至少有1個(gè)是正品”．
3．在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？
①如果a，b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋a；
②從分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號簽；
③沒有水分，種子發(fā)芽；
④某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到15次傳呼；
⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)沸騰；
⑥同性電荷，相互排斥．
解：由實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)知①恒成立，是必然事件；⑥由物理知識(shí)知同性電荷相斥是必然事件，①⑥是必然事件．沒有水分，種子不會(huì)發(fā)芽；標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)不沸騰，③⑤是不可能事件．從1～6中取一張可能取出4，也可能取不到4；電話總機(jī)在60秒內(nèi)可能接到15次傳呼也可能不是15次．②④是隨機(jī)事件．
題組2隨機(jī)事件的頻率與概率
4．(2016洛陽檢測)下列說法正確的是()
A．任何事件的概率總是在(0,1]之間
B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)
C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率
D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定
解析：選C由概率與頻率的有關(guān)概念知，C正確．
5．給出下列3種說法：
①設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②作7次拋擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，出現(xiàn)正面的概率是nm＝37；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()
A．0B．1C．2D．3
解析：選A由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確．
6．從存放號碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒里，有放回地取100次，每次取一張卡片，并記下號碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
卡片號碼12345678910
取到次數(shù)1785769189129
取到號碼為奇數(shù)的頻率為________．
解析：取到奇數(shù)號碼的次數(shù)為58，故取到號碼為奇數(shù)的頻率為58100＝0.58.
答案：0.58
7．一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：
時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)
新生嬰兒數(shù)n554496071352017190
男嬰數(shù)nA2883497069948892
(1)計(jì)算男嬰出生的頻率(保留4位小數(shù))；
(2)這一地區(qū)男嬰出生的頻率是否穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)上？
解：(1)男嬰出生的頻率依次約為：0.5200,0.5173，0.5173，0.5173.
(2)各個(gè)頻率均穩(wěn)定在常數(shù)0.5173上．
8．李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來學(xué)生的考試成績分布：
成績?nèi)藬?shù)
90分以上43
80分～89分182
70分～79分260
60分～69分90
50分～59分62
50分以下8
經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生王小慧下學(xué)期將修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)她得以下分?jǐn)?shù)的概率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．
解：總?cè)藬?shù)為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.
修李老師的高等數(shù)學(xué)課的學(xué)生考試成績在90分以上，
60分～69分，60分以下的頻率分別為：
43645≈0.067，90645≈0.140，62＋8645≈0.109.
∴用以上信息可以估計(jì)出王小慧得分的概率情況：
(1)“得90分以上”記為事件A，則P(A)＝0.067.
(2)“得60分～69分”記為事件B，則P(B)＝0.140.
(3)得“60分以下”記為事件C，則P(C)＝0.109.
題組3試驗(yàn)結(jié)果分析
9．從含有兩個(gè)正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次．
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；
(2)設(shè)A為“取出兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”，寫出事件A對應(yīng)的結(jié)果．
解：(1)試驗(yàn)所有結(jié)果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6種．
(2)事件A對應(yīng)的結(jié)果為：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2.
10．指出下列試驗(yàn)的結(jié)果：
(1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球；
(2)從1,3,6,10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差．
解：(1)結(jié)果：紅球，白球；紅球，黑球；白球，黑球．
(2)結(jié)果：1－3＝－2,3－1＝2,1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9,3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7,6－10＝－4,10－6＝4.
即試驗(yàn)的結(jié)果為：－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4，4.
[能力提升綜合練]
1．根據(jù)山東省教育研究機(jī)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)資料，今在校中學(xué)生近視率約為37.4%，某眼鏡商要到一中學(xué)給學(xué)生配鏡，若已知該校學(xué)生總數(shù)為600人，則該眼鏡商應(yīng)帶眼鏡的數(shù)目為()
A．374副B．224.4副
C．不少于225副D．不多于225副
解析：選C根據(jù)概率相關(guān)知識(shí)，該校近視生人數(shù)約為600×37.4%＝224.4，結(jié)合實(shí)際情況，眼鏡商應(yīng)帶眼鏡數(shù)不少于225副，選C.
2．某人將一枚硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，若用A表示正面朝上這一事件，則A的()
A．概率為35B．頻率為35
C．頻率為6D．概率接近0.6
解析：選B事件A＝{正面朝上}的概率為12，因?yàn)樵囼?yàn)的次數(shù)較少，所以事件的頻率為35，與概率值相差太大，并不接近．故選B.
3．(2016深圳調(diào)研)“一名同學(xué)一次擲出3枚骰子，3枚全是6點(diǎn)”的事件是()
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性較大的隨機(jī)事件
D．可能性較小的隨機(jī)事件
解析：選D擲出的3枚骰子全是6點(diǎn)，可能發(fā)生，但發(fā)生的可能性較?。?br> 4．“連續(xù)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記錄朝上的點(diǎn)數(shù)”，該試驗(yàn)的結(jié)果共有()
A．6種B．12種
C．24種D．36種
解析：選D試驗(yàn)的全部結(jié)果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種．
5．(2016濟(jì)南檢測)如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黑球(只是顏色不同)，從中任取一球，取了10次有9個(gè)白球，估計(jì)袋中數(shù)量多的是________．
解析：取了10次有9個(gè)白球，則取出白球的頻率是910，估計(jì)其概率約是910，那么取出黑球的概率約是110，因?yàn)槿〕霭浊虻母怕蚀笥谌〕龊谇虻母怕剩怨烙?jì)袋中數(shù)量多的是白球．
答案：白球
6．在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度(表示纖維粗細(xì)的一種量)共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：
分組頻數(shù)
[1.30,1.34)4
[1.34,1.38)25
[1.38,1.42)30
[1.42,1.46)29
[1.46,1.50)10
[1.50,1.54]2
合計(jì)100
(1)請作出頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；
(2)估計(jì)纖度落在[1.38,1.50)中的概率及纖度小于1.40的概率是多少？
解：(1)頻率分布表如下表.
分組頻數(shù)頻率
[1.30,1.34)40.04
[1.34,1.38)250.25
[1.38,1.42)300.30
[1.42,1.46)290.29
[1.46,1.50)100.10
[1.50,1.54]20.02
合計(jì)1001.00
頻率分布直方圖如圖所示．
(2)纖度落在[1.38,1.50)中的頻數(shù)是30＋29＋10＝69，
則纖度落在[1.38,1.50)中的頻率是69100＝0.69，
所以估計(jì)纖度落在[1.38,1.50)中的概率為0.69.
纖度小于1.40的頻數(shù)是4＋25＋12×30＝44，
則纖度小于1.40的頻率是44100＝0.44，
所以估計(jì)纖度小于1.40的概率是0.44.

