球球幼兒園教案
發(fā)表時(shí)間：2020-11-12球。
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人教版高中數(shù)學(xué)必修系列：9.10球(備課資料)●備課資料
一、進(jìn)一步理解并應(yīng)用球的性質(zhì)
球的性質(zhì)是圓的性質(zhì)在空間中的延伸，教學(xué)中，應(yīng)要求學(xué)生在熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球的性質(zhì)，進(jìn)而使學(xué)生在解決與球有關(guān)的問(wèn)題中學(xué)會(huì)用“變未知為已知”的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將空間的球變?yōu)槠矫娴膱A去解決.下面，試舉兩例，供讀者體會(huì).
［例1］已知球的兩個(gè)平行截面分別為5π和8π,它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個(gè)球的半徑.
分析：作出球的軸截面，實(shí)現(xiàn)空間圖形平面化，進(jìn)而利用圓的性質(zhì)去解決問(wèn)題.
解：如圖所示，設(shè)這兩個(gè)截面的半徑分別為r1、r2,球心到截面距離分別為d1、d2,球半徑為R，則πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.
又∵R2=r12+d12=r22+d22,
∴d12-d22=8-5=3,
即（d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴解得
∴R===3.
評(píng)述：以上例題中體現(xiàn)了空間球的“與截面垂直的直徑過(guò)截面圓的圓心”到平面圓的“與弦垂直的直徑過(guò)弦的中點(diǎn)”及“球半徑2=球心到截面圓的距離2+截面圓的半徑2”到“圓半徑2=圓心到弦的距離2+弦長(zhǎng)的一半2”的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.
［例2］球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π,求這個(gè)球的半徑.
分析：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是將已知條件中的“任意兩點(diǎn)的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的”與“經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π”，轉(zhuǎn)化成平面圖形圖中的問(wèn)題去解決.
解：如圖所示，設(shè)這三個(gè)點(diǎn)是A、B、C，球半徑為R，A、B、C所在的小圓半徑為r,則2πr=4π,∴r=2.
又∵A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的球面距離是大圓周長(zhǎng)的，
∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA=.
又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.
∴△ABC是半徑為2的圓O′的內(nèi)接三角形.
∴△ABC的高為3.
∴AB=R=2.
評(píng)述：(1)本題通過(guò)將“兩點(diǎn)的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的”轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)等于球的半徑”，將“經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π,求球的半徑”轉(zhuǎn)化成“求周長(zhǎng)為4π的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)”，從而將球面上兩點(diǎn)間的距離、弧長(zhǎng)公式及圓內(nèi)接正三角形三者作為整體，體現(xiàn)了等價(jià)化歸的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的解決.
(2)將舊知識(shí)靈活巧妙地應(yīng)用到新問(wèn)題中，需有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)引起重視的一個(gè)重要方面.
二、“兩點(diǎn)間的球面距離”的學(xué)習(xí)
1.在“兩點(diǎn)間的球面距離”的教學(xué)中，應(yīng)注意些什么？
答：(1)球面上兩點(diǎn)間的距離，必須是在球的過(guò)此兩點(diǎn)的大圓中求此兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度，而不能在過(guò)此兩點(diǎn)的球的小圓中求.
(2)球面上兩點(diǎn)間的距離指的是球面上兩點(diǎn)之間的最短距離.
2.球面上兩點(diǎn)間的距離的求法.
設(shè)球面上兩點(diǎn)間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點(diǎn)間距離為|α|R,所以求球面上兩點(diǎn)間距離的關(guān)鍵是確定球心角.
(1)兩點(diǎn)在同一經(jīng)線圓上，可直接計(jì)算兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度.
(2)兩點(diǎn)在同一緯線圓上，先求弦長(zhǎng)，由余弦定理求球心角，化為弧度，再用l=|α|r可求得.
(3)兩點(diǎn)經(jīng)緯度都不同時(shí)，用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)，再由余弦定理求球心角.對(duì)于這一種情況，高考不作要求.
［例3］設(shè)地球半徑為R，城市A位于東經(jīng)90°，北緯60°，城市B位于東經(jīng)150°，北緯60°，求城市A與城市B之間的距離.
分析：因所求A、B兩點(diǎn)在同一緯線圓上，故需先求出弦長(zhǎng)，由余弦定理求球心角，再用l=|α|r求得A、B兩點(diǎn)間的球面距離.
解：如圖，設(shè)北緯60°緯度圓圓心為O′，則∠AO1B=60°,
∵r=Rcos60°=R,
∴AB=R.
在△AOB中，
cosAOB===,
∴∠AOB=arccos.
