高中函數(shù)教案

余弦函數(shù)誘導公式教案（2）。

相關知識

正弦函數(shù)誘導公式教案（2）

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式
——正弦函數(shù)
一、教學目標：
1、知識與技能
（1）進一步熟悉單位圓中的正弦線；
（2）理解正弦誘導公式的推導過程；
（3）掌握正弦誘導公式的運用；
（4）能了解誘導公式之間的關系，能相互推導；
（5）理解并掌握正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、最大（?。┲?、單調(diào)性、奇偶性；
（6）能熟練運用正弦函數(shù)的性質(zhì)解題。
2、過程與方法
通過正弦線表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,從而體會各正弦線之間的關系；或從正弦函數(shù)的圖像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，讓學生從中發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的誘導公式；通過正弦函數(shù)在R上的圖像，讓學生探索出正弦函數(shù)的性質(zhì)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習。
3、情感態(tài)度與價值觀
通過本節(jié)的學習，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力、探索歸納能力；讓學生體驗自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學生的自信心；使學生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途經(jīng)；培養(yǎng)學生形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。
二、教學重、難點
重點:正弦函數(shù)的誘導公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)。
難點:誘導公式的靈活運用，正弦函數(shù)的性質(zhì)應用。
三、學法與教學用具
在上一節(jié)課的基礎上，運用單位圓中正弦線或正弦函數(shù)圖像中角的關系，引發(fā)學生探索出正弦函數(shù)的誘導公式；通過例題和練習掌握誘導公式在解題中的作用；在正弦函數(shù)的圖像中，直觀判斷出正弦函數(shù)的性質(zhì)，并能上升到理性認識；理解掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)；以學生的自主學習和合作探究式學習為主。
教學用具:投影機、三角板
第一課時正弦函數(shù)誘導公式
一、教學思路
【創(chuàng)設情境，揭示課題】
在上一節(jié)課中，我們已經(jīng)學習了任意角的正弦函數(shù)定義，以及終邊相同的角的正弦函數(shù)值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，這一公式體現(xiàn)了求任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°～360°的角的正弦函數(shù)值。如果還能把0°～360°間的角轉(zhuǎn)化為銳角的正弦函數(shù)，那么任意角的正弦函數(shù)就可以查表求出。這就是我們這一節(jié)課要解決的問題。
【探究新知】
1．復習：（公式1）sin(360k+)=sin
2．對于任一0到360的角，有四種可能（其中為不大于90的非負角）

（以下設為任意角）

3.公式2：
設的終邊與單位圓交于點P(x,y)，則180+終邊
與單位圓交于點P’(-x,-y)，由正弦線可知：
sin(180+)=sin
4．公式3：
如圖：在單位圓中作出α與－α角的終邊，
同樣可得：
sin()=sin,
5．公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,
同理可得：sin(180)=sin,
6．公式5：sin(360)=sin
【鞏固深化，發(fā)展思維】
1．例題講評
例1．求下列函數(shù)值
（1）sin(－1650)；（2）sin(－15015’)；(3)sin(－π)
解：（1）sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210
＝－sin(180＋30)＝sin30＝
(2)sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)
＝－sin2945’＝－0.4962
(3)sin(－π)＝sin(－2π＋)＝sin＝
例2．化簡：
解：（略，見教材P24）
2．學生練習
二、歸納整理，整體認識
（1）請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的主要數(shù)學思想方法有那些？
（2）在本節(jié)課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
（3）你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？
三、課后反思

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式導學案

經(jīng)驗告訴我們，成功是留給有準備的人。教師要準備好教案，這是教師需要精心準備的。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，讓教師能夠快速的解決各種教學問題。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？下面是小編幫大家編輯的《§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式導學案》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式導學案
班級：__________小組：___________姓名：_____________
學習目標:
一、【目標】
1.借助單位圓認識和理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念。
2.會利用單位圓研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性。
3.知道誘導公式的推導過程；能概括誘導公式的特點。
4.能靈活運用誘導公式熟練正確地進行求值、化簡及變形。
5.提高對三角函數(shù)中單位圓思想的認識，培養(yǎng)借助圖形直觀進行觀察、感知探究、發(fā)現(xiàn)及邏輯推理的能力，滲透掌握分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想方
二、【學習重點、難點】
重點:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單位圓定義法;用聯(lián)系的觀點，發(fā)現(xiàn)并證明誘導公式。
難點:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義理解；如何引導學生從單位圓的對稱性與任意角終邊上點的對稱性，發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法。
教學計劃：
第一課時：