相關(guān)知識(shí)

2018年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三第三章章末小結(jié)與測評含答案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。高中教師在教學(xué)前就要準(zhǔn)備好教案，做好充分的準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？以下是小編為大家收集的“2018年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三第三章章末小結(jié)與測評含答案”僅供參考，歡迎大家閱讀。

2018年人教A版高中數(shù)學(xué)必修三教學(xué)案第3課時(shí)條件結(jié)構(gòu)

第3課時(shí)條件結(jié)構(gòu)
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P10～P12，回答下列問題．
條件結(jié)構(gòu)有哪些形式？
提示：常見的條件結(jié)構(gòu)有：一種是滿足條件執(zhí)行步驟A，否則執(zhí)行步驟B；另一種是滿足條件執(zhí)行步驟A，否則執(zhí)行步驟A下面的步驟．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)條件結(jié)構(gòu)的概念
在一個(gè)算法中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，處理這種過程的結(jié)構(gòu)就是條件結(jié)構(gòu)．
(2)條件結(jié)構(gòu)程序框圖的兩種形式及特征
名稱形式一形式二
結(jié)構(gòu)
形式

續(xù)表
名稱形式一形式二
特征兩個(gè)步驟A，B根據(jù)條件選擇一個(gè)執(zhí)行根據(jù)條件是否成立選擇是否執(zhí)行步驟A

[問題思考]
(1)條件結(jié)構(gòu)中的判斷框有兩個(gè)退出點(diǎn)，那么條件結(jié)構(gòu)執(zhí)行的結(jié)果是否唯一？
提示：條件結(jié)構(gòu)執(zhí)行的結(jié)果是唯一的．
(2)在什么樣的算法中才使用條件結(jié)構(gòu)？
提示：凡是必須先根據(jù)條件判斷，然后選擇進(jìn)行哪一個(gè)步驟的問題，在畫程序框圖時(shí)必須引入一個(gè)判斷框應(yīng)用條件結(jié)構(gòu)．