∴過(guò)A、B的大圓的劣弧長(zhǎng)為Rarccos.
∴A、B的球面距離為Rarccos.
●備課資料
一、球體積公式的學(xué)習(xí)
球體積公式敘述了球的體積與球半徑之間的函數(shù)關(guān)系，即V（R）=πR3,教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進(jìn)而求出球的體積方法.下面，我們通過(guò)例題的分析,體會(huì)不同條件下對(duì)球半徑R不同的求法.
［例1］一個(gè)體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則此球的體積是
A.πB.4π
C.πD.4(+1)π
分析：正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對(duì)稱圖形知，它們的中心重合，這樣就找到了正方體的對(duì)角線與球直徑相等這一重要關(guān)系.
解：∵正方體的體積是8,
∴正方體的棱長(zhǎng)為2.
又∵球的半徑與內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系為2r=a,
∴r=.
∴球的體積V=π()2=4π.
答案：B
評(píng)述：此題的關(guān)鍵是尋找球半徑與其內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.
［例2］正三棱錐P—ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為l,兩側(cè)棱的夾角為2α，求它的外接球的體積.
分析：利用正三棱錐的性質(zhì)及平面幾何知識(shí)求出球的半徑.
解：如圖所示，作PD⊥底面ABC于D，則D為正△ABC的中心.
∵OD⊥底面ABC，
∴P、O、D三點(diǎn)共線.
∵PA=PB=PC=l,∠APB=2α,
∴AB==2lsinα.
∴AD=AB=lsinα.
再設(shè)∠APD=β，作OE⊥PA于E點(diǎn)，
在Rt△APD中，
∵sinβ==sinα,
又OP=OA=R，
∴PE=PA=l.
在Rt△POE中，
∵R=PO==,
∴V球=π［］3.
∴V球=.
評(píng)述：此題應(yīng)準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的特點(diǎn)，找出幾何體內(nèi)各個(gè)元素之間的關(guān)系，進(jìn)而求出球的半徑.
［例3］一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球.
求：（１）圓錐的側(cè)面積；
（２）圓錐內(nèi)切球的體積.
分析：作出軸截面圖，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知△ABC的外接圓半徑和高，求它的邊AB、BC的長(zhǎng)和內(nèi)切圓半徑，可通過(guò)平面幾何知識(shí)解決.
解：（1）如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內(nèi)接于⊙O，而⊙O1內(nèi)切于△SAB.
設(shè)⊙O的半徑為R，則有
πR3=972π.
∴R3=729,R=9.
∴SE=18.
已知SD=16,
∴ED=2.連結(jié)AE，則由SE是直徑，SA⊥AE，SA2=SDSE=1816=288，
∴SA=12.
∵AB⊥SD，
∴AD2=SDDE=16×2=32.
∴AD=4.
∴S圓錐側(cè)=π412=96π.
(2)設(shè)內(nèi)切球O1的半徑為r,
∵△SAB的周長(zhǎng)為2（12+4）=32,
∴r×32=×8×16.
∴r=4.
∴內(nèi)切球O1的體積V球=πr3=π.
評(píng)述：(1)在處理與球有關(guān)的相接切問(wèn)題時(shí)，一般要通過(guò)作一適當(dāng)?shù)慕孛?，將?wèn)題由立體轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，而這類截面常指的是圓錐的軸截面、球的大圓等.
(2)通過(guò)此例的分析，應(yīng)使學(xué)生注意歸納、總結(jié)解決數(shù)學(xué)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題的規(guī)律和方法.
二、參考練習(xí)題
1.球與正四面體的6條棱都相切，則球與正四面體的體積比是多少？
解：如圖所示，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a,球半徑為R，取AB中點(diǎn)E，CD中點(diǎn)F，連結(jié)AF、CF，則AF=BF=,
∴EF⊥AB.同理可得EF⊥CD.
∴EF是AB、CD的公垂線.
∴EF是AB、CD的距離,
EF===a.
又∵球與正四面體的6條棱都相切,
∴EF是該球的直徑，即2R=a.
∴R3=a3.
∴V球=πR3=πa3=πa3.
又V正四面體=a3,
∴V球∶V正四面體=π∶2.
2.棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的外接球的體積是多少？
解：如圖所示，設(shè)正四棱錐P—ABCD，作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OC=OD=a.
又∵PA=PC=a,AC=a,
∴∠APC=90°.
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OP=a.
∵點(diǎn)O到A、B、C、D的距離相等,
∴球半徑R=OA=a.
∴V球=π(a)3=πa3.
