小學(xué)數(shù)學(xué)角教案

空間角。

題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間角
高考要求
1掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念
2會求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角
知識點歸納
1．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點通常取在異面直線的一條上
異面直線所成的角的范圍：
2．求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法
3．直線和平面所成角
（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角
一直線垂直于平面，所成的角是直角
一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角
直線和平面所成角范圍：0，
（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角
4．公式：平面的斜線a與內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與相交成1角，a在上的射影c與b相交成2角，則有
5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；
6．二面角的平面角：
（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角
（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角
說明：①二面角的平面角范圍是；
②二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各個符號的含義是：是二面角的一個面內(nèi)圖形F的面積，是圖形F在二面角的另一個面內(nèi)的射影，是二面角的大小
9．三種空間角的向量法計算公式：
⑴異面直線所成的角：；
⑵直線與平面(法向量)所成的角：；
⑶銳二面角：，其中為兩個面的法向量
題型講解
例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
解法一：(幾何法)如圖，連結(jié)D1F1，
則D1F1
BC∴D1F1
設(shè)點E為BC中點
∴D1F1BEEF1
∴∠EF1A或補角即為所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A=．
解法二：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1
則A（－1，0，0），F(xiàn)1（－，0，1），
B（0，－1，0），D1（－，－，1）
即=（，0，1），=（－，，1）
∴cos，=
點評：解法一與解法二從兩個不同角度求異面直線所成的角．解法一體現(xiàn)傳統(tǒng)方法作—證—算；解法二把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點．
例2在正四面體ABCD中，E為AD的中點，求直線CE與平面BCD成的角．
分析:求線面角的關(guān)鍵在于找出斜線在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，線面角即可作出，然后轉(zhuǎn)化到三角形中求解．
解法一:取BC的中點F，連結(jié)AF、DF
∵正四面體ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
過E作EH⊥DF于H，
而DF平面BCD，則EH⊥面BCD
則∠ECH為CE與面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH=．
即CE與平面BCD成的角為arcsin．
解法二：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點，,OD,OA依次為y軸，z軸X軸平行于BC
設(shè)正四面體ABCD的棱長為，
則
∴
∵E為AD的中點，∴
∴
又因為平面BCD的法向量為，
∴即CE與平面BCD成的角滿足：
點評：求線面角的兩種方法
例3如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E為D1C1的中點，求二面角E—BD—C的正切值．
解法一：∵ABCD—A1B1C1D1是長方體，
∴作EF⊥面BCD，而E為的中點，則F為CD的中點，過F作FM⊥BD交BD于M，連EM，由三垂線定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E—BD—C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1×＝
∴tan∠EMF＝．
解法二：∵S△BDF＝S△EBDcosθ
而S△BDF＝BDFM＝＝，
又BD＝，ED＝，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB故S△EBD＝EDEB＝
∴cosθ＝；tanθ＝．
解法三：過E作棱BD的垂線EM交BD于M，過C點作棱BD的垂線CN交BD于N，E、C是異面直線EM、CN上兩點，CE＝．EM＝，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F(xiàn)為CD中點，
∴MN＝DM＝
∴2＝cosθ
cosθ＝，tanθ＝．
解法四：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
設(shè)平面DBE的方程為：（過原點D=0）
則
∴平面DBE的一個法向量為
又因為平面BCD的一個法向量為
二面角E—BD—C的余弦值為：
∴
點評：選此題意在通過此題使學(xué)生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂線定理及逆定理法，投影法，利用異面直線上兩點間的距離公式法．
例4正方體ABCD-EFGH的棱長為a，點P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直線PQ與平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直線PQ與AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量與的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐標(biāo)系后，求出