[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：
(1)條件結(jié)構(gòu)的概念：；
(2)條件結(jié)構(gòu)程序框圖的形式及特征：.
觀察圖中條件結(jié)構(gòu)的兩種形式：.
[思考1]條件結(jié)構(gòu)有何特點(diǎn)？
提示：條件結(jié)構(gòu)是程序框圖的重要組成部分，其特點(diǎn)是：先判斷后執(zhí)行．
[思考2]利用條件結(jié)構(gòu)處理算法時(shí)應(yīng)注意什么？
名師指津：在利用條件結(jié)構(gòu)畫程序框圖時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是需要判斷條件是什么，二是條件判斷后分別對應(yīng)著什么樣的結(jié)果．
[思考3]順序結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)有何區(qū)別與聯(lián)系？
名師指津：順序結(jié)構(gòu)是任何一個(gè)算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)，所表達(dá)的邏輯關(guān)系是自上而下，連貫排列的．而條件結(jié)構(gòu)用于邏輯判斷，并根據(jù)判斷的結(jié)果進(jìn)行不同的處理．
?講一講
1．設(shè)計(jì)一個(gè)算法：輸入一個(gè)實(shí)數(shù)，輸出它的絕對值，并畫出程序框圖．
[嘗試解答]設(shè)輸入數(shù)為x，絕對值為y.
則y＝|x|＝xx≥0，－xx＜0.
算法如下：
第一步，輸入x.
第二步，若x≥0，則y＝x，
否則執(zhí)行第三步．
第三步，y＝－x.
第四步，輸出y.
程序框圖如圖：
含條件結(jié)構(gòu)問題的求解策略
(1)理清所要實(shí)現(xiàn)的算法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和流程規(guī)則，分析功能；
(2)結(jié)合框圖判斷所要填入的內(nèi)容或計(jì)算所要輸入或輸出的值；
(3)明確要判斷的條件是什么，判斷后的條件對應(yīng)著什么樣的結(jié)果．
?練一練
1．寫出輸入一個(gè)數(shù)x，求分段函數(shù)y＝xx≥0，exx＜0的函數(shù)值的程序框圖．
解：程序框圖如圖所示．
?講一講
2．如圖，給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應(yīng)的y的值．若要使輸入的x的值與輸出的y值相等，則這樣的x的值有()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
[思路點(diǎn)撥]分析該程序框圖的邏輯結(jié)構(gòu)，找出其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行判斷求解．
[嘗試解答]這是一個(gè)用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的算法，
該程序框圖所表示的算法的作用是求分段函數(shù)
y＝x2，x≤2，2x－3，2x≤5，1x，x5的函數(shù)值．
(1)當(dāng)x≤2時(shí)，令x2＝x，解得x＝0或x＝1，均符合要求；
(2)當(dāng)2x≤5時(shí)，令2x－3＝x，解得x＝3，符合要求；
(3)當(dāng)x5時(shí)，令1x＝x，解得x＝±1，均不滿足x5，故舍去．
綜上可知，只有3個(gè)值符合題意，故選C.
答案：C
條件結(jié)構(gòu)讀圖時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
(1)要理清所要實(shí)現(xiàn)的算法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和流程規(guī)則，分析其功能．
(2)結(jié)合框圖判斷所要填入的內(nèi)容或計(jì)算所要輸出或輸入的值．
?練一練
2．如圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的x∈(－1,3]時(shí)，求輸出y的范圍．