●備課資料
一、球表面積公式的學(xué)習(xí)
球的表面積公式敘述了球的表面積與球半徑之間的函數(shù)關(guān)系，即S（R）=4πR2,教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握在各種不同條件下求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.下面，我們通過(guò)例題的分析體會(huì)不同條件下對(duì)球半徑R的不同求法.
［例1］正方體的全面積是a2,它的頂點(diǎn)都在這個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是
A.B.
C.2πa2D.3πa2
分析：正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對(duì)稱圖形知，它們的中心重合，這樣，就找到正方體的對(duì)角線與球直徑相等這一結(jié)論了.
解：設(shè)球的半徑為R，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2R.
依題意，R2=a2,
即R2=a2.
∴S球=4πR2=4πa2=.
答案：B
［例2］長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是
A.20πB.25π
C.50πD.200π
分析：由長(zhǎng)方體內(nèi)接于球可以得到長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.
解：設(shè)球的半徑為R，則（2R）2=32+42+52.
∴R2=.
∴S球表面積=4πR2=4π=50π.
答案：C
［例3］已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是
A.πB.π
C.4πD.π
分析：設(shè)球心是O，可借助三棱錐O—ABC進(jìn)行分析解決，三棱錐O—ABC是正三棱錐，OD是高，OA等于球的半徑R，AB=BC=CA=2，為求球面積S，只需求出R即可.
解：∵D是正△ABC的中心,
∴AD是△ABC的外接圓半徑.
∵AD==,
又OD=R=OA，
OA2=OD2+AD2,
∴R2=R2+.
∴R2=.
∴球面積S=4πR2=π.
答案：D
［例4］長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為、、，則它的外接球的表面積為_(kāi)_______.
分析：根據(jù)球內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與球直徑相等及矩形面積公式求得球半徑.
解：設(shè)長(zhǎng)方體的有公共頂點(diǎn)的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為x、y、z,則由已知有
解得
∴球的半徑R=AB==.
∴S球=4πR2=9π.
［例5］在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2,求球的表面積.
分析：畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑.
解：如圖，圓O為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，
AO1∥BO2，且若O1、O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設(shè)球半徑為R.
∵πO2B2=49π,∴O2B=7cm.
同理πO1A2=400π.∴O1A=20cm.
設(shè)OO1=xcm,則OO2=（x+9)cm.
在Rt△OO1A中，R2=x2+202;
在Rt△OO2B中，R2=（x+9)2+72,
∴x2+20=72+(x+9)2,解得x=15.
∴R2=x2+202=252.∴R=25.
∴S球=4πR2=2500πcm2.
∴球的表面積為2500πcm2.
評(píng)述：(1)例1、例4解決的關(guān)鍵在于分析球半徑與其內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線之間的關(guān)系，從而求出球半徑.
(2)如果能注意到例3是一選擇題，則除用以上方法計(jì)算求出答案外，還可以用估值方法作出判斷：設(shè)球半徑為R，球面積是S，根據(jù)棱錐和三角形的性質(zhì)，有R=OAADAB=1,
∴S=4πR24π.∴可排除A、B、C.
顯然，這種方法帶給我們簡(jiǎn)潔、明快的感覺(jué)，同時(shí)也提高了做題的速度.
二、與圓錐的內(nèi)切球有關(guān)的問(wèn)題的處理方法
在遇到圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題時(shí)，常常引進(jìn)母線與底面所成的角為參數(shù)，使得圓錐的底面半徑和高均可用這個(gè)參數(shù)表示出來(lái)，進(jìn)而使問(wèn)題獲解.
［例6］如圖所示，已知P是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn)，過(guò)P作半圓的切線，分別交直徑BA的延長(zhǎng)線于S點(diǎn)，交過(guò)B的半圓的切線于C點(diǎn)，將圖形繞SB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)球，若球的表面積為4π,求當(dāng)圓錐的體積最小時(shí)，該圓錐的表面積.
分析：求出圓錐體積最小時(shí)的圓錐形狀是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而圓錐的體積則與它的底面半徑及高有關(guān)，因此需要由已知條件列出圓錐體積與其底面半徑和高的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題得到解決.
解：圖中SDC為圓錐的軸截面，設(shè)球半徑為r,∵S球=4π,∴r=1.
連結(jié)OC，設(shè)∠SCB=2θ，則∠OCD=θ,
∴圓錐底面半徑BC=cotθ,圓錐的高SB=cotθtan2θ,
圓錐的體積V=π(cotθ)2tan2θcotθ=.
由02θ,∴0θ.