可由cos求解，
解（1）作QM⊥BC于M，連MP，則∠QMP就是直線PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM=，MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則
Q（0，P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
,=(0,a,0)
QP與AD所成的角為90°
例5如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值
分析：此題中二面角的棱沒有畫出，按常規(guī)解可延長BA，CD相交于E，則SE是二面角的棱，因為DA⊥面ABS，過點A作SE的垂線交SE于F，連結(jié)DF，則∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求兩個面的法向量所成的角或補角
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知是面SAB的法向量
設(shè)平面SCD的法向量=（x，y，z）
=0，
可推出令x=2,則有y=-1,z=1,=（2，-1，1）
設(shè)所求二面角的大小為θ，則
cosθ==
,tan
例6已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）證明：C1C⊥BD；
（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD請給出證明
證明：如設(shè)∠C1CB=θ，由題設(shè)，∠C1CD=∠BCD=θ令=，=，=，||=1，||=x，因為四邊形ABCD為菱形，所以||=1，
（1）∵-
∴=(-)=-
=1xcosθ-1xcosθ=0
∴C1C⊥BD
（2）假設(shè)A1C⊥平面C1BD成立
則A1C⊥C1D，從而=0
由于=-，=++
因此
=(++)(-)
=2++-c--2
=2++-2=1+11cosθ-1xcosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
從而(1-x)(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是說時，A1C⊥平面C1BD成立
點評：平行六面體的12條棱共分三組，每組四條棱兩兩平行，故可取共頂點的三條棱作為空間向量的基底，此題中，，三個共點向量為基底，其余向量可由此三個向量生成
小結(jié)：
空間角的求解有兩種方法一種是幾何法，另一種是向量法．
1．幾何法一般要有三個步驟．
（1）作圖：如上例中作出二面角的平面角及題中涉及的有關(guān)圖形等；
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；
（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．
2．向量法是把求角的問題轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角．這里平面的法向量常用待定系數(shù)法求解，平面的法向量是關(guān)鍵．
學(xué)生練習(xí)
1．異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a、b所成的角都是30°的直線有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
解析：將a、b平移到點P，則過P與a、b所成的角都是30°的直線為2條．
答案：B
2．平面α的斜線與α所成的角為30°，則此斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線中所成的角的最大值為（）
A．30°B．60°C．90°D．150°
解析：本題易誤選D，因斜線和α內(nèi)所有不過斜足的直線為異面直線，故最大角為90°．
答案：C
3．在邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，這時二面角B—AD—C的大小為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：折起后△BCD為正三角形．
答案：C
4．四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點，若CD=2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
解析：取AD中點G，連結(jié)EG、GF，則GECD，GE=AB
∵CD=2AB∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方體A—C1中，E、F分別為D1C1與AB的中點，則A1B1與截面A1ECF所成的角為（）
A．a(chǎn)rctanB．a(chǎn)rccosC．a(chǎn)rcsinD．都不對
解：（向量法）建立以D為原點，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1
設(shè)平面A1FCE的法向量=（x，y，z）,則=0，=0
∵=（－1，，0），=（0，－，1）
∴,令y=2,∴=（1，2，1）
又∵=（0，1，0）∴cos,=
∴A1B1與平面A1FCE成的角為arcsin答案：A
6．一條直線與直二面角的兩個面所成的角分別是α和β，則α＋β的范圍是_____．
解：設(shè)A、B分別為平面M、N內(nèi)任一點，過A、B分別作AC⊥，BD⊥垂足為C、D．則∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角為銳角的二面角α—EF—β中，A∈EF，AGα，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，則二面角α—EF—β的平面角為______．
答案：45°
8．二面角α——β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，則CD的長為．
解析：∵，AC⊥，BD⊥．AB∈．
∴，
∴
答案：2
9．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（－2，3），B（3，－2），沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為θ的二面角后，｜AB｜＝4，則θ的值為．
答案：60°