解：由題意知，該程序框圖是求函數(shù)y＝2x2＋1，x＜1，1－x，x≥1
的函數(shù)值．故當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，y＝2x2＋1∈[1,3)；
當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，y＝1－x∈[－2,0]，
所以輸出的y的取值范圍為[－2,0]∪[1,3)．
?講一講
3．到銀行辦理個(gè)人異地匯款(不超過100萬元)，銀行收取一定的手續(xù)費(fèi)．匯款額不超過100元，收取1元；超過100元，但不超過5000元，按匯款額的1%收??；超過5000元一律收取50元手續(xù)費(fèi)．設(shè)計(jì)匯款額為x元時(shí)，銀行收取的手續(xù)費(fèi)y元的過程的程序框圖．
[嘗試解答]程序框圖如圖所示．
用程序框圖解決實(shí)際問題的步驟
(1)審題；
(2)列式，建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；
(3)根據(jù)所建數(shù)學(xué)模型，選擇適合的邏輯結(jié)構(gòu)，畫出程序框圖．
?練一練
3．設(shè)火車托運(yùn)行李，當(dāng)行李重量為mkg時(shí)，每千米的費(fèi)用(單位：元)標(biāo)準(zhǔn)為
y＝0.3m當(dāng)m≤30kg時(shí)，0.3×30＋0.5m－30當(dāng)m＞30kg時(shí)，
畫出求行李托運(yùn)s千米的托運(yùn)費(fèi)M的程序框圖．
解：程序框圖如圖．
——————————————[課堂歸納感悟提升]———————————————
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解條件結(jié)構(gòu)的概念，并明確其執(zhí)行過程，會(huì)用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)程序框圖解決有關(guān)問題．難點(diǎn)是理解條件結(jié)構(gòu)在程序框圖中的作用．
2．本節(jié)課要掌握以下幾方面的規(guī)律方法
(1)含條件結(jié)構(gòu)問題的求解方法，見講1.
(2)條件結(jié)構(gòu)的讀圖問題，見講2.
(3)用程序框圖解決實(shí)際問題的步驟，見講3.
3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有：
條件結(jié)構(gòu)中對條件的判斷不準(zhǔn)易致錯(cuò)，如講1，講2.
課下能力提升(三)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1條件結(jié)構(gòu)的簡單應(yīng)用
1．解決下列問題的算法中，需要條件結(jié)構(gòu)的是()
A．求兩個(gè)數(shù)的和
B．求某個(gè)正實(shí)數(shù)的常用對數(shù)
C．求半徑為r的圓的面積
D．解關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
解析：選DA，B，C中均不對變量進(jìn)行討論，只有D中由于Δ的不確定，需要討論，因此需要條件結(jié)構(gòu)．
2．已知如圖是算法程序框圖的一部分
①②③
其中含條件結(jié)構(gòu)的是()
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：C
3．程序框圖如圖所示，它是算法中的()
A．條件結(jié)構(gòu)B．順序結(jié)構(gòu)C．遞歸結(jié)構(gòu)D．循環(huán)結(jié)構(gòu)
解析：選A此題中的程序框圖中有判斷框，根據(jù)給定條件判斷并根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)行不同處理的是條件結(jié)構(gòu)．
4．如圖為計(jì)算函數(shù)y＝|x|函數(shù)值的程序框圖，則此程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填________．
解析：顯然當(dāng)x＜0或x≤0時(shí)，y＝－x，故判斷框內(nèi)應(yīng)填x≤0？(或x＜0？)．
答案：x≤0？(或x＜0？)