∴tan2θ1,1-tan2θ0.
由0tan2θ(1-tan2θ)≤()2=,當(dāng)且僅當(dāng)1-tan2θ=tan2θ,即tanθ=時(shí)“=”成立.
當(dāng)圓錐底面半徑BC=cotθ=,高SD=cotθtan2θ=4時(shí)，圓錐體積取得最小值.
此時(shí)，圓錐表面積S=πBC2+πBCSC=π()2+π=8π.
評(píng)述：(1)以上例題中，通過(guò)設(shè)圓錐母線與底面所成角為２θ，使圓錐的底面半徑與高均可用θ表示出來(lái)，將體積化為θ的函數(shù)，再運(yùn)用平均不等式求最值.
(2)運(yùn)用平均不等式求最值時(shí)，要注意其條件，特別是取等號(hào)的條件不可忽視.
(3)對(duì)于以上tan2θ(1-tan2θ),也可用二次函數(shù)求它的最大值，從而得到體積的最小值.而圓錐的形狀也可由SA的大小決定，設(shè)為x，則圓錐的高為x+2,底面半徑也用x表示.
∵BC=PC，SP2=SASB,
∴BC=.
∴V=π()2(x+2).
當(dāng)V取最小值時(shí)，x=2.
(4)對(duì)本課時(shí)教案例2的處理也可用以下方法得到處理：
設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,內(nèi)切球半徑為R，設(shè)∠OAO1=θ，則由切線的性質(zhì)可得∠SAO=∠OAO1=θ,∠SAO1=2θ,
∴r=Rcotθ,l==.
∴πR2cot2θ+πRcotπ=24πR2.
∴cot2θ+=8.∴1+=8tan2θ,
即=8.
∴9cos22θ-6cos2θ+1=0.
∴cos2θ=.
∴===3.
●備課資料
與球有關(guān)的綜合問(wèn)題的解決方法
與球有關(guān)的綜合問(wèn)題，常常體現(xiàn)在球與
其他幾何體相接切問(wèn)題中，它是知識(shí)與能力的結(jié)合，要求我們對(duì)球的定義及其性質(zhì)熟練掌握,并要注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，達(dá)到鞏固知識(shí)、提升能力的目的.下面通過(guò)對(duì)例題的分析，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想與方法.
［例題］圓錐的內(nèi)切球半徑為r,求圓錐體積的最小值.
分析：通過(guò)作圓錐的軸截面及它截內(nèi)切球所得的截面圓，尋找圓錐與球之間的主要元素關(guān)系，使問(wèn)題獲解.
解：如圖，設(shè)圓錐母線與底面所成的角為2α，則圓錐的底面半徑R=,
高h(yuǎn)=Rtan2α==.
圓錐的體積V=πR2h=π
=πr3≥πr3=πr3.
當(dāng)且僅當(dāng)tan2α=1-tan2α,
即tanα=,α=arctan時(shí)，取等號(hào).
又∵0α,∴arctan∈(0,).
∴V的最小值為r3.
評(píng)述：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)作一個(gè)合適的截面，使空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.
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教學(xué)目標(biāo)
了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的有關(guān)概念．認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球及其簡(jiǎn)單組合體的機(jī)構(gòu)特征．
重點(diǎn)難點(diǎn)
圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的概念的理解．1引入新課
1．下面幾何體有什么共同特點(diǎn)或生成規(guī)律？
2．圖中的幾何體可由一平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)形成，該平面圖形是（）
A
B
C
D
3．用平行與圓柱底面的平面截圓柱，截面是_____________________________________．
4．_____________________可以看作圓柱的一個(gè)底面收縮為圓心時(shí)，形成的空間幾何體．
5．用平行于圓錐底面的一平面去截此圓錐，則底面和截面間的部分的名稱是_________．
6．如圖是一個(gè)圓臺(tái)，請(qǐng)標(biāo)出它的底面、軸、母線，并指出它是怎樣生成的．
二提高題
7．請(qǐng)指出圖中的幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的．三能力題
8．如圖，將直角梯形繞、邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？
A
D
C
B
圖1
A
圖2
D
B
C
球的表面積與體積
第三課時(shí)球的表面積與體積
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.
（2）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2．過(guò)程與方法
通過(guò)作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值
讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：球的表面積與體積的計(jì)算
難點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算
（三）教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課引入復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積，點(diǎn)出主題.師生共同復(fù)習(xí)，教師點(diǎn)出點(diǎn)題（板書）復(fù)習(xí)鞏固
探索新知1．球的體積：
2．球的表面積：
師：設(shè)球的半徑為R，那么它的體積：，它的面積現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察這兩個(gè)公式，思考它們都有什么特點(diǎn)？
生：這兩個(gè)公式說(shuō)明球的體積和表面積都由球的半徑R惟一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函數(shù).