一、復習
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別寫出∠A的三角函數(shù)關系式：sinA＝_____，cosA=_____，sinB＝_____，cosB=_____，比較上述中，sinA與cosB，cosA與sinB的表達式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
2.周期函數(shù)：
3.同角三角函數(shù)關系：
二．預習
1.在直角坐標中，以_____為圓心，以_______為半徑的圓叫做單位圓。
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：一般地，在直角坐標系中，對任意角α（弧度制），使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點P（u，v），那么點P的縱坐標v，叫作角α的正弦函數(shù)，
記作v＝。點P的縱坐標u，叫作角α的余弦函數(shù)，記作u＝.
通常,我們用x，y分別表示自變量與因變量，將正、余弦函數(shù)分別表示為y＝sinx，y＝cosx.
定義域：_________________，
值域：___________________.
3、在直角坐標系中，設α是一個任意角,它的終邊上任意一點P(x,y),那么:
⑴正弦=__________，
⑵余弦=__________。
4.當角α的終邊分別在第一、二、三、四象限時，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的正負號：
象限
三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限
5.周期性：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，說明對于任意一個角α，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）為正弦函數(shù)的周期。
2π是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個，稱為_____________。一般地，對于周期函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的____________。
（余弦函數(shù)y＝cosx同上）.
三、合作探究
例1：將各特殊角的三角函數(shù)值填入下表。
x0
y=sinx
y=cosx

例2．已知角α的終邊經(jīng)過點P（2，－4），求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。

四、自我訓練
1.已知角α的終邊經(jīng)過點P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.
2.確定下列各三角函值的符號：
⑴cos250°;⑵sin(-π/4);
⑶sin(-672°);⑷cos3π;

3.已知sinθ＜0且cosθ＞0,確定θ角的象限.

第二課時：

一，問題的提出
求下列三角函數(shù)的值，公式一都能解決嗎？是否有必要研究新的公式？
sin1110°=
二，自主學習
（一）知識梳理：
則
公式一的作用：
4.（1）的終邊與角終邊關于__________________對稱
（2）的終邊與角終邊關于__________________對稱
（3）的終邊與角終邊關于__________________對稱
（4）的終邊與角終邊關于__________________對稱
5.如圖,設α為一任意角，α的終邊與單位圓的交點為P(x,y),角的終邊與單位圓的交點為P0,點P0與點P關于_____________成中心對稱,
因此點P0的坐標是__________________于是,我們有:

公式二：
_________________
_________________

類比公式二的得來，得：
公式三：
___________
______________

類比公式二,三的得來，得：
公式四：
__________________
______________________
對公式一，二，三，四用語言可概括為：
上述公式的作用：
將分別加上，三角函數(shù)值（會否）改變？是否可以得出，形如的角，求三角函數(shù)值的一般方法或口訣？

（二）合作探究
1、利用公式求下列三角函數(shù)值
（1）cos210；(2)
（3）；（4）．

拓展1：將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)
（1）=__________（2）=____________
(3)=____________(4)=___________

通過練習，你認為：（１）公式一至公式四如何理解記憶？
（２）你能夠自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？
2、化簡

3、化簡：（1）sin(+180)cos(—)sin(——180)
（2）sin(—)cos(2π+)tan(——π)

（三）學習小結(jié)：
1.誘導公式反映了各種不同形式的角的三角函數(shù)之間的相互關系，并具有一定的規(guī)律性，“奇變偶不變，符號看象限”，是記住這些公式的有效方法.
2.誘導公式是三角變換的基本公式，其中角α可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握、靈活變通.

正弦、余弦的誘導公式概念辨析

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學質(zhì)量。關于好的高中教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家精心整理的“正弦、余弦的誘導公式概念辨析”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

正弦、余弦的誘導公式概念辨析
公式二：
sin(180+)=-sin
cos(180+)=-cos
用弧度制可表示如下：
sin(π+)=-sin
cos(π+)=-cos
它刻畫了角180+與角的正弦值（或余弦值）之間的關系，這個關系是：以角終邊的反向延長線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對相反數(shù)．這是因為若設的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則角終邊的反向延長線，即180+角的終邊與單位圓的交點必為P(-x，-y)（如圖4-5-1）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x,
sin(180+)=-y,cos(180+)=-x,
∴sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos．

公式三：
sin(－)=－sin
cos(－)=cos
它說明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等．這是因為，若沒的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點必為P(x，-y)（如圖4-5-2）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得
sin=y，cos=x,
sin(-)=-y,cos(-)=x,
所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα
公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義．根據(jù)點P的坐標準確地確定點P的坐標是關鍵，這里充分利用了對稱的性質(zhì)．事實上，在圖1中，點P與點P關于原點對稱，而在圖2中，點P與點P關于x軸對稱．直觀的對稱形象為我們準確寫出P的坐標鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想的優(yōu)越性．
2．關于公式四和公式五
公式四是：sin(180-)=sin
cos(180-)=-cos
用弧度制可表示如下：sin(π-)=sin
cos(π-)=-cos
公式五是：sin(360-)=-sin
cos(360-)=cos
用弧度制可表示如下：sin(2π-)=-sin
cos(2π-)=cos
這兩組公式均可由前面學過的誘導公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學思想．公式的推導并不難，然而推導中的化歸意識和策略是值得我們關注的．
3．關于用一句話概括五組誘導公式的問題
五組誘導公式可概括為：+k360（k∈Z），-，180±，360-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．
這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個……符號”是指的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應添上一個符號（正號或負號，主要是負號，正號可省略），而這個符號是把任意角視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號．
教學時應注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角α看成銳角．建議通過實例分析說明．

正弦、余弦的誘導公式典型例題

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，高中教師要準備好教案，這是高中教師需要精心準備的。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，讓高中教師能夠快速的解決各種教學問題。關于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“正弦、余弦的誘導公式典型例題”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