5．已知函數(shù)y＝－x＋1，x0，0，x＝0，x＋3，x0，請?jiān)O(shè)計(jì)程序框圖，要求輸入自變量，輸出函數(shù)值．
解：程序框圖如圖所示：
題組2與條件結(jié)構(gòu)有關(guān)的讀圖、應(yīng)用問題
6．(2016洛陽模擬)給出了一個(gè)算法的程序框圖(如圖所示)，若輸入的四個(gè)數(shù)分別為5,3,7,2，則最后輸出的結(jié)果是()
A．5B．3C．7D．2
解析：選C由程序框圖可以看出其算法功能為：輸入四個(gè)數(shù)，輸出其中最大的數(shù)，由于5,3,7,2中最大的數(shù)為7，故最后輸出的結(jié)果為7.
7．(2016?？诟咭粰z測)如圖所示的程序框圖，若a＝5，則輸出b＝________.
解析：根據(jù)題意a＝5，所以執(zhí)行判斷框后的“否”步驟，即b＝a2＋1，所以輸出26.
答案：26
8．在新華書店里，某教輔材料每本售價(jià)14.80元，書店為促銷，規(guī)定：如果顧客購買5本或5本以上，10本以下則按九折(即13.32元)出售；如果顧客購買10本或10本以上，則按八折(即11.84元)出售．請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)完成計(jì)費(fèi)工作的程序框圖．
解：程序框圖如圖：
[能力提升綜合練]
1．廣東中山市的士收費(fèi)辦法如下：不超過2公里收7元(即起步價(jià)7元)，超過2公里的里程每公里收2.6元，另每車次超過2公里收燃油附加費(fèi)1元(不考慮其他因素)．相應(yīng)收費(fèi)系統(tǒng)的程序框圖如圖所示，則①處應(yīng)填()
A．y＝7＋2.6xB．y＝8＋2.6x
C．y＝7＋2.6(x－2)D．y＝8＋2.6(x－2)
解析：選D當(dāng)x2時(shí)，y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)，所以①處應(yīng)填y＝8＋2.6(x－2)．
2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于()
A．[－3,4]B．[－5,2]
C．[－4,3]D．[－2,5]
解析：選A由程序框圖可知，s與t可用分段函數(shù)表示為s＝3t，－1≤t1，4t－t2，1≤t≤3，則s∈[－3,4]．
3．若f(x)＝x2，g(x)＝log2x，則如圖所示的程序框圖中，輸入x＝0.25，輸出h(x)＝()
A．0.25B．2
C．－2D．－0.25
解析：選Ch(x)取f(x)和g(x)中的較小者．g(0.25)＝log20.25＝－2，f(0.25)＝0.252＝116.
4．如圖所示的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入四個(gè)選項(xiàng)中的()
A．cx?B．xc?
C．cb?D．bc?
解析：選A變量x的作用是保留3個(gè)數(shù)中的最大值，所以第二個(gè)判斷框內(nèi)語句為“cx？”，滿足“是”則交換兩個(gè)變量的數(shù)值，輸出x的值后結(jié)束程序，滿足“否”直接輸出x的值后結(jié)束程序，故選A.
5．定義運(yùn)算ab，運(yùn)算原理如圖所示，則式子41＋25的值等于________．
解析：ab＝ab＋1，a≥b，ab－1，a＜b，則41＋25＝4×(1＋1)＋2×(5－1)＝16.
答案：16
6．如圖是判斷“美數(shù)”的程序框圖，在[30,40]內(nèi)的所有整數(shù)中“美數(shù)”的個(gè)數(shù)是多少？
解：由程序框圖知美數(shù)是滿足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的數(shù)，在[30,40]內(nèi)的所有整數(shù)中，所有的能被3整除的數(shù)有30,33,36,39，共有4個(gè)數(shù)，在這四個(gè)數(shù)中能被12整除的有36，在這四個(gè)數(shù)中不能被6整除的有33,39，所以在[30,40]內(nèi)的所有整數(shù)中“美數(shù)”的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
7．畫出解關(guān)于x的不等式ax＋b＜0的程序框圖．
解：程序框圖為：