師(肯定)：球的體積公式和球的表面積公式以后可以證明.這節(jié)課主要學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.加強(qiáng)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生理解能力
典例分析例1如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：
（1）球的體積等于圓柱體積的；
（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.
證明：（1）設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.
因?yàn)椋?br>
，
所以，.
（2）因?yàn)椋?br>
，
所以，S球=S圓柱側(cè).
例2球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3:4，則球的體積與圓臺(tái)的體積之比為（）
A．6:13B．5:14
C．3:4D．7:15
【解析】如圖所示，作圓臺(tái)的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內(nèi)切于梯形ABCD.
設(shè)球的半徑為R，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識(shí)知，圓臺(tái)的高為2R，母線長(zhǎng)為r1+r2.
∵∠AOB=90°，OE⊥AB(E為切點(diǎn))，
∴R2=OE2=AEBE=r1r2.
由已知S球∶S圓臺(tái)側(cè)=4R2∶(r1+r2)2=3∶4
(r1+r2)2=
V球∶V圓臺(tái)=
=故選A.
例3在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的體積.
解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，
PA=PB=PC=a.
∴以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.
又∵P、A、B、C四點(diǎn)是球面上四點(diǎn)，
∴球是正方體的外接球，正方體的對(duì)角線是球的直徑.
∴.
∴
教師投影例1并讀題，學(xué)生先獨(dú)立完成.教師投影答案并點(diǎn)評(píng)（本題聯(lián)系各有關(guān)量的關(guān)鍵性要素是球的半徑）
教師投影例2并讀題，
師：請(qǐng)大家思考一下這道題中組合體的結(jié)構(gòu)特征.
生：球內(nèi)切于圓臺(tái).
師：你準(zhǔn)備怎樣研究這個(gè)組合體？
生：畫出球和圓臺(tái)的軸截面.
師：圓臺(tái)的高與球的哪一個(gè)量相等？
生：球的直徑.
師：根據(jù)球和圓臺(tái)的體積公式，你認(rèn)為本題解題關(guān)鍵是什么？
生：求出球的半徑與圓臺(tái)的上、下底面半徑間的關(guān)系.
師投影軸截面圖，邊分析邊板書有關(guān)過(guò)程.
師：簡(jiǎn)單幾何體的切接問(wèn)題，包括簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)外切和內(nèi)外接，在解決這類問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確地畫出它們的圖形，一般要通過(guò)一些特殊點(diǎn)，如切點(diǎn)，某些頂點(diǎn)，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，研究有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而把問(wèn)題解決.
教師投影例3并讀題，學(xué)生先思考、討論，教師視情況控制時(shí)間，給予引導(dǎo)，最后由學(xué)生分析，教師板書有關(guān)過(guò)程.
師：計(jì)算球的體積，首先必須先求出球的半徑.由于PA、PB、PC是兩兩垂直的而且相等的三條棱，所以P–ABC可以看成一個(gè)正方體的一角，四點(diǎn)P、A、B、C在球上，所以此球可視為PA、PB、PC為相鄰三條棱的正方體的外接球，其直徑為正方體的對(duì)角線.本題較易，學(xué)生獨(dú)立完成，有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決的能力.
通過(guò)師生討論，突破問(wèn)題解決的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和問(wèn)題解決的能力.
本題有兩種解題方法，此處采用構(gòu)造法解題，目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想，轉(zhuǎn)化化歸的能力.另一種方法，因要應(yīng)用球的性質(zhì)，可在以后討論.
隨堂練習(xí)1．（1）將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍，它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍？
（2）一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是acm，求球的體積.
（3）一個(gè)球的體積是100cm2，試計(jì)算它的表面積(取3.14，結(jié)果精確到1cm2，可用計(jì)算器).
參考答案：
1．（1）8倍；（2）（3）104.學(xué)生獨(dú)立完成鞏固所學(xué)知識(shí)
歸納總結(jié)1．球的體積和表面積
2．等積變換
3．軸截面的應(yīng)用學(xué)生獨(dú)立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識(shí)，提高學(xué)生自我整合知識(shí)的能力.