正弦、余弦的誘導公式例題講析
例1．求下列三角函數(shù)的值
(1)sin240；(2)；
(3)cos(-252)；(4)sin（-）
解：（1）sin240=sin(180+60)＝－sin60=
(2)=cos==；
(3)cos(-252)=cos252=cos(180+72)=－cos72=－0.3090；
(4)sin（-）=－sin=－sin=sin=
說明：本題是誘導公式二、三的直接應用．通過本題的求解，使學生在利用公式二、三求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓練．本例中的（3）可使用計算器或查三角函數(shù)表．

例2．求下列三角函數(shù)的值
(1)sin(-11945′)；(2)cos；
(3)cos(-150)；(4)sin.
解：(1)sin(－11945′)=－sin11945′=－sin(180-6015′)=－sin6015′=－0.8682
(2)cos=cos()=cos=
(3)cos(-150)=cos150=cos(180-30)=－cos30=；
(4)sin=sin()=－sin=.
說明：本題是公式四、五的直接應用，通過本題的求解，使學生在利用公式四、五求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓練．本題中的（1）可使用計算器或查三角函數(shù)表．
例3．求值：
sin－cos－sin
略解：原式=-sin-cos-sin
=-sin-cos+sin
=sin+cos+sin
=++0.3090
=1.3090.
說明：本題考查了誘導公式一、二、三的應用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題．利用公式求解時，應注意符號．

例4．求值：
sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan855.
解：原式＝－sin(120+3360)cos(210+3360)
+cos(300+2360)[-sin(330+2360)]+tan(135+2360)
＝－sin120cos210－cos300sin330+tan135
＝－sin(180－60)cos(180+30)－cos(360－60)sin(360-30)+
=sin60cos30+cos60sin30－tan45
=+-1
=0
說明：本題的求解涉及了誘導公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關系．與前面各例比較，更具有綜合性．通過本題的求解訓練，可使學生進一步熟練誘導公式在求值中的應用．值得指出的是教材中的誘導公式未介紹正切，因此，計算tan135的值時應先用商數(shù)關系把tan135改寫成,再將分子分母分別用誘導公式進而求出tan135的值．

例5．化簡：
.
略解：原式===1.
說明：化簡三角函數(shù)式是誘導公式的又一應用，應當熟悉這種題型．

例6．化簡：
解：原式=
=
=
=.
說明：本題可視為例5的姐妹題，相比之下，難度略大于例5．求解時應注意從所涉及的角中分離出2的整數(shù)倍才能利用誘導公式一．

例7．求證：
證明：左邊=
=
=
=
=，
右邊==，
所以，原式成立．

例8．求證
證明：左邊＝
＝
＝tan3α＝右邊，
所以，原式成立．
說明：例7和例8是誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系式在證明三角恒等式中的又一應用，具有一定的綜合性．盡管問題是以證明的形式出現(xiàn)的，但其本質(zhì)是等號左、右兩邊三角式的化簡．

例9．已知．求：的值．
解：已知條件即，又，
所以：=
說明：本題是在約束條件下三角函數(shù)式的求值問題．由于給出了角的范圍，因此，的三角函數(shù)的符號是一定的，求解時既要注意誘導公式本身所涉及的符號，又要注意根據(jù)的范圍確定三角函數(shù)的符號．

例10．已知,
求:的值.
解：由，得
，
所以
故
=
=1＋tan＋2tan2
=1+
.
說明：本題也是有約束條件的三角函數(shù)式的求值問題，但比例9要復雜一些．它對于學生熟練誘導公式及同角三角函數(shù)關系式的應用．提高運算能力等都能起到較好的作用．

例11．已知的值．
解：因為，
所以：=＝－m
由于所以
于是：=，
所以：tan(=.
說明：通過觀察，獲得角與角之間的關系式=-（），為順利利用誘導公式求cos()的值奠定了基礎，這是求解本題的關鍵，我們應當善于引導學生觀察，充分挖掘的隱含條件，努力為解決問題尋找突破口，本題求解中一個鮮明的特點是誘導公式中角的結(jié)構要由我們通過對已知式和欲求之式中角的觀察分析后自己構造出來，在思維和技能上顯然都有較高的要求，給我們?nèi)碌母杏X，它對于培養(yǎng)學生思維能力、創(chuàng)新意識，訓練學生素質(zhì)有著很好的作用．

例12．已知cos，角的終邊在y軸的非負半軸上，求cos的值．
解：因為角的終邊在y軸的非負半軸上，
所以：=，
于是2（）=
從而
所以===
說明：本題求解中，通過對角的終邊在y軸的非負半軸上的分析而得的=，還不能馬上將未知與已知溝通起來．然而，當我們通過觀察，分析角的結(jié)構特征，并將它表示為2（）后，再將=代入，那么未知和已知之間隨即架起了一座橋梁，它為利用誘導公式迅速求值掃清了障礙．通過本題的求解訓練，對于培養(yǎng)學生的觀察分析能力以及思維的靈活性和創(chuàng)造性必將大有裨益．