第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1映射，對于任意兩個(gè)集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱f:A→B為一個(gè)映射。
定義2單射，若f:A→B是一個(gè)映射且對任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對任意y∈B，都有一個(gè)x∈A使得f(x)=y，則稱f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閧x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實(shí)數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點(diǎn)集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).
【解】分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點(diǎn)P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。
因?yàn)閨PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時(shí)為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因?yàn)閤∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域?yàn)閇2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當(dāng)y1時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域?yàn)閇，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定義域?yàn)椋?∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因?yàn)閤≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個(gè)。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個(gè)；若f為滿射，則f有_______個(gè)；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個(gè)。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個(gè)交點(diǎn)。
4．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域?yàn)開______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域?yàn)開______。
6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對稱。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開______。
2．設(shè)0≤a1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域?yàn)開______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個(gè)。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域?yàn)镽，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對任意非零實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域?yàn)開_______.
9．設(shè)f(x)=,
對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0,f(x)=xf；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對一切x0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x,y,x+y∈[0,1]時(shí)，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當(dāng)x∈時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

高中數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變換章末小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

第三章三角恒等變換章末小結(jié)

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明：
【知識(shí)與方法】
1、熟練記憶三角恒等變換公式：

2、三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即:
（1）找差異：角、名、形的差別；
（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個(gè)公式聯(lián)系起來；
（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式。
如：升降冪公式；
；
；
tan±tan=tan(±)(1tantan)；
1=sin2+cos2（1的代換）；
拆角cos=coscos(-)-sinsin(-)；
切化弦等。

3．a(chǎn)sin＋bcos＝sin(＋φ)，其中cosφ＝___，sinφ＝___，即tanφ＝ba.

【題型總結(jié)】
題型1、化簡求值：綜合使用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、公式，求出三角函數(shù)式的值。
化簡要求：________、________、__________、__________、__________、__________；
1、化簡（1）；

（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。

2、求值：

題型2、條件求值：綜合考慮要求值的式子和條件式的關(guān)聯(lián)，對于已知條件式的應(yīng)用及其變形是解決此類問題的關(guān)鍵。
3、已知=，=，求的值。
4.已知
求的值。
題型3、知值求角：
（1）先求角的某一個(gè)三角函數(shù)值：要注意象限角的范圍與三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系；
（2）盡量小的確定角的范圍：通過已知的角的范圍及其函數(shù)值的大小。
5．已知在中，
求角的大小。

6.設(shè)、為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=。

題型4、恒等式的證明：是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等。
7．已知，
求證：

8．求證

題型5、化成一個(gè)角的形式：
9.函數(shù)有最大值，最小值，則實(shí)數(shù)____，___。

10．函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心是（）
A.B.
C.D.

題型6、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，
11．已知△ABC的內(nèi)角滿足，若，且滿足：，，為的夾角.求。

12．如圖所示，某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面。若水渠斷面面積設(shè)計(jì)為定值m，渠深8米。則水渠壁的傾角應(yīng)為多少時(shí)，方能使修建的成本最低？

【課時(shí)練習(xí)】
1．當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，，則△ABC為）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．無法判定
3．函數(shù)的最小正周期是()
A．B．
C．D．
4．已知那么的值為,的值為

5．已知，，則=__________。

6．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且，當(dāng)為何值時(shí)，為偶函數(shù)．

8.已知函數(shù)
（1）求取最大值時(shí)相應(yīng)的的集合；
（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到的圖象
【延伸探究】
9．已知函數(shù)
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)設(shè)，的最小值是，最大值是，求實(shí)數(shù)的值．