課后作業(yè)1.3第三課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化練習(xí)
提升能力
備用例題
例1．已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面積與球的體積．
【分析】可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直于截面小圓平面．
【解析】如圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，則O1是△ABC的外心．
設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC=BC，則O1∈CM．
設(shè)O1M=x，易知O1M⊥AB，則O1A=，O1C=CM–O1M=–x
又O1A=O1C
∴．解得
則O1A=O1B=O1C=．
在Rt△OO1A中，O1O=，∠OO1A=90°，OA=R，
由勾股定理得．解得．
故．
例2．如圖所示棱錐P–ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱錐的高．
（1）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑；
（2）求四棱錐外接球的半徑．
【分析】（1）當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時(shí)球的半徑最大，即球心到各個(gè)面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解．（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點(diǎn)的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可．球心O在過(guò)底面中心E且垂直于底面的垂線上．
【解析】（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R．
，
，
，
S□ABCD=a2．
VP–ABCD=VS–PDA+VS–PDC+VS–ABCD+VS–PAB+Vs–PBC，
，
，
所以，，
即球的最大半徑為．
（2）法一：設(shè)PB的中點(diǎn)為F．
因?yàn)樵赗t△PDB中，F(xiàn)P=FB=FD，
在Rt△PAB中，F(xiàn)A=FP=FB，
在Rt△PBC中，F(xiàn)P=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F為四棱錐外接球的球心，則FP為外接球的半徑．
法二：球心O在如圖EF上，設(shè)OE=x，EA=，
又
即球心O在PB中點(diǎn)F上．
【評(píng)析】方法二為求多面體（底面正多面邊形）外接球半徑的通法；求多面體內(nèi)切球半徑經(jīng)常采用體積分割求和方法．
柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征教案
作為老師的任務(wù)寫教案課件是少不了的，大家正在計(jì)劃自己的教案課件了。各行各業(yè)都在開(kāi)始準(zhǔn)備新的教案課件工作計(jì)劃了，才能更好的在接下來(lái)的工作輕裝上陣！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？以下是小編為大家收集的“柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征教案”僅供參考，希望能為您提供參考！
第一課時(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）通過(guò)實(shí)物操作，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知.
（2）能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對(duì)空間物體進(jìn)行分類.
（3）會(huì)用語(yǔ)言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.
（4）會(huì)表示有關(guān)于幾何體以及柱、錐、臺(tái)的分類.
2．過(guò)程與方法
（1）讓學(xué)生通過(guò)直觀感受空間物體，從實(shí)物中概括出柱、錐、臺(tái)、球的幾何結(jié)構(gòu)特征.
（2）讓學(xué)生觀察、討論、歸納、概括所學(xué)的知識(shí).
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
（1）使學(xué)生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實(shí)生活周圍，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)提高學(xué)生的觀察能力.
（2）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象概括能力.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.
難點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的概括.
（三）教學(xué)方法
通過(guò)提出問(wèn)題，學(xué)生觀察空間實(shí)物及模型，先獨(dú)立思考空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后相互討論、交流，最后得出完整結(jié)論.
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
復(fù)習(xí)引入1．小學(xué)與初中在平面上研究過(guò)哪些幾何圖形？在空間范圍上研究過(guò)那些？
2．你能根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)對(duì)下列幾何體進(jìn)行分類嗎？（展示具有柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)的空間物體）1．學(xué)生回憶，相互交流教師對(duì)學(xué)生給予及時(shí)評(píng)價(jià).
2．教師對(duì)學(xué)生分類進(jìn)行整理。分類多面體和旋轉(zhuǎn)體分類，分類二按柱、錐、臺(tái)、球分類以舊導(dǎo)新
棱柱的結(jié)構(gòu)特征1．觀察教科書第2頁(yè)中和圖（2）、（5）、（7）、（9），它們各自的特點(diǎn)是什么？在歸納的過(guò)程中，可引導(dǎo)學(xué)生從圍成幾何體的面的特征去觀察，從而得出棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征.
1．有兩個(gè)面互相平行；
2．其余各面都是平行四邊形；
3．每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.
引出棱柱概念之前，應(yīng)注意對(duì)具體的棱柱的特點(diǎn)進(jìn)行充分分析，讓學(xué)生能夠經(jīng)歷共同特點(diǎn)的概括過(guò)程.
在得到棱柱的結(jié)構(gòu)特征后教師歸結(jié)棱柱定義，并結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)棱柱有關(guān)概念.從分析具體棱柱的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)概括共同特點(diǎn)得出棱柱的結(jié)構(gòu)特征.
例1如圖，過(guò)BC的截面截去長(zhǎng)方形的一角，所得的幾何體是不是棱柱？
解析：以A′ABB′和D′DCC′為底即知所得幾何體是棱柱.