課前后備注

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空間角的計算學(xué)案練習(xí)題

俗話說，磨刀不誤砍柴工。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是老師職責(zé)的一部分。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助高中教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“空間角的計算學(xué)案練習(xí)題”，但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

§空間角的計算(一)
一、知識要點
1.用向量方法解決線線所成角；
2.用向量方法解決線面所成角。
二、典型例題
例1.如圖，在正方體中，點分別在，上，且，，求與所成角的余弦值。

例2.在正方體中，是的中點，點在上，且，求直線與平面所成角余弦值的大小。

三、鞏固練習(xí)
1.設(shè)分別是兩條異面直線的方向向量，且，則異面直線與所成角大小為；
2.在正方體，與平面所成角的大小為，與平面所成角大小為，與平面所成角的大小為；
3.平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影得夾角45°，平面內(nèi)一條直線和這條斜線在平面內(nèi)的射影夾角為45°，則斜線與平面內(nèi)這條直線所成角為；

四、小結(jié)

五、作業(yè)
1.平面的一條斜線和這個平面所成角的范圍為，兩條異面直線所成角的范圍為；
2.已知為兩條異面直線，，分別是它們的方向向量，則與所成角為；
3.已知向量是直線的方向向量是平面的法向量，則直線與平面所成角為；
4.正方體中，O為側(cè)面的中心，則與平面所成角的正弦值為；
5.長方體中，，點是線段的中點，則與平面所成角為；
6.已知平面相交于，，則直線與平面所成角的余弦值為；
7.如圖，內(nèi)接于的直徑，為的直徑，且，為中點，求異面直線與所成角的余弦值。

8.如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為。
求與側(cè)面所成角大小。

高三數(shù)學(xué)下冊《空間角問題》知識點

高三數(shù)學(xué)下冊《空間角問題》知識點

一、直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

二、直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。

②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：一作，二證，三計算。

在作角時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，

三、解題技巧

在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息

(1)斜線上一點到面的垂線;

(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直;反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角。

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角。

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角。

2空間定位

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“2空間定位”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

高三地理基礎(chǔ)強(qiáng)化小專題2：空間定位

一基本點：

1空間定位的依據(jù)：經(jīng)緯網(wǎng)、相對位置（如海陸位置）、輪廓形狀（含剖面圖）、自然與人文景觀、區(qū)域特征、特定地物、題干信息等。一般以經(jīng)緯網(wǎng)定位為主，其它為輔，綜合定位。

2掌握空間定位的方法：①多看圖，多描圖填圖繪圖，建立自己的"心理地圖"②熟悉重要的經(jīng)緯線附近的地理事物③重點關(guān)注熱點地區(qū)、?？嫉貐^(qū)④熟悉重要地物（含景觀）的分布、輪廓形狀特征及其空間聯(lián)系⑤熟悉地理事物分布的一般規(guī)律與特殊分布。

3建立聯(lián)系線索。如：七大洲四大洋--板塊分布--全球火山地震帶--年輕的褶皺山脈及其附近的高原--古老的高原--世界重要的平原--世界大河的分布；七大洲四大洋--全球氣壓帶風(fēng)帶的分布--洋流的分布--氣候類型的分布--世界自然帶的分布-植被類型的分布--農(nóng)作物的分布--農(nóng)業(yè)地域類型的分布等；把城市、交通線、區(qū)域三者聯(lián)系起來，按點、線、面結(jié)合，點連線，線成網(wǎng)絡(luò)，點線帶面，來思索點的分布規(guī)律、線的延伸方向、面的區(qū)域特征。