例2觀察螺桿頭部模型，有多少對(duì)平行的平面？能作為棱柱底面的有幾對(duì)？
解析：略
教師投影例一并讀題.
有的學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為不是棱柱，因?yàn)槿绻x擇上下兩平面為底，則不符合棱柱結(jié)構(gòu)特征的第二條.
引導(dǎo)學(xué)生討論：如何判定一個(gè)幾何體是不是棱柱？
教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把學(xué)生的注意力引導(dǎo)到用概念進(jìn)行判斷上來(lái)，即看所給的幾何體是否符合棱柱定義的三個(gè)條件.
教師投影例2并讀題.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出，平行平面共有四對(duì)，但能作為棱柱底面的只有一對(duì)，即上下兩個(gè)平行平面.
引導(dǎo)學(xué)生探究：棱柱的哪些平行的面能作為底面，此時(shí)側(cè)面是什么？哪些平行的平面不能作為底面？通過(guò)改變棱柱放置的位置（變式），引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用概念判別幾何體.加深對(duì)棱柱結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).
棱錐的結(jié)構(gòu)特征1．觀察教材節(jié)2頁(yè)的圖（14）（15）它們有什么共同特征？
2．請(qǐng)類比棱柱、得出相關(guān)概念，分類及表示.學(xué)生進(jìn)行觀察、討論、然后歸納，教師注意引導(dǎo)，整理.得出棱錐的結(jié)構(gòu)特征，有關(guān)概念分類及表示方法.
棱錐的結(jié)構(gòu)特征：
1．有一個(gè)面是多邊形.
2．其余各面都是有一個(gè)公共點(diǎn)的三分形.從分析具體棱錐出發(fā)，通過(guò)概括棱錐的共同特點(diǎn)，得出棱錐的結(jié)構(gòu)特征.
棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1．觀察教材第2頁(yè)中圖（13）、（16），思考它們可以怎樣得到？有什么共同特征？
2．請(qǐng)仿照棱錐中關(guān)于側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)的定義，給棱臺(tái)相關(guān)概念下定義.教師在學(xué)生討論中可引導(dǎo)學(xué)生思考棱臺(tái)可以怎樣得到，從而迅速得出棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.
由一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分.突出棱臺(tái)的形成過(guò)程，把握棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.
圓柱的結(jié)構(gòu)特征觀察下面這個(gè)幾何體（圓柱）及得到這種幾何體的方法，思考它與棱柱的共同特點(diǎn)，給它定個(gè)名稱并下定義.
教師演示，學(xué)生觀察，然后學(xué)生給出圓柱的名稱及定義，教師給出側(cè)面、底面、軸的定義.
以矩形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)而成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.
圓柱和棱錐統(tǒng)稱為柱體.
突出圓柱的形成過(guò)程，把握?qǐng)A柱的結(jié)構(gòu)特征.
圓錐的結(jié)構(gòu)特征1．觀察下面這個(gè)幾何體（圓錐）及得到這種幾何體的方法，思考它與棱錐的共同特點(diǎn)，給它定個(gè)名稱并下定義.
2．能否將軸改為斜邊？以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體.
圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體.突出圓錐的形成過(guò)程，把握?qǐng)A錐的結(jié)構(gòu)特征.
圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征下面這種幾何體稱為圓臺(tái)，請(qǐng)思考圓臺(tái)可以用什么辦法得到？請(qǐng)?jiān)诮滩膱D11-9上標(biāo)上圓臺(tái)的軸、底面、側(cè)面、母線.
學(xué)生1：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分.
學(xué)生2：以直角梯形，垂直于底面的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體（教師演示）
師：棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.開(kāi)放性設(shè)計(jì)，學(xué)生推理與教師演示結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性與靈活性，加深學(xué)生對(duì)概念理解.
球的結(jié)構(gòu)特征觀察球的模型，思考球可以用什么辦法得到？球上的點(diǎn)有什么共同特點(diǎn).
學(xué)生1：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)思，半圓面旋轉(zhuǎn)一圓形的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.（教師演示）
學(xué)生2：球上的點(diǎn)到求心的距離等于定長(zhǎng).
教師講解球的球心、半徑、直徑、表示方法.開(kāi)放性設(shè)計(jì)，學(xué)生推理與教師演示結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性與靈活性，加深學(xué)生對(duì)概念理解.
歸納總結(jié)簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)概念.學(xué)生總結(jié)，然后老師補(bǔ)充.回顧反思、歸納知識(shí)、提升學(xué)生知識(shí)、整合能力.