二實際應(yīng)用：

重要經(jīng)緯線穿過的地理事物

空間距離

題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間距離
高考要求
1理解點到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念
2會用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法對異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計算七種距離
知識點歸納
1點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離
即一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離
結(jié)論：連結(jié)平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短
2異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線．
3．公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線
4．兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；
5．公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條；
6．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度
說明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離
7直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點面距離)
8．兩個平行平面的公垂線、公垂線段：
（1）兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線
（2）兩個平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個平面的公垂線段
（3）兩個平行平面的公垂線段都相等
（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長
9．兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離
10．七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求
10用向量法求距離的公式：
⑴異面直線之間的距離：
，其中
⑵直線與平面之間的距離：
，其中是平面的法向量
⑶兩平行平面之間的距離：
，其中是平面的法向量
⑷點A到平面的距離：
，其中，是平面的法向量
另法：點平面
則
⑸點A到直線的距離：
，其中，是直線的方向向量
⑹兩平行直線之間的距離：
，其中，是的方向向量
題型講解
例1設(shè)A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距離
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
設(shè)平面ABC的法向量=（x，y，z），
則=0，=0，
∴
即
令z=－2，則=（3，2，－2）
∴由點到平面的距離公式：
===
∴點D到平面ABC的距離為
解法二：設(shè)平面ABC的方程為：
將A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐標(biāo)代入，得
，
取B＝2，則平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，－2）
又因為
∴由點到平面的距離公式：
===
∴點D到平面ABC的距離為
點評：求點到平面的距離除了根據(jù)定義及等積變換外，還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標(biāo)(兩種方法)，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點M構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么P到平面的距離d=|||cos〈，〉
例2如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點
求：（1）與所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離；
（3）異面直線PM與FQ的距離
解：建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
則由中點坐標(biāo)公式得P（，0，）、Q（，，0）
（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），
=（－）×+0+×（－a）=－a2，
且||=a，||=a
∴cos〈，〉===－
故得兩向量所成的角為150°
（2）設(shè)=（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即||=1，⊥平面EFB，∴⊥，⊥
又=（－a，a，0），=（0，a，－a），
即有，
取，則
∵=（，0，）
∴設(shè)所求距離為d，則=a
（3）設(shè)=（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線的方向向量，
則由=（－，0，），=（，－，－a），得
?。剑?，則
而=（0，a，0）設(shè)所求距離為m，
則=a
例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線BD與B1C的距離
分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標(biāo)系，使它變?yōu)樽鴺?biāo)系下的異面直線距離的問題，還是屬于考試范圍的問題
解：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），
則
設(shè)與都垂直的向量為，
則由和
得，
異面直線BD與B1C的距離：
小結(jié)：
1用向量求點到平面的距離的步驟為：先確定平面的法向量，再求該點與平面內(nèi)一點的連線在法向量上的射影長即得也就是若是平面的法向量，為平面內(nèi)的一點，則點到平面的距離為：
2求異面直線的距離方法很多，但考綱僅要求會求圖中已給出表示異面直線間距離的線段，或在空間直角坐標(biāo)系下的異面直線的距離，對于第一類問題要先找出這條線段，證明它是所求距離，然后求之；第二類問題的求解步驟是：先求出與兩異面直線都垂直的一個向量，然后再求異面直線上兩點連線在這個向量上的射影的長，即若是與異面直線都垂直的向量，點，則異面直線與之間的距離：
3兩平面間的距離一般轉(zhuǎn)化為點到平面或線到面的距離來求解
學(xué)生練習(xí)
1ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為
ABCD1
解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求易證CE=1∴選D
答案：D
2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是
A13B11C9D7
解析：作PO⊥α于點O，連結(jié)OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA===5
∴PO==11為所求∴選B
答案：B
3在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是
AaBaCaDa
解析：A到面MBD的距離由等積變形可得
VA—MBD=VB—AMD易求d=a

答案：D
4平面α內(nèi)的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么點P到平面α的距離是
ABCD
解析：cos∠POM=cos∠POHcos∠MOH，
∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=
∴PH=POsin∠POH=3×=
答案：A
5正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點，則E到A1B的距離是
AaBaCaDa
解析：連結(jié)A1E、BE，過E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH=a
答案：D
6A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______
解析：CD=
答案：5或
7設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點P到BC的距離是_____________
解析：作AD⊥BC于點D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA與BC的公垂線易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，連結(jié)PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=
答案：
8已知l1、l2是兩條異面直線，α、β、γ是三個互相平行的平面，l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________
解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6由面面平行的性質(zhì)定理可得=，∴=，即=∴DE=25
答案：625
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的邊長為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點
（1）證明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求點B到截面C1EAF的距離
（1）證明：連結(jié)EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EF∥B1C，直線B1C⊥BC1且B1C⊥AB，則直線B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1內(nèi)，過B作BH，使BH⊥AC1，H為垂足，則BH的長就是點B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH===
另法：建立坐標(biāo)系(略)
10已知直線l上有兩定點A、B，線段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求AB與CD間的距離

解法一：在面ABC內(nèi)過B作BE⊥l于B，且BE=AC，則ABEC為矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
則AB與CD的距離即為B到DE的距離
過B作BF⊥DE于F，易求BF=a
解法二：建系如圖，則A（0，0，b），C（－a，a，a），D（a，0，0），
設(shè)AB與CD的公垂線的一個方向向量=（x，y，z），
利用=0，=0，
求出，則d==a
課前后備注