課后作業(yè)1.1第一課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成鞏固知識(shí)
提升能力
備用例題
例1下列命題中錯(cuò)誤的是（）
A．圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中面積最大的一個(gè)
B．圓錐的軸截面是所有過(guò)頂點(diǎn)的截面中面積最大的一個(gè)
C．圓臺(tái)的所有平行于底面的截面都是圓
D．圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形
【解析】圓錐的母線長(zhǎng)相長(zhǎng)，設(shè)為l，若圓錐截面三角形頂角為，圓錐軸截面三角形頂角為，則0＜≤.當(dāng)≤90°時(shí)，截面面積S=≤.當(dāng)90°＜＜180°時(shí).截面面積S≤，故選B.
例2根據(jù)下列對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說(shuō)出幾何體的名稱.
（1）由八個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正六邊形，其它各面都是矩形；
（2）一個(gè)等腰梯形繞著兩底邊中點(diǎn)的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形.
【分析】要判斷幾何體的類型，首先應(yīng)熟練掌握各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征.
【解析】（1）如圖1，該幾何體滿足有兩個(gè)面平行，其余六個(gè)面都是矩形，可使每相鄰兩個(gè)面的公共邊都相互平行，故該幾何體是六棱柱.
（2）如圖2，等腰梯形兩底邊中點(diǎn)的連線將梯形平分為兩個(gè)直角梯形，每個(gè)直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個(gè)圓臺(tái)，故該幾何體為圓臺(tái).
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，要對(duì)原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?，再根?jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.
例3把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1:4，母線長(zhǎng)是10cm，求圓錐的母線長(zhǎng).
【分析】畫出圓錐的軸截面，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.
【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為ycm，圓臺(tái)上、下底面半徑分別是xcm、4xcm.作圓錐的軸截面如圖.在Rt△SOA中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA=O′A′∶OA，即（y-10）∶y=x∶4x.∴y=13.
∴圓錐的母線長(zhǎng)為13cm
【點(diǎn)評(píng)】圓柱、圓錐、圓臺(tái)可以看做是分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體，其軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形，這些軸截面集中反映了旋轉(zhuǎn)體的各主要元素，處理旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問(wèn)題一般要作出軸截面.
球的體積和表面積
球的體積和表面積
課型：新授課
一.教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能
⑴通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識(shí)。
⑵能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題。
⑶培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力。
2.過(guò)程與方法
通過(guò)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式Ｖ＝πR3和面積公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想。
3.情感與價(jià)值觀
通過(guò)學(xué)習(xí)，使我們對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了我們探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心。
二.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。
難點(diǎn)：推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成。
三.學(xué)法和教學(xué)用具
１．學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，發(fā)揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。
２．教學(xué)用具：多媒體課件
四.教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）創(chuàng)設(shè)情景
⑴教師提出問(wèn)題：球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像在柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。
⑵教師設(shè)疑：球的大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？激發(fā)學(xué)生推導(dǎo)球的體積和面積公式。
（二）探究新知
1．球的體積：
如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小之時(shí)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應(yīng)的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行。
步驟：
第一步：分割
如圖：把半球的垂直于底面的半徑ＯＡ作n等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。
如圖：
得
第二步：求和
第三步：化為準(zhǔn)確的和
當(dāng)n→∞時(shí)，→0（同學(xué)們討論得出）
所以
得到定理：半徑是Ｒ的球的體積
練習(xí)：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面積：
球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數(shù),由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導(dǎo)圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導(dǎo)球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”方法推導(dǎo)。
思考：推導(dǎo)過(guò)程是以什么量作為等量變換的？
半徑為R的球的表面積為Ｓ＝４πR2
練習(xí)：長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，是它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是。（答案50元）
（三）體積公式的實(shí)際應(yīng)用：
例①：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g，外徑是5.0cm，求它的內(nèi)徑.（鋼密度7.9g/cm3）
討論：如何求空心鋼球的體積？
→列式計(jì)算→小結(jié)：體積應(yīng)用問(wèn)題.
②有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為R的球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求此時(shí)容器中水的深度.
③探究阿基米德的科學(xué)發(fā)現(xiàn)：圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的.
五、課堂小結(jié)：
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了球的體積和球的表面積公式的推導(dǎo)，以及利用公式解決相關(guān)的球的問(wèn)題，了解了推導(dǎo)中的“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的解題方法。
六、作業(yè)：1、P28練習(xí)1、2、3
2、⑴正方形的內(nèi)切球和外接球的體積的比為，表面積比為。
（答案：；3：1）
⑵在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。（答案：2500πcm2）
七、課后